第六章 二次型习题课
线性代数二次型习题及问题详解
第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q LT 11,,.n μμ=B M BM L 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑L ，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=则 1111111j n i ij in i m mj mj m a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L MM M M LL M M M M LLA A A A 于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L =1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑M M L L L L M M =1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑M L L M A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=L L . 记T1(,,)m y y =Y L ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X L ，则222T T T 11()mi m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X L .因为A A T 为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=L .因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y L L 22211i i n n y y y λλλ=++++L L （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP L L 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---L L T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D L L .显然D 是正交矩阵，由T=D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A 是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D L L其中(1,,)i i n λ=L 是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP M M ，则有T T 0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP M L L M 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O L L O010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭M M 0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T=f ，证明f 在条件122221=+++n x x x Λ下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21Λ的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++===ΛY AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21Λ中最大者，当122221T =+++=n x x x ΛX X 时，有122221T T T T =+++===n y y y ΛY Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211ΛΛ这说明在22221n x x x +++Λ=1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,(ΛΛΛΛ==n k y y y Y则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211ΛΛ令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x Λ条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T 00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=L . 由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=L .因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P L L ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP L L即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =L .由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P L L因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =L .又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P L L .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P L L ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21Λ为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B L L M M M L =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L MO M M O M MO M L L L 对任给的n 维向量1(,,)T0n x x =≠X L ，因n b b b ,,,21Λ为非零实数，所以),,(11n n x b x b ΛT 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000T T n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭LL L MO MM O M MO M L LL X BX X X =),,(11n n x b x b Λ1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭LM OM L 11n n b x b x ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭M 0>即B 是正定矩阵．方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B L L MM M L 则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭L MO ML 而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L MO M M O M MO M L L L计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP L L .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =L . 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P L L11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E P P OO1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E .证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=L . 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P O O OO于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E P P OO1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =L . 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP L L ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P L L于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P PL L 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定. 证：TTTT()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故2640λλ-+=.30λ=>. 因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y . 注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E M2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E M3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z yz y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 令1113⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规形222221234f z z z z =-++. 用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A E M32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E M2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭2233441000100001000000100001022r cr cr c⎛⎫⎪→--⎝⎭令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,0202⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>---所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：T f =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， Tg =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμΛΛ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμΛΛ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1ΛΛ是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP L ，其中120n λλλ≥≥≥>L 为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>L .则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>L 为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q L令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP L34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q L L λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=L 为TC BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =L ，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O P AP P AP D其中n λλλ,,,21Λ为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i Λ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭O O O O D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭O O A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O O P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是： AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(T T T PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q TQ于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,(Λ的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭L L L M M M M L A。
二次型习题课
1. 化标准形（用初等变换）f (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 42. 化标准形（用配方法） f (x 1,x 2,x 3,x 4)=43423241312122212222442x x x x x x x x x x x x x x +++++++.3. 证明秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩为1的对称矩阵之和.4. 证明12n A λ⎛⎫ ⎪λ ⎪= ⎪ ⎪λ⎝⎭ 与12i i in B λ⎛⎫⎪λ ⎪= ⎪ ⎪λ⎝⎭ 合同,其中i 1,i 2,…,i n 是1,2,…,n 的一个排列.5. 设A 是一个n 级矩阵, 证明:(1) A 是反对称矩阵当且仅当对任何n 维向量X, X TAX=0.(2) 如果A 是对称矩阵, 且对任一个n 维向量X 有 X TAX=0, 则A=0.6. 设实二次型,)(),...,,(12221121∑=+++=si n in i i n x a x a x a x x x f 证明f的秩等于矩阵A 的秩, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211. 7．A 是实矩阵, 证明R (A TA )=R (A ).1．f (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4解：011110111110121110A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(2)022242444000202220220100220242020042222042200024200020002122020022002122002000200020002000202Pi A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪4000010000400003212121210021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪→ ⎪--- ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∴2121212100210002X y ---⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭则22221234443f y y y y =---. 2.f (x 1,x 2,x 3,x 4)=43423241312122212222442x x x x x x x x x x x x x x +++++++.解 : 由配方法可得.212,)(y )2123()22(.)(21)2123(2)22(2222)22(])22()22(2[),,,(232221444334322432112432432243214342322422243224324321214321y y y f x y x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++-+++=+++++++-++++++=得于是令且非退化的线性替换为 .23244433432243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为,10001100123101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=T且有.02121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=AT T T3. 证明秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩为1的对称矩阵之和.证明: 设R(A)=r ，则存在可逆矩阵C,使得121'00ri ii ri d d C AC D d E d =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭∑那么，d 1E 11,d 2E 22,…d r E rr 的秩都等于1，且为对称的, 得.)()(1112221111∑∑==--==+++=ri iiiri iTrrrT B C E d C C E d E d E d C A其中B i 是对称矩阵, 且R =)(iB R 1)(=iiiE d ，A 为r 个秩为1的对称阵之和.4. 证明12n A λ⎛⎫ ⎪λ⎪= ⎪ ⎪λ⎝⎭与12i i in B λ⎛⎫ ⎪λ ⎪= ⎪ ⎪λ⎝⎭ 合同,其中i 1,i 2,…,i n 是1,2,…,n 的一个排列. 证法1: 对于12n A λ⎛⎫ ⎪λ⎪= ⎪ ⎪λ⎝⎭,12i i in B λ⎛⎫ ⎪λ ⎪= ⎪ ⎪λ⎝⎭ ,有 1ni iii A E λ==∑,1nij jj j B E λ==∑.又12,,ni i i 为1,2,n 的一个排列，所1jj jni i i j A E λ==∑ 考虑标准单位向量12,,nεεε ,作12(,,)i i in C εεε= ,则C 的n 列线性无关，C可逆，且1jni jj C E ==∑'1,j nji j C E ==∑,'111111()()()()()j k k k l j l n nn ji i i i i l j k l n nij ji i l j l nij jjj C AC E E E E E E λλλ=========∑∑∑∑∑∑故A 与B 合同.证法2: 与矩阵A,B 相对应的二次型为22222112222211,nin i i TB n n TA y y y AYY f x x x AXX f λλλλλλ+++==+++==.作非退化的线性替换y k =x ik ,则f B 变为f A ,所以A 与B 合同.5. 设A 是一个n 级矩阵, 证明:(1) A 是反对称矩阵当且仅当对任何n 维向量X, X TAX=0.(2) 如果A 是对称矩阵, 且对任一个n 维向量X 有 X TAX=0, 则A=0.证明: (1) 必要性. 设A 是反对称矩阵,则A T= -A, 对任一个n 维向量X 有 X T AX =( X T AX ) T = - X T AX , 所以X TAX =0. 充分性. 因为j i ni nj i ji ij iii Tx x a a x a AX X ∑∑=≤<≤++=112)(.取X=εi , i=1,2,...,n, 则,0,1==j i x x 将代入上式有),(0j i x x j i ≠= 得 εi T A εi =a ii =0.再取X=(εs +εt ), 则)(,0),(0,0,1s j x x t j x x x x x j t j s j t s ≠=≠====于是有.(εs +εt ) T A (ε s +εt ) T=a st +a ts =0，得a st =-a ts . 所以A T=-A.(2) 取X=εi , i=1,2,...,n, 得 εi T A εi =a ii =0.再取X=(ε i +εj ), (ε i +εj ) T A (ε i +εj )T=a ij +a ji =2 a ij =0，得a ij =0, A=0. 6. 设实二次型,)(),...,,(12221121∑=+++=si n in i i n x a x a x a x x x f 证明f 的秩等于矩阵A 的秩, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211.证法1:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++++++++=+++=∑=n sn s n n n n n sn s n n n n si n in i i n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x f 2211s 222212112121112211s 2222121121211112221121),...,,()(),...,,(AX A X x x x a a a a a a a a a x x x a a a a a a a a a T T n sn s s n n Tn sn s s n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2121222211121121212222111211.7．A 是实矩阵, 证明R (A TA )=R (A ).证明: 证法1. 因为A 是实矩阵, 所以A TA 是实对称矩阵, f (X )=X T A T AX 是实二次型. 对于任意的n 维实向量X 0, AX 0也是n 维实向量, 可设AX 0=Y 0=(y 10,y 20,…,y n0)T, 则f (X 0)=X 0T A TAX 0=0)()(202202100≥+++==n T Ty y y Y Y AX AX . 设R (A )=r , 则存在可逆矩阵C, 使得经非退化线性替换X=CY , 22221)()(ry y y CY f X f +++== . 这就证明了二次型f 的秩为r, 即R (A TA )=R (A )=r .证法2. 设R(A)=r, 考虑齐次线性方程组Ax =0和A T AX =0.一方面, 由于AX =0的解都是A TAX =0的解,所以R(A T A)≤R(A).另一方面, 对于A TAX =0的任意解X 0=(x 10,x 20,…,x n0)T , 令AX 0=(y 10,y 20,…,y n0)T, 由A T A X 0=0, 得X 0T A T A X 0=0, 即.020220210=+++==n T TT y y y Y Y AX A X 由于AX 0=(y 10,y 20,…,y n0)T是实向量,所以上式为0，可得y 10=y 20=…=y n0=0, 即AX 0=0, 所以A TAX =0的解都是AX =0的解, 得R(A) ≤R(A T A). 因而R(A) = R(A TA).。
东北农业大学《线性代数》课件-第6章二次型
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
c11x c21x
c12 y c22 y
可以化其为标准形式：
Ax2 By2 d
由此可方便地得到其几何特征。 化标准型的实质是对方程（1）左边的二次齐
次多项式
ax2 bxy cy2
实施合适的线性变换，使其化为只含有平方项的 标准形
Ax2 By2
在高维空间也有类似问题。如何处理，是这 一章要讨论的问题。
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得 f 2z12 2z22 6z32 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形．
二、二次型的矩阵表示方法
对于二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
线性代数第六章习题册答案
第六章 二次型1. 用矩阵记号表示下列二次型：(1);4427),,(222yz xz xy z y x z y x f ----+=(2)22312121321542),,(x x x x x x x x x f -++=； (3)),,,(4321x x x x f .46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+++=解：(1)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z yxz y x f 722211211),,( (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321321321002052/222/21),,(x x x x x x x x x f(3) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=4321432143211001231223111211),,,(x x x x x x x x x x x x f 2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,(321x x x f 322322214332x x x x x +++=.解：0)5)(1)(2(32023002=---=---=-λλλλλλλE A 得11=λ，22=λ，53=λ当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 23222152y y y f ++= 3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：23322231212132128244),,(x x x x x x x x x x x x f -+-+-=. 解：0)7()2(2-4242-22212=+--=-----=-λλλλλλE A 得=1λ22=λ，73-=λ当=1λ22=λ，时，特征向量为T ）（1021=ξ，T ）（012-2=ξ，通过施密特正交化得到T ）（10251e 1=，Te ）（452-5312= 当73-=λ时，特征向量为T）（11-213-=ξ，单位化得T ）（22131e 3--= 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32534513253503153252P ， 则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 232221722y y y f -+= 4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：),,,(4321x x x x f 43324121242322212222x x x x x x x x x x x x +--++++=．解：0)3)(1()1(11011110011110112=-+-=--------=-λλλλλλλλE A得121==λλ，13-=λ，34=λ当121==λλ时，特征向量为T ）（01011=ξ，T）（10102=ξ 当13-=λ时，特征向量为T ）（11113--=ξ 当34=λ时，特征向量为T ）（11114--=ξ 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=21211021210121211021211P ，则利用正交变换Py x =，二次型可化为标准型 24232221y 3+-+=y y y f5. 二次型)0(a 2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f 通过正交变换可化为标准形23222132152),,(y y y y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3030002a a A特征值为11=λ，22=λ，53=λ，得10=A ，故10)9(22=-=a A ，又0>a ，得2=a . 当11=λ时，特征向量为T）（11-01=ξ 当22=λ时，特征向量为T ）（0012=ξ 当53=λ时，特征向量为T）（1103=ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102121021-010P ，用正交变换Py x =，二次型标准型为 23222152y y y f ++=6. 用配方法化),,(321x x x f 32312321222x x x x x x +++=为规范形，写出所用变换的矩阵． 解：),,(321x x x f 2322223132312321))222x x x x x x x x x x x ++-+=+++=（（由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+33222131y x x y x y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C ，C 可逆， 由变换Cy x =得二次型的规范型为),,(321x x x f 232221y y y +-=7. 判别下列二次型的正定性：(1)),,(321x x x f 312123222122462x x x x x x x ++---=；(2)424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -.解：（1）负定 （2）正定8. 二次型323121242322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f -+++++=，t 取何值时是正定二次型？解： 二次型矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000011011011t t t ，二次型正定即要求所有顺序主子式 0)2()1(100011011011,0)2()1(111111,0111,0222>-+=-->-+=-->-=>=t t tt t t t tt t t t t t t 可得2t >时此二次型正定.9. 已知A 为n 阶方阵，E A -是正定矩阵，证明A 为正定矩阵.证明：因为E A -是正定矩阵，所以()E A E A E A T T-=-=-，所以 A A T=，即A 为对称矩阵.设λ为A 的任意一个特征值，则1-λ是E A -的一个特征值，因为E A -为正定矩阵，所以01>-λ，从而0>λ，因此A 为正定矩阵.10. 设C 为可逆矩阵，A C C T=，证明x x A T=f 为正定二次型．.证明：)()(TCx Cx Cx C x f TTT===x x A令y x =C ，因为C 可逆，对任意0≠x ，有0≠y ， 从而0)()(>==y y Cx Cx f TT，为正定二次型。
第六章习题
x3
y2
y3
x3 0 1 1 y3
故
f 4 y12 3(2 y2 )2 4( y22 y32 ) 4 y12 8y22 4 y32.
3。合同变换法
4 0 0 4 0 0 4 0 0
0 3 1
0 3
3
4 0 0 y1
f x1
x2
x3
0
3
1
y2
0 1 3 y3
由E A 0,求A的全部特征值
4 0 0
E A 0 3 1 ( 4)2 ( 2) 0
0 1 3
则A的特征值为1
正定二次型
惯性定律
正
定义
定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二
次
型
充要条件
必要条件
惯性指数R( A) r; 正惯性指数p; 负惯性指数q.
x 0, xT Ax 0.
特征值全大于零； 正惯性指数为n; 顺序主子式全大于零； A合同E，或A U TU，其中U可逆。
| A | 0
正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0
定义： f yTy
二
标
次
准
型
形
1.正交变换法；
化标准形 2.配方法；
3.合同变换法.
正定二次型
1 3 5 x1
例: 二次型f (x1, x2, x3) (x1, x2, x3)2
4
6
x2
的
矩阵
及
秩
。
线性代数 第六章 二次型 例题
2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3， （1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 ������ 1 0 1 2
������
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 ������ 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换 （1） （2） （3） （4） （5） f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +2������1 ������2 -2������1 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +4������3 2 + 2������1 ������2 +4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=2������1 2 +5������2 2 +4������3 2 + 4������1 ������2 -4������1 ������3 -8������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 ������2 -4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +4������2 2 +4������3 2 − 4������1 ������2 + 4������1 ������3 -4������2 ������3
第六章习题课线性代数 (3)
性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A
2
2 2
0 2
.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注 用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判 断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由
4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2
y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解 该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f
线性代数二次型习题及答案
第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定． 证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112*********222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000TT n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵． 方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定.证：T T T T()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T 是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即 11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++.用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是：AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(TTT PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零． 综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。
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第六章 二次型
一、要点复习 二、作业讲解 三、典型例题介绍
一、要点复习
定义 矩阵表示
二次型
可逆线性变换 正配 交方 变法 换
标准二次型
正定二次型 正定矩阵 定义 判定
1. 二次型及其矩阵表示
n 定义6.1 含有 个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a22 x22 ann xn2 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn 2an1n xn1xn
6. 正定二次型
设有实二次型 f ( X ) X T AX ，如果对任
何 X 0都 f (X ) 0（ f (0) 0），则称 f (X ) 为正定二次型，并称对称矩阵 A是正定的，记
作A 0 ；如果对任何 X 0 都有 f (X ) 0则称
f (X )为负定二次型，并称对称矩阵 A是负定
2 x12
3x
2 2
3x32
2ax2 x3 (a
0)
通过正交变换可化为标准形 f ( y1, y2 , y3 ) y12 2 y22 5y32
求参数 a 及所用的正交变换矩阵.
分析 本题是已知二次型通过正交变换所得到的标准形，这等于知道了二次型矩阵
的特征值.
解：二次型矩阵为 2 0 0 A 0 3 a 0 a 3
分析 这是本章的一个主要问题，只要按步骤求解即可， 关键还是求
特征值和特征向量。
解：
2 0 0 A E 0 3 2 (2 )(1 )(5 ) 0
0 2 3
得 1 1 ，2 2 ，3 5
当 1 1 时，特征向量为 1 （0 -1 1）T 当 2 2 时，特征向量为 2 （1 0 0）T 当 3 5 时，特征向量为 3 （0 1 1）T
分析 化二次型为标准形可用正交变换法也可用配方法，这要看题目的具体要求. 若无要求，在变量不多时配方法相对简单些.
解： f (x1 , x2 , x3 ) x12 2x32 2x1x3 2x2 x3 （x1 x3 )2 x22 （x2 x3 )2
由
x1 x2
x3 y2
解：(1)
f (x, y, z) x
y
z
1 1
1 1
2 x 2 y
2 2 7 z
(2)
1
f (x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 2 / 2
2
2 / 2 2 x1 5 0 x2 0 0 x3
f
2 y12
2
y
2 2
7 y32
4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 x22 x32 x42 2x1x2 2x1x4 2x2 x3 2x3 x4
解：
1 1 0
1 1 1 A E
方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新 变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之
和.具体做法是：
如的果各二 项次 集型 中中 ，含按有x某i 配xi成的完平全方平项方，，则然先后把按含此xi
法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果
二次型中不含平方项，但有某个 aij 0(i j) ，
则先作一个可逆的线性变换：
解：
1 2 2
A E 2 - 2 4 (2 )2 (7 ) 0
2 4 -2
得 1 2 2 ，3 7 .
当 1 2 2 时，特征向量为 1 （2 0 1）T ， 2 （- 2 1 0）T
通过施密特正交化得到
e1
特征值为 1 1，2 2 ，3 5
故 A 2(9 a2 ) 10 ，又 a 0 ，得
a2
当 1 1 时，特征向量为 1 （0 -1 1）T
当 2 2 时，特征向量为 2 （1 0 0）T 当 3 5 时，特征向量为 3 （0 1 1）T
称为n 元二次型，
用矩阵表示为 f ( X ) X T AX
其中向量 X (x1, x2 , , xn )T ，矩阵 A (aij )n , aij a ji (i, j 1,2, ,n) 所以 A是对称矩阵，A称为二次型 f (X )的矩阵，
f (X ) 称为对称矩阵A 的二次型，并称 A的秩为该二次型的秩 .
C
为合同变换，矩阵 称为合同变换矩阵.
对任意可逆方阵 C，若A对称，则 CT AC 也对称且 R( A) R(CT AC)
用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换 把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相 似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换.
4.化二次型为标准型方法和步骤
当 4 3 时，特征向量为 4 （1 1 1 1）T
取
1 0
1 2
1 2
0 P
1 0
1 0 1
1 2
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
则利用正交变换 x Py
二次型可化为标准型
f
y12
y22
y32
3y
2 4
5.
二次型
f
(x1 , x2 , x3 )
y1
x2 x3 y3
得 x1 y1 y2 y3
x2
y2
x3 y2 y3
取
1 1 1
C 0 1 0
0 1 1
C可逆，由变换 x Cy
得二次型的规范型为 f (x1 , x2 , x3 ) y12 y22 y321（2 5 Nhomakorabea0
1）T
，e2
1 （- 2 35
5
4）T
当 3 7 时，特征向量为
3
（
1 2
-1
1）T
单位化得
e3
1（1 3
2
2）T
取
2 5
2 35
1 3
P
0
5 35
2
3
1 5
4 35
2 3
则利用正交变换 x Py
二次型可化为标准型
取
0
1 0
P
-
1
2 1
2
0 0
1
2 1
2
用正交变换 x Py
二次型标准型为
f
y12
2
y
2 2
5 y32
6. 用配方法化 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x32 2x1x3 2x2 x3
为规范形，写出所用变换的矩阵．
阵 P ，得正交变换 X PY
；
•第五步 写出标准形 f (Y ) 1 y12 2 y22 n yn2
，
其中 i (i 1 n) 为 A 的特征值，其顺序应和 P 中
的列特征向量顺序相对应.
以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基
本一致.
(2) 用配方法化二次型为标准形 这种方法是将二次型的各项归并成完全平
n
f
(X)
的矩阵
A
(aij
)n 的特征值.
步骤:
•第一步 写出二次型 f (X ) 所对应的实对称矩阵 A ；
•第二步 求出 A 的所有特征值；
•第三步 对 A 的每一特征值求出对应的特征向量，把
对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根
的特征向量正交化、规范化；
•第四步 以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩
注 用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是 可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换.而特征 向量正交、规范化所得的变换是正交变换.由于配方 的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然 所得到的标准形也不唯一.
7. 判别下列二次型的正定性：
(1) f (x1, x2 , x3 ) 2x12 6x22 4x32 2x1x2 2x1x3
(2) f x12 3x22 9x32 19 x42 2x1x2 4x1x3 2x1x4 6x2x4 12 x3 x4
注 二次型的矩阵要求是对称矩阵.还有正定矩阵也是这样 .
2. 二次型的标准形
只含平方项的二次型
f (X)
X T AX
Y T (C T AC)Y
d1 y12
d
2
y
2 2
d
n
y
2 n
称为 f (X )的标准形或法式.
特别地，当标准形中的系数di (i 1,2, , n)只取1，-1或0时，
的，记作 A 0 .
判断实二次型正定的充要条件 （1) 实二次型标准形中的个系数全为正； （2) 实二次型的矩阵的特征值全为正； （3) 实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全
大于零. 至于 f (x) 的负定性可通过 - f (x) 的正定性来 判断.
注 判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要 条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断 相对方便些. 另要强调的是,我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵 的大前提下讲的,离开了这一点就会犯下列错误: • 各阶顺序主子式大于0的矩阵为正定矩阵； • 特征值全大于0 的矩阵为正定矩阵； • 对任意X 0 ,使X T AX 0 的矩阵为正定矩阵.