二项式定理练习题及答案解析
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。
二项式定理习题(带答案)
（A）－540
（B）－162
（C）162
（D）540
33、A 解析：令 x=1，得 2n=64，得 n=6.设常数项为 Tr+1= Cr6（3 ）6-r·（- ）r
=Cr636-r·（-1）r·x3-r 令 3-r=0 得 r=3.∴常数项 T4=-540.
36、在
的二项展开式中，若只有 的系数最大，则
6、C7、C8、A9、A
16、3.若
的展开式中 的系数是(
A.14 )A
B.－14
B
C
C.42 D
D.－42
17、在
的展开式中 的系数是 （ ）A.－14 B.14 C.－28 D.28
16、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B. 17、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B.
（3）二项式系数的和：
C
0 n
C1 nCຫໍສະໝຸດ 2 nCk n
C
n n
2n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即
C0n +C2n +
=C1n +C3n +
=2n-1
对称性 （2）二项式系数的三个性质 增减性和最值
二项式系数和
基本题型
(一)通项公式的应用
1、 (2x 1 )6 的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； x
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册5.4.1二项式定理的推导(带答案)
§4二项式定理4．1 二项式定理的推导必备知识基础练知识点一二项式定理的正用、逆用1.若(2x－3x )n＋3(n∈N*)的展开式中共有15项，则n的值为( ) A．11 B．12 C．13 D．142．1－3C110＋9C210－27C310＋…－39C910＋310＝______．3．求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．知识点二二项展开式的通项与系数4.(x－2 y)10的展开式中x6y4的系数是( )A．－840 B．840 C．210 D．－2105．(2x－1x)6的二项展开式中的常数项为________．6．在(x ＋124x)n的展开式中，前三项的系数按原顺序成等差数列．(1)求展开式中含x项的系数；(2)求展开式中的有理项．知识点三二项展开式中各项系数的和7.在(2x＋x2)10的展开式中，各项的系数之和为( )A．1 B．310－1C．310 D．2108．将(1－2x)(1－x)8的展开式写成按升幂排列的和的形式，那么所有奇数项的系数和为________，所有奇次项的系数和为________．9．设(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 020的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 020|的值．关键能力综合练一、选择题1．若(1＋2 )5＝a ＋b 2 (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．802．在(x ＋2x)n的展开式中，若常数项为60，则n ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．123．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－44．二项式(x －a x)8的展开式中x 2的系数是－7，则其中正确的是( ) A ．a ＝12B ．展开式中含x 6项的系数是－4C ．展开式中含x －1项 D ．展开式中常数项为405．[探究题](x ＋1x2 －1)6展开式中x 2的系数为( )A ．－45B ．－15C ．15D ．45 二、填空题6．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 017＋a 能被13整除，则a ＝________．7．若(x ＋2)n (n ∈N *)的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x 的值为________．8．[易错题]若(1＋2x 2)(1＋1x )n 的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含1x2 项的系数是________．三、解答题9．已知(x －23x)n (n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求n ＋6C 2n ＋36C 3n ＋…＋6n －1C nn 的值；(3)求系数的绝对值最大的项．(注：结果可以有组合数、幂)学科素养升级练1.[多选题]若(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数之和为2，则下列结论正确的是( )A ．a ＝1B ．展开式中x 6的系数是－32C ．展开式中含x －1项D ．展开式中的常数项为402．[学科素养——数学运算]设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *).(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数．4．1 二项式定理的推导必备知识基础练1．解析：因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共有n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.故选A.答案：A2．解析：1－3C 110 ＋9C 210 －27C 310 ＋…－39C 910 ＋310＝C 010 (－1)10×30＋C 110 (－1)9×31＋C 210 (－1)8×32＋…＋C 1010 (－1)0×310＝(－1＋3)10＝210＝1 024.答案：1 024(或210)3．证明：32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1 8n ＋C 2n ＋1 8n －1＋…＋C n －1n ＋1 82＋C nn ＋1 8＋1－8n －9 ＝82(8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 )＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝64(8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 ).∵n ∈N *，∴8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 是整数， ∴32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除． 4．解析：在通项T k ＋1＝C k10 x 10－k(－2 y )k 中，令k ＝4，即得(x －2 y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410 ×(－2 )4＝840.答案：B5．解析：二项式(2x －1x )6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·(2x )6－k·(－1x)k ＝(－1)k C k 6 ·26－k·x6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为(－1)4×C 46 ×22＝60.答案：60 6．解析：(x ＋124x)n 的展开式中前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由题意知C 1n ＝C 0n ＋14 C 2n ，所以n ＝1＋n （n －1）8，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去).则二项式(x ＋124x)8的展开式的通项为T k ＋1＝C k8 ·x8－k 2·12k ·x －k4 ＝12k ·C k 8 ·x 4－34k.(1)令4－34 k ＝1，得k ＝4，所以含x 项的系数为124 ×C 48 ＝358 .(2)设展开式中，第k ＋1项为有理项，则当k ＝0，4，8时对应的项为有理项， 有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358 x ，T 9＝1256x2 .7．解析：设(2x ＋x 2)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 20x 20，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 20＝310.故选C.答案：C8．解析：设(1－2x )(1－x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则所有奇数项的系数和为a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8，所有奇次项的系数和为a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9.令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0 ①，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8－a 9＝3×28＝768 ②.由①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12 ×768＝384.由①－②，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝－12×768＝－384，所以所有奇数项的系数和为384，所有奇次项的系数和为－384.答案：384 －3849．解析：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝(－1)2 020＝1.(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 019＋a 2 020＝32 020， ① 由(1)，知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝1， ②由②－①，得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＝1－32 020， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019＝1－32 0202.(3)∵T k ＋1＝(－1)k C k2 020 (2x )k，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 020|＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 020＝32 020.关键能力综合练1．解析：由二项式定理，得(1＋2 )5＝1＋C 15 ×2 ＋C 25 ×(2 )2＋C 35 ×(2 )3＋C 45 ×(2 )4＋C 55 ×(2 )5＝1＋52 ＋20＋202 ＋20＋42 ＝41＋292 .所以a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.故选C.答案：C2．解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k n(x )n －k (2x )k ＝2k C kn x n －3k2 ，令n －3k 2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.答案：B3．解析：因为(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，所以C 25 ＋a C 15 ＝5，即10＋5a ＝5，解得a ＝－1，故选A.答案：A4．解析：二项式(x －a x)8的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 8 x8－k(－a x)k ＝(－a )k C k 8 x8－2k.对于A ：令8－2k ＝2，解得k ＝3，所以展开式中x 2的系数(－a )3C 38 ＝－7，解得a ＝12，故A 正确；对于B ：二项式(x －a x )8即(x －12x )8，展开式的通项公式为T k ＋1＝(－12)k C k 8 x 8－2k.令8－2k ＝6，解得k ＝1，所以展开式中含x 6项的系数是(－12 )1C 18 ＝－4，故B 正确；令8－2k ＝－1，解得k ＝92 ，不为整数，故展开式中不含x －1项，故C 错误；令8－2k ＝0，解得k ＝4，所以展开式中常数项为(－12 )4C 48 ＝358，故D 错误．故选AB.答案：AB5．解析：(x ＋1x 2 －1)6＝[(x ＋1x2 )－1]6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6 (x ＋1x 2 )6－r (－1)r ＝C r 6 ·(－1)r(x ＋1x2 )6－r (r ＝0，1，…，6)，对于(x ＋1x 2 )6－r ，设其展开式的通项为U k ＋1＝C k 6－r x 6－r －k (1x2 )k ＝C k 6－r x 6－r －3k (k ＝0，1，…，6)，令6－r －3k ＝2，所以r ＋3k ＝4，解得r ＝1，k ＝1或者r ＝4，k ＝0.所以(x ＋1x2 －1)6展开式x 2的系数为C 16 (－1)1C 15 ＋C 46 (－1)4C 02 ＝－15，故选B.答案：B6．解析：∵512 017＋a ＝(52－1)2 017＋a ＝C 02 017 ·522 017－C 12 017 522 016＋…＋C 2 0162 017 521－1＋a 能被13整除，且0≤a ＜13，a ∈Z ，∴－1＋a 能被13整除，故a ＝1.答案：17．解析：由(x ＋2)n (n ∈N *)的展开式的第4项为23C 3n x n －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知23C 3n xn －3＝52 ，C 2n ＝15，可得n ＝6，x ＝14. 答案：148．解析：当x ＝1时，(1＋2x 2)(1＋1x)n 的展开式中所有项的系数和为3×2n＝96，解得n ＝5，∴(1＋1x )5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5 1xk ，∴(1＋2x 2)(1＋1x )5展开式中含1x2 项的系数为C 25 ＋2C 45 ＝20.答案：209．解析：(1)(x －23x )n (n ∈N *)的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x )n －k(－23x)k ＝C k n (－2)kx3n －5k 6.由于展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1， 则C 4n 24C 2n 22 ＝30，化简得n 2－5n －84＝0， 解得n ＝12或n ＝－7(舍去)， 则展开式的通项为T k ＋1＝C k12 (－2)kx36－5k 6，当k ＝0，6，12时对应的项为有理项，即T 1＝x 6，T 7＝C 612 26x ，T 13＝C 1212 ·212x －4.(2)n ＋6C 2n ＋36C 3n ＋…＋6n －1C nn ＝C 112 ＋6C 212 ＋36C 312 ＋…＋612－1C 1212＝16 (1＋6C 112 ＋62C 212 ＋63C 312 ＋…＋612C 1212 )－16 ＝16 ×(1＋6)12－16 ＝712－16.(3)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 由T k ＋1＝C k12 (－2)k·x36－5k 6，得⎩⎪⎨⎪⎧C k12 2k≥C k －112 2k －1，C k 12 2k ≥C k ＋112 2k ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧2C k12 ≥C k －112 ，C k 12 ≥2C k ＋112 ，即有⎩⎪⎨⎪⎧ 26－2k ≥k ，24－2k ≤1＋k ，解得233 ≤k ≤263 ，则k ＝8，故系数的绝对值最大的项为T 9＝C 81228x －23.学科素养升级练1．解析：因为(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，令x ＝1得，1＋a ＝2，所以a ＝1，故A 正确；(x ＋a x)(2x －1x)5＝(x ＋1x)(2x －1x)5，(2x －1x)5展开式的通项为C k5 (2x )5－k·(－1x)k ＝C k 5 25－k (－1)k x 5－2k(k ＝0，1，…，5).令5－2k ＝5，解得k ＝0，所以x 6的系数是32，故B 错误；令5－2k ＝－2，无整数解，令5－2k ＝0，无整数解，所以展开式中不含x －1项，故C 错误；令5－2k ＝－1，解得k ＝3，令5－2k ＝1，解得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 35 ·22·(－1)3＋C 25 ·23·(－1)2＝40，故D 正确．故选AD.答案：AD2．解析：(1)由题意知，m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ， 令x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝（19－n ）（18－n ）2 ＋n （n －1）2＝n 2－19n＋171＝(n －192 )2＋3234 .因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，含x 2项的系数最小，为(12 )2＋3234＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2项的系数取最小值，此时x 7项的系数为C 710 ＋C 79 ＝C 310 ＋C 29 ＝156.。
二项式定理练习题及答案解析
二项式定理练习题及答案解析一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)[答案] B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()A．Crn B．Cr＋1nC．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n[答案] D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610 B．27C410C．－9C610 D．9C410[答案] D[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是() A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3 B．5C．8 D．10[答案] B[解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297 B．－252C．297 D．207[答案] D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7．(2009•北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A．－1 B.12C．1 D．2[答案] D[解析]Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45•a＝10，得a＝2.9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜25[答案] A[解析]由T2>T1T2>T3得C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15. 10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案] A[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、填空题11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．[答案]－16212．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．[答案] 5[解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．[答案] 2[解析]C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]－5[解析](1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r＝(－12)r•Crn•xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210•(－12)2•x2，C510(－12)5，C810•(－12)8•x－2.18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析]通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr.由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有：Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2即8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！(k－2)！•(10－k)！×2.∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7•x35和第4项T4＝7•x74.。
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概念篇【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4=a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略【例2】展开(2x -2代2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+2x2x 2x 2xC 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)52x 2 2x 2分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：35--和件[C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5]荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是c 4°.解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10—r ( — 3 )r .令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C ：0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项=32x 5— 12Ox 2+180 x135 405+87243 10 .32x=327°=32x 5— 120x 2+180 x 135 405x 4 +8x 7243 32x 10 .式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 . x — —)10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数； (2) 求其展开式第四项的系数； (3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3..X — -2)10 的展开式的通项是 T r+i =C ；o (3.、x )10—r ( — 2)r (r=o , 1,…，10).3x3x•••第9项为常数项，其值为256说明：二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项； (2)求(1 — 2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式， 可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等 式，进而求出其最大值.7!2r7! 2r 1即 r!(7r)!(r 1)!(7 r 1)!7! 2r7! 2r 1r !(7 r)!(r 1)!(7 r 1)!(1)展开式的第 4项的二项式系数为 C ?0=120.(2)展开式的第 (3)展开式的第 2 4 项的系数为 C ；037(— — )3= — 77760.34 项为—77760( x )7十，即一77760 • x .z\.(3 .. x — —)10写成］3 x +(— A)： 10,从而凑成二项式定理的形式3x 3x【例5】求二项式(x 2+ 1 )10的展开式中的常数项.2丘说明：注意把 分析：展开式中第r+1项为C ；0(x 2)10—r ( 1)r ，要使得它是常数项，必须使2Jxx ”的指数为零，依据是X 0=1 , x M 0.解：设第r+1项为常数项，则 Eg 2)102053r 1 r人 52(一)r (r=0, 1，…，10)，令 20 —r=0,2 2••• T9=C 80(1)8=45 256解：(1)设第r+1项系数最大，则有C 72r (C r 1?r 1 C 72r ( C r 1?r 1系数最大项为 T 6=C 7 25X 5=672X 5.(2)解：展开式中共有 8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得•又因(1 - 2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大值 必在中间或偏右，故只需比较C 4( 2)4C 3T 5和T 7两项系数的大小即可-C6( 2)6 =4C >1, 所以系数最大项为第五项，即 T 5=560X 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法， (2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 .【例7】(1+2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ,再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C ；j (2x)5, T 7=C 6 (2X )6，依题意有。
完整版二项式定理的练习及答案
项 式 定 理 的 练 习 及 答 案基础知识训练(一)选择题1(x 2x ) 6展开式中常数项是()A.第 4 项B. 24C ：C. C ：D.22. (x - 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1 i2)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74•若C 仃与C n 同时有最大值，则 m 等于( )A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55•设(2x-3) 4=a o a 1X a ?x 2 a a x 3 a q X 4，贝y a o +a 1+a 2+a 3的值为(A.1B.16C.-15D.1531 116. (x 3 一)展开式中的中间两项为( )x(二)填空题17•在(2x y)7展开式中，x 5y 2的系数是310. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 ______________ .23 1011. ___________________________________________________ (1 3x 3x x )展开式中系数最大的项是 、512. ___________________________________ 0.991精确到0.01的近似值是 • (三)解答题13 .求 (1+x+x 2)(1-x) 10展开式中 x 4 的系数.14 .求 (1+x)+(1+x) 2+…+(1+x) 10展开式中 x 3 的系数 +15•已知(1-2x) 5展开式中第2项大于第1项而不小于第 3,求x 的取值范围•16•若f (x) (1 x)m (1 x)n (m n N)展开式中，x 的系数为21,问m n 为何值时, 17.自然数n 为偶数时，求证:A. CkXcb 12B. C 61X 9, C ；110x C.C^x 13D.C 1X 17138. C 03C n 2 2 3 C n 3n c n9. (3.520)的展开式中的有理项是展开式的第_________ 项*x 2的系数最小?18 •求8011被9除的余数+19•已知(..x-2r)n 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为x2520 •在(x +3X+2)的展开式中，求 x 的系数+ 21 •求(2x+1) 12展开式中系数最大的项 +参考解答： 11. (1+3x+3x 2+x 3) 10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是 T 16=C30X 15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C 0 C ；0.009 0.9613. (1 x x 2)(1x)10 (1 x 3)(1 x)9,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C ：( x)4作积，第一个因式中的一x 3与(1-x) 9展开式中的项C9( x)作积，故x 4的系数是C ；C ；135.10 1114. (1 x) (1 x)2 (1 x )10°—x)[1 ° ―1 -------- __°，原式中 x 3实为这分子中 1 (1 x) x的x 4,则所求系数为C 7V18. 8011(81 1)11 C 1018111 C ；811014; 3，求展开式的常数项.1 •通项T r 1C 6x 6r 《)r C 6x3 r22r , 由6 -r24，常数项是T s 4 4C 6 2，选(B )2.设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1) f( 1)(22)11 /21024，选(C ).3.通项 T r 1rC 7( -2)r C ；22,当r=0 ，2, 4, 6 时, 均为有理项，故有理项的项数为 4个，选(A ) 4•要使 C ：7最大，因为17为奇数，则m=8=4,2若n=9,要使C m 最大，则m17 1 或2 1——或m 2匕」 n 8或n=9,若n=8,要使C ；最大，则m 4或m=5综上知，m=4或m=5故选(A )5.C 10. 224 ;8.43(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35+6.C7.9.3,9,15,2115•由C 5( 2x)1C 5( 2x)C ； c ；( 2x)21 x101 1 x41016•由条件得 m+n=21, x 2的项为 C ；x 2 C ：x 2，则 C ； C ： (n -21)22时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x 的系数最小.399 4.因n € N ,故当n=10或1117 •原式=(C 0 c l. C 2c n 1C：) (C ： 35 CnCnC：1) 2n 2n1 3.2nC ；081 1 81k 1(k Z),••• k € Z,二9k-1 € Z,「. 8111被9 除余&19•依题意C：: C：14:3 3C：14C：••• 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2! n=10*10 5r 设第叶1 项为常数项，又T r 1C；0(..x)10r( -22)r( 2)r C；0xhx10 5r令0 r 2, T2 1 C10( 2) 180.此所求常数项为180+22 5 5 520• (x 3x 2) (x 1) (x 2)在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为C；5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32，含x的项为1 4C52 x 80x•••展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) 240x，此展开式中x的系数为240+21 •设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r与T r+2的系数，即有•••展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2X4 7920X4三.拓展性例题分析- 1n例1在二项式,x ——的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.2如分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为:前三项的r 0,1,2.得系数为: t11 1^1^2 C n n,t32 2C n；-n(n 1),8由已知：2t21t1t3n 1 n(n1 3 81),• n 8通项公式为/ 16 3rr 1 —T r 1C8〒x 4 r 0,1,2 8,T r 1为有理项，故16 3r是4的倍数, 2• r 0,4,8.1 35 依次得到有理项为「x4,T5 C；—— x,T92 8 c8*x 1 2---- x256说明：本题通过抓特定项满足的条件, 利用通项公式求岀了r的取值，得到了有理项. 100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.例2 ( 1)求(1 x)3(1 X)10展开式中X5的系数；(2)求(X - 2)6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1 )可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：3 10 5 55 3用(1 X)展开式中的常数项乘以(1 X)展开式中的X项，可以得到C10X ;用(1 X)展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X4项可得到(3x)(G；x4) 3C：o X5；用(1 x)3中的X2乘以(1 X)10展开式3 5 3 Q 10 Q3C w x ；用(1 x)中的X3项乘以(1 X)展开式中的X2项可得到C 3 2 23x C10X C10X 5，合并同类项得X项为:(C10 C10 3C；。
二项式定理训练题(含答案)
二项式定理训练题一、单选题（共4题；共8分）1.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200二、填空题（共13题；共15分）5.二项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的二项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）11.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列方程，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据二项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利用二项式定理中的通项公式求出结果.二、填空题5.【答案】60【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该二项式展开式中常数项为，故答案为：60。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.的展开式中的常数项为（）A．﹣64B．﹣32C．32D．64【答案】B【解析】二项展开式的通项公式，当时，因此常数项为.【考点】二项展开式的应用.2.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【考点】二项式定理及应用3.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理4.若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anx n，则a1＋a2＋＋an的值为________．【答案】255【解析】由二项式定理可得通项公式：因含的项为第6项，故.令,令【考点】（1）二项式定理；（2）赋特殊值求二项式系数.5.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含项的系数为．【答案】80.【解析】由题意得，，；则的通项公式为，令，得的系数为.【考点】二项式定理.6.若，则；【答案】2014【解析】首先令可得；然后令得，即，代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.7.若.则( )A．20B．19C．D．【答案】C【解析】设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为则为左边展开式中的系数．由，左边展开式中的系数为1+=1-21=.故选：C．【考点】二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.8.被除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为,所以被除所得的余数是1.【考点】二项式定理应用9.若，则的值为____．【答案】－1【解析】令，由原式可得，令，由原式可得，可得．【考点】特殊值法．10.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）有理项为和；（2）系数绝对值最大的项为；（3）.【解析】（1）先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数，依题意得到，求解可得，进而化简该二项展开式的通项公式得到，由为整数可得出的值，进而得到所有的有理项；（2）先求出二项展开式中的系列，并设第项系数绝对值最大，列出不等式组，从中求解即可得出的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（3）先根据二项开展式的特征将变形为，逆用二项式定理即可得结果.（1）由，解得 2分因为通项： 3分当为整数，可取0，6 4分于是有理项为和 6分（2）设第项系数绝对值最大，则（8分）注：等号不写扣（1分）解得，于是只能为7 10分所以系数绝对值最大的项为 11分（3）13分16分【考点】二项式定理及其应用.11.若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________.【答案】2【解析】设第r＋1项的系数为，则Tr＋1＝C6r(x2)6－r r＝C6r x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C63＝，∴a3＝8，a＝2.12.设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)＝________.【答案】32x5【解析】f(x)＝C50(2x＋1)5＋C51(2x＋1)4·(－1)＋C52(2x＋1)3·(－1)2＋C53(2x＋1)2·(－1)3＋C54(2x＋1)·(－1)4＋C55(－1)5＝(2x＋1－1)5＝32x5.13.若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n··Cnn＝________.【答案】【解析】由已知第5项的二项式系数最大，则n＝8，又Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n Cnn＝n＝8＝.14.的展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）。
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C．2
D．4
[答案] C
[解析] (1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，
故(1＋2x)3(1－3x)5 的展开式中含 x 的项为 1×C35(－3x)3＋12xC05＝
－10x＋12x＝2x，所以 x 的系数为 2.
5．在 2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则 n 的最小值
由 C45•a＝10，得 a＝2.
9．若(1＋2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值
范围是( )
A.112＜x＜15 B.16＜x＜15
C.112＜x＜23 D.16＜x＜25
[答案] A
[解析] 由 T2>T1T2>T3 得 C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15.
[答案] D
[解析] x5 应是(1＋x)10 中含 x5 项与含 x2 项．
∴其系数为 C510＋C210(－1)＝207.
7．(2009•北京)在 x2－1xn 的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值
可以是( )
A．3
B．4
C．5
D．6Leabharlann [答案] D[解析] 通项 Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项
故 r 为偶数，20－r 是 3 的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20. 二、填空题 11．(1＋x＋x2)•(1－x)10 的展开式中，x5 的系数为____________． [答案] －162 12．(1＋x)2(1－x)5 的展开式中 x3 的系数为________． [答案] 5 [解析] 解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1 ＋x4－2x2)，展开式中 x3 的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5； 解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5. 13．若 x2＋1ax6 的二项展开式中 x3 的系数为 52，则 a＝________(用 数字作答)． [答案] 2 [解析] C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2. 14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6 的展开式中的常数项为 ________． [答案] －5 [解析] (1＋x＋x2)x－1x6 ＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6， ∴要找出 x－1x6 中的常数项，1x 项的系数，1x2 项的系数，Tr＋1＝ Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r， 令 6－2r＝0，∴r＝3， 令 6－2r＝－1，无解．
A．－27C610 B．27C410
C．－9C610 D．9C410
[答案] D
[解析] ∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令 10－r＝6，
解得 r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.
4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5 的展开式中 x 的系数是( )
A．－4 B．－2
是 15，则 2n＝3r，且 Crn＝15，验证 n＝6 时，r＝4 合题意，故选 D.
8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数
a 等于( )
A．－1 B.12
C．1
D．2
[答案] D
[解析] Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令 2r－5＝3，∴r＝4，
∴系数最大项为第 3 项 T3＝7•x35 和第 4 项 T4＝7•x74.
10．在 32x－1220 的展开式中，系数是有理数的项共有( )
A．4 项 B．5 项
C．6 项 D．7 项
[答案] A
[解析] Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，
∵系数为有理数，
∴(2)r 与 220－r3 均为有理数，
∴r 能被 2 整除，且 20－r 能被 3 整除，
二项式定理练习题及答案解析
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n 的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
[答案] B
2．(x－y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是( )
A．Crn
B．Cr＋1n
C．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n
[答案] D
3．在(x－3)10 的展开式中，x6 的系数是( )
令 6－2r＝－2，∴r＝4. ∴常数项为－C36＋C46＝－5. 三、解答题 15．求二项式(a＋2b)4 的展开式． [解析] 根据二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn 得 (a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝ a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4. 16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x2 的系数的最小值及此时展开式中 x7 的系数． [解析] 由题设 m＋n＝19，∵m，n∈N*. ∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1. x2 的系数 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171. ∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79＋ C710＝156. 17．已知在(3x－123x)n 的展开式中，第 6 项为常数项． (1)求 n； (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析] (1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r ＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r ＝(－12)r•Crn•xn－2r3.
∵第 6 项为常数项， ∴r＝5 时有 n－2r3＝0，∴n＝10. (2)令 n－2r3＝2，得 r＝12(n－6)＝2， ∴所求的系数为 C210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z 令 10－2r3＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k， 即 r＝10－3k2＝5－32k. ∵r∈Z，∴k 应为偶数，∴k 可取 2,0，－2， ∴r＝2,5,8，∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项． 它们分别为 C210•(－12)2•x2，C510(－12)5， C810•(－12)8•x－2. 18．若 x＋124xn 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系 数最大的项． [解析] 通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr. 由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8. 记第 r 项的系数为 tr，设第 k 项系数最大，则有： tk≥tk＋1 且 tk≥tk－1. 又 tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有： Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2 即 8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！ (k－2)！•(10－k)！×2. ∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得 3≤k≤4.
是( )
A．3
B．5
C．8
D．10
[答案] B
[解析] Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.
令 3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n 的最小值为 5.
6．在(1－x3)(1＋x)10 的展开式中 x5 的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207