高中数学二项式定理练习题
高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)
6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为 ． （2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-， 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)
高中数学二项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的二项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在二项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最大的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则二项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的二项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有二项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最小值是______．24．二项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（用数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（用数字作答）．30．二项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为••为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴又∴a=cos2xdx=2∵==由二项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的二项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的二项展开式的通项为T r+1，则T r+1=•x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3•=-20．故选A．6．在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：二项式的二项展开式的通项公式为=T r+1=••=（-1）r••32r-6•．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）•=-10，故选D．8．在二项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵二项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，又各项二项式系数之和为N，故N=2n，又M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设二项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=•35-r•（-1）r•，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为•（-1）3•35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最大的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为•x10-r•（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最大为，即第五项和第七项得系数最大，故选C．11．在（ax-1）6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的二项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是•a3•（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则二项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则二项式=的通项公式为T r+1=•（-1）r•46-r•x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为•42=210，故选：D．二．填空题（共__小题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的二项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=•a9-r••x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的二项式系数为==84；又的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=•x10-2r•（-2）r•x-3r=（-2）r••x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4•=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（-x）2+C3112（2x）1•C4113（-x）1+C3212（2x）2•C4014（-x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（-1）+C32•22•C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=•（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有二项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为•（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有二项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最小值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最小为5故答案为524．二项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=•（-2）r•x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（用数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=•（-2）r•x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是•（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（用数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．二项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：二项式展开式的通项为T r+1=C6r•x6-r•（-）r=（-1）r•C6r•，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2•C62•x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。
高中数学-二项式定理精讲精练
高中数学-二项式定理精讲精练1．二项式定理（1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .（2）二项展开式的通项 二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第__________项：1C k n k k k n T a b -+=.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()na b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为_________.K 知识参考答案：1．（1）n +1C ({0,1,2,,})kn k n ∈L （2）1k +2．（1）和（2）①相等②2C nn 1122C,Cn n nn-+③2nK —重点 二项式定理及二项展开式的通项公式K —难点 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得1023010rr r -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Z Z ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为， ,，即22456345,,48256x x . 【名师点睛】第m 项是令1k m +=；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式(1)()n x n *+∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n Τx +=，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-，因为n *∈N ，所以6n =，故选C ．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N 中，,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,a b 的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x 的奇次项系数和为,x 的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为.（2）令x ＝y ＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对,a b的一切值都成立，在做题时，,a b的-，1或0.值一般取1三、整除、求余问题有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.∈N)能被25整除.【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，则n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除，当n ＝1时，2n +2·3n ＋5n －4＝25. 所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 四、混淆项的系数与项的二项式系数【例5】若28()a x x -的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .【错解】28()a x x-的展开式中各项系数之和为012888888C C C C 2++++=L .【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【正解】28()a x x -的展开式的通项为82282188C ()C ()r r r r r r rr T x a x a x---+=-=-,令8-2r =0,解得r =4,则·(-a 2)4=1120,解得a 2=2,故2882()()a x x x x-=-，令x =1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.【名师点睛】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C kn ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C kn 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.1．10(1)x +的二项展开式中的一项是A ．45B ．290xC．3120x D．4252x2．二项式102xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为A．1B．1-C．102D．03．化简得A．B．C．D．4．二项式的展开式中只有一项的系数为有理数,则的可能取值为A．6B．7C．8D．95．的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中的常数项为A．6B．9C．12D．186．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝A．0B．1C．11D．127．()73x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）8．已知,则．9．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.（1）求的值;（2）求展开式中二项式系数最大的项; （3）若+,求的值.10．设，求下列各式的值：（1）a 0.（2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100. （3）a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.（4）(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. （5）|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.11．若()332d a x x x -=+⎰，则在的展开式中，的幂函数不是整数的项共有A ．13项B ． 14项C ．15项D ． 16项12．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .13．设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．14．程序框图如图所示,若输入0s =, 10n =, 0i =,则输出的为__________．15．已知展开式的二项式系数之和为256,展开式中含项的系数为112.（1）求的值;（2）求展开式中含项的系数.16．（四川）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 17．（新课标全国Ⅰ）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）18．（山东）若ax 25x的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.1．C 【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有34120T x =.2．C 【解析】展开式的二项式系数和为012101010101010C C C C 2++++=L .故选C.3．B 【解析】根据题意，可知，故选4．B 【解析】展开式的通项为=,而展开式中只有一项的系数为有理数,则为有理数,即为有理数,即为3的倍数,为2的倍数.若,则的可能取值为7.选B.5．B 【解析】由题意可得，令x=1,则，又各项的二项式系数之和为，所以，解得.所以该二项式展开式的通项为.令，得该二项式展开式的常数项为.故选B.6．D 【解析】201220120201212011201112012201220122012201251(521)C 52C 52C 52C a a a =-=-+-++++L ， 由于020121201120111201220122012C 52C 52C 52-+-L 含有公因数52，故能被52整除，即能被13整除，要使512012＋a 能被13整除，又a ∈Z ，且0≤a ＜13，则113a +=，故12a =.故选D.7．-189 【解析】由二项式定理得()71713C rrr rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．8．-5 【解析】,由二项式定理得,故,所以．9．【解析】（1）由题意得,解得.（2）由（1）知,二项式系数最大的值为,二项式系数最大的项为第四项,则.（3）=,令,得.10．【解析】（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.（2）令x＝1，可得(*)，所以.（3）令x＝－1，可得.与（2）中(*)式联立相减得.（4）原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)](a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)].（5）因为，所以a2k －1＜0(k∈N*).所以|a 0|＋|a1|＋|a 2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100.11． C 【解析】，由得，当时，的幂函数不是整数，即共有15项，选C.12．【解析】26()baxx+展开式的通项为266123166C()()Cr r r r r r rrbT ax a b xx---+==，令1233,r-=得3r=，所以，由63336C20a b-=得1ab=，从而2222a b ab+≥=，当且仅当a b=时，22a b+的最小值为.13．【解析】由图易知0121,3,4a a a===，则1221211C3,C()4n na aa a====，即23(1)42nan na⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a=．14．1024 【解析】由程序框图可知，该程序执行的是求0121010101010C C C C++++L的和，易知012101010101010C C C C21024++++==L．15．【解析】（1）由二项式系数之和为,可得,设含的项为第项,则,故,即,则,解得,,.（2）由（1）知,故含项的系数为.16．A 【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r rr T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.17．10【解析】5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2))2C r rrr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 18．2-【解析】因为5102552155C ()(C r r rr r rr T ax a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此2525C 80 2.a a -=-⇒=-。
二项式定理(2)
9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
(完整word版)高中数学二项式定理练习题.doc
选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在 － 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在 － 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题． ＋ ＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数 ，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数 －34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ， ， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数 ，n －2r∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，k ！ (8－k)！ 即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。
高中数学二项式定理精选题
二项式定理精选题23道一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．602．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．353．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．924．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．805．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．806．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =，5a =．11．在5(x -的展开式中，2x 的系数为 ．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 ．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．14．281()x x -的展开式中7x 的系数为 .（用数字作答）15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 ． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =，123a a a ++=．18．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ．19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．四．解答题（共4小题）20．已知在n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．二项式定理精选题23道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论． 【解答】解：25()x x y ++的展开式的通项为2515()r rrr T C x x y-+=+，令2r =，则23()x x +的通项为23633()k k kkkC x x C x--=，令65k -=，则1k=，25()x x y ∴++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =．故选：C ．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 2．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：621(1)(1)x x ++展开式中：若221(1)(1)xx-+=+提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数：若21(1)x+提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数：由6(1)x +通项公式可得6r r C x ．可知2r =时，可得展开式中2x 的系数为2615C =． 可知4r=时，可得展开式中2x 的系数为4615C =． 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为：151530+=．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．92【分析】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 【解答】解：已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37n nC C =，可得3710n=+=．10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为：1091222⨯=．故选：D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．80【分析】5(2)xy -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrr rr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r=，解得3r=．令53r -=，2r=，解得2r=．即可得出．【解答】解：5(2)x y -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r =，解得3r =． 令53r -=，2r=，解得2r=．5()(2)x y x y ∴+-的展开式中的33x y 系数23332552(1)2140C C =⨯-+⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80【分析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2rrr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r=，由此能求出252()x x +的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r rr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r =，252()xx∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．【点评】本题考查二项展开式中4x 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解． 【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 【分析】由题意得，46n nC C =，再由组合数的性质，求出10n=，再令1x=结合展开式的各项系数之和为1024求出a ，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项． 【解答】解：因为2((0)na x a+>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴4610n n C C n =⇒=，展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=，0a >， 1a ∴=，原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()rr rr rr T C x C x--+=⋅⋅=，展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对， 令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对．故选：B C D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目． 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设4250125()()(1)f x a x x a a x a x a x=++=+++⋯+，令1x =，则0125a a a a f+++⋯+=（1）16(1)a=+，①令1x=-，则0125(1)0a a a a f -+-⋯-=-=．②①-②得，1352()16(1)a a a a ++=+，所以23216(1)a ⨯=+，所以3a=．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数．【解答】解：5(2x +的展开式中，通项公式为：5552155(2)2r r rr rrr T x C x---+==ð，令532r -=，解得4r=3x∴的系数45210C =．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =16 ，5a =．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，5a 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x+中x 的系数是4，常数是4，4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 11．在5(x-的展开式中，2x 的系数为52．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：5(x-的二项展开式的通项为103521551(()2rr rrr rr T C xC x--+=⋅⋅-=-⋅⋅．由10322r-=，得2r=．2x∴的系数为22515()22C -⋅=．故答案为：52．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项． 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrr r rrrr r r r T C x C xC xx---+=-=-=-8484rrx--．∴当840r -=，即2r=时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是1系数为有理数的项的个数是 ．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式9)x 的展开式的通项为9921992rrrrr rr T C xC x--+==．由0r =，得常数项是11T =当1r=，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．281()x x -的展开式中7x 的系数为56- .（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：281631881()()(1)r rrr r rr T x xx--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()xx∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【分析】由41435(2)10C x x=，可得到答案．【解答】解：41435(2)10C x x=，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，26n nC C =8n ∴=展开式的通项8821881()rrr r rr T C x C xx--+==令822r -=-可得5r=此时系数为5856C =故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =80 ，123a a a ++=．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可． 【解答】解：52345012345(12)x a a x a xa x a xa x+=+++++，则4445280a C =⋅=．1223123555222a a a C C C ++=⨯+⨯+3130=．故答案为：80；130．【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．18．在61()4xx-的展开式中，2x 的系数为1516．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数． 【解答】解：61()4x x-的展开式的通项公式为66216611()()()44r rrrr rr T C x C xx--+=-=-，令622r -=，解得2r=，∴展开式中2x 的系数为261151616C ⨯=，故答案为：1516．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值． 【解答】解：而项式2521235555521864111111(2)(1)(2)(xxC CC C Cxxxxxx+-=+⋅⋅-⋅+， 故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．四．解答题（共4小题）20．已知在1n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）由二项式定理，可得n-的展开式的通项，又由题意，可得当5r=时，x的指数为0，即203n r -=，解可得n 的值，（2）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为2，可得10223r-=，解可得r 的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为整数，可得当2r=，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得n-的展开式的通项为112333111()()()22n rrn rrr rr n n T C x x C x---+=-=-，又由第6项为常数项，则当5r =时，203n r -=，即1003n -=，解可得10n=，（2）由（1）可得，10231101()2rr rr T C x-+=-，令10223r-=，可得2r=，所以含2x 项的系数为2210145()24C -=，（3）由（1）可得，10231101()2rrrr T C x-+=-，若1r T +为有理项，则有1023rZ-∈，且010r 剟，分析可得当2r=，5，8时，1023r-为整数，则展开式中的有理项分别为22456345,,48256x x--．【点评】本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项． 21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）第1k+项的二项式系数为k n C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11k k k k r r r r +-⎧⎨⎩……【解答】解：（1）4652n n nC C C +=，221980n n ∴-+=，7n ∴=或14n=．当7n=时，展开式中二项式系数最大的项是4T 和5T ，4T ∴的系数3471()22C =3352=，5T 的系数4371()22C =470=．当14n=时，展开式中二项式系数最大的项是8T ．8T ∴的系数77141()22C =73432=．（2）由01279n n n C C C ++=，可得12n=，设1k T +项的系数最大．12121211(2)()(14)22x x +=+，∴1112121112124444k k k k k kk k C C C C --++⎧⎪⎨⎪⎩……9.410.4k ∴剟，10k ∴=，∴展开式中系数最大的项为11T ．121011121()42T C =10101016896xx=．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项01a =，在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-，从而求得1237a a a a +++⋯+的值．（2）在所给的等式中，分别令1x=、1x=-，可得2个等式，化简这2个等式即可求得1357a a a a +++的值．（3）用①加上②再除以2可得0246a a a a +++的值．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得0127||||||||a a a a +++⋯+的值．【解答】解：（1）已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，∴常数项01a =．在所给的等式中，令1x=可得012371a a a a a ++++⋯+=-，12372a a a a ∴+++⋯+=-．（2）在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-①，令1x=-可得712373a a a a a -+-+⋯-=②，用①减去②再除以2可得13571094a a a a +++=-．（3）用①加上②再除以2可得02461093a a a a +++=．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得7127||||||||32187a a a a +++⋯+==．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．【分析】（1）将n 分别用1，2 代替求出1C ，2C ，利用多项式的乘法展开，求出1C ，2C 的小数部分1B ，2B ，求出11C B ，22C B 的值．（2）利用二项式定理表示出n C ，再利用二项式定理表示出211)n -，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出n n C B 的值．【解答】解：（1）因为211)n n C -=，所以11C =+，12A =，11B =，所以112C B =；又321)10C =+=+，其整数部分220A =，小数部分210B =-，所以228C B =．（2）因为210211222221212121211)n n n n n n n n n n C C C C C ---------=+=++⋯+①而2121122221212121211)n n n n n n n n n C C C C ---------=-+⋯+-②①-②得：2121122324212121211)1)2()n n n n n n n n C C C ---------=++⋯+而211)1n -<-<，所以21211)1)n n n A --=--，211)n nB -=所以2121211)1)2n n n n nC B ---=+-=．【点评】解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。
二项式练习
例1 展开（1+x1）4 解：（1+x 1）4=1+14C (x 1)+24C (x 1)2+34C (x 1)3+44C (x1)4 =1+x 4+26x +34x +41x 注：本题对二项式定理的简单应用，目的在于加深学生对二项式定理中的a,b 可以为代数式。
例2求（x+a ）12展开式中的倒数第4项。
解：（x+a ）12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项。
展开式的第10项是T 9+1=912C x 12-9a 9=312C x 3a 9=220x 3a 9例3求（1+2x ）7展开式中的第4项的二项式系数及第4项的系数。
解：（1+2x ）7展开式中的第4项的二项式系数是37C =35，（1+2x ）7展开式中的第4项是 T 3+1=37C 17-3(2x)3=37C 23x 3=35⨯8x 3=280x 3所以展开式中的第4项的系数是280 .[小结] (3)：应注意二项展开式的某一项的二项式系数与系数是不同的概念。
三、练习：(1) 写出（p+q ）7的展开式。
(2) 求(3a+2b)6的展开式的第3项。
答案：(1)p 7+7p 6q+21p 5q 2+35p 4q 4+21p 3q 5+7p 2q 6+q 7;(2) T 2+1=26C (3b)4(2a)2=26C 3422b 4a 2=4860b 4a 2四、小结：⑴二项式定理(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…r n C a n-r b r +…+n n C b n 是利用组合的方法作实验猜想得到展开式的。
⑵二项展开式有以下特点：①项数:共有1n +项;②系数:依次为o n C ,1n C ,2n C ,,,r n n n C C ,这里r n C ()0,1,2,,r n = 称为二项式系数. 二项展开式的通项C r n a n-r b r 叫做二项展开式的通项，记作T r+1= C r n a n-r b r .(r=0、1、……n)。
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选修2-3 1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( )
A ．2n
B ．2n ＋1
C ．2n －1
D ．2(n ＋1)
2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )
A ．C r n
B ．
C r ＋1n
C ．C r －1n
D ．(－1)r －1C r －1n
3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410
C ．－9C 610
D ．9C 410
4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
5．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3
B ．5
C ．8
D ．10
6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
7．(2009·北京)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于
( )
A ．－1 B.12 C ．1 D ．2
9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是
( )
A.112＜x ＜15
B.16＜x ＜15
C.112＜x ＜23
D.16＜x ＜25
10．在⎝
⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项
B ．5项
C ．6项
D ．7项
二、填空题
11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________．
12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________．
13．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．
三、解答题
15．求二项式(a ＋2b )4的展开式．
16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．
17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含x 2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
18．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．
1.[答案] B 2[答案] D 3 [答案] D
[解析] ∵T r ＋1＝C r 10
x 10－r (－3)r .令10－r ＝6， 解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410.
4[答案] C
[解析] (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，
故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，
所以x 的系数为2.
5[答案] B
[解析] T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ()1x 2r ＝2n －r ·C r n
x 3n －5r . 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z .
∴n 的最小值为5.
6[答案] D
[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．
∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.
7[答案] D
[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x
)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.
8[答案] D
[解析] C r 5·x r (a x
)5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·
a ＝10，得a ＝2. 9[答案] A
[解析] 由⎩⎨⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧
C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 10[答案] A
[解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭
⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，
∴(2)r 与220－r
3均为有理数，
∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，
故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.
∴r ＝2,8,14,20.
11[答案] －162
12[答案] 5
[解析] 解法一：先变形(1＋x )2(1－x )5＝(1－x )3·(1－x 2)2＝(1－x )3(1＋x 4－2x 2)，展开式中x 3的系数为－1＋(－2)·C 13(－1)＝5；
解法二：C 35(－1)3＋C 12·C 25(－1)2＋C 22C 15
(－1)＝5. 13[答案] 2
[解析] C 36(x 2)3·()1ax
3＝20a 3x 3＝52x 3
，∴a ＝2. 14[答案] －5 [解析] (1＋x ＋x 2)()x －1x 6
＝()x －1x 6＋x ()x －1x 6＋x 2()x －1x 6，
∴要找出()x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x 2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，
令6－2r ＝0，∴r ＝3，
令6－2r ＝－1，无解．
令6－2r ＝－2，∴r ＝4.
∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.
15[解析] 根据二项式定理
(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n n 得
(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.
16[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.
∴⎩⎨⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎨⎧ m ＝2n ＝17，…，⎩⎨⎧
m ＝18
n ＝1
. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12
(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156. 17[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x
)r ＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13
)r ＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3
. ∵第6项为常数项，
∴r ＝5时有n －2r 3
＝0，∴n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454
. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎨⎧ 10－2r 3∈Z 0≤r ≤10r ∈Z
令10－2r 3
＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝
10－3k 2＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2，
∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12
)5， C 810·(－12
)8·x －2. [解析] 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12
，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.
又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：
⎩⎨⎧ C k
－18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2
即⎩⎪⎨⎪⎧ 8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.
∴⎩⎨⎧
29－k ≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.
3 5和第4项T4＝7·x
7
4
.
∴系数最大项为第3项T3＝7·x。