二项式定理典型例题

1. 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+4

21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公

式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

4324121C 21)(C r

n r r n r r n r n r x x x T --+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8

1

12312-+=+=n n n t t t ，

∴8=n

通项公式为

14

3168

1,82,1,02

1C +-

+==r r

r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，

∴.8,4,0=r

依次得到有理项为22

888944

8

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类

似地，100

3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

系数和为n 3．

2.（1）求10

3

)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21

(++

x

x 展开式中的常数项．

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）10

3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5

510C x ；用

3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到5

31033102C 3C 3x x x =⋅；用 3

)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到5

2102210

3C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为： 552

1031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．

（2）2

121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 12

51)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=++x x x x ． 由121⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+x x 展开式的通项公式r

r r

r r r x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 6

12=．

说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过

合并项转化为二项式展开的问题来解决．

3. 求6

2)1(x x -+展开式中5x 的系数．

分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12

x x -+把它看成二项式展开．

解：方法一：[]

6

262)1()1(x x x x -+=-+

-+++-+=4

4256)1(15)1(6)1(x x x x x

其中含5x 的项为5

5145355566C 15C 6C x x x x =+-．

含5x 项的系数为6．

方法二：[]

6

262)(1)1(x x x x -+=-+

62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=

其中含5x 的项为5

55

566)4(15)3(20x x x x =+-+-． ∴5x 项的系数为6．

方法3：本题还可通过把6

2)1(x x -+看成6个2

1x x -+相乘，每个因式各取一项相乘

可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到5

56C x ．

3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 2

31336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到2

22516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5

525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6． 4.求证：（1）1

212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；

（2）)12(1

1C 11C 31C 21C 1

210-+=+++++

+n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证

明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质

n

n n n n n 2C C C C 210=++++ ．

解：（1）1

1C )!

()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅

=k n k

n n k n k n n k n k n k n k n k k

∴左边1

11

10

1C C C ----+++=n n n n n n n

=⋅=+++=-----1

1111012)C C C (n n n n n n n 右边．

（2）

)!

()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n

--=-⋅+=+ 11C 1

1)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=

k n n k n k n n ． ∴左边1

12111C 11C 11C 11++++++++++=

n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(1

1)C C (C 1111

1

2111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质

求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求

10C 2C 2C 2C 22

108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与

10)21(+的展开式接近，但要注意：

10

101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(2110

1099108210+++++=