LU分解

追赶法计算公式
γ i = ai
( i = 1,2 , ⋯ , n − 1) ( i = 2 ,3, ⋯ , n ) (i = 2, ⋯ , n )
a 1 = b1 , β 1 = c 1 a 1 a i = b i − a i β i −1
β i = c i ( bi − γ i β i −1 )
3 2
特殊方程组的解法
1.追赶法 追赶法
2.LDLT分解法 分解法
1.追赶法
• 追赶法与稀疏线性方程组 •
追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得 到对三对角线性方程组的快速解法。
• 因三对角矩阵的非零元素呈“带状”， 我们也因此将它叫做带状矩阵。
• 内容:LU分解. • 关键词: • 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩 阵L和U的乘积 ,其中L和U分别是下三角和 上三角矩阵 ,而且要求U的对角元素都是1. • 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩 到一个数组中,而且还可以存储在原来的系 数矩阵A的数组中.这种LU分解常被称为紧 凑格式.
实现 求解
A 的 Crout Ax
分解后 当 A = LU 时，可由 计算公式 Ly = d 及 Ux = y 解出
= d
从而得之对角方程组的 c1 β1 = a1
β
i
=
bi d a
1 1 i n i
ci − aiβ
i−1
y1 = y x x 将计算 将计算
i n i
= (d = y = y
− ai y − β ix
如果上带宽为q，下带宽为p的 阶带状矩阵 定理 如果上带宽为 ，下带宽为 的n阶带状矩阵 A有 Doolittle分解 。 A=LU， 则 L是下带宽为 的 有 分解。 是下带宽为p的 分解 ， 是下带宽为 单位下三角矩阵， 是上带宽为 的上三角矩阵。 是上带宽为q的上三角矩阵 单位下三角矩阵 ， U是上带宽为 的上三角矩阵 。
综合以上，求解出三对 角方程组的递推公式： y1 = d 1 k = 2,3, ⋯ , n x k = ( y k − c k x k +1 ) q k， k = n − 1, ⋯ ,1
用这组公式解线性方程 组的方法亦称为追赶法 。 追赶法实际上也是 Gauss 消元法中的变形 Crout 或Doolittle 分解。因而较特别 ， 求解公式也比较简单， 计算量、乘除法次数仅 有5n − 4次，若另外增加一个方 程 组Ax = d 2，只需增加 3n − 2次乘除法运算。追赶法 的特殊求解过程，节省 计算时 间和存贮空间，但是因 为追赶法来源于 Gauss 消元法，因此也存在 Gauss 消元法 的缺点，即当 q k = 0时不能进行。
阵 Doolittle 分解形式 c1 1 b1 a p b2 c2 2 2 = ⋱ ⋱ ⋱ a n −1 b n −1 c n −1 an bn 由矩阵乘法及相等定义 ，有： q 1 = b1 p k q k −1 = a k， q k + p k γ k −1 = b k， γ 于是得计算 q 1 = b1 p k = a k q k −1 ( k = 2 ,3, ⋯ , n ) γ k −1 = c k −1 q k = b k − p k γ k −1 若记 d = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) T ，则三对角方程的矩阵 可由 Ly = d 及 Ux = y 解出。 表示 Ax = d ， 当 A = LU 时， 1 p3 q1 1
现代电路分析
第一章
矩阵运算的计算机方法及稀疏距阵
广东海洋大学 电子工程系 2007.8
矩阵运算的计算机方法
第二节
高斯消元法解线性方程组
广东海洋大学 电子工程系 2007.8
矩阵运算的计算机方法
第三节
LU分解法解线性方程组 分解法解线性方程组
广东海洋大学 电子工程系 2007.8
假定我们能把矩阵A写成下列两个矩阵相乘 假定我们能把矩阵 写成下列两个矩阵相乘 的形式： 的形式：A=LU 其中L为下三角矩阵 为下三角矩阵， 为上三角矩阵 为上三角矩阵。 其中 为下三角矩阵 ， U为上三角矩阵 。 这 样我们可以把 Ax=b 线性方程组 写成 Ax=（LU)x=L( U x ) = b （ Ly=b 令 U x=y,则原线性方程组 Ax=b 则原线性方程组 Ux=y 于是可首先求解向量 首先求解向量y使 于是可首先求解向量 使 Ly=b 然后求解 Ux=y,从而求解线性方程组 Ax=b的 从而求解线性方程组 的 目的. 目的
其中 a i , β i , γ i 时待定常数。比较 ( B )即根据矩阵乘法及相等 定义，有： b1 = a 1 , c1 = a 1 β 1 ; a i = γ i , bi = γ i β i −1 + a i (i = 2, ⋯ , n ) 由比较系数所得关系式 推得计算 {a i }, {β i }, { i } γ 的计算公式 c i = a i β i (i = 2, ⋯ , n − 1)
k =1 n k =1 1 n 1
j = 1,2, ⋯ , n
ai1 = ∑ lik ⋅ u k 1 = ∑ lik ⋅ uk 1 = li 1 ⋅ u11
k =1 k =1
i = 2, ⋯ , n
l ii = 1
得公式 u1j=a1j
j=1,2,…,n
当i ≤ j时,有 li1=ai1 / u11 aij = ∑ l1k ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj + uij
b1 a 2 对应的系数矩阵 A =
设有方程组Ax=d，其中A为三对角矩阵。 ，其中 为三对角矩阵 为三对角矩阵。 设有方程组 假设系数矩阵A满足条件 满足条件： 假设系数矩阵 满足条件：对A作Crout分 作 分
解形式为： 解形式为：
b1 a 2 c1 b2 α1 γ 2 = cn−1 bn 1 β1 1 β 2 ⋱ ⋱ 1 βn−1 αn 1
(
)
= a ij
a ij =
∑l
k =1
n
ik
⋅ u kj =
max {i , j }
∑l
k =1
ik
⋅ u kj
根据矩阵乘法及相等的定义,有
a1 j = ∑ l1k ⋅ u kj = ∑ l1k ⋅ u kj = l11 ⋅ u1 j = u1 j
k =1 n k =1 i k =1
i=2,3,…,n n
i
i −1
a ji = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki + l ji ⋅ uii
k =1 k =1 k =1
i −1
得 Doolittle 分解公式 u ij = a ij − l ji = ( a ji −
∑l
k =1 i −1 k =1
i −1
ik
⋅ u kj
jk
⋯ j≥i ⋯ j>i
∑l
⋅ u ki ) / u ii
Hale Waihona Puke 在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。 在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。 它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不 它的优点是存储量很省。 必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再 必存储， 记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 记录在程序中， U贮存起来。即：下三角（包括对角元素）存储L各元 贮存起来。 下三角（包括对角元素） 素 而上三角存储U的元素。 的元素。 再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i） 和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全 中用到一次以后就不再出现了， 可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中 的单元， 的相应元素，即： 的相应元素，
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … … ...
u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n ln1 ln2 ln3 … unn
c2
α2
⋱ ⋱
⋱ ⋱ ⋱ an−1 bn−1 an
γ n−1 αn−1 γn
Li ⋅U
j
0 ⋮ 0 = 0 , 0 , ⋯ γ i − 1 ,α i ,0 , ⋯ ⋯ , 0 β 1 ⋮ 第j个分量 个分量 0
第i个分量 个分量
(
)
j −1
= a ij
LU分解 分解） 根据A求得L和U（LU分解）
l11 l l 21 22 l31 l32 l33 • ⋱ ⋮ ln1 ln 2 ⋯ lnn
1 u 12 u13 ⋯ u1n 1 u 23 ⋯ u 2 n ⋱ ⋮ 1 u n −1, n 1
三对角线性方程组： 三对角线性方程组：
b1 x 1 + a x + 2 1 c1 x 2 b2 x 2 + c2 x3 ⋯ a n −1 x n −1 + b n −1 x n −1 + a n x n −1 + c1 b2 ⋱ c2 ⋱ a n −1 ⋱ b n −1 an c n −1 x n bn x n = = c n −1 bn d n −1 dn = = d1 d2
i−1
) (bi − a iβ