有限周期电磁结构的区域分解快速算法

（１．西安电子科技大学天线与微波技术国家重点实验室，陕西西安
吕志清２
７１００７ｌ；２．东南大学毫米波国家重点实验室。江苏南京２１００９６）
［摘 要】 针对有限周期电磁结构，提出一种高效率的有限元分裂与互连算法．把原求解区域划分成若干个子
区域，显著地降低了问题的复杂度．根据广义变分原理，采用拉格朗日乘子在子区域之间交换信息，并建立其
电大问题的未知数非常多，使得传统的有限元法、矩量法等无法直接使用．区域分解算法（Ｄｏ眦ｉｎ
Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ，ＤＤＭ）是解决这个矛盾的一条有效途径¨。１０。，其基本思想是：采用“分而治之”的策略，把 原来很大的求解区域分成若干个小的子区域，使原来的大问题变成一些易于处理的小问题，然后分别求解每 个子区域，通过在子区域之间交换信息来获得原来整个区域的解．由于每次只需要处理一个子区域，因此能
器篙堋
２００７年７月
ｃＨ。ＮＥｓＥ，总ＮＡＬ磊ｃ。Ｍ黧卧耵黑Ｌ Ｐ唧ｓ。ｃｓ ｃＨＩＮＥｓＥ ＪｏｕＲＮＡＬ ｏＦ ｃｏＭＰｕＴＡＴＩｏＮＡＬ ＰＨＹｓＩｃｓ
［文章编号】 １００１．２４６ｘ（２００ｒ７）０４－０４３９．０６
¨ｏ：茹 Ｊｕｌ．ｊ ２０ｃｒ７
有限周期电磁结构的区域分解快速算法
安 翔１，
够大幅度降低存储量．文［１，２］首先建立一种良态的传输条件，即Ｄｅｓｐｒ６ｓ传输条件，从数学上论证了采用区 域分解算法求解ＨｅｌｌＩｌＩＩｏｌｔｚ方程和ＭａｘｗｅＵ方程的可行性．在计算电磁学领域，文［３，４］采用“洋葱”式分区，将 有限元和Ｄｅｓｐ飚ｓ传输条件相结合分别分析了二维、三维电磁散射问题．文［５］根据矩阵方程的解空间理论并 结合不变性测试方程，提出了基于基础解系的区域分解算法（Ｐａｎｉａｌ Ｂａｓｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒｓ．Ｄｏｍａｉｎ ＤｅｃｏＩＩｌｌ）０ｓｉｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ，ＰＢＳｖ．ＤＤＭ）．文［６］则将ＰＢｓｖ—ＤＤＭ应用于二维电磁散射问题．尽管ＰＢＳｖ．ＤＤＭ具有良好的并行可扩 展性和很高的计算效率，然而为了使解的相位保持一致，它必须重叠一部分网格，并记忆子区域分界面两侧 网格上的计算结果，这增加了网格剖分的难度和存储量．在计算结构力学领域，Ｆａｒｈａｔ提出了有限元分裂与 互连算法（Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｔｅ耐ｎｇ ａｎｄ Ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ，ＦＥｒｌｌ）＂１．ＦＥ，Ｉ＇Ｉ不需要重叠网格，也不需要记忆子区域分界 面两侧网格上的计算结果，但是，由ＦＥ，Ｉ＇Ｉ得到的系数矩阵往往是不可逆的，需要先采用Ｍ００地．Ｐｅｎｒｏｓｅ伪逆消 除其刚体运动模式以后才能求解，难以直接应用于电磁问题．文［１０］研究了两级ＦＥｒｌｌ算法在声学中的应用；
‘＂
＾
‘
＾
也
其中．：ｌ。，Ａ：，Ａ，和｜：Ｉ．分别是对应于４条连接边界ｒ．，ｒ２，Ｌ和ｎ的拉格朗日乘子，这样，式（３）和（６）的驻
值问题就转化为修正泛函Ｆ。的驻值问题．
采用有限元方法，在每个子区域上独立地剖分网格，使相邻子区域在连接边界上的网格保持匹配．令 Ｆ。对ｉｌ；（ｆ＝ｌ，２，３，４）的一次变分等于零，得到
全匹配层（ＰＭＬ）、Ｄｅｓｐ砖ｓ传输条件等，使该子区域所对应的矩阵成为可逆矩阵．
假设在相邻子区域的连接边界上施加Ｄｅｓｐｒ；６ｓ传输条件．为简单起见，仅考虑两个子区域的情况．图３是
区域划分示意图，其中Ｊ１ｍ是连接边界，几。和ｎ：分别是子区域ｎ。和ｎ：在１１。。：上的外法向．图４是连接边
界附近的网格剖分示意图，图中ｆ和ｍ是线性三角形单元上的两个节点．相应的Ｄｅｓｐ诺ｓ传输条件为
（１５） （１６）
其中￡枷是节点Ｚ和ｍ之间的距离． 将增量矩阵累加到相应子区域的系数矩阵，可以证明系数矩阵是可逆的ｎ ０’¨】．
１．３基本子区域 虽然上述方法的效率远高于传统算法，但是，当处理诸如光子晶体等有限周期结构时，存在两个主要缺
点：①没有利用“周期”性；②对于子区域数不是可扩展的．为此，引入基本子区域来求解方程（１１）．以图５所 示的任意媒质和形状的有限周期结构为例，按照几何位置，有限周期结构的基本单元可以分为３种：
曰儿
Ｏ
０
曰４－ ≠。
曰１２ 口２２
Ｏ
０
庐：
（９）
０
口２３ 曰３３ ０
≠３
０ ０ 曰弭 曰“八香。
式中曰。与式（８）的口：互为转置，其作用是将第ｉ个子区域上的场值映射到第＿『条连接边界上，相当于一个提 取算子．
将式（８）和式（９）写成分块矩阵的形式
（：刊扎∽
㈤，
得到关于拉格朗日乘子Ａ的方程
口Ｋ－１口７Ａ＝曰Ｋ－１，．
①角单元．图６中用黑色表示．包括左上角单元（ｔ叩－ｌｅｆｔ ｃｅｌｌ，ＴＬＣ），右上角单元（ｔｏｐ－堍ｈｔ ｃｅｌｌ，ＴＲｃ），左下 角单元（ｂｏｔｔｏｍ—ｌｅｆｔ ｃｅｌｌ，ＢＬＣ），右下角单元（ｂｏｔｔｏｍ．ｒｉ加ｔ ｃｅｌｌ，ＢＲｃ）．
②边单元．图６中用灰色表示．包括上部单元（ｔｏｐ ｃｅｌｌ，ＴＣ），下部单元（ｂｏｔｔｏｍ ｃｅｌｌ，Ｂｃ），左部单元（１ｅｆｔ ｃｅｌｌ，Ｌｃ），右部单元（ｒｉｇｌｌｔ ｃｅＵ，Ｒｃ）．
万方数据
第４期
安翔等：有限周期电磁结构的区域分解快速算法
鬈Ｉ Ｏ ０ ０ 咖。
口Ｔｌ 曰ｔ２ Ｏ ０ Ａｌ
０ 置２ Ｏ
０
如
Ｏ 曰： 曰品 Ｏ Ａ２
＋
（８）
０
Ｏ 置３ ０
叽
Ｏ
Ｏ 曰三 曰三 Ａ３
０ Ｏ ０ Ｅ九
Ｂ三 ０
０ Ｂ二 Ａ．
其中Ｋ，Ｚ分别是第ｉ个子区域的只（≯；）经离散后得到的系数矩阵和右端列向量；啦是由第ｉ个子区域上的
图８基本子区域 Ｆｉｇ．８ Ｂ硒ｉｃ ｂｌｏｃＩ【８
根据有限元方法，一个基本子区域对式（１１）的贡献为
式（１１）中的矩阵置并非总是可逆的…，在物理上表现为存在谐振．实际上，任何一个矩阵Ｋ。（￡＝ｌ，２，
３，４）出现奇异，上述算法都会失效．为了克服此问题，需要利用电磁场唯一性定理【Ｉ引，即：对于一个有耗区
域，如果给定其边界上的切向场分量，就可以唯一地确定此区域内部的场．因此，如果一个子区域上的媒质是
有耗的，则其相应的矩阵是可逆的；如果子区域内不存在损耗，则应使该子区域包含损耗性的边界条件．如完
［收稿日期］２００６一０４一０６；【修回日期】２００６—１０一３０ 【作者简介】安翔（１９ｒ７０一），男，陕西，副教授，博士，从事计算电磁学中的快速算法方面的研究．西安电子科技大学２２３信箱．
万方数据
４４０
计
算
物
理
第２４卷
１ 基本理论
１．１ 电磁问题的有限元分裂与互连算法 为简单起见，本文以二维问题为例，但很容易推广到三维．图１所示的二维电磁问题可以表达为：在给
未知场量组成的列向量；Ａ；是由第ｆ条连接边界上的拉格朗日乘子组成的列向量；口；的作用是将第，条连接
边界上的拉格朗日乘子映射到第ｉ个子区域，相当于一个扩充算子，其每一行仅有一个非零元素“ｌ”或
“一ｌ”，其余元素都是“０”，而这个非零元素的位置恰好对应着连接边界上一个节点的编号．
令Ｆ‘对Ａ；（ｆ＝ｌ，２，３，４）的一次变分等于零，得到离散后的连续性条件
只（＂＝瓠［“萼）２＋叫嚣）２＋彤：】ｄｎ＋，．０号躬一以）ｄｒ一驴¨ｎ· （５）
Ｆｉｇ．１
图ｌ二维电磁ｌ司题不意图
ｍｕｍ枷ｏｎ ０ｆ ２－Ｄ ｅｌｅｃｔｍｍ８印ｅ６ｃ ｐｍｂｌｃｍ
图２原区域力被分成４个子区域的示意图
ｔｈｅ删ｌｌａｌ Ｆｉｇ．２ Ｄｉｖｉｄｅ
ｄ咄ｉｎ ｉ咖４ ｅｕｂｄｏｍ８ｉ岫
．在子区域连接边界上，场应满足连续性条件
将式（１２）引入修正泛函Ｆ。，得到对应于两个子区域的增量矩阵Ｓ．和Ｓ：，其元素为
广
［ｓ。］ｆｍ＝ｊ尼。ｌ＾‘＾乙ｄ导，
（１３）
一．：
ｒ
［ｓ：］ｈ＝一ｊ矗：Ｉ川Ⅳ二ｄｅ，
（１４）
一．：
Ｍ和以分别是第Ｚ个和第ｍ个节点的插值函数．为简化计算，采用集中质量矩阵，则
［Ｓ。］加＝０．５ｊ后。￡ｈ， ［Ｓ２］拥＝一０．５ｊ盂２￡ｈ，
刚）＝铷“誓）２＋“苗）２＋胪ｍ＋弦２√加一ｐｎ· （３）
不失一般性，将区域力分成４个互不重叠的子区域力；（ｆ：１，２，３，４），如图２所示，则式（３）可以被改
写成
，（庐）＝，。（声。）＋Ｆ：（≯：）＋Ｆ，（庐，）＋Ｆ４（庐。），
（４）
其中丸是子区域ｎ；（ｆ＝ｌ，２，３，４）上的场；ｎ（九）是式（３）在子区域ｎ；（ｚ＝１，２，３，４）上的表达式，即
庐－Ｉ＿＝声ｉ Ｉｒ．， 乒－Ｉ‘＝≯２ ｒ２， ≯２ ｒ，＝ｊ５３ Ｉ ｒ，， 庐，Ｉ ｒ４＝庐·Ｉ ｒ．． ‘
（６）
根据广义变分原理＂］，得到修正泛函
Ｆ。＝，。（≯．）＋，：（≯：）＋Ｆ，（≠，）＋凡（壬。）＋
ｆＡ。（簪。一声。）ｄｒ＋ｆＡ：（庐．一声：）ｄｒ＋ｆＡ，（屯一庐：）ｄｒ＋ｆ＾。（簪３一九）ｄｒ，
图５有限周期结构示意图 Ｆｉｇ．５ ｍｕｓｔ豫ｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｎｉｌｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｔｎｌｃｔｕ他
图６有限周期结构的基本单元 Ｆｉｇ．６ Ｂ髂ｉｃ ｂｌｏｃＩ【ｓ ｏｆ ｆｉｎ沁 ｐｅｒｉｏｄｉｃ ８仇Ｉｃｔｕｒｅ
图７ 区域划分示意图 Ｆｉｇ．７ ｍｕｓｔＩ龇ｉ∞ｏｆ
叭ｂｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐ∞ｉｔｉ∞
文［８］采用主．辅变量唧研究了ＰＢＧ，ＥＢＧ结构．
本文针对电大尺寸有限周期电磁结构，提出一种高效率的区域分解算法．其主要特点是：根据广义变分 原理，采用拉格朗日乘子在子区域之间交换信息，再引入基本子区域，实现可扩展并行计算．与ＦＥｒｌｌ算法相 比，本算法具有更好的可扩展性，显著地降低了复杂度，有效地提高了计算效率，特别适合于求解诸如光子 晶体一类有限周期结构；与ＰＢｓｖ．ＤＤＭ相比，本算法不仅更加简单，且存储量更小．
③内部单元（ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｃｅｌｌ，ＩＣ）．图６中用斜线图案表示． 划分区域，使每个子区域包含一个单元，如图７所示，其中的点画线代表子区域之间的连接边界，“＋”和 “一”表示子区域的扩充算子及提取算子的符号．由于几何位置、单元形状及媒质参数具有重复性，因此，所有 上部单元可以被归结为正负两个单元．同样地，所有下部、左部、右部单元都可以被归结为两个单元；所有内 部单元也可以被归结为两个单元．换言之，最多只需要处理如图８所示的１４个子区域，我们称它们是有限周 期结构的基本子区域．