基于自然边界归化的椭圆外区域各向异性问题的重叠型区域分解算法

＋ ， 则存在正 常数 ｃ 使 ０
＋
“ ＝ Ｏ，
ｌ 『 ≤Ｃ（Ｉ ｖ ｌ ＋ Ｉ ｌ ） Ｖ 关 ｌＩ ｏ Ｉ ｌｌ ； ｌ ， ｖ∈ Ｐ Ｐ ；
（Ｏ １）
＝ １ｎｌ １ ＋ ． ２
，
：
／／ ｎ ２ ￣ ２＋ ／
＿
一
２ 棚
ｕ
Ｄ ｒ÷ ｒ （一 ）
（Ｆ ４２页 ） ］转 ５
４２ ５
佳 木 斯 大 学 学 年 ０ ２．
界条件 ， 它们是被极值解 自动满足的 ， 无须作为定 解 条件 列 出． 因此 ， 这 类 边 界 条件 为 自然 边 界条 称
’
柯朗 ・ 希尔伯 特． 学物理 方法 ［ ． 数 Ｍ］ 北京 ： 高等教 育 出版
Ｒｉｈ ｒ ｂ ｒ ｎ Ｅ ｅ ｎａｙ Ａｐ ｌ ｄ Ｐ ｒｉｌＤｉ ｅｅ ｔ ｃ ａｄ Ｈａ ｅ ｍａ ． ｌｍｅ ｔｒ ｐｉ ａｔ ｆ ｒｎｉ Ｅ－ ｅ ａ ｌ ａ
ｑ ａｏｓ（ ｉ ｏｒ ｒＳｒ ｓａｄ Ｂ ｕ ｄｒ ａ ｅＰｏｌｍ ） ｕｔ ｎ ｗｔ Ｆｕｉ ｅｉ ｎ ｏｎ ａｙＶ ｕ ｒ ｅ ｓ ｉ ｈ ｅ ｅ ｌ ｂ
＝
２ ＋２ ｎ
内
：
内
：
｛ 【
，
，
内
， ｕ
‘
【 ” ， 内 ’
， 臾ｕ
，
ｚ
∈
旷 （。且Ｙ ＝ ， 厂） ｏ 这里 ３ 是迹算子 ， ３ ＝ ／ ｏ 即 Ｊ ｏ
ｕ ¨ 应 用 Ｆｕｉ ｌ ｏ ｒ ｒ级数 展 开 函数 ｕ ｒ０ ， 到 ｅ （ ，） 得
以转化为 ＋
ｄ＂
方程为例研究了一类椭圆边界各 向异性外问题 的 自 然边界元方法． 文献 ［ ］ 出了基于 自然边界归 ６提 化原理的一种重叠型区域分解算法． 本文基于文献 ［ ］［］ ５ ，６ 在坐标变换及 圆外区域上 Ｈ ｌｈｌ 边值 ｅ ｏｚ ｍ ｔ 问题的 自 然边界归化的基础上 ， 提出了一种求解椭 圆外 区域 上一类 各 向异性 常 系数 Ｈ ｌ ｏｚ ｅ ｍｈｌ 边值 问 ｔ 题的区域分解算法．
（ ）中 ， 分 方 程 含 有 二 阶导 数 ， 变 分 问题 （ ） １ 微 而 ４ 只含有 一 阶导数． 阶导数 的处 理 总是要 比高 阶导 低 数方便 些． 参考 文献 ：
［ ］ 艾利斯哥尔兹． １ 变分法 ［ ． Ｍ］北京 ： 高等教育 出版社 ， ８． １３ ９
［ ］ 老大中． ２ 变分法基础 ［ ． Ｍ］ 北京 ： 国防工业出版社 ， ０ ． ２ ３ ０
＋ｚ ：０相应地 区域 和边界 ，
Ｊ 可以转化为圆外 区域 和圆 ｒ １
ｔ为 上任 一点 的单 位外 法 向量． ， 于是 （ ） （ ）可 １ 、２ 以转 化 为 ：
ａ 毫 ＋ｚ：， 。 （ 竹 后 ｏ 内 、 … 在 ５ ）
＋
１ 问题 的描 述
２
【 （ 一 ，１ ：０ Ｖｖ 口“ 秒） ， １∈
及
（１ １ ）
对 １ ｒ ）＝Ｐ 。０ 式中的 ｒ ，， （ ｕ（） 求导 ， 并令 卜斗 ＋
０， 到 自然 积分方 程 ： 得 （ ０ ＝一Ｋ ００ Ｒ ，） ｕ（ ） （） ８
ｊ Ｅ ＋ ， 求珏 ｕ 使得
； ≠０ 选取 的符 ． ｉ ｝ ，
号使 得 Ｉ 居 ｍ（ ）≥ ０ 若 Ｉ ｋ ． ｍ（ ）＝０， 取 ＝０ 是 则 ；
边界，的单位外法线方 向， 指向由，包围的区域内
部， 经计算可得 ：
ｎ一 ＋）詈 ） （ ＝（ 吾｝ ， 手 一詈 ４ （ ）
引入坐标变换 ＝ ，＝ ， Ｙ 而 则方程（） １可
∈日 （ ） Ｉ ＝０ ， 且 在无穷远处满 足辐射条
件 ｝则 ， 可 视 为 俨 的子 空 间． 延拓 ， 作
，
周 厂 将 分成两部分 ： １ 一个是有界 区域 和一个
是 无界 区域 ． 在极 坐标 系里 ， （ ，）Ｅ （ ） （ 设 ｒ ， ）∈
厂 ———
收 敛的． 取 可 ＝ ／ 一 Ｃ同 １ 嘉， 引理中 ． ｏ 所述 关于
０
利 用 Ｐｉ ｏ 积 分 公 式 得 到，孙 ＝ ｏ ｓｎ ｓ Ｉ 尸 （ ） ， 中 ｙ 是 上的迹算子． Ｉ 其
引理的证 明可以参考文献［ ］ ６． 根据上述引理 和定理 ， 迭代是几何收敛的， 而 且当区域重叠程度越大时迭代收敛越快．
第３ Ｏ卷 第 ３期
２１ 年 ０ 月 ０２ ５
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ａ ｓ Ｕ ｉｅ ｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆ ｉ ｎ Ｊ ｍｕｉ ｎｖｒ ｔ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｓ ｙ（ ｕ ｅ ｉ
Ｖｏ ． Ｏ Ｎｏ． １３ ３
”
＝
Ｐ ｅ Ｐ ２ 川
＋
ｈ
＝
，
２ ｌ＝Ｏ 蜴 ＋ ，
【 ｅ
＝ ＰｙＰ ｉ ｉ ｅ“
Ｆ
（） ９
【
△
？
若 ｅ 收敛 ， 则必收敛 到 ｎ 中． 似于文献 类 ［ ］中引理 １的证 明， ７ 可得到 ： ＝ ＋ ， ＋ Ｖ。
＝
｛｝ ０． 引理 ： Ｖ。 若 ＝
ｕ ０
＝
ｇ 在 ／ 上 ， － 任
，
Ｌ） （ Ｏ ６ Ｊ
－
设ｒ 平 上 一 圆即 ＝ （） 詈 其 吾 ｇ ＋ Ｊ 面 的 椭 ，， ｛ ， ‘ ＋ 中 ＝√ １ 是 ， ）
＝
ｙ
６
ｌ， ｝不妨设 口＞ ， ０ ｂ＞Ｏ力是 以为ｆ内边界的 ，
于是边值问题 （ ） （ ） ５ ，６ 又可以转化为变分问题 ：
［ ］ Ｐ ｎ ｃ — ａ ｔｎ ｌ ａ Ｉ ． １８ ． Ｍ ． ｒ ｔｅ Ｈ ｌＩ ｅ ａ ｎ ． ｃ ， ７ ｅｉ ｌ ｎ ｒ ｏ１ ｎ ９ Ｂｕ ｅ ａ ｒｎ ｈ ａ ｕ ｓ ｆ ａ ａ ｏｓ Ｍ］ ｐ ｎｅ — ｒ ｉ Ｂｕｔ ｅＣ ｃ ｌ ｒ ｔｎ ［ ．Ｓｒ ｇ ｃ Ｖｌ ．Ｔ ｌ ｕ ｏ Ｖ ｉｉ ｉ ｒ
Ｖ ＝ ｛ ＥＨ （ ， 。 ｌ １ ） 且 在无穷远处满足辐射条
件｝
①
收稿 日期 ：０２—０ ２ ２１ ３－ ３ 作者简介 ： 左文齐 （９ ８一 ） 男 ， １８ ， 安徽安庆人 。 合肥工业大学硕士研究生．
第 ３期
左 文 齐 ， ： 于 自然边界 归化 的椭 圆外 区域各 向异性 问题 的 重 叠型 域 分解 算 法 等 基
．
摘
要 ： 以 Ｈｅｎｏｔ ｌｈｌ ｒ ｚ方程 为例 ， 于 坐标 变换及 自然边 界 归化 理 论 ， 出 了一 种 带 圆型人 工 基 提
边界 的重 叠型 区域 分 解算 法． 造其 算 法并讨论 其相应 的收敛 性 ， 明 了算 法是 几何 收 敛的． 构 证
关键词 ： 自然边界归化； 重叠型区域分解算法； 收敛性 中 图分类号 ： ０ ４ ． ２ ２ １８ 文献标 识码 ： Ａ
【 （ ２一ｎ ） ＝０ Ｖ ∈ ａ ２ ，２ ，
（） １ ２
、
由双线 性形 口 ，） 义 内积 （， ） 和 上 的范数 （ 定 １ ： １ ，
３ 算法的构造
以原点为 中心 ， 。Ｒ （ Ｒ ，：０＜Ｒ ＜Ｒ ） ２ １ 为半径的
同心 圆周 ， ． ，
记
＝
ｌ １， Ｐ １・ｌ 用 表示 到 ｙ 按内积 （ ， ） 的投影 ： ｌ ・ ・： 算子． １ ） （２ 等价于 ： 则（ １ ，１ ） Ｍ” ＝Ｊ ［ Ⅱ一Ｉｎ Ｐ （ Ｚ ）一（ ２ 一ｕｎ ］ ２ ）
Ｐｉｏ ｏｓ ｎ积分 公式 ： ｓ １ｒ １ ， ， ）＝ Ｐ ｏ ） ｒ＞Ｒ１ （ ｕ（ ， （） ７
并 且 “ 一 “
∈ ，
一
Ｅ ．
于 是 （ ） （０ ９ ， １ ）等价 于 变分 问题 ：
Ｉ ” ∈ ＋． 求 １ ， １ 使得 ， ２ ”
外部区域．
考虑二维 Ｈ ｌｈｌ 方程 Ｎ ｕ ａ ｎ ｅ ｏｚ ｍ ｔ ｅ ｍ ｎ 外问题 ： 口 ‘ Ⅱ＝ｏ 在 内 升‘ ＋ｂ ＋ ， 。 一 （） １
』 ＥＶ ， 求 使得 ０
【（ 口 ，）＝＜ｇ ＞， ｔＥ Ｖ 一 ， Ｖ， ０
ｒ
，
∞
ｄ ｒ
第 四步 ： ｎ 置 ：＝ｎ＋ｌ 转到第二步． 这里 ｕ 。Ｅ 旷 （ ）可 以任意给定 ， 这里取为 零． 在第三步中的问题 实际上并不需要 直接求解 ， 因为只需要知道 厂 上的函数值 ” ， ， 。 而 ” 可以
于引理的证明可以参考文献［ ］ ８． 定理 ： 对于本文所给的算法及区域划分有如下 的 误 差 估 计 ，即 存 在 常 数 ∈ ［ ，） ０ １ ，使 得 ｌ ｖＰ ￣ｌ ，Ｉ“ Ｉ Ｉ Ｉ迭代是几何 ｌ ￣ ｖ Ｉ≤ Ｐ ｆ Ｉ≤ Ｉ Ｉ ｅ ｅ ，
Ｍａ ｙ ２ ２ ０１
文章编号 ：０ ８—１０ ２ １ ０ ｏ ４ １０ ４ ２（０２）３一 ４ ８—０ ２
基 于 自然 边界 归化 的椭 圆外 区域 各 向异 性 问题 的重 叠 型 区域 分 解 算 法①
左 文 齐 ， 寿城 王
（ 合肥 工业大学 数学学院 ， 安徽 合肥 ２ ０ ０ ） ３ ０ ９
Ｌ ＝Ｐ （ —１” ） ． ｔ ． ２ （３ １）
＝
＝蜴 Ｉ ＂ ， ：＝蜴 ｎ １ 力 ，
构造如下的 Ｓ ｈ ａ 交替算法 ： ｃｗ ｒ ｚ
第一步 ： 初始 ｏ （ ）＝０， ／ ＝０ 给定 Ｅ ，。 令 Ｚ － ， ．
ｆ △
“
其中： 是 在 中的正交补空间． 记 误差 为 ｅ 一 ， ＝０，， ， （３ ＝ 后 １ … 则 １ ）式 表示误差传播关系 ：