计算方法实验

《数值计算方法》

实验

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实验一

1. 题目 （课本46页习题二第1题）

用列主元素法解下列方程，结果保留4位小数。

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=-+=-+2

186354446232

1321321x x x x x x x x x

2. 模型建立（理论分析）

用方程组的增广矩阵

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣⎡=n nn

n n n n b a a a b a a a b a a a b A 21

222221

111211, 表示，并在增广矩阵上进行计算。

首先在矩阵的第一列中选取绝对值最大的元，通过行互换，将最大的元所在行换在第一行的位置，得到增广矩阵()()[]

11,b A ，然后进行消元，得到矩阵

()()[]

()()()

()()()()()()

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=222222222211111121112

2

,n nn n n

n b a a b a a b a a a b A

然后在每次从消元之前，都通过行变换将绝对值最大的元所在的行换到相应行，再进行消元。如此经过n-1步，增广矩阵被化成上三角矩阵，最后回代过程求解。这种算法就是列主元素法求解方程组。

3. 算法

(1)输入A=[2,6,-4;1,4,-5;6,-1,18];b=[4;3;2];计算rank(A);rank(B)。 (2)判断所需求的方程组解的情况，选择相应计算方法，本题是存在唯一解。 (3)置储存空间X ，C 矩阵，比较所在列进行消元运算数值绝对值，取下标位置。

(4)取绝对值大的元所在行通过行变换换到首位，再进行消元，直到化为上三角矩阵，停机。

4. 程序

列主元素消去法程序

clear

clc

A=[2,6,-4;1,4,-5;6,-1,18];

b=[4;3;2];

B=[A b];

RA=rank(A);

RB=rank(B);

zhica=RB-RA;

if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解')

return

end

if RA==RB

if RA==3

disp('请注意：因为RA=RB=3，所以此方程组有唯一解')

X=zeros(3,1);

C=zeros(1,4);

for p=1:2

[Y,j]=max(abs(B(p:3,p)));

C=B(p,:);

B(p,:)=B(j+p-1,:);

B(j+p-1,:)=C;

for k=p+1:3

m=B(k,p)/B(p,p);

B(k,p:4)=B(k,p:4)-m*B(p,p:4);

end

end

b=B(1:3,4);

A=B(1:3,1:3);

X(3)=b(3)/A(3,3);

for q=2:-1:1

X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:3)*X(q+1:3)))/A(q,q);

end

X

else

disp('请注意：因为RA=RB<3，所以此方程组有无穷多解') end

end

5.运行结果

实验二

1. 题目 （课本46页习题二第3题）

用紧凑格式解下列方程组，并写出L ，U 矩阵。

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡19044102256811616427811694143

214321x x x x 2. 模型建立（理论分析）

已知用矩阵形式表示Gauss 消去法的消元过程是对方程组增广矩阵[A,b]进行一系列初等变换，将系数矩阵A 左乘上三角形矩阵的过程，也等价于用一串初等矩阵去做乘增广矩阵，因此消元过程可以通过矩阵运算来表示。例如，第一次消元等价于用初等矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=100010001000

11

31

21

1

n l l l L 左乘矩阵()()[]

[]b A b A ，，=11 其中()()

()n i a a l i i ,,3,2/11111

1 ==，即()()[]()()[]

11122b A L b A ，，=。 一般地，第k 次消元等价于用初等矩阵

⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡--=+1111

1000

nk k

k k l l L

左乘矩阵()()[]

k k b A ，，其中()()

()n k i a a l k kk k ik

ik ,,1/ +==，经过1-n 次消元后得到

()()[]()()

[]

1112

1b A L L

L

b A n n n

n

，， --=，因为⎥

⎥

⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-111111000

nk k

k k

l l L ，令

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡==-----11

1

11

1

32132

31211

1

1211nn n n n n l l l l l l l

L L L L

，[]()()[]

n n Lb LA b A ，，= 消元过程实际上是把系数矩阵A 分解成单位下三角与上三角矩阵的乘积的过程。

LU A =

其中L 为单位上三角矩阵，U 为下三角矩阵。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=-11

1

11

1

32

1323121nn n n n l l l l l l l

L

， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=nn n n u u u u u u u u U 0

2232211312

11 这种分解称为杜利特尔(Doolittle)分解，也称为LU 分解。

当A 为n 阶方阵，若A 的顺序主子式()1,,2,1-=n i A i 均不为零，则矩阵A 存在唯一的Doolittle 分解。由矩阵的乘法法则，得ij l 和ij u 的公式

()

()

()n j i n j u u l a l n i j n i u l a u n j a u jj j k kj ik ij ij i k kj ik ij ij j j ,,1,1,,2,1/,,,,,2,,2,11

11

1

11 +=-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-===-===∑∑-=-=

计算过程应按第1行，第1列，第2行，第2列，…的顺序进行。得到L ，U 矩阵