20竖直平面内的圆周运动模型

竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析（1）竖直平面内的圆周运动模型 在竖直平面内做圆周运动的物体,三种模型。

一是只有拉（压）力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻纯模型”；二是只有推（支撑）力的，称为“拱桥模型”；三是可拉（压）可推 （支撑），如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。

（2）三种模型对比轻绳模型拱桥模型轻杆模型弹力 弹力向下（也可弹力向上（也可弹力可能向下，可能特征能等于军）能等于零） 向上,也可能等于零运动至轨道最高点时的受力情况，可分为。

=0,即F 向=0,此 时F 、— 5囚,方向 向上①皆＞ 时* 小球能过最高 点；② U = x/^7 时,小球刚好过 最高点，③b ＜ 时小球不能过最高点 ①心时• 车（物体）囱开 拱桥最高点做 产他运动；②订 ＜不7时车 （物体）能过最 高点且不离开 拱桥典型例题例1 长度为L = 0.50 m 的轻质细杆OA, A 端有一质量为 m=3.0 kg 的小 球，如图所示，小球以。

点为圆心在竖直平面内做圆周运动， 通过最高点时小球 的速率是2.0 m/s, g 取10 m/s 2,则此时细杆OA 受到（ ）A. 6.0 N 的拉力C. 24 N 的拉力 ［规范解答］ 设小球以速率V 0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零,2V 0mg= m ［对速度 的理解 ①引〉/F 时*杆或 管道的外侧对球产 生向下的拉力或弹 力:②0=777时•球 在最高点只受重力， 不受杆或管道的作用力；③OVrV ，诉 时，杆或管道的内侧 对球产生向上的弹力B . 6.0 N 的压力临界特征 F N = 0 时.，ngi}1 位 =rn --- .得 u 尸f川“得vo = y/gL=q i0x0.50 m/s= 5［5m/s。

由于v = 2.0 m/s«5 m/s,可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球为支持力，如图所示，为小球的受力情况图。

2由牛顿第二定律mg—N=m、L，2 2,1 v 2.0 一一得N=mg— m［= 3.0X 10-3.0X函N = 6.0 N由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力。

［完美答案］ B|—［规件*俄］----------------------------竖直面内圆周运动过顶点的问题关铸在于能不能过顶点，能过顶点的条件下物依的受力情况究竟是怎样的“ 下面是竖直面内圆周运动的求解思路：(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的悔界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体,百“杆”既能支持物体•也能拉物体.(2)确定临界点“临=Jg；,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是表现为支持力还是拉力的临界点。

(3)确定研究状态;通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况已例2 —细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m=0.5 kg,水的重心到转轴的距离l = 50 cm, g取10 m/s20求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v = 3 m/s,求水对桶底的压力大小。

［规范解答］(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。

此时有：mg=v0m r则所求速率即为桶的最小速率：V0=® = 2.24 m/So(2)在最高点水桶的速率v= 3 m/s>2.24 m/s水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为F N,2则由牛顿第二定律有：F N+ mg= m券代入数据可得：F N =4 N由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：F N' =4 No［完美答案］(1)2.24 m/s (2)4 N限件点拗-------------------------------纯、杆模型对比(1)纯模型、杆模型中小球做的都是变速圆周运动，在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。

(2)在最低点的受力特点是一致的，在最高点杆、轨道可以提供竖直向上的支持力，而纯不能提供支持力，只能提供向下的拉力举一反三1.侈选）如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端有固定轴。

，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动，已知小球通过最高点P时，速度的大小为vp= 72gL,已知小球通过最低点Q时，速度的大小为VQ =、6gL,则小球的运动情况为（）P丁、/ \十** */ 0 \I ■R■Jq I\ L /jg —QA.小球到达圆周轨道的最高点P时受到轻杆向上的弹力B.小球到达圆周轨道的最低点Q时受到轻杆向上的弹力C.小球到达圆周轨道的最高点P时不受轻杆的作用力D.若小球到达圆周轨道的最高点P速度增大，则在P点受到轻杆向下的弹力增大答案BD解析小球在P点的速度vP=q2g!>WL,所以小球在P点受到的弹力向下，且随着VP增大，受到向下的弹力增大，A、C错误,D正确。

在最低点Q点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。

2（多选）如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置, 管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管运动，设小球经过最高点P 时的速度为v,则（）•0A.v的最小值为VgLB.v若增大，球所需的向心力也增大C.当v由JgL逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v由«L逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn=m+，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v = 6L时，圆管弹力为零，故v由而逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由6L逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。

3杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m=0.5 kg的盛水容器，以纯的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s,则下列说法正确的是(g=10 m/s2)( )A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N答案B解析“水流星”在最高点的速度v=4 m/s=ygL,由此知纯的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B 正确。

4.（纯模型）（多选）如图所示，用长为l的细纯拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）/ X/ ' \iA .小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B .小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为VglD.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v=4gi, C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。

5.（纯模型）如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R,人体重为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为（）解析由题意知，乘客受到座椅的压力F=mg, 则F+mg= 2mg=mvR,故最高点处速度大小v=V2gR, C正确。

6.（杆模型）如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端。

做圆周运动。

小球运动到最高点时速度为v= yJ1Lg, L是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是（）：0 ;- 1 1 ___A.2mg的拉力B.2mg的压力一 3 ___C.零D.2mg的压力答案BV, 2斛析当重力元全充当向心力时，球对杆的作用力为苓，mg=m—R-,解得v' =WL,而、y2gL</gL时，故杆对球是支持力，即mg—FN = mf,解得F N1 1 ...= 2mg,由牛顿第三定律，球对杆的压力为2mg,故选Bo7 .(轻杆模型)(多选)如图所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆 周运动，A .小球通过最高点时的最小速度是 VRg8 .小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力BD圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小 A 错误，B 正确。

小球在水平线ab 以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C 错误，D 正确。

9 .(杆模型)长L = 0.5 m 的轻杆，具一端连接着一个零件 A, A 的质量m=2 kg 。

现让A 在竖直平面内绕轻杆另一端 O 点做匀速圆周运动，如图所示。

在 A 通过最高点时，求下列两种情况下 A 对杆的作用力大小。

(g=10 m/s 2)(1)A 的速率为1 m/s ；(2)A 的速率为4 m/s 。

答案(1)16 N (2)44 N2解析 以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为 F,则有mg+ F=m]解析速度为零,(1)代入数据v i=1 m/s,2 2一V1 _ 1 _ __可得F i = m g =2X 近―10 N = — 16 N,即A受到杆的支持力为16 No根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 No (2)代入数据V2=4 m/s,-v2 - 42” ........可得F2=m 1―g =2X 0-5- 10 N = 44 N,即A受到杆的拉力为44 No根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 No。