人教版八年级下册第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(二)课件 (共15张PPT)
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(二）
历史因你而改变 学习因你而精彩
回顾活动1
勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么 a2b2 c2.
B
ac
C bA
结论变形
B
a
c
C
b
A
c2 = a2 + b2
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
B
D
15
A xE
C
10
B
25-x
BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2
∴ X=10
答：E站应建在离A站10km处。
3:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
解:设DE为X, 则CE为 (8－ X).
学习体会
1.本节课你又那些收获？ 2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？ 3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？
布置作业：
P教材习题17.1中3、4 、5题
祝你成功
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前�
活动2
有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一 个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多 长？（结果保留整数）
D
C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AC=BC=50, ∴由勾股定理可知：
AB2+ BC2＝AC2
A 50dm B
AC AB2 BC 2 502 502
5000 71(dm )
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
回答：
45°
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为 2m ，求AC长．
A
D
1m
B
2m
C
在Rt△ ABC中，∠B=90°,利用勾股定理:
AB2+ BC2＝AC2
A C A B 2 B C 21 2 2 25
当堂达标
1．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的 距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前 的高度约为 米 A. 3 B.4 C. 5 D.以上答案都不对 2.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 ____cm
第1题图
哪两条边呢？ 直角边还是斜 边？看来要分 类讨论结果了.
在Rt△AOB中， OB2= A B2A O 2322.52 ，OB= 2.751.658 . 在Rt△COD中， OD2= C D 2C O 23222 ，OD= 5 2.236 . BD= O D O B 2 . 2 3 6 1 . 6 5 8 0 . 5 8 . 梯子的顶端沿墙下滑0.5 m，梯子底端外移_0 ._5_8_
2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，
现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D
两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
C
B
E
在Rt△DCE中，
∠DCE=90°利用勾股定理 ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
变式练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着 靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 米．
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙
AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A
沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m
吗？
பைடு நூலகம்
A
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°
D
利用勾股定理
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
尝试应用
1、已知如图所示，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向 成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20 m，你能 求出A，B两点间的距离吗（结果保留整数）？
在RtΔABC中，根据勾股定理： AB2＝BC2-AC2＝602-202 ＝ 3200 所以，AC＝ 3 2 0 0 ≈ 57 A，B两点间的距离约为57
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值
A
是多少? （结果保留两位小数）
C
O
BD
课中探究
如图，一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯 子底端B也外移0.5m吗?
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10
∵∠B=90°
历史因你而改变 学习因你而精彩
回顾活动1
勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么 a2b2 c2.
B
ac
C bA
结论变形
B
a
c
C
b
A
c2 = a2 + b2
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
B
D
15
A xE
C
10
B
25-x
BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2
∴ X=10
答：E站应建在离A站10km处。
3:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
解:设DE为X, 则CE为 (8－ X).
学习体会
1.本节课你又那些收获？ 2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？ 3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？
布置作业：
P教材习题17.1中3、4 、5题
祝你成功
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前�
活动2
有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一 个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多 长？（结果保留整数）
D
C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AC=BC=50, ∴由勾股定理可知：
AB2+ BC2＝AC2
A 50dm B
AC AB2 BC 2 502 502
5000 71(dm )
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
回答：
45°
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为 2m ，求AC长．
A
D
1m
B
2m
C
在Rt△ ABC中，∠B=90°,利用勾股定理:
AB2+ BC2＝AC2
A C A B 2 B C 21 2 2 25
当堂达标
1．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的 距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前 的高度约为 米 A. 3 B.4 C. 5 D.以上答案都不对 2.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 ____cm
第1题图
哪两条边呢？ 直角边还是斜 边？看来要分 类讨论结果了.
在Rt△AOB中， OB2= A B2A O 2322.52 ，OB= 2.751.658 . 在Rt△COD中， OD2= C D 2C O 23222 ，OD= 5 2.236 . BD= O D O B 2 . 2 3 6 1 . 6 5 8 0 . 5 8 . 梯子的顶端沿墙下滑0.5 m，梯子底端外移_0 ._5_8_
2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，
现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D
两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
C
B
E
在Rt△DCE中，
∠DCE=90°利用勾股定理 ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
变式练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着 靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 米．
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙
AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A
沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m
吗？
பைடு நூலகம்
A
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°
D
利用勾股定理
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
尝试应用
1、已知如图所示，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向 成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20 m，你能 求出A，B两点间的距离吗（结果保留整数）？
在RtΔABC中，根据勾股定理： AB2＝BC2-AC2＝602-202 ＝ 3200 所以，AC＝ 3 2 0 0 ≈ 57 A，B两点间的距离约为57
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值
A
是多少? （结果保留两位小数）
C
O
BD
课中探究
如图，一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯 子底端B也外移0.5m吗?
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10
∵∠B=90°
合集下载
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》说课课件_(共13张PPT)
教学反思
成功之处 不足之处
A
B
C
图1
2、动手操作，探索新知
A
CC
A
BB 图一 图1-1
C
C AA
B
B
图二 图1-2
引导学生在格子图上画一 个直角边分别为3和4的直 角三角形，并以其各边为 边长作正方形A、B、C。 同时给出图二，让学生小 组合作计算图一和图二中 正方形A、B、C的面积。
正方形面积间的关系：
SA+SB=SC 猜想：直角三角形三边之 间的关系，即：两直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理是人类文明的成果，几乎所有拥有古 代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究．在地 球以外是否存在生命这个问题上，我国数学家华罗 庚曾认为，如果外星人也拥有文明的话，我们可以 用“勾股定理”的图形，作为人类探寻“外星人” 并与“外星人”联系的“语言”．
教学设计：
一、学情分析 二、教材分析 三、教法学法 四、教学过程设计 五、课后反思
学 有利因素
情
分
不利因素
析
教材分析
教材的地位和作用 教学目标 教学重点、难点
目标分析
知识与技能
过程与方法
情感态度与 价值观
教学重点、难点
重点：勾股定理的及其应用
难点：勾股定理的证明
难点成因
教法学法
教学过程
创设情境—引入新课 动手操作—探索新知 归纳猜想—引出命题 证明猜想—得到定理 运用知识—解决问题 归纳小结—梳理知识 布置作业—巩固知识
创设情境，引入新课
我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在 三千多年前， 周朝的数学家商高就提出，将一根直 尺折成一个直角，如果 勾等于三，股等于四， 那么弦就等于五，即“勾三、股四、 弦五”．它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中， 所以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”。 在这本书 中 的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．这一发现，至 少早于古希腊人500多年．作为一名中国人，我们应为我国古 人的博学和多思而感到自豪！
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
17.1勾股定理+课件+-2023—-2024学年人教版数学八年级下册
是一个小正方形 （黄色）．
赵爽弦图的证法
S大正方形= S小正方形+4S直角三角形
1
C (b a ) 4 ab
2
2
2
化简得： c2 =a2+ b2
大正方形
面积怎么
求？
1.Rt△ABC中，一直角边a为3，斜边c为5，求第三条边
长b。
C
c=5
a=3
A
b=?
B
Rt△ABC中，两边长a为3，c为5，求第三条边长
4.在一个直角三角形中, 两条边长分别
为6、8,则第三边长为________.
2.变式：
b。
解：（1）在Rt△ABC中，当
∠C=90° c为斜边时，
解：（2）在Rt△ABC中，当
∠B=90°
c为直角边时，
C
B
3
C
b=
5
b=?
B=?
3
B
A
− =4
b=
A
5
+ =
1.勾股定理的内容：
如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那
么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边
就需要我们对一个更一般的直角三角形进行证明．到目
前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面
我们来证明这个命题．
证法
赵爽弦图的证法
看左边的图案，这个图案是3世
纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算
经》时给出的，人们称它为“赵爽
弦图”．赵爽根据此图指出：四个
全等的直角三角形（红色）可以如
图围成一个大正方形，中空的部分
人教版八年级数学（下册）
赵爽弦图的证法
S大正方形= S小正方形+4S直角三角形
1
C (b a ) 4 ab
2
2
2
化简得： c2 =a2+ b2
大正方形
面积怎么
求？
1.Rt△ABC中，一直角边a为3，斜边c为5，求第三条边
长b。
C
c=5
a=3
A
b=?
B
Rt△ABC中，两边长a为3，c为5，求第三条边长
4.在一个直角三角形中, 两条边长分别
为6、8,则第三边长为________.
2.变式：
b。
解：（1）在Rt△ABC中，当
∠C=90° c为斜边时，
解：（2）在Rt△ABC中，当
∠B=90°
c为直角边时，
C
B
3
C
b=
5
b=?
B=?
3
B
A
− =4
b=
A
5
+ =
1.勾股定理的内容：
如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那
么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边
就需要我们对一个更一般的直角三角形进行证明．到目
前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面
我们来证明这个命题．
证法
赵爽弦图的证法
看左边的图案，这个图案是3世
纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算
经》时给出的，人们称它为“赵爽
弦图”．赵爽根据此图指出：四个
全等的直角三角形（红色）可以如
图围成一个大正方形，中空的部分
人教版八年级数学（下册）
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版数学八年级下册17.1.2勾股定理应用-折叠问题 课件(共16张PPT)
6
4
6 (E)
F
8
10
E
6
10
(F)
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，
∴EC的长为3cm。
D
E
F
C
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
探究活动
探究三：如图,矩形纸片ABCD中，AB=8cm,AD=12cm，
使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的
长是多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
探究活动
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
探究二：把矩形沿对角线BD折叠，点C落在
C′处。猜想重叠部分△BED是什么三角形？
说明你的理由.
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
课后作业
3、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘
米，现将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
17.1勾股定理第2课时(课件)八年级数学下册(人教版)
B 10
6
C8 A
2
1 C
30° A
3
17
A
8 C
C
2
2
2 45° A
典例精析
人教版数学八年级下册
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析: 1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板 横着 或
竖着 都不能通过，只能试试 斜着 能否通过. 2、门框对角线DB是斜着的最大长度，只要计算出 AC 的 长度，再与木板的 宽 比较，只要__A_C_>_2_._2,就知道能否 通过.
C
人教版数学八年级下册
A′
B C′
B′
互动新授
人教版数学八年级下册
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA=3；
13
2
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
l3 B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧学八年级下册
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8
米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少
飞行多少？ B
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， C
A
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点.
O 0
1
2 A•3 C4
互动新授
人教版数学八年级下册
类似地，利用勾股定理可以作出长为 2, 3, 5 线段.
人教版初中数学八年级下册精品教学课件 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时
只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟至少飞行___m.
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
勾股定理(第2课时)(课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(人教版)
勾股定理应用的常见类型
1．已知直角三角形的任意两边求第三边；
2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4．求解几何体表面上的最短路径问题；
5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、
生活中的实际问题．
课堂练习
1.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯
三角形的面积公式可求BD，再利用
勾股定理便可求CD.
北东
A
C
D
Q
课堂练习
P
解：∵AC10，BC8，AB6，
B
∴AC2AB2BC2
北东
A
即△ABC是直角三角形，
C
D
Q
1
1
而S△ABC BC AB AC BD
2
2
24
解得：BD .
5
2
24
在Rt△BCD中，CD = BC 2 BD 2 82 6.4
路线最短？
B
A
B
A
方案①
B
A
方案②
方案③
针对练习
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？
你画对了吗？
B
A
B
A
B
∵两点之间线段最短，
∴方案③的路线最短．
A
针对练习
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是
多少？
解：在Rt△ABC中，
C
B
AC＝12 cm，BC＝18÷2＝9（cm）．
在Rt△A′DB中，由勾股定理得