直线方程与斜率
直线方程概念与直线斜率课件
比如点 C(－32，－1)∈l，
但x＝－32 不是该方程的解， y＝－1
所以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方 程， 直线 l 也不是方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线．
学习目标 1. 了解直线的方程与方程的直线的概念和关 系． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两 点的直线斜率的计算公式．
2.2.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．一次函数的图象是一条直线，直线上点的 坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在 直线上． 2．常见的直线函数图象有常数函数，正比例 函数等．
(2)斜率与倾斜角的关系 由斜率k的定义可知：k＝0时，直线平行于x轴或与 x轴重合． k＞0时，直线的倾斜角为__锐__角____；k值增大，直 线的倾斜角也随着___增__大___． k＜0时，直线的倾斜角为___钝__角____；k值增大，直 线的倾斜角也随着__增__大____． 垂直于x轴的直线的倾斜角等于___9_0_°___.
思考感悟 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1＝x2的直线的倾 斜角和斜率怎样？ 提示：此时，倾斜角为90°，斜率不存在．
课堂互动讲练
考点突破 考点一 直线方程的概念
两点确定一条直线，直线上的点和方程的解是 一一对应关系．
例1 已知方程 2x＋3y＋6＝0. (1)求方程所对应直线的斜率； (2)画出这个方程所对应的直线 l； (3)点(32，1)是否在直线 l 上？ (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？ 直线 l 是不是该方程的直线？
过原点的直线方程斜率
过原点的直线方程斜率在数学中，直线方程的斜率是一个衡量直线的倾斜程度的数值，它可以在直线方程中表示为斜率m，其公式如下：y=mx+b（m为斜率）。
过原点的直线方程斜率即为斜率m，这是因为当过原点的直线方程为y=mx，即b=0时，斜率m就是直线方程的斜率。
由于原点横坐标和纵坐标均为0，因此m也可以用于衡量过原点的直线方程的斜率，或直线的倾斜程度。
衡量过原点的直线斜率的方法是，以直线的任意两个点（x1，y1）和（x2，y2）的横纵坐标差值为准，通过计算（y2-y1）/（x2-x1）就可以得出直线的斜率。
若y2等于y1，x2等于x1，或者x2等于x1，而y2不等于y1，则斜率m为正无穷或负无穷。
以直线y=2x+1为例，如果此直线过原点，则斜率m=2。
若将此直线的两个点分别表示为（x1，y1）和（x2，y2），则m=（y2-y1）/（x2-x1）=2。
如果x1=x2，则斜率m=正无穷。
另外，斜率m也可以用三角函数的概念来推导。
假设给定一条直线，从原点到其上任意一点的距离为d，其角度为α，斜率m=tanα，tanα=d/d=1，即m=1。
也就是说，如果过原点的直线方程斜率为1，则该直线弧度为45°。
因此可以得出结论：过原点的直线方程斜率m可以用公式计算，也可以通过三角函数的概念来推导，一般而言，m大于1表示直线右倾，小于1表示直线左倾，等于1则表示直线和y轴垂直，等于正无穷或负无穷则直线和x轴垂直。
斜率m的应用还有很多，它可以用来判断两条直线是否平行（假如两条直线斜率相等，则两条直线就是平行线），也可以用来判断两条直线是否相交（任意两条直线相交，必须满足斜率相乘等于-1的条件）等。
总之，斜率m在描述过原点的直线的倾斜程度以及判断两条直线的关系等方面都扮演着重要的角色，可谓是不可或缺的重要概念。
直线的斜率与方程的关系
直线的斜率与方程的关系在数学中，直线是一种具有特殊性质的几何图形。
直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要概念，它与直线的方程之间存在着密切的关系。
本文将探讨直线的斜率与方程之间的关系。
要理解直线的斜率与方程的关系，首先需要了解直线的斜率的定义和计算方法。
直线的斜率可以简单理解为直线上任意两点之间的纵向变化量与横向变化量之比。
设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂,y₂)，则直线的斜率(k)可以表示为：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)为直线上的第一个点，(x₂, y₂)为直线上的第二个点。
根据直线的斜率定义和计算方法，我们可以推导出直线方程与斜率之间的关系。
一般情况下，直线的方程可以写作 y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
这个方程被称为点斜式方程。
通过观察点斜式方程，我们可以发现直线的斜率m就是方程中x的系数。
因此，我们可以根据给定的直线方程，直接读取出直线的斜率。
举例来说，如果我们有一个直线的方程为 y = 2x + 1，那么这条直线的斜率就是2。
通过斜率的计算方法我们可以得到：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)由于点斜式方程中斜率m为2，所以我们可以选择任意两个点，例如(0, 1)和(1, 3)，来计算斜率：k = (3 - 1) / (1 - 0) = 2可以看到，通过直线的方程可以直接得到直线的斜率。
相反地，如果已知直线的斜率和一个点，我们也可以通过斜率和点的信息来写出直线的方程。
其中一种表示方式是点斜式方程，如上所述。
另外一种表示方式是截距式方程，也称为斜截式方程。
斜截式方程可以写作 y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
假设我们已知一条直线的斜率为3，且通过点(0, 2)，我们可以通过直线的斜截式方程来表示这条直线。
代入已知信息我们可以得到：2 =3 * 0 + b解方程得到 b = 2，因此直线的方程为 y = 3x + 2。
直线方程斜率公式
直线方程斜率公式
一、直线方程斜率公式
1、以直线y=ax+b的形式表示：斜率a=极坐标ρ中y分量改变量Δy/x 分量改变量Δ x，即a=Δy/Δx；
2、以直线由两点(x1,y1)、(x2,y2)确定时，求斜率公式为a=(y2-y1)/(x2-x1)；
3、斜率指数形式公式：以指数形式表示的直线y=a*x^b由b可计算得一方程，其斜率a=b*x^{b-1},即a=bx^{b-1}；
4、斜率对数形式公式：以对数形式表示的直线y=a*lnx+b，其斜率
a=1/x；
5、斜率幂形式公式：以幂形式表示的直线y=a*x^b，其斜率a=b*x^{b-1}。
二、应用
1、直线斜率的计算解决了传统数学中求得直线斜率的麻烦和复杂性；
2、在物理中，直线斜率表示物体移动的前进方向，也可用来描述一条曲线所表示的实物的变化过程；
3、在理论数学中，斜率可以直观地表示两个函数的变化趋势，可以用来说明两个变量之间的关系；
4、斜率也应用于生活中，可以结合拟合法来判断所探究的事物是否形成极大或极小；
5、几何中，斜率可以对一些几何形状的倾斜程度进行判断。
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5. 因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0， 所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y 1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， 所以2a ＋1b ＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ]B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66∪⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得yx ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(优质试题·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33. 2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a 表示的直线可能是( )。
直线的斜率与直线的方程
直线的斜率与直线的方程一、温故⒈倾斜角：当直线和x 轴相交时，如果把x 轴绕着按方向旋转到和直线时所转的叫这条直线的倾斜角记为．倾斜角的范围是．⒉斜率：倾斜角为，90时，斜率k=，90时，斜率k 。
⒊斜率公式：若),(11y x A ),(22y x B 为直线上两点，则AB k =)(21x x ⒋直线方程的三种形式；①点斜式；，表示经过点且斜率为的直线，特例；y=kx+b 表示经过点且斜率为的直线，其中b 表示直线在y 轴上的，该方程叫直线方程的。
②两点式；．表示经过两点，的直线。
特例：)0(1ab b y ax该方程叫直线方程的，a ，b 叫。
③一般式；；，（其中A 、B 不同时为0）提醒：⒈在设直线方程形式前应进行斜率存在与不存在的讨论，⒉要注意截距不是长度。
二、基础训练⒈直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率是，若直线l 的方向向量是)1,3(a ，则直线l 的倾斜角是，经过两点)2,3(、)3,2(的直线l 的斜率是，倾斜角是. ⒉直线025tany x 的倾斜角是. ⑵直线023cos y x 的倾斜角范围是. ⑶直线l 的倾斜角α范围是0013545，则斜率k 的范围是.⑷将直线l 向右平移2个单位,再向下平移3个单位后与l 重合，则l 的斜率为.3.直线l ；02y ax ，与连接)1,3(A ，)4,1(B 两点的线段相交，则a 的取值范围是.4.若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab共线，则11a b 的值等于___________. 5.如图所示，点集{(,)||||1|||2}x y x y 构成的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是______________ 三、典型例题xy O 1 1 3 2例⒈根据下列条件求直线方程：⑴经过P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等⑵经过A(-1,-3)，倾斜角为直线y=3x 的倾斜角的2倍⑶直线03y x 绕着点)3,0(D 逆时针方向旋转15⑷如果原点在直线l 上的射影为点),(b a )0(22b a 例⒉经过点)0,3(P 作直线l ，使它被两直线l 1：2x-y-2=0和l 2：x+y+3=0所截得线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．例3.已知ABC 的顶点)1,3(A ，AB 边上的中线所在的直线的方程为059106y x ，B 的平分线所在直线的方程为：0104y x ，求BC 边所在直线的方程。
直线方程的确定
直线方程的确定直线方程是代数学中的一个重要内容，它描述了平面上两点之间的直线关系。
本文将详细介绍直线方程的确定方法。
一、一般形式的直线方程直线方程的一般形式可以表示为 y = mx + c，其中 m 是直线的斜率，c 是直线与 y 轴的截距。
1. 斜率的计算直线通过两点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)。
斜率可以通过以下公式计算得出：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距的计算截距表示直线与 y 轴的交点坐标，可以通过直线上已知点 P(x1, y1)的坐标和斜率 m 计算得出：c = y1 - mx1二、点斜式的直线方程点斜式直线方程可以表示为 y - y1 = m(x - x1)，其中 m 是直线的斜率，P(x1, y1) 是直线上的已知点。
1. 斜率的计算斜率可以使用与一般形式相同的公式计算得到。
2. 方程的确定已知斜率 m 和直线上的已知点 P(x1, y1)，可以将它们代入点斜式直线方程中，得到相应的直线方程。
三、截距式的直线方程截距式直线方程可以表示为 x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别表示直线与 x 轴和 y 轴的截距。
1. 斜率的计算斜率可以通过以下公式计算得到：m = -a/b2. 方程的确定已知斜率 m 和直线与 x 轴和 y 轴的截距 a 和 b，可以将它们代入截距式直线方程中，得到相应的直线方程。
四、两点式的直线方程两点式直线方程可以表示为 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)，其中 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 是直线上的两个已知点。
1. 方程的确定已知直线上的两个点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)，可以将它们代入两点式直线方程中，得到相应的直线方程。
通过以上的介绍，我们可以看到直线方程的确定方法有一般形式、点斜式、截距式和两点式等多种形式。
根据不同的已知条件和需求，选择合适的直线方程形式可以更方便地描述和计算直线的性质和关系。
直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件 人教课标版
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因 而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
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24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
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25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
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26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
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27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
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28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
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29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
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67、心中有理想 再累也快乐
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68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
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69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
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70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
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71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
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72、只要路是对的，就不怕路远。
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73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）
斜率与直线方程
斜率与直线方程一、斜率的概念在数学中，斜率是指直线与横轴的夹角的正切值，也可以理解为直线上两个不同点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率的计算公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
二、斜率的意义斜率可以用于描述直线的特征和性质，通过斜率可以得到直线的方向、陡峭程度以及与其他直线的关系。
1. 正斜率和负斜率：当斜率为正数时，直线上的点随着自变量的增大而增大，这表示直线向上倾斜；当斜率为负数时，直线上的点随着自变量的增大而减小，这表示直线向下倾斜。
2. 零斜率和无定义斜率：当斜率为零时，直线平行于横轴；当斜率不存在（除数为零）时，直线垂直于横轴。
3. 相等斜率和平行斜率：如果两条直线的斜率相等，它们的斜率是平行的。
反之，如果两条直线平行，它们的斜率相等。
三、直线方程的表示形式直线的一般方程可以表示为 Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
直线的斜率可以通过方程中的系数来获得。
1. 斜截式方程：当已知直线的斜率m和截距b时，可以使用斜截式方程 y = mx + b 来表示直线方程。
2. 点斜式方程：当已知直线上的一个点P(x1, y1)和直线的斜率m时，可以使用点斜式方程 y - y1 = m(x - x1) 来表示直线方程。
3. 两点式方程：当已知直线上两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用两点式方程 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1) 来表示直线方程。
四、直线方程的应用直线方程在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
1. 几何学：直线方程可以描述平面上的直线位置和方向，用于计算和判断直线之间的关系，如相交、平行等。
2. 物理学：直线方程可用于描述物体的运动轨迹，在研究物理问题时可以通过直线方程求解物体的位置、速度、加速度等。
3. 经济学：直线方程可用于描述市场供需的关系，通过斜率可以分析价格变化的速度以及市场的供给和需求弹性。
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除了两点可以确 定一条直线，我 们还可以用一个 点再给定直线的 方向，也能确定 一条直线的位置。
(二）描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义：直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )是直线l上的两个不同点,且x1 x2
B.k3 k1 k2 C.k3 k2 k1
D.k1 k3 k2
思考题：
1．已知过点P(1－a，1+a)和Q(3，2a)的 直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范 围是 (－2，1) .
2．直线：(2a2－7a+3)x+(a2－9)y+3a2=0的
斜率为1，则实数a=
3或 2 。 3
y
y2
P2(x2, y2) 在k y2 y1 中因为
y1
o
P1(x1, y1)
x
x2 x1 分母为0,K不存在
2 .运用上述公式计算直线AB的斜率时， 需要考虑A、B的顺序吗？
k AB
y2 x2
y1 x1
kBA
y1 y2 x1 x2
答：与A、B两点的顺序无关。
例二：求经过A(-2,0) B(-5,3) 两点的 直线的斜率
解： kAB
5 (2) 30
3 3
1
变式训练： (1): A(-2,0) B(-2,3)
(2): A(-2,3) B (-2,3)
(3): A(-2,0) B(-2+a,3)
(三)直线的倾斜角
x轴正向与直线l向上方向之间所成 的角叫做直线的倾斜角
y
l
o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
直线
一一对应
“数与形 的结合”
二元一次方程
例一：画出二元一次方程3x+6y-8=0的图象
解： 已知方程解出y,得 y 1 x 4 23
当x 0时, y 4 当x 2时, y 1
3
3
-1
在坐标平面内做点A(0, 4), B(2, 1)
3
3
做直线AB，即为所求方程的图像
想一想：
0o k tan 0o 0
0o 90o k tan 0
a
90o
tan
(不存在)
k不存在
90o 180o k tan 0
（二）思想与方法
数形结合思想: 著名的数学家华罗庚说过：
“数缺形时少直观，形少数时 难入微.”
直线方程的概念 与直线的斜率
探究(一) 我们已经知道平面直角坐标系内，一
次函数y=kx+b( K≠0)的图象是直线，那 么所有的直线都能用一次函数表示吗？
二元一 次方程
形式
y=kx+b( K≠0) x=a y=b
图象
直线
探究(二)：
直线与二元一次方程之间的对应关系是
怎样建立的呢？
例：画出y=2x+1的图象，然后观察并检验：
直线的斜率k与倾斜角α之间的变化关系 当α=00 时，k= 0
当00＜α＜900时，k＞0 ,k值增大，倾斜角也 随着增大。 当α=900 时，k不存在
当900＜α＜1800时，k＜0,k值增大，倾斜角也随 着增大。
练习：如图，直线 l1、l2、l3 的斜率分别
为
k1
ห้องสมุดไป่ตู้
,
k
2
,
k
，则：（
3
D
）
A.k1 k2 k3
分类讨论思想：使我们在学习中更加严谨周密，
学会辩证的思考问题
坐标法:
解析几何的基本思想方法
再 见!
x
问题2：
下列图中标出的直线的倾斜角对 不对？如果不对，违背了定义中的哪一 条？
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
看一看: 观察下列直线的倾斜角
Y l
Y
Y
l
l
O
XO
XO
X
Y l
O
X
规定：当直线与x轴平行或重合时，直 线的倾斜角为0°。
②倾斜角的取值范围 00 ＜1800
（1).蓝点（1，3）为直线上的点
x=1,y=3是方程的解吗？
Y
(2).x=-2，y=-3是方程的解 ，它表示的点（-2，-3）在 直线上吗？
● Y=2x+1
O
X
结论：二元一次方程y=2x+1的解和直线 ● 上的点是一一对应的
（一 ）直线的方程、方程的直线
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线 上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解 ，这时，这个方程就叫这条直线的方程，这条直 线叫做这个方程的直线。
三、你学到了什么？
(一)知识与技能
21、 、斜直率线公 的式 方程：k与方y程2 的y直1 线(或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
3、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
4、直线的斜率几何意义：k tan (a 90)
5、斜率k与倾斜角 之间的关系：
y1 kx1 b y2 kx2 b
y2 y1 kx2 kx1 kx2 x1
直线的斜率计算公式：
l
y=kx+b
y P2•
P1 •
P
y y
即 k 2 1
x2 x1
x x
1
2
0
x
思考 x1 x2 时 直线的位置怎样,k 值如何 ？
此时直线平行于y轴，或与y轴重合