直线的斜率与方程式
直线的两点式方程
课堂小结： 课堂小结：
1. 两点式、截距式、中点坐标 两点式、截距式、 2. 我们所学过的直线方程的表达 形式有多少种？它们之间有什么关系？ 形式有多少种？它们之间有什么关系？
作业： 作业：
3.2A组 3.2A组 4，9
练习： 练习：
1 过P(4, -3)且在坐标轴上截距相等 且在坐标轴上截距相等 的直线有( 的直线有 A. 1条 条 ) C. 3条 条 D. 4条 条
y − y1 x − x1 3. 两点式方程： 两点式方程： = y2 − y1 x2 − x1
[已知两定点 不适合与 轴 已知两定点(不适合与 已知两定点 不适合与x轴 轴垂直的直线)] 或y轴垂直的直线 轴垂直的直线
x y + =1 4. 截距式方程： 截距式方程： a b
[已知截距 与x轴交点 已知截距a(与 轴交点 轴交点(a,0))及截距 与y轴 及截距b(与 轴 已知截距 及截距 交点(0, 不适合过原点的直线 不适合过原点的直线] 交点 b))不适合过原点的直线
＋ ＋ ＝ 5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 一般式方程： (A、B不同时为 不同时为0) 、 不同时为 特别的， ＝ ＋ 特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， ＝ ＋ 则 l1 //l2 ⇔ k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥ l2⇔k1·k2 ＝－ ＝－1.
已知截距a(与 轴交点 轴交点(a,0))及截距 与y轴 及截距b(与 轴 已知截距 与x轴交点 及截距 交点(0, b))，不适合过原点的直线 交点 ，
1.直线的两点式方程及其适用范围是什么？ 直线的两点式方程及其适用范围是什么？ 直线的两点式方程及其适用范围是什么 2.直线的截距式方程及其适用范围是什么？ 直线的截距式方程及其适用范围是什么？ 直线的截距式方程及其适用范围是什么
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
3.2.1直线的点斜式方程
1 6
，且与坐标轴围成面积为3的三角形，
求该直线的方程．
解：设直线方程为y＝- 16x＋b，
当 x＝0 时，y＝b，即直线与 y 轴的交点为(0，b)； 当 y＝0 时，x＝－6b，即直线与 x 轴的交点(－6b,0)． 又S＝12·|b|·|－6b|＝3b2＝3，故b＝±1，
∴所求直线方程为y＝- 16x＋1或y＝- x16－1.
4.写出满足下列条件的直线的方程．
(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，________； (2)倾斜角30°，在y轴上截距为 ，________.
(3)已知直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝4x－2，直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
（3）由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
y
.p2L
O .P1 α
x
L1⊥ L2 k1k2= -1
探究一：点斜式方程
y
l
解:设P(x,y)是直线L上不
Px，y 同于P0的任意一点.
P0(x0,y0)
O
x
点斜式
(1)
定义： 方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，我们把（1）叫做 直线的点斜式方程，简称点斜式.
注意：①斜率要存在！
②已知直线上一点以及直线的斜率
（1）l1 // l2 的条件是什么？（2）l1 l2 的条件是什么？
解：（1）若 l1 // l2 ,则k1 k2 . 此时 l1，l2与y轴的交点不同即 b1 b2;
反之 k1 k2 且b1 b2 时，l1 // l2 .
直线方程式及其图形
称 b 为 L 的 y 截距。
直线方程式及其图形 page 10/26
3 p.102
直线方程式及其图形 page 11/26
(1) 设直线 L 的斜率为 2，y 截距为 3，试求 L 的直线方程式。
(1) 因为 L 的 y 截距为 3
所以 L 过点 0 , 3
又直线 QR 通过点B 2 , 0
所以直线 QR 的方程式为 y 3( x 2)
7 p.110
直线方程式及其图形 page 25/26
如右图所示，在坐标平面上有四点 A0 , 3， B 2 , 0，C 0 , 1，D 4 , 0。今欲作
一矩形 PQRS 使得 A、B、C、D 分别落在
6 p.108
解下列联立方程式：
(2)
2x 4 x
y3 。 2y 3
直线方程式及其图形 page 20/26
(2)
2x 4 x
y3 2y 3
③ ④
将③式乘以 2 减去④式，得 0 3，矛盾
故联立方程式无解
6 p.108
解下列联立方程式：
(3)
2x 4 x
直线方程式及其图形 page 1/26
直线方程式及其图形
直线的斜率 直线的方程式 两直线关系
直线的斜率 p.96~p.99
直线方程式及其图形 page 2/26
直线的斜率 设直线 L 不是铅垂线，且 A( x1 , y1)，B( x2 , y2 ) 为 L 上 相异两点，则 L 的斜率 m= y2 y1 。
解
y
3
1 3xBiblioteka y 3 x 2得Q
3.2.1 直线的一般式方程
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式
直线方程的几种形式
1 2 1 2 1 1
x1 x2 , y1 y2
a,b存在且 都不为零
x y 1 a b
1、对于平面直角坐标系中任一条直线，都有一 个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程。 2、任何关于x,y的二元一次方程都表示一直线。 直线方程式的一般式:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
x
B
例：经过点A(1,2)并且在两坐标轴上截距的绝对 值相等的直线. 答案:x+y=3,-x+y=1,y=2x
直线方程形式的灵活选择技巧
直线方程的几种形式都有使用的局限性 一般地，已知一点通常选用点斜式；已知斜率选择 斜截式和点斜式；已知截距或两点选择截距式或两 点式 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法， 一般几个待定系数就应列出几个方程（一般，已知 一点就待定斜率k，但应注意斜率不存在的情况； 如果已知斜率k，一般选择斜截式待定纵截距b；如 果已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择截距 式，待定横、纵截距） 有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形 式不同，导致运算繁简程度不同
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，与截距有关的问题： (1)与坐标轴成三角形的周长为 a b （）与坐标轴成三角形的面积为S 2 a 2 b2
1 ab 2 （）直线在两坐标轴上的截距相等，则k 1或过原点， 3 常设方程为x y =a或y kx
简单的对称问题
7、一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点 B(-1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程 8、光线由点A(-1,4)射出，在直线l:2x+3y-6=0上进 62 行反射，已知反射光线过点B(3, )，求反射光线 13 所在直线的方程.
直线方程的斜率公式
直线方程的斜率公式如果知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为：y-y0=k(x-x0)。
当k不存在时，直线可表示为：x=x0。
点斜式方程是通过直线过的一个点和其斜率求该直线平面方程的一种方法。
在平时做解析几何的题目时，会更多地运用点斜式方程来解题，直接的体现直线的性质。
方程式：y－y1=k（x－x1）其中（x1，y1）为坐标系上过直线的一点的座标，k为该直线的斜率。
推导：若直线l1经过点p1（x1，y1），且斜率为k，求l1方程。
设点p(x，y)就是直线上不同于点p1的任一一点，直线pp1的斜率应当等与直线l1的斜率，根据经过两点的直线的斜率公式得k=(y－y1)/（x－x1） (且：x≠x1）所以，直线l1：y－y1=k（x－x1）表明：(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的，这一点必须在直线上，否则点斜式方程不成立；(2)当直线l的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；(3)当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x=x1。
已经开始自学时通常厚边两条斜率不成正比（非平行）的直线的交点，接着就是与抛物线的交点，通过点斜式方程代入抛物线方程，谋出来交点的个数和座标。
除了平面解析几何，比如说椭圆、圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线问题化解的紧固套路，方程阿提斯鲁夫尔谷的时候就习惯用点斜式。
在求曲线切线方程中，一般会告诉切点和曲线方程。
这时利用导数公式可求出切线斜率k，利用点斜式可以表示此直线方程。
另外，有时题目可以说曲线外一点(a,b)和曲线方程，这时只需设立切点座标a（x,y)，利用导数公式谋出来导数的表达式m，再并使y-b/x-a=m即可谋出来切点a的座标。
利用点斜式可以将方程则表示出。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
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第 1 章 直線方程式
19
07
07
老師講解 求下列各直線的斜率： (1) 2 y + 5 x − 3 = 0 (2) 7 x + 1 = 0
學生練習
求下列各直線的斜率： (1) 3x − 4 y + 5 = 0 (2) 8 y − 6 = 0
08
老師講解 (1) 過點 ( −2,1) 且和 L 平行 (2) 過點 ( −2,1) 且和 L 垂直
02
老師講解
學生練習
02
若三點 A (1, −1) 、 B ( 3,3) 、 C ( k , k + 1) 在同一直 若 A ( k − 2, −5 ) 、 B ( 3, 2 ) 、 C ( −6, 4 ) 三點無法構 線上，則 k = ？ 成一個三角形，則 k = ？
第 1 章 直線方程式
17
03
學生練習
08
求下列各直線方程式 設直線 L : 4x + 3 y − 1 = 0，求下列各直線方程式 設直線 L : 3x − 2 y − 5 = 0， (1) 過點 (1,4 ) 且和 L 平行 (2) 過點 (1,4 ) 且和 L 垂直
第 1 章 直線方程式
15
1-4 直線的斜率與方程式
重點整理
1. 斜率的定義：設 A ( x 1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 為平面上相異二點，直線 AB 的斜率 m= y1 − y2 y2 − y1 = 。 x1 − x2 x2 − x1
(1)
(2)
(3)
∴ y1 = y2
(4)
4.
直線的截距： (1) 平面上，一直線 L • 若和 x 軸只交於一點 ( a, 0 ) ，則稱 L 的 x 截距為 a 。 ‚ 若和 y 軸只交於一點 ( 0, b ) ，則稱 L 的 y 截距為 b 。
16
，則 L 的方程式為 (2) 斜截式：設平面上一直線 L 的 y 截距 b 、斜率 m （ m 存在） y = mx + b 。 (3) 截距式：設平面上一直線 L 的 x 截距 a 、 y 截距 b （ a ≠ 0 ， b ≠ 0 ） ，則 L 的方程式為 x y + = 1。 a b 二元一次方程組的解之幾何意義 a x + b1 y + c1 = 0 方程組 1 a2 x + b2 y + c2 = 0 a1 b1 ≠ a2 b2 相容方程組 恰有一組解 二直線交於一點 a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 相依方程組 無限多組解 二直線重合 a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 矛盾方程組 無解 二直線平行
3.
直線方程式： (1) 平面上，設直線 L 的斜率為 m ，且過一點 ( x0 , y0 ) ，則 L 的方程式為 • m 存在： y − y0 = m ( x − x0 ) ［點斜式］ 。 ‚ m 不存在： x = x0 。 (2) 平面上，設相異兩點 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，則直線 AB 的方程式為 • x1 ≠ x2 ： y − y1 = ‚ x1 = x2 ： x = x1 。 (3) 平面上，設直線 L 的方程式為 ax + by + c = 0 ，斜率為 m ，則 a • b ≠ 0 ：m = − 。 ‚ b = 0 ： m 不存在。 b (4) 直線 L : ax + by + c = 0 （ a ≠ 0 ， b ≠ 0 ）可設 • 和 L 平行的直線為 ax + by + k = 0 。 ‚ 和 L 垂直的直線為 bx − ay + k = 0 。 y1 − y2 。 ( x − x1 ) ［兩點式］ x1 − x2
04
老師講解 求下列各直線方程式： (1) 過點 ( 3,1) ，斜率為 −2 。 (2) 過點 (1, −4 ) ，斜率為 0 。
學生練習
04
求下列各直線方程式： 2 (1) 過點 ( −3,5 ) ，斜率為 。 3 (2) 過點 ( 5,3) ，斜率不存在。
18
05 老師講解 求下列各直線方程式： (1) 經過 ( 5, − 2 ) 與 ( 7,3) 二點 (2) 經過 ( 3, −4 ) 與 ( 3, 2 ) 二點 學生練習 05 求下列各直線方程式： (1) 經過 ( 2,3) 與 ( 3, −5 ) 二點 (2) 經過 ( −1, 6 ) 與 ( 3, 6 ) 二點
03
老師講解Βιβλιοθήκη 學生練習設 A (1, −2 ) 、 B ( −3, 4 ) 、 C ( −2, −1) 、 D ( 4, k ) 四 設 A ( 2,1) 、 B ( 6, k ) 、 C ( t ,3) 、 D ( 4, 5) 四點， 點 (1) 若 AB // CD ，則 k = ？ (2) 若 AB ⊥ CD ，則 k = ？ 若 AB // AD 且 AC ⊥ AD ，求 k 和 t 各為何。
∴ x1 = x2
由左下往右上傾斜
由左上往右下傾斜
水平線 （平行 x 軸）
鉛直線 （垂直 x 軸）
m>0
m<0
m=0
m 不存在
2.
平行線與垂直線的斜率：平面上，設二相異直線 L1 、 L2 的斜率分別為 m1 、 m2 (1) 若 L1 // L2 ， 則 • m1 、 m2 均存在： m1 = m2 。 ‚ m1 不存在， m2 亦不存在。 (2) 若 L1 ⊥ L2 ，則 • m1 、 m2 均存在且 m1 、 m2 ≠ 0 ： m1 × m2 = −1 。 ‚ m1 不存在： m2 = 0 。 ƒ m2 不存在： m1 = 0 。
06
老師講解
學生練習
06
設 A (1, 2 ) 、 B ( −1, 0 ) 、 C ( 2,1) 三點，求下列各 設 A ( −1, −2 ) 、 B ( −2, 4 ) 、 C ( −4, 3) 三點，求下 直線方程式： (1) 過 A 且和 BC 平行 (2) 過 A 且和 BC 垂直 列各直線方程式： (1) 過 C 且和 AB 平行 (2) 過 C 且和 AB 垂直
5.
名稱 解的個數 幾何意義
基本練習題
01 老師講解 求通過下列各點之直線斜率： (1) (2) 學生練習 01
求通過下列各點之直線斜率： (1) (2)
( 6,3) 與 ( −1, −2 ) ( −5, 6 ) 與 ( −5, −1)
( −1, 0 ) 與 ( 2, −6 ) ( 3, 4 ) 與 ( −2, 4 )