初中数学知识点题库215圆的基本元素
七年级的圆知识点总结
七年级的圆知识点总结七年级的数学学习涉及到了很多的知识点，其中不可避免地涉及到了圆的相关内容。
圆是数学中极为基础的图形，掌握好有关圆的知识对于学生日后的学习将会起到举足轻重的作用。
下面是我对七年级学生需要掌握的圆的相关知识进行的总结。
一、圆的定义和元素1.圆是由平面内每个点到同一点的距离相等的所有点的集合。
同一点叫做圆心，距离叫做半径。
2.圆心：由平面内到圆上每一点的距离相等的点叫做圆心。
3.半径：圆心到圆上任一点的距离叫做半径。
4.直径：在圆上任取两点，将这两点所在直线（过圆心）称为圆的直径。
5.弦：在圆上任取两点，将这两点所在的线段称为圆的弦。
6.弧：由圆上一段弦所对应的部分叫做圆的弧：①全弧：沿圆上任意两点进行的弧。
②半周：沿直径所确定的全弧。
③周长：沿圆所确定的全弧的长度。
二、圆的性质1.相交弦定理：如果一个圆的两弦相交，则它们分别在弦上、弦下所截的圆周上积的和相等。
2.相切弦定理：如果一个圆与两条相交于点T的相切弦有两个，那么这两个弦长度相等。
3.切线性质：从外部点引向圆的切线只有一个。
4.切线定理：从圆外一点引引切线，该切线与半径所在直线所夹角等于此线段与圆心的距离与半径之比的反正切。
三、圆与三角形1.圆内角和定理：三角形内角和等于180度。
2.圆心角定理：圆心角所对的圆弧长度等于两个端点所在圆周的弧长之和的一半。
3.圆周角定理：圆周角所对的圆弧长度等于两个端点所在圆周的弧长之差的一半。
四、常见的圆的绘制方法1.已知圆心和半径绘圆2.已知圆上一点，求圆的方程3.已知直径绘圆以上就是我对七年级学生需要掌握的圆的相关知识点进行的总结。
希望这篇文章能够对您在圆的学习上有所帮助。
圆数学九年级知识点
圆数学九年级知识点圆是我们学习数学中非常重要的一个几何图形，它在我们的生活中随处可见。
本文将介绍九年级数学学科中涉及的一些基本的圆的知识点。
一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上与一个定点距离相等于定长的所有点组成的图形。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
2. 圆的性质：(1) 圆心到圆上任意一点的距离都相等。
(2) 圆上的点到圆心的距离都等于半径的长度。
(3) 圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的一条线段，直径的长度等于半径的两倍。
二、圆的元素及其关系1. 弧：由圆上的两点确定的一段弧线。
2. 弦：连接圆上的两点的线段。
3. 弧长：弧的长度，通常用字母l表示。
4. 弧度制：用弧长与半径的比值来度量角，简称弧度。
一个圆周的弧长等于半径的2π倍，记作2π。
5. 弧度与度数的相互转换：(1) 角度转弧度：弧度 = 角度× π/180。
(2) 弧度转角度：角度 = 弧度× 180/π。
三、圆与直线的关系1. 切线与切点：切线是与圆只有一个交点的直线，这个交点称为切点。
2. 弦的性质：(1) 弦等长定理：圆上两个弦等长的充要条件是这两个弦对应的弧相等。
(2) 弦心角定理：圆上两个弦对应的弧所对的圆心角相等的充要条件是这两个弦等长。
(3) 直径所对的圆心角是直角。
(4) 圆上的任意弧所对的圆心角等于其所对的弧的两倍。
四、圆与角的关系1. 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。
2. 弧所对的圆心角：圆上的弧所对的圆心角等于这个弧的两倍。
五、圆的面积和弧长1. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
2. 弧长公式：弧长等于圆心角度数除以360度再乘以圆周的长度。
六、圆的平行线与切线1. 平行线与切线的关系：若直线与圆相切，则直线与圆的切点连线垂直于直线。
2. 切线定理：与同一圆相切的两条切线所切圆的切点与切线的连线垂直。
综上所述，圆是数学中一个重要的几何图形，掌握圆的定义、性质以及与直线、角的关系，对于九年级学生来说是非常重要的。
初中数学圆知识点总结
初中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
2. 圆的元素一个圆包括以下几个元素：- 圆心：圆的中心点，用O表示；- 半径：以圆心为端点的线段，用r表示；- 直径：穿过圆心的线段，用d表示；- 弦：圆上的两点间的线段，用AB表示；- 弦长：弦所对应的圆心角的对边，用l表示；- 弧：圆上的弦所对应的曲线部分。
3. 圆的相关术语（1）圆周：圆的边界。
（2）圆内：圆的内部。
（3）圆外：圆的外部。
4. 圆的定理定理1：圆的半径相等。
定理2：圆的直径是圆内任意两点之间的最长的线段。
二、圆的性质1. 圆心角圆心角是以圆心作为顶点的角，它所对应的弧的长度就是这个圆心角的度数。
圆心角的度数是以弧所对应的圆周角分之方式来确定的。
圆心角的度数等于这个弧长所对应的圆周角的度数。
2. 圆周角圆周角是以圆的周长作为顶点的角。
它的度数是圆心角的度数的两倍。
3. 切线切线是与圆相切的直线。
与圆相切的直线都有与圆心的连线垂直。
4. 弦长定理两条相同弦所对应的圆心角相等。
两条不同弦所对应的圆心角不等。
5. 弧长定理圆周角相等的弧相等。
圆周角不相等的弧不等。
6. 直角三角形中的圆如果一个直角三角形的两条直角边刚好是一个直径和一个切线，那么这个三角形是直径的垂直三角形。
7. 圆的垂直平分弦定理如果一个直径所对应的两个弦长度相等，那么这个直径垂直平分这个弦。
8. 点到圆的距离点到圆的距离是指点到圆的圆周上的任意一点的距离。
圆内的点到圆的距离为正。
圆外的点到圆的距离为负。
9. 切线定理当直线与圆相切时，切线与半径的夹角是90度。
三、圆的周长和面积1. 圆的周长圆的周长就是圆的边界的长度，也就是圆的长度。
圆的周长可以用公式2πr来表示，其中r是圆的半径。
2. 圆的面积圆的面积就是圆的内部的面积。
圆的面积可以用公式πr²来表示，其中r是圆的半径。
初中 圆重要知识点总结
初中圆重要知识点总结一、圆的基本概念和性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个确定点的距离等于一个常数的点的集合。
这个确定点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的元素：在一个圆中，包括圆心、直径、半径、圆周和弧等元素。
其中，直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，而半径则是连接圆心和圆上一点的线段。
3. 圆的性质：（1）所有的圆都是共有的性质，包括一个圆的直径始终等于两个半径之和，以及圆周率π等于圆的周长与直径之比。
（2）圆内任意两点之间的最短距离是半径，而圆内的任意两点之间的最长距离是直径。
二、圆的相关定理和推论1. 圆的周长和面积：（1）圆的周长：圆的周长可以表示为C=2πr，其中r为半径。
（2）圆的面积：圆的面积可以表示为S=πr²，其中r为半径。
2. 弧长和扇形面积：（1）弧长定理：圆的弧长可以表示为l=rθ，其中l为弧长，r为半径，θ为圆心角的度数。
（2）扇形面积的计算：扇形的面积可以表示为A=1/2r²θ，其中A为扇形面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
3. 圆的相交与切线：（1）相交弦定理：如果两条弦相交于圆上一点，那么它们包围的弧长乘积相等。
（2）切线定理：切线与圆的交点与切点处的切线垂直。
三、圆的常见问题解题方法1. 圆的周长和面积问题：当题目给出了圆的直径或者半径时，可以利用圆的周长和面积公式进行计算。
2. 弧长和扇形面积问题：当题目给出了圆心角的度数时，可以利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。
3. 相交与切线问题：当题目涉及到相交弦定理和切线定理时，可以利用这些定理进行解题。
四、圆的常见应用1. 圆的运动学应用：在圆周运动和圆周角速度等方面，圆的知识经常被应用到物理学中。
2. 圆的工程应用：在建筑、设计、制图等方面，利用圆的性质可以进行工程设计和计算。
3. 圆的生活应用：在日常生活中，很多物体或者装饰物都具有圆的形状，因此圆的知识也经常被应用到生活中。
以上就是关于圆的重要知识点的总结，希望对初中生对圆的认识有所帮助。
圆的概念 弧、圆心角、圆周角、弦 知识点+例题+练习(分类全面)
例题
1：圆的性质应用
例 1 如图，CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，DC、EB 的延长线相交于点 A．若∠A＝25°， AB＝OC，求∠EOD 的度数．
2：利用圆的性质进行证明
例1如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦C D 于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF 与∠OFE 的关系．
例 2 如图，O为AB所在圆的圆心，已知OA⊥OB，M为弦AB的中点，且MC∥OB交AB于点C．求AC的度数．60
延长CM交OA于E,OE=1/2 OA=1/2 OC
3：圆的性质和矩形性质综合
例 1 如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 为矩形，设 BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )
A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a
4：点与圆的位置关系中分类讨论思想
例1若⊙O 所在平面上的一点P到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为
5：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明
例1、已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为B C 的中点，试说明点B、C、D、E 在以点M为圆心的同一个圆上．
例2、如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且A E⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F 四点共圆；
(2)设线段B D 与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．。
圆的基本元素
四、练习
1、如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段
弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
C B
2、经过A、B两点的圆 有几个？它们的圆心都在
O A
哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为半径的圆上。
为圆心，以______
4、如图，已知AB是⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于D， 求OD的长。
C
什么条件呢？
4、比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大
小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。
A
B
O C
5、说出上右图中的圆心角,优弧,劣弧。 6、直径是圆中最长扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧
等圆中的基本元素。
图 23.1.1
O
B
C
曲线BC、BAC都是圆中的弧，分 ︵ ︵ ︵ 别记为 BC、BAC 其中像弧 BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧， ︵ 像弧BAC这样的 大于半圆周的 O 圆弧叫做优弧。 B
A
C
三、课堂练习
1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要
二、圆的基本元素
问题 : 据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%
的同学步行上学，有30%的同学坐公共汽车上学,其他 方式上学的同学有20%, 请你用扇形统计图反映这个
学校学生的上学方式。
图 23.1.1
如图,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径， 这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。线 段AB、BC、AC都是圆O中的弦， A
第28章
圆
28.1
1
圆的认识
圆的基本元素
一、圆是如何形成的
圆的基本要素和性质(精简版)
圆的基本要素和性质（精简版）圆是数学中的一个基本图形，具有一些特殊的要素和性质。
以下是关于圆的基本概念和特点的简要介绍：1. 圆的要素1.1 圆心（Center）：圆的中心点，通常表示为O。
圆的中心点，通常表示为O。
1.2 半径（Radius）：圆心O到圆周上任意一点的距离，通常表示为r。
圆心O到圆周上任意一点的距离，通常表示为r。
2. 圆的性质2.1 圆周与直径的关系：圆周是连接圆上任意两点的线段，它的长度通常表示为C。
直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，它的长度等于圆周的两倍，即直径D = 2r。
圆周是连接圆上任意两点的线段，它的长度通常表示为C。
直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，它的长度等于圆周的两倍，即直径D = 2r。
2.2 圆的面积（Area）：圆的面积表示为A，计算公式为A =πr^2（其中π是一个常数，约等于3.）。
圆的面积是圆周与圆心之间所有区域的总和。
圆的面积表示为A，计算公式为A = πr^2（其中π是一个常数，约等于3.14159）。
圆的面积是圆周与圆心之间所有区域的总和。
2.3 圆的周长（Circumference）：圆的周长等于圆周的长度，即 C = 2πr。
周长是圆周的一种度量，表示沿着圆周一周的总长度。
圆的周长等于圆周的长度，即C = 2πr。
周长是圆周的一种度量，表示沿着圆周一周的总长度。
2.4 圆的切线（Tangent Line）：圆上的切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与该点处的半径垂直相交。
圆上的切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与该点处的半径垂直相交。
以上是关于圆的基本要素和性质的简要介绍。
了解圆的这些基本概念和特点，有助于在数学问题和几何图形的研究中运用圆的相关知识。
圆的知识点归纳
圆的知识点归纳圆是数学中一个非常重要的图形，它具有许多独特的性质和广泛的应用。
下面就让我们来一起归纳一下圆的相关知识点。
一、圆的定义1、在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2、以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。
二、圆的相关元素1、圆心：圆的中心，通常用字母 O 表示。
2、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母 r 表示。
3、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母 d 表示。
直径是半径的 2 倍，即 d ＝ 2r。
三、圆的周长1、圆的周长公式：C ＝2πr 或 C ＝πd，其中 C 表示圆的周长，π（圆周率）是一个常数，约等于 314。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用希腊字母π表示。
3、圆的周长的应用：可以计算圆形物体的周长，如圆形花坛的围栏长度、车轮滚动一圈的距离等。
四、圆的面积1、圆的面积公式：S ＝πr² ，其中 S 表示圆的面积。
2、圆的面积的推导：将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。
长方形的长近似于圆周长的一半，即πr，宽近似于圆的半径 r。
因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝πr × r ＝πr² 。
3、圆的面积的应用：可以计算圆形物体的占地面积，如圆形桌面的面积、圆形池塘的面积等。
五、弧、弦、圆心角1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以 A、B 为端点的弧记作⌒AB 。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
六、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
七、圆周角1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
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1．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=
答案：
解析：∵OA=OB=5，∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，故AB=5．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。
2．请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的个格点．
答案：12
解析：如图，以圆心为坐标原点，要想经过点多，半径必须为整数，在xy轴上必然有四个点，而在别的点作x轴的垂线并与圆心连接构成的一定是一个直角三角形，而根据勾股定理，符合这一条件的只有3、4、5这三个数，所以半径是5，其它各点是（3，4），（4，3），（-3，4），（-4，3），（3，-4），（4，-3），（-3，-4），（-4，-3），所以共有12个点．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：在xy轴上必然有四个点，而在别的点作x轴的垂线并与圆心连接构成的一定是一个直角三角形
3．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有个．
答案：12
解析：坐标轴上到圆心距离为5的点有4个，由勾股定理，四个象限中，到圆心距离为5
的点有8个，共12个，如图所示．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：圆的内部可以看成是到圆心的距离。
4．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
答案：1/2π
解析：由题意可得：OE=1，阴影面积= 1/2π×1= 1/2π．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为n°
5．将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO= 度．
答案：120°
解析：由图可知，∠OBC=60°∵OC=OB∴△OBC是等边三角形∴∠BCO=60°则∠ACO=120°．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：圆的基本元素：弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、同心圆、等弧等
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为
答案：9π
解析：圆环的面积=π•AB2-π•BC2=π（AB2-BC2），在直角△ABC中，根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，因而圆环的面积是π•AC2=9π．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：圆的基本元素：弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、同心圆、等弧等
7．学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为符合设计要求的图案是．（将所有符合设计要求的图案序号填上）
答案：②③④
解析：②和③都是首先把圆三等分，然后根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形；④是把圆六等分，每一种占其中的2份．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形
8．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是
答案：π
解析：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：圆的基本元素：弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、同心圆、等弧等
9．如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积为
答案：πab/2
解析：剩下的纸板面积即阴影部分的面积．大圆的面积减去两个小圆的面积就是阴影部分的面积．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：大圆的面积减去两个小圆的面积就是阴影部分的面积．
10．如图是比例尺为1：200的铅球场地的示意图，铅球投掷圈的直径为2.135m，体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A处，他的铅球成绩约为m（精确到0.1m）．
答案：5.1
解析：首先量得图上距离，投掷圈的圆心到A点的距离大约3.6厘米，再根据实际距离=比例尺÷图上距离进行计算．
题干评注：圆的基本元素
问题评注：圆的基本元素：弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、同心圆、等弧等。