2020-2021福州市高中必修二数学下期末模拟试卷带答案
2020-2021福州市高中必修二数学下期末模拟试卷带答案一、选择题1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π3．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C ．232D 33+6．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．323⎡⎢⎣⎦，C ．4323⎡⎢⎣⎭，D ．32,3⎛ ⎝⎦7．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生10．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14 B ．14-C ．240D ．240-11．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.14．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.16．函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.17．函数()12x f x -的定义域是__________．18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点E 到平面ACD 的距离．23．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .25．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期；(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在[]0,x π∈内，方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解，求a 的取值范围.26．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．3．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴12(1)122222S =⨯⨯+++⨯32+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 7．A 解析：A【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．C解析：C 【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．D【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
福建省福州市高一下册第二学期期末联考试题数学含答案【精选】.doc
2019-2020学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中 一 年 数学 科试卷考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =v ，(3,3)b =--r ， (),3c x =v，若()2//a b c +v v v ，则x =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6 B.3 C. 12 D. 93．若3π1cos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2π2πα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A ．429-B ．229-C ．229D ．4294．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 5．化简：21sin 352cos10cos80-=o oo（ ） A ．2- B ．12-C ．1-D ．1 6．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===u u u v u u u v u u u v u vv v 在一条直线上，且4AC CB =-u u u v u u u v则( )A. 1322c a b =+v v vB. 3122c a b =-v v vC. 2c a b =-+v v vD. 1433c a b=-+v v v7．设向量a r 与b r 满足2a =r ，1b =r ，且()b a b ⊥+r r r ，则向量b r 在向量2a b +r r方向上的投影为（ ） A ．12-B ．12C ．1D ． 1-学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a r ，b r 满足23a b =r r ，2a b a b -=+r r r r ，则a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >> a b c >>11. ()()22cos 0f x x ωω=->3π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为（ ） A ．2B ．38C ．103 D ．23 12．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-u u u r u u u r ，点M 在边CD 上，则·MA MBu u u r u u u r的最大值为（ ） A ．221B ．2C ．5D 31二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ． 14．若π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于 ．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16． ①函数()sin π23f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭关于π6x =对称；②解不等式tan π332x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭-的解集为,1223ππππ(),2()k k Z k -++∈；③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =u u u v u u u v；④已知对任意的x R ∈恒有3()()2f x f x π+=，且()f x 在R 上是奇函数， 若当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则112()42f π=-.其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17．已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,3)OC m m =---u u u r.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a r ，b r是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=r r ，求|3|a b +r r的值；(2)若a r ，b r 的夹角为3π，求向量2m a b =+u r r r 与23n b a =-r r r 的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x .(1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量()2cos ,1a x =r，b r ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧»DE． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧»DE上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭r r ，且//a b r r ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求实数λ的值．2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==u u u r u u u r u u u r Q ，(2,1)AC OC OA m m -==--u u u r u u u r u u u r. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-= …………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a r ，b r 是两个单位向量，所以||||1a b ==r r ，又|32|3a b -=r r，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=r r r r r r g ，即13a b =r r g . ………2分∴|3|a b +===r r ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-u r r r r r r r r r r g g g ， ………6分||m ====u r ， ………8分||n ====r ………10分则71cos 2||||m n m n α-===-u r r g ur r ，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36g x x π=-， ………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==，所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分Θπ22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) Θ 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分又∵34T =，212T πω==，∴6πω=………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ= …………4分∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈-(2)如图，3OC =，1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴123sin 33MP θ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-o o∴sin(60)23sin 2cos 2cos sin12033OP OM θθθθ⋅-==-=-o o ．） ……8分……11分当262ππθ+=时，即6πθ=23． ……12分 232cos 3OM θθ=-22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分Q 方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分 Q αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分 （2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+， 由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-， 由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾． ……………12分 综上所述，12λ=．。
福州市名校2020新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( ) A ．B ．C ．D ．2．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如表： 售价x 4 4.55.56 销售量y1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y 与售价x 之间的线性回归方程y 1.4x a =-+，那么方程中的a 值为( ) A ．17B ．17.5C ．18D ．18.53．2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表： 观看世界杯 不观看世界杯 总计 男 40 20 60 女 15 25 40 总计5545100经计算2K 的观测值8.249k ≈. 附表：20()P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参照附表，所得结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”4．某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有( )种. A ．24B ．72C ．120D ．1445．若函数()y f x =在x a =处的导数为()f'a ，则()()limf a x f a x x 0x+--→为( )A ．()f'aB ．()2f'aC ．()f'a 2D ．06．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．9B ．5C ．11D ．37．已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.8．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()()(){}10x f x x π=∈，中含有4个元素，则实数ω的取值范围是 A ．7562⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．31926⎛⎤⎥⎝⎦，C ．72526⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．19962⎛⎤⎥⎝⎦， 9．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数22232xy x x -=--的定义域为（ ）A ．(],2-∞B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．(],1-∞11．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．912．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题13．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________．14．已知函数2()e x f x x =与()2e xg x x a =+的图象有且只有三个交点，则实数a 的取值范围为________．15．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.16．设集合{1,0,1}A =-，{0,1,2,3}B =，则()A B =R________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
福建省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
龙海二中2020-2021学年第二学期期末考高二数学（理）试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1.设全集=U R ，集合{|1}Ax x ＝，{|(2)(1)0}B x x x =+-<，则（ ） A. A B ⋂∅＝ B. A B U ⋃＝ C.UB A ⊆ D.UA B ⊆【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B 中一元二次不等式的解集.然后对四个选项进行分析判断，由此得出正确选项. 【详解】由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1，所以B ＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝∅，A∪B＝{x|x>－2}，∁U B ＝{x|x≥1或x≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x|x<1}，B ⊆∁U A ，故选A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集、并集、补集和子集的概念，属于基础题.2.函数2()f x =+的定义域是（ ） A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. [0,1)【答案】D 【解析】 【分析】根据求具体函数的基本原则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数中真数为正数列不等式解出x 的取值范围，即为函数的定义域。
【详解】由题意可得()10lg 310lg1310x x x ->⎧⎪+≥=⎨⎪+>⎩，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<，因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1，故选：D.【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，求解原则如下： （1）分式中分母不为零； （2）偶次根式中被开方数非负；（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为1； （4）正切函数tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈；（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.3.设32a log =，b ln2=，12c 5=，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先利用中间值1来比较大小，得知1a <，1b <，1c >，再用换底公式以及不等式性质可得出a 、b 的大小关系，从而得出三个数的大小关系。
【最新】福建省福州市高二下册第二学期期末联考试题数学(文)-含答案
密 封 装 订 线第二学期八县(市)一中期末联考高中二年数学文科试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。
1、若全集U R =，集合{}11A x x =-<<，{|(2)0}B x x x =-≥，则()U A C B ⋂为（ ）A. {}02x x << B. {}01x x << C. {}01x x ≤< D. {}10x x -<< 2、函数2()ln(1)4f x x x =++-的定义域是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，0）∪（0，2]C ．（﹣1，2]D ．（﹣1，0）∪（0，2] 3、下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ） A. ()ln f x x = B.()xf x e-= C. ()f x x =D. 1()f x x=-4、设m R ∈，则1m =“”是“()22xxf x m -=⋅+”为偶函数的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(3)f x f x +=-，当(2,0)x ∈-时，()2x f x =-，则(1)(4)f f +等于A ．-1 B.12- C ．12D ．16．函数y =||2x sin2的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．学校： 高二年 班 号 姓名： 准考证号：高二文科数学试卷 第 1 页 共4页7、已知函数()y f x =的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+的值等于（ ）A ．3B.52C ．1D ．0 8、已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为( )． A. B. 4 C.52D. 3 9、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且21[0,),()1x x f x x +∈+∞=+， 记0.52(6),(7),(8)a f log b f log b f ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．B ．C ．D ．10、已知sin()cos()23)2ππθθπθ+++=--，则2sin cos cos θθθ-=（ ）A ．12 B ．12- C ．314 D ．134-11、设p ：3402x xx-≤， q ： ()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A. []2,1-B. []3,1-C. [)(]2,00,1-⋃D. [)(]2,10,1--⋃ 12、已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()4f x f x '-<-， ()05f =，则不等式()4xf x e >+的解集是（ ）A. (],1-∞ B. (),0-∞ C. ()0,+∞ D. ()1,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）13、若log 3,log 2,a a m n ==则2m n a += ;14、函数210()20x x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若实数x 满足()4f x =，则实数x = ;15、已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ的值为 ;16、已知()x f x xe =，关于x 的方程()()220f x tf x ++= (t R ∈)有四个不同的实数根，则t 的取值范围为 .三：解答题（17-21题各12分，22题10分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（12分）已知命题p ：∀∈R ，20tx x t ++≤.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）命题q ：∃∈[2，16]，210t log x ⋅+≥，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18、（12分）设函数32()f x x ax bx c =-+++的导数()f x '满足(1)0,(2)9f f ''-==.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若()f x 在区间[-2，2]上的最大值为20，求c 的值． （III ）若函数()f x 的图象与轴有三个交点，求c 的范围．19、（12分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=-．（Ⅰ）求cos2α的值； （Ⅱ）求tan()αβ-的值．20、（12分）科技改变生产力，人工智能在各行各业中的应用越越广泛，某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本p （）=++150万元．（Ⅰ）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（Ⅱ）现按（I ）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？高二文科数学试卷 第3页 共4页21、（12分）已知函数f （）=2e +2a -a 2，a ∈R ． （I ）求函数f （）的单调区间；（II ）若≥0时，2()3f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为24cos 3sin 0ρθρθ-+=，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为6π． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）若曲线C 经过伸缩变换''2x xy y ⎧=⎨=⎩后得到曲线C ′，且直线l 与曲线C ′交于A ，B 两点，求|MA |+|MB |．第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学科（文科）参考答案一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）二、填空题：（每题 5分，共20分） 13、 1214 、 3,2- 15 、 43- 16 、221(,)e e +-∞- 三、解答题：（本大题共6小题70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）（评分说明：①对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；②如果解题出现其他解法，请斟酌给相应的分数。
2020-2021高三数学下期末试卷带答案(5)
2020-2021高三数学下期末试卷带答案(5)一、选择题 1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )A ．22y x =-B ．1()2x y = C ．2y log x = D ．()2112y x =- 2．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24 3．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<< 4．设向量a r ，b r 满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．425．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A ．310 B ．310- C ．433- D ．343- 6．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．17．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A ．乙、丁可以知道自己的成绩B ．乙可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道四人的成绩 9．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4B ．–2C ．4D ．2 10．若双曲线22221x y a b -=的离心率为3，则其渐近线方程为（ ） A ．y=±2x B ．y=2x ± C ．12y x =± D ．22y x =± 11．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin lg 2b A c+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 12．sin 47sin17cos30cos17-o o ooA ．3-B ．12-C ．12D ．32二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .16．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 17．若,满足约束条件则的最大值 ．18．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程．22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2n n na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422n n n n n n n c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .23．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．25．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】 本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.2．A解析：A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．3．C解析：C【解析】【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D【解析】【分析】3=，求得2a b ⋅=-r r ，再根据向量模的运算，即可求解．【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ⋅=-r r ．则2a b +==r r ．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．D解析：D【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为00cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值.详解：∵60150α︒<<︒，∴90°＜30α︒+＜180°，∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=， 故选D. 点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，00(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标. 6．B解析：B【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方∴可以排除B 答案考点：函数图像．8．A解析：A【解析】【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．D解析：D【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.10．B解析：B【解析】=b y x a =±，计算得b a =方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.11．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：由1lg lg()lgsin b A c +==-lg lg 22b bc c =⇒=且sin A =A 为锐角，所以45A =o ，由b =，根据正弦定理，得sin )cos sin B C B B B ==-=+o ，解得cos 090B B =⇒=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D.考点：三角形形状的判定.12．C解析：C【解析】【分析】由()sin 473017sin θ=+o o o ，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.【详解】 0000sin 47sin17cos30cos17-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒=︒sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=︒1302sin =︒=．故选C ． 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】 25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni 解析：18【解析】 应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为解析：423【解析】【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高222224232h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 故答案为42． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题． 16．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令 解析：22(2)10x y -+=.【解析】【分析】 由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径22(52)(10)10-+-=22(2)10x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 17．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A（13）与原点连线的斜率最大故yx的最大值为3考点：线性规划解法解析：【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法18．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.19．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对解析：①②③【解析】【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误． 综上知①②③正确，故答案为①②③【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计 解析：1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值.【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =和x=0. 【解析】【分析】（I ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得： 曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=-即()()22219x y -++=（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程： ()()22cos 2sin 19t t αα-++=整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ，解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=- 则12AB t t =-===23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得3tan 24παα==或，直线l 的普通方程为34y x =和x=0 【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.22．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()114123312n n n n +++---+⋅ 【解析】【分析】【详解】（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =； （2）易得2n n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L错位相减得12111222222212n n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L 所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12n n n n n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n n n n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.23．(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点】线面平行与面面垂直．24．120o C =,c =【解析】试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o （2）由题意得{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o=()(2222210a b ab a b ab ++=+-=-=∴AB =考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题25．（1）15[,]42（2）(5,3)-【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解，()min 14x x a++-<，求出a的范围即可．【详解】解：（1）()1323f x x x a x =++-≤+可转化为 14223x x x ≥⎧⎨-≤+⎩或114223x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12423x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩， 解得512x ≤≤或114x ≤<或无解. 所以不等式的解集为15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）依题意，问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解， 即()min 14x x a ++-<， 又111x x a x x a a ++-≥+-+=+，当()()10x x a +-≤时取等号. 所以14a +<，解得53a -<<，所以实数a 的取值范围是()5,3-.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。
2020年福州市名校数学高二下期末质量检测试题含解析
2020年福州市名校数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()2ln ln (1)1x x F x a a x x ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为( ) A ．1a -B ．1a -C ．1-D ．12．若变量x,y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[3,6]D ．[3,5]3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k +的最小值为2，则双曲线的离心率为( ) ABCD ．324．已知命题p ：x R ∃∈，sin x a >，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a =D ．1a <5．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（ ） A ．36B ．40C ．42D ．486．5(1)x -展开式3x 的系数是（ ） A ．-5B ．10C ．-5D ．-107．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（ ）A ．67B ．37C ．89D ．498．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ．8B ．6C ．4D ．29．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{},S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．TB ．SC ．S T ⋂D ．S T ⋃10．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为( )A ．3 B ．3 C ．13D ．2511．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．2212．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()20180xf x e +<的解集为A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．1:0l x y +=， 2:10l ax y ++=，若12l l //，则实数a 的值为_______．14．已知曲线F （x ，y ）=0关于x 轴、y 轴和直线y=x 均对称，设集合S={（x ，y ）|F （x ，y ）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：①若（1，2）∈S，则（-2，-1）∈S； ②若（0，2）∈S，则S 中至少有4个元素； ③S 中元素的个数一定为偶数；④若{（x ，y ）|y 2=4x ，x∈Z，y∈Z}⊆S ，则{（x ，y ）|x 2=-4y ，x∈Z，y∈Z}⊆S ． 其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）15．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且26bsinA acos B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ＝2，若满足条件的△ABC 有且仅有一个，则a 的取值范围是_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． “蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为14，乙组能使生物成活的概率为13，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败. （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X ，求X 的概率分布与数学期望()E X . 18．栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：m ），其中不大于1.50（单位：m ）的植株高度茎叶图如图所示.(1)求植株高度频率分布直方图中,,a b c 的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.19．（6分）在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列； （2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比. 20．（6分）已知函数2()(1)x f x e x x =--．（1）求函数()f x 的单调区间； （2）求证: 12(1)1x ex x ---≥-.21．（6分）设m R ∈，复数()()2234328z m m m m i =--++-，其中i 为虚数单位. （1）当m 为何值时，复数Z 是虚数？ （2）当m 为何值时，复数Z 是纯虚数？22．（8分）为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额ξ的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．D【解析】【分析】令y=lnxx，从而求导y′=21lnxx-以确定函数的单调性及取值范围，再令lnxx=t，从而化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，从而可得a＜﹣3或a＞1，讨论求解即可．【详解】令y=lnxx，则y′=21lnxx-，故当x∈（0，e）时，y′＞0，y=lnxx是增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＞0，y=lnxx是减函数；且xlnxlimx→=﹣∞，lnee=1e，xlnxlimx→+∞=0；令lnxx=t，则可化为t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故结合题意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有两个不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，与t1≤1e且t2≤1e相矛盾，故不成立；②若a＞1，则方程的两个根t1，t2一正一负；不妨设t1＜0＜t2，结合y=lnxx的性质可得，11lnxx=t1，22lnxx=t2，33lnxx=t2，故（1﹣11lnx x）2（1﹣22lnx x ）（1﹣33lnx x ） =（1﹣t 1）2（1﹣t 2）（1﹣t 2） =（1﹣（t 1+t 2）+t 1t 2）2 又∵t 1t 2=1﹣a ，t 1+t 2=1﹣a ， ∴（1﹣11lnx x ）2（1﹣22lnx x ）（1﹣33lnx x ）=1； 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，考查了函数的零点个数问题，考查了分类讨论思想的应用． 2．A 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A 点时纵截距最大，z 最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z 最小． 【详解】画出可行域，如图所示：将2z x y =+变形为122zy x =-+，平移此直线， 由图知当直线过A （2，2）时，z 最大为6，当直线过（2，0）时，z 最小为2， ∴目标函数Z ＝x+2y 的取值范围是[2，6] 故选A ． 【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题． 3．A先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用12||||k k +的最小值为2，即可求得双曲线的离心率． 【详解】由题意，可设点(,)M p q ，(,)N p q --，(,)P s t ．∴22221p q a b -=，且22221s t a b-=． 两式相减得222222t q b s p a -=-．再由斜率公式得：22212222t q b k k s p a -==-． 122||||bk k a+Q …根据12||||k k +的最小值为2，可知22ba=，所以a=b. 所以c =∴ce a== 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关 键． 4．A 【解析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出a 的值.详解：命题p ：x R ∃∈，sin x a >，则p ⌝为,sin x R x a ∀∈≤，p ⌝是真命题，即sin x a ≤恒成立，sin x 的最大值为1，所以1a ≥ 故选A.点睛：含有一个量词的命题的否定5．A将情况分为113和122两种情况，相加得到答案. 【详解】当分的票数为1,1,3这种情况时：1232318C A ⨯⨯=当分的票数为1,2,2这种情况时：一张票数的人可以选择1,3,5：1232318C A ⨯⨯=不同分法的种数为36 故答案选A 【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算. 6．D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x ）5展开式x 3的系数． 【详解】解：根据（1﹣x ）5展开式的通项公式为T r+1＝r5C •（﹣x ）r ，令r ＝3，可得x 3的系数是﹣35C ＝﹣10， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和. 【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.8．C 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2pp+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.考点：抛物线的性质.9．C 【解析】 【分析】根据定义集合{},S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解. 【详解】因为{},S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即S T ⋂，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题, 10．C 【解析】 【分析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案． 【详解】图中阴影部分的面积为1231003|1x dx x ==⎰，长方形区域的面积为1×3＝3，因此，点M 取自图中阴影部分的概率为13． 故选C ． 【点睛】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题． 11．B 【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】的展开式的第7项﹣9，令 ＝0，解得n ＝1．故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】 构造函数()()xf xg x e =，则得()g x 的单调性，再根据()2018f x +为奇函数得(0)g ，转化不等式为()(0)g x g <，最后根据单调性性质解不等式.【详解】 构造函数()()xf xg x e=，则()()()0x f x f x g x e '-'=<，所以()g x 在R 上单独递减， 因为()2018f x +为奇函数，所以(0)20180(0)2018,(0)2018f f g +=∴=-=-.因此不等式()20180xf x e +<等价于()(0)g x g <，即0x >，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1【解析】 【分析】由题得1110a ⨯-⨯=，解方程即得a 的值. 【详解】由题得1110a ⨯-⨯=，解之得a =1. 当a =1时两直线平行. 故答案为：1 14．①②④ 【解析】 【分析】结合曲线F （x ，y ）=0关于x 轴、y 轴和直线y=x 均对称，利用对称性分别进行判断即可． 【详解】①若（1，2）∈S ，则（1，2）关于y=x 对称的点（2，1）∈S ，关于x 轴对称的点（2，-1）∈S ，关于y 轴对称的点（-2，-1）∈S ；故①正确，②若（0，2）∈S ，关于x 轴对称的点（0，-2）∈S ，关于y=x 对称的点（2，0）∈S ，（-2，0）∈S ，此时S 中至少有4个元素；故②正确，③若（0，0）∈S ，则（0，0）关于x 轴，y 轴，y=x 对称的点是自身，此时S 中元素的个数为奇数个，故③错误；④若{（x ，y ）|y 2=4x ，x ∈Z ，y ∈Z}⊆S ，则关于y 对称的集合为{（x ，y ）|y 2=-4x ，x ∈Z ，y ∈Z}⊆S ， 从而{（x ，y ）|y 2=-4x ，x ∈Z ，y ∈Z}⊆S 关于y=x 对称的集合{（x ，y ）|x 2=-4y ，x ∈Z ，y ∈Z}⊆S ，故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合函数图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键，属于中档题． 15．2 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2. 【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=,所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2 【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.16．a 3=或0＜a≤2 【解析】 【分析】先根据26bsinA acos B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求得sin B ，结合正弦定理及解的个数来确定a 的取值范围. 【详解】因为26bsinA acos B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2sin sin sin cos()6B A A B π=+，由于在三角形中sin 0A ≠，所以2sin cos()cos cossin sin 666B B B B πππ=+=-，即cos B B =，因为22sin cos 1B B +=，所以sin 14B =.由正弦定理可得sin sin a A B b ==， 因为满足条件的△ABC 有且仅有一个， 所以sin 1A =或者sin sin A B ≤，所以3a =或者02a <≤. 【点睛】本题主要考查利用三角形解的个数求解参数的范围，三角形解的个数一般可以利用几何法或者代数法来求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）532；（2）32729；（3）分布列见解析，76.【解析】 【分析】（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功；（2）乙小组第四次成功前共进行了6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败共有2412A =种情况；（3）列出随机变量X 的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.（1）记至少两次试验成功为事件A ，则()232333131544432P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为532. （2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有2412A =种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B ，则()331213212333729P B ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答：乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为32729. （3）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.()22323610431444P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221122132312605144343314412P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯== ⎪ ⎝⎭⎝⨯⨯⨯⎪⎭，()222211221213123137243443343144P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯， ()221122112131105343344314472P X C C ⎛⎫⨯⨯⨯⎛⎫==⨯+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22111443144P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的概率分布为：数学期望()17012341441441441441446E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.18．（1）0.5,1, 1.5a b c ===；（2）1.60. 【解析】（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算,,a b c . （2）利用组中值可计算植株高度的平均值. 【详解】（1）由茎叶图知，5101001000.5,10.10.1a b ====.由频率分布直方图知0.50.5 1.451 1.553 1.654⨯+⨯+⨯+⨯0.130.140.11c +⨯+⨯+⨯=，所以 1.5c =.（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值()1.350.5 1.451 1.553 1.654 1.75 1.50.1 1.60⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题. 19．（1）证明见解析；（2）38【解析】 【分析】（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r hππ==+g，进一步求得第1n +个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37可得r 与h 的关系，则答案可求． 【详解】（1）证明：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，内接等边圆柱的底面半径为a ， 则由三角形相似可得：2a r a h r -=，可得2rh a r h=+． 其体积233222()2rh V a a a r hπππ===+g g． 设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r hππ==+g， 再设第1n +个等边圆柱的底面半径为b ，则其外接圆锥的底面半径为2rha r h=+， 高为22ah h r r h=+，则第1n +个等边圆柱的体积223331222222()()2(2)22n rh h rh r h r h V b rh h r h r h r hππ+++===++++gg ． ∴31()2n n V h V r h+=+为定值， 则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以312()2rh V r h π=+g为首项，以3()2h r h+为公比的等比数列； （2）解：原来圆锥的体积为213r h π，这些等边圆柱的体积之和为32312232()214631()2rh V r h r h h q r rh h r hππ+==-++-+． 由232223146373r h r h r rh h ππ=++g ，得222320r rh h +-=， 2h r ∴=．则最大的等边圆柱的体积为34r π，圆锥的体积为323r π，体积之比为38．【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积的求法，考查等比数列的确定及所有项和公式的应用，是中档题． 20．（1）()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)先对2()(1)x f x e x x =--求导，通过导函数与0的大小比较即可得到单调区间. (2) 122(1)1(1)x x ex x e x x e ---≥-⇔--≥-,从而利用（1）中相关结论求出2()(1)x f x e x x =--的极值点证明不等式. 【详解】（1）Q 2()(1)xf x e x x =--，x ∈R ．()(1)(2)x f x e x x '∴=-+，∴函数()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减．（2）证明：122(1)1(1)x x e x x e x x e ---≥-⇔--≥-．由（1）知()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，且x →-∞时，()0f x +→，且x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在1x =时取得最小值(1)e f =-，即2(1)xe x x e --≥-， 故12(1)1x ex x ---≥-.【点睛】本题主要考查利用导函数求解函数增减区间，利用导函数证明不等式，意在考查学生的分析能力，转化能力及逻辑推理能力，难度中等.21．（1）4m ≠且7m ≠-；（2）1m =-. 【解析】 【分析】（1）根据虚数概念列条件，解得结果；（2）根据纯虚数概念列条件，解得结果． 【详解】(1)要使复数z 是虚数，必须使232804m m m +-≠⇒≠且7m ≠- 当4m ≠且7m ≠-时，复数z 是虚数.（2）要使复数z 是纯虚数，必须使223403280m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩解得：1m =-当1m =-时，复数z 是纯虚数. 【点睛】本题考查复数虚数与纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.22．（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“20,20,40,40”，即标有面值20元和面值40元的球各两个 【解析】 【分析】（1）设顾客获得的奖励额为ξ，随机变量ξ的可能取值为40,60,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望为60元，讨论两种方案：若选择“20,20,20,40”的面值设计，只有“20,20,40,40”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为15元和45元时，面值设计是“15,15,45,45”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论. 【详解】解：（1）设顾客获得的奖励额为ξ，随机变量ξ的可能取值为40,60.23241(40)2C P C ξ=== ，1113241(60)2C C P C ξ===，所以X 的分布列如下：所以顾客所获的奖励额的期望为11()406050.22E ξ=⨯+⨯= （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为3000050060÷=元. 所以可先寻找使期望为60元的可能方案： 当球标有的面值为20元和40元时，若选择“20,20,20,40”的面值设计，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60； 若选择“40,40,40,20”的面值设计，因为60元是面值之和的最小值，所以期望不可能为60. 因此可能的面值设计是选择“20,20,40,40”，设此方案中顾客所获得奖励额为1X ，则1X 的可能取值为40,60,80.221241(40)6C P X C ===，11221242(60)3C C P X C ===，221241(80)6C P X C ===.1X 的分布列如下：所以1X 的期望为1121()40608060.636E X =⨯+⨯+⨯= 1X 的方差为2221121400()(4060)(6060)(8060).6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=当球标有的面值为15元和45元时，同理可排除“15,15,15,45”、“ 45,45,45,15”的面值设计，所以可能的面值设计是选择“15,15,45,45”，设此方案中顾客所获的奖励额为2X ，则2X 的可能取值为30,60,90.222241(30)6C P X C ===，11222242(60)3C C P X C ===，222241(90)6C P X C ===.2X 的分布列如下：所以2X 的期望为2121()3060+9060.636E X =⨯+⨯⨯= 2X 的方差为2222121()(3060)(6060)+(9060)300.636D X =-⨯+-⨯-⨯=因为1212()()()()E X E X D X D X =<， 即两种方案奖励额的期望都符合要求，但面值设计方案“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案“15,15,45,45”的方差小， 所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”，即标有面值20元和面值40元的球各两个. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了期望与方差的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.。
2020年福建省福州市数学高二(下)期末综合测试试题含解析
2020年福建省福州市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列求导计算正确的是（ ） A ．2ln ln 1()'x x x x -= B ．22log (log )'e x x = C ．1(2)'2ln 2x x = D ．(sin )'cos x x x =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数求导法则得到相应的结果. 【详解】 A 选项应为21ln xx-， C 选项应为2ln 2x ， D 选项应为sin cos x x x +. 故选B ． 【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题. 2．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,1--【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数()262xf x x e =-+'，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【详解】∵()262xf x x x e =-+，∴()262xf x x e =-+'，且函数()f x '单调递增．又()()006240,1420f e f e ''=-+=-=-+，∴函数()f x '在区间()0,1内存在唯一的零点， 即函数()f x 的极值点在区间()0,1内． 故选A ． 【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点． 3．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤ D ．{|04}a a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。
2020-2021福州华南实验中学高中必修二数学下期末第一次模拟试卷附答案
2020-2021福州华南实验中学高中必修二数学下期末第一次模拟试卷附答案一、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v ，则AB BC ⋅=u u u v u u u vA ．-45B ．13C ．-13D ．-372．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．103．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v u u v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．324．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．5．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A ．21+B ．31+C ．2232+ D ．33+ 7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．432⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．432⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．432⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，D ．432,⎛⎤⎥ ⎝⎦10．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U11．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =oC ．10a =，15b =，120A =oD ．6b =，63c =，60C =o12．如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．15．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．16．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 17．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．18．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．19．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =u u u v u u u v，M 是线段CE 上一动点. （1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+u u u u v u u u v u u u v，求m n +的值；（2）若9,43AB CA CE =⋅=u u u v u u u v，求()2MA MB MC +⋅u u u v u u u v u u u u v 的最小值.22．已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程．23．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 24．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 26．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先用AB u u u v 和AC uuu v表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，，从而得出答案．()2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∵12BD DC =u u u v u u u v ，∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v（），整理可得：12 AB 33AD AC +u u u v u u u v u u u v＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ， ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．，故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC中点 ()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.4．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5．C【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.6．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯=故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 10．A 解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.11．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B 选项，2sin 5252c B =⨯=，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =o Q ，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =o Q ，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.12．C解析：C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =u u u v u u u v，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．14．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3.球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 15．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形16．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．17．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 21【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,OEO O E O A ∠===o 在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o ,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=.18．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是 3 【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果．【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2， 413-=∴几何体的体积是21131332π⨯⨯⨯=， 3 【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题. 19．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析：3【解析】【分析】【详解】44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯v v v v v v v v Q ＝＝＝＝33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯v v Q v v ，），＝，＝＝ 故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键， 20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<， 所以实数m的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【考点】二次函数的性质．三、解答题21．（1）43；（2）754- 【解析】【分析】【详解】（1）因为M 是线段CE 的中点， 所以()11112222AM AC AE AD AB AE =+=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 112151223262AB AB AD AB AD =+⋅+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故514623m n +=+=. （2）1,3CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22114()333CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213AB AD =+u u u u r u u u r 22221194333AB AD AD +=⨯+=u u u r u u u r u u u r ||4, 4AD AD BC =⇒==u u u r 故5CE =u u u v ； 设ME t =u u u v ，则()505MC t t =-≤≤u u u u v ， ()()222MA MB MC ME EA ME EM MC +⋅=+++⋅u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v()()33535ME MC t t t t =⋅=--=-u u u v u u u u v 为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()7524MA MB MC +⋅=-u u u v u u u v u u u u v . 所以()2MA MB MC +⋅u u u v u u u v u u u u v 的最小值为754-. 22．（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴为()122k x k ππ=+∈Z 【解析】【分析】 （1）由周期求得ω，再由函数图象上的最低点的纵坐标为﹣3求得A ，则函数解析式可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f （x ）的单调递增区间，再由2x 32k πππ+=+求解x 可得函数f （x ）的对称轴方程．【详解】 （1）因为()f x 的最小正周期为π因为，0>ω，2T ππω==，∴22πωπ==．又函数()f x 图象上的最低点纵坐标为3-，且0A >∴3A =∴()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）由222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ， 可得5,1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z 可得()f x 单调递增区间()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由232x k πππ+=+，得()122k x k ππ=+∈Z ． 所以函数()f x 的对称轴方程为()122k x k ππ=+∈Z ． 【点睛】 本题考查函数解析式的求法，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的性质，是基础题．23．(1) 8.69 1.ˆ23yx =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，5115i i x ==∑，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑， 解得：^1.23b =-，^8.69a=， 所以：8.69 1.ˆ23yx =-， （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+ 所以 2.72x =，年利润z 最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．24．(1)． (2) ．【解析】【分析】【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ．用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝． 考点：古典概型的概率计算25．（1）19；（2）89. 【解析】试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为31279= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199-= 考点：独立事件的概率． 【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．26．（1）117{|1}2x x -+-≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤. 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。