数据库之函数依赖公理体系共34页文档
合集下载
数据库函数依赖的Armstrong公理ppt课件
R4大家课后自己证明，P136的通用一致性规则A8略去。
精选编辑ppt
5
R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 R2)伪传递规则：若XY, WYZ, 则WXZ成立。 R3)分解规则：若XY, 且Z Y, 则XZ成立。 证明： Z Y A1 YZ A3 XZ
XY
精选编辑ppt
4
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理：
证明： XY A2 WXWY A3 WXZ WYZ
精选编辑ppt
3
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理：
A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则：
精选编辑ppt
1
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理：
A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理：
A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 注意和传递依赖的定义进行区分： 传递律对X、Y、Z、XY、YZ没有限制
5-关系数据库理论-2
5.3 数据依赖的公理系统
已知关系模式R<U，F>，其中 ， ，其中U={A, B, C, D, E,G}， 已知关系模式 ， F= {AB→C, C→A, ACD→B, D→EG, BE→C,CG →BD, CE →AG }，求 (BD)F+。 ， 。 设X(0)=BD； ； 计算X(1):逐一扫描 集合中各个函数依赖，找左部为 、B 逐一扫描F集合中各个函数依赖 计算 逐一扫描 集合中各个函数依赖，找左部为D、 的函数依赖， 或BD的函数依赖，有D→EG，于是 的函数依赖 ，于是X(1)=AB∪EG=BDEG。 ∪ 。 因为X(1)≠X(0)； 因为 ； 计算X(2):再找出左部为 再找出左部为BDEG子集的那些函数依赖，又得 子集的那些函数依赖， 计算 再找出左部为 子集的那些函数依赖 到BE→C，于是 ，于是X(2)= X(1)∪C=BDEGC, X(2)≠X(1) ； ∪ 计算X(3): X(3)= X(2)∪ABDG=BDEGCA； 计算 ∪ ； X(3)=U，算法终止， (BD)F+ =ABCDEG。 ，算法终止， 。 思考： 是否为关系模式 的候选码？ 是否为关系模式R的候选码 思考：BD是否为关系模式 的候选码？
有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中 /* Armstrong正确 完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出 来 /* Armstrong公理够用，完全 所有不能用Armstrong公理推导出来f, 都不为真 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f不属于 F+
5.3 数据依赖的公理系统
Armstrong公理系统还可以得到以下三条推理规则：
数据库之函数依赖公理体系
DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余 的属性
F没有 多余的
FD
求解方法
（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖；
Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
（2）去掉F中冗余的函数依赖
（1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成 员；
（2）若X是L类属性，且X＋包含了R的全部属性， 则X必为R的唯一候选键；
（3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键
中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，
且X＋包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
CGB，CEG
四、候选键的求解方法
1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将
其属性分为4类： ① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性； ② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； ③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； ④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
2、快速求解候选键的一个充分条件
对于F中任一FD：XY
① G = F-{XY}；
② 求X关于G的闭包XG+； ③ 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G 中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖， 所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。
函数依赖公理体系
• 3、候选键的一般求解法 • ⑥ 在剩余的属性中依次取两个属性、三个
属性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身 不包含已求出的候选键，则XB为R的一个 候选键； • ⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依 次取完为止； • ⑧ 输出候选键，算法结束。
2020/6/3
2020/6/3
1、函数依赖集的等价与覆盖
• 定义5.5 • 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝
G＋，则称F和G等价。如果F和G等价，则 称F覆盖G，同时也称G覆盖F。
2020/6/3
定理
• 定理5.7 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和 GF＋。
所 有
F
F＋= G＋
X→Y G＋
X→Y能否Y由GX根G据+ ？公理导出？
2020/6/3
三、最小函数依赖集
• 一个函数依赖集F的闭包F＋通常包含 很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的 ，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推 导出的，即无关的函数依赖。如果将每一 个函数依赖看作是对关系的一个约束，要 检查F＋中的每一个函数依赖对应的约束， 显然是一件很繁重的任务。如果能找出一 个与F等价的、包含较少数目函数依赖的 函数依赖集G，则可以简化此工作。最小 函数依赖集的概念由此而提出。
② F22=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD，CEG
③ F3=
2020/6/3
ABC ， CA ， BCD， CDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEG
3、举例（续四）
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
• 法2：
① F1=
属性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身 不包含已求出的候选键，则XB为R的一个 候选键； • ⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依 次取完为止； • ⑧ 输出候选键，算法结束。
2020/6/3
2020/6/3
1、函数依赖集的等价与覆盖
• 定义5.5 • 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝
G＋，则称F和G等价。如果F和G等价，则 称F覆盖G，同时也称G覆盖F。
2020/6/3
定理
• 定理5.7 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和 GF＋。
所 有
F
F＋= G＋
X→Y G＋
X→Y能否Y由GX根G据+ ？公理导出？
2020/6/3
三、最小函数依赖集
• 一个函数依赖集F的闭包F＋通常包含 很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的 ，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推 导出的，即无关的函数依赖。如果将每一 个函数依赖看作是对关系的一个约束，要 检查F＋中的每一个函数依赖对应的约束， 显然是一件很繁重的任务。如果能找出一 个与F等价的、包含较少数目函数依赖的 函数依赖集G，则可以简化此工作。最小 函数依赖集的概念由此而提出。
② F22=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD，CEG
③ F3=
2020/6/3
ABC ， CA ， BCD， CDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEG
3、举例（续四）
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
• 法2：
① F1=
第3-4讲函数依赖和公理
练习1中函数依赖 AB→D是完全依赖还是部分依赖？ 思考： 如果X只有一个属性， X→Y是否一定是完全函数依赖？
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
18
算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
13
定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
14
设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
21
（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
18
算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
13
定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
14
设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
21
（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
函数依赖及范式
函数依赖及范式函数依赖基本概念：•函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集，r 是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X 函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。
X→Y为模式R的一个函数依赖。
•部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为完全函数依赖。
•传递依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y），A X（A不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。
•函数依赖集F的闭包F+: 被逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包(clo sure),记为F+。
•最小依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件(1)F中每个函数依赖的右部都是单属性；(2) F中的任一函数依赖X→A，其F-{X→A}与F是不等价的；(3)F中的任一函数依赖X→A，Z为X的子集，（F-{X→A}）∪{Z→A}与F不等价。
则称F为最小函数依赖集合，记为Fmin。
函数依赖的公理系统：设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U中属性的函数依赖集，推理规则如下：•自反律：如果Y X U,则X→Y在R上成立。
•增广律：如果X→Y为F所蕴涵，Z U，则XZ→YZ在R上成立。
(XZ表示X∪Z，下同) •传递律：如果X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
以上三条为Armstrong公理系统•合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。
•伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。
•分解律：如果X→Y和Z Y成立，那么X→Z成立。
这三条为引理注意：•函数依赖推理规则系统(自反律、增广律和传递律)是完备的。
•由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖。
四种范式的含义：•如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库模式是属于第一范式的数据库模式。
第3章关系数据模型之函数依赖
➢ 所以函数依赖反映了一种语义完整性约束。
返回
17
3．函数依赖与属性之间的联系类型有关。
（1）在一个关系模式中，如果属性X与Y有1:1联系时，则存在 函数依赖X→Y，Y→X，即X Y。
例如，当学生无重名时，SNO SN。
（2）如果属性X与Y有1:m的联系时，则只存在函数依赖X→Y。 例 如 ， SNO 与 AGE ， DEPT 之 间 均 为 1:m 联 系 ， 所 以 有
➢ 本节讲述关系数据库规范化理论，这是数据库逻辑设 计的理论依据。
➢ 要求了解规范化理论的研究动机及其在数据库设计中的作用，
➢ 掌握函数依赖的有关概念，
➢ 第一范式、第二范式、第三范式的定义，
➢ 重点掌握并能够灵活运用关系模式规范化的方法和关系模式 分解的方法，这也是本章的难点。
返回
2
4.1 规范化问题的提出
返回
18
4．函数依赖关系的存在与时间无关。
➢ 因为函数依赖是指关系中的所有元组应该满足的约 束条件，而不是指关系中某个或某些元组所满足的 约束条件。
➢ 当关系中的元组增加、删除或更新后都不能破坏这 种函数依赖。
➢ 因此，必须根据语义来确定属性之间的函数依赖， 而不能单凭某一时刻关系中的实际数据值来判断。
➢ S中存储学生基本信息，与所选课程及系主任无关；
➢ D中存储系的有关信息，与学生无关；
➢ SC中存储学生选课的信息，而与所学生及系的有关信息无关。
➢ 与SCD相比，分解为三个关系模式后，数据的冗余度明 显降低。
➢ 当新插入一个系时，只要在关系D中添加一条记录。
➢ 当某个学生尚未选课，只要在关系S中添加一条学生记录，而 与选课关系无关，这就避免了插入异常。
➢ 当一个系的学生全部毕业时，只需在S中删除该系的全部学生 记录，而关系D中有关该系的信息仍然保留，从而不会引起删 除异常。
返回
17
3．函数依赖与属性之间的联系类型有关。
（1）在一个关系模式中，如果属性X与Y有1:1联系时，则存在 函数依赖X→Y，Y→X，即X Y。
例如，当学生无重名时，SNO SN。
（2）如果属性X与Y有1:m的联系时，则只存在函数依赖X→Y。 例 如 ， SNO 与 AGE ， DEPT 之 间 均 为 1:m 联 系 ， 所 以 有
➢ 本节讲述关系数据库规范化理论，这是数据库逻辑设 计的理论依据。
➢ 要求了解规范化理论的研究动机及其在数据库设计中的作用，
➢ 掌握函数依赖的有关概念，
➢ 第一范式、第二范式、第三范式的定义，
➢ 重点掌握并能够灵活运用关系模式规范化的方法和关系模式 分解的方法，这也是本章的难点。
返回
2
4.1 规范化问题的提出
返回
18
4．函数依赖关系的存在与时间无关。
➢ 因为函数依赖是指关系中的所有元组应该满足的约 束条件，而不是指关系中某个或某些元组所满足的 约束条件。
➢ 当关系中的元组增加、删除或更新后都不能破坏这 种函数依赖。
➢ 因此，必须根据语义来确定属性之间的函数依赖， 而不能单凭某一时刻关系中的实际数据值来判断。
➢ S中存储学生基本信息，与所选课程及系主任无关；
➢ D中存储系的有关信息，与学生无关；
➢ SC中存储学生选课的信息，而与所学生及系的有关信息无关。
➢ 与SCD相比，分解为三个关系模式后，数据的冗余度明 显降低。
➢ 当新插入一个系时，只要在关系D中添加一条记录。
➢ 当某个学生尚未选课，只要在关系S中添加一条学生记录，而 与选课关系无关，这就避免了插入异常。
➢ 当一个系的学生全部毕业时，只需在S中删除该系的全部学生 记录，而关系D中有关该系的信息仍然保留，从而不会引起删 除异常。