小专题一——有三角形有关的角度的计算
模型一：两个角的角平分线的夹角
例题1：如图1，在?ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。
如图2，在?ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。
如图2，在?ABC 中，P 点是∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。
例题2：如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，
BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小
例题3：如图，在?ABC 中，角A=m o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠的度数 = 。
模型二：“8”字形图案的两条角平分线的夹角
例题4：已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题：
（1）在图1中，直接写出D C B A ∠∠∠∠,,,之间的数量关系
（2）在图2中，D ∠与B ∠为任意角，试探究P ∠与D ∠、B ∠之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。
模型三：角平分线与高线的夹角
例题5：如图，在?ABC 中，∠C=70o ，∠B=30o ，AE 平分∠BAC ，AD 垂直于BC ，垂足为D ，则∠DAE 为 。
例题6：如图1，?ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C 大于∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC
于点D
（1）试推导EFD ∠与C B ∠∠,之间的数量关系
（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上，其余的条件都不变，判断在（1）中推导出的结论是否成立？
三角形角度的计算专题
三角形角度的计算专题 一、 选择题 1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 4．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① E D C B H F E D C A B H F G 4题 5题 5.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 二、填空题 6．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 9.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 10.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____ 11.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°， 则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ； 若∠BAC=120°，则∠DAE= . 12. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是 第10题 第11题 A B C D E F 12 D A C B M 第12题
关于三角形有关角度的计算(本训练重视基础和能力)
关于三角形有关角度的计算（本训练重视基础和能力） 【题1】等腰三角形ABC ，AB=AC ，在边AB 上有一点D ，AD=BC ，角A=20度，求角BDC 的度数。 【题2】等腰三角形ABC ，顶角C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。 【题3】已知AB=AC ，∠A=20°，∠ABD=10°，∠BDE=20°，求∠ACE 的度数。 【题4】等腰三角形ABC 中，顶角B=20°，分别在BC 和AB 上取点D 、E ，使角DAC=60°，角ECA=50°，求角ADE 的度数。 【题5】在三角形ABC 中，AB ＝AC ，角A ＝20度。AB 的中垂线交AC 于E ，点D 在AB 上，且BD ＝BC 。求角DEB 的度数。 【题6】等腰三角形，顶角为80度，从一个底角引出与底边夹角成10度的线，从另一个底角引出与底边夹角成20度线，两线相交的交点与该等腰三角形顶点的连线与等腰三角形的腰的夹角是多少？ 【题7】已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=80°，P 为三角形内一点，若∠PBC=10°, ∠PCB=30°,求∠PAB 的度数。 P C A B
【题8】等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=80°。三角形ABC内有一点P，∠PBC=40°，∠PCB=30°，求∠APC。 【题9】等腰三角形ABC中，AB=BC，∠B=80°。三角形ABC内有一点P，∠PAC=40°，∠PCA=30°，求∠BPC。 【题10】在等腰梯形ABCD中，AB＝CD，E是腰AB上一点，已知BC＝BE，∠ABC＝80°， ∠BDC=40°。∠ADE等于多少度 【题11】已知：?ABC，AB=AC,∠ABP=30?，∠CBP=40?，∠ACP=50?, ∠BCP=20?，求：∠CAP的度数。 【题12】已知：?ABC，AB=AC,∠ABP=30?，∠CBP=40?，∠ACP=50?, ∠BCP=20?， 求证：AP=BP+PC。
三角形角度的计算专题
三角形角度的计算专题 一、 选择题 1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 4．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① E D C A B H F E D C A B H F G 4题 5题 5.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 二、填空题 6．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 9.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 10.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____ 11.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°， 则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ； 若∠BAC=120°，则∠DAE= . 12. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是 第10题 第11题 A B C D E F 12 D A C B M 第12题
初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题(重要)
B A O C 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考） 一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用 例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？ 研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 12 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 12 ∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交 于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 12 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 12 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 12 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 12 ∠A = 90°- 12 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为 ∠O = 90°- 12 ∠A 。 例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， 且交于点P ， 探究：∠A 与∠P 的关系。 分析：∠P=∠2-∠1， ∠2= 12 (∠A+∠ABC) ∠1= 12 (180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12 ∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 12 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一 半。即为∠P = 12 ∠A 。 规律的应用 1、 如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。 E F
等腰三角形中角度的计算(可编辑修改word版)
等腰三角形中角度的计算 1.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A的度数 2.如图，△ABC中，AB=AC，D 在 BC 上，DE⊥AB于 E，DF⊥BC交 AC 于点 F，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 3 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数
4. 如图，△AB C 中，AB=AC，D 在 BC 上, ∠BAD=30°,在 AC 上取点 E，使 AE=AD, 求∠EDC 的度数 5 如图 11，△ABC中，点 D 在 AC 上，且 AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（） A D B C 6)如图,在 Rt△ABC 中,D,E 为斜边AB 上的两个.点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE 的大小为
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE．∠A=40°，则∠DEF的度数是 8.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（） （A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的 2 倍．（D）底角的一半． 9如图，在△ABC中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE．∠A=40°，则∠DEF的度数为）（） 10如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P=的度数为 A．44°B．66°C．88°D．92° 12如图，△ABC中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则 ∠CDE 的度数为 A．50°B．51 °C．51.5 °D．52.5 13如图在△ABC中，DM，EN 分别垂直平分 AB 和 AC，垂足为 M，N，分别交 BC 于 D，E
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B= 57(x-10°),所以有 x+(x －10°)+5 7(x －10°)=180° 解得x=60°,即∠C=60° 例3、D 是△ABC 的BC 边上一点，AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC [分析]因为AD=BD ，AB=AC=CD ，所以有∠B=∠BAD=∠C ， C B A
初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题 重要
B A O C 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考） 一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用 例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？ 研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交 于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为 ∠O = 90°- 1 2 ∠A 。 例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， 且交于点P ， 探究：∠A 与∠P 的关系。 分析：∠P=∠2-∠1， ∠2= 1 2 (∠A+∠ABC) ∠1= 1 2 (180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12 ∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 1 2 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。即为∠P = 1 2 ∠A 。 规律的应用 1、 如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。 2、如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点E ，且∠A=110°，求∠E= 。 3、如图：在△ABC 中,∠A=90°,∠B =32°,OA 、OB 、OC 分别平分∠A 、∠B 、∠C ， 例2 2 1 A B O E C F 例3 C P B A D 1 2
等腰三角形中角度的计算.doc
等腰三角形中角度的计算 1.如图， CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠ A 的度数 2.如图，△ ABC中，AB=AC，D 在 BC上， DE⊥AB 于 E，DF⊥ BC交 AC于点 F，若 ∠EDF=70°，求∠ AFD 的度数 3 如图，△ ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠ A 的度数 4. 如图，△ ABC 中， AB=AC， D 在 BC 上, ∠ BAD=30°,在 AC 上取点 E，使 AE=AD, 求∠ EDC 的度数
5 如图 11，△ ABC中，点 D 在 AC上，且 AB=AD，∠ ABC=∠ C+30°，则∠CBD等于（） A D B C 6)如图 ,在 Rt△ ABC 中 ,D,E 为斜边 AB 上的两个 .点 ,且 BD=BC,AE=AC,则∠ DCE的大小为 7．如图，在△ ABC中， AB=AC，点 D、 E、 F 分别在 BC、AB、 AC边上，且BE=CF， BD=CE．∠A=40 °则，∠ DEF的度数是 ______ 8．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（） （A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的2倍．（D）底角的一半． 9 如图，在△ABC 中， AB=AC，点 D、 E、F 分别在 BC、 AB、 AC 边上，且BE=CF， BD=CE． ∠A=40 °则，∠ DEF的度数为）（） 10如图，在△ PAB中， PA=PB， M ，N，K 分别是 PA， PB， AB 上的点，且 AM=BK， BN=AK，若∠ MKN=44°，则∠ P=的度数为 A． 44°B． 66°C．88°D． 92° 12 如图，△ ABC 中， D 为 AB 上一点， E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠ A=50°，则∠CDE的度数为 A．50°B． 51° C．° D． 13 如图在△ ABC 中， DM ，EN 分别垂直平分AB 和 AC，垂足为M， N，分别交BC 于 D， E （1）若∠ DAE=30°，则∠ BAC=______．（ 2）若∠ BAC=120°，则∠ DAE= _____， （3）若 MD， NE 的延长线交于一点G，∠ G=50°，则∠ DAE= _____， 14 如图∠ DEF=36°， AB=BC=CD =DE =EF,求∠ A
三角形中相关角度的计算规律及应用
1 三角形中相关角度的计算规律及应用 淮南市谢家集区杨公中学 夏明海 三角形是最简单的多边形，初中几何教学中常通过对角线或添加辅助线把复杂的图形转化为三角形来研究和讨论，使问题简化后得以解决，可见三角形是初中几何的最基础的内容，在几何教学中尤显重要。三角形内角和定理与角平分线、高线是探索和研究三角形问题的重要知识点。在教学实践中把他们巧妙的结合起来，使得解决问题更为方便。 以素质教育为标准的新课标，对教材内容的深度、广度和难度都做了适当的调整，目前形势下，众多的教辅材料进入了学生的书包。其深度和难度明显超出了新课标的要求，如果学生不能很好的灵活应用基础知识，是很难完成作业的。为此对教师的课堂教学提出了新的要求。除要使学生对基础内容理解和掌握外，还要求教师把基本知识进行升华，教会学生准确、灵活的运用所学知识解决相应问题，同时要把基本内容进行归纳总结，抽象出规律性的东西。同时也培养了学生的综合分析能力和逻辑思维能力。 由于我在课堂教学中摸索出点滴的教学经验——三角形中相关角度的计算规律及其应用。愿和同行们进行交流，共同分享这份快乐，共同进步。 一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用 例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？ 研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 1 2 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 1 2 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出规律：三角形的两个内角平分线交 于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A B A O C 1 2 例1 E F
三角形中有关角度的计算
三角形中有关角度的计算 一.直接求角度 1.如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一 点P ， 若∠A=50°，求∠BPC 的度数。 2.所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，?交AB 于F ，请猜测∠AEF 与∠AFE 之间有怎样的数量关系，并说明理由． 3.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 4.如图，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 5.如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数. C B 45 α 30 D C B A
6.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,?求∠ DOB 的度数. 7.△ABC 的两条高AD ，CE 相交于点M ，已知∠A=30°，∠C=75°，求∠AMC 8.（1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数． （2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 和 ∠ACD 的角平分线CE 相交于点E ， (1)如果∠A =60°，∠ABC =50°，求∠E 的大小． (2)如果∠A =70°，∠ABC =40°，求∠E 的大小． (3)根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E 和∠A 的大小关系，并简要说明理由． O D C B A C A E C B A
初一数学三角形角度的相关计算
[适用年级]：华师七年级 [期 别]：39期 [栏 目]：一点就通 三角形中的角度计算 河南安阳市十六中学 牛书堂 455000 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B=5 7(x-10°),所以有 C B A
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)
三角形中与角度计算相关的模型 两个定理： 一、平面内，三角形的三个内角和为180°。 二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。 由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。 结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和) 证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180° 在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD， 由对顶角相等：∠BOA=∠COD 故有∠A+∠B=∠C+∠D 应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
条件：四边形ABDC如上左图所示。 结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和) 证明：如上右图，连接AD并延长到E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。 应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。 结论：A I ∠+ ?=∠2 1 90 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠= ∠2 1 2 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠2 1 3 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A + ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-?=A ∠+?2 1 90. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。 (1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2 1 90+ ?。
与直角三角形有关的角度计算
与直角三角形有关的角度计算 宁海星海中学 王才苗 由于直角三角形中有一个角为90°，因此直角三角形的两个锐角互余，另外在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，同样在直角三角形中，30°角所对直角边也等于斜边的一半.以下同大家一起研究的是：如何解决与直角三角形有关的一些角度计算问题. 一、已知一个锐角，求另一个锐角 例1 一梯子搭在墙上与墙面成35°角（如图1所示），则梯子与地面 构成的角为多少度？ 解： ∵梯子、墙面、地面构成直角三角形，∠A ﹦35°， ∴∠B ﹦90°－35°﹦55°， 因此，梯子与地面构成的角为55度. 点评：本题主要考查两个方面：一是科学知识 地面与墙面垂直，二是直角三角形两锐角互余. 〖做一做〗在直角三角形中，有一个锐角为520，它比另一个锐角 大 度. 14° 二、已知两个锐角的关系，求两锐角 例2在△ABC 中，∠C=90°，∠A =2∠B ，则∠A= ，∠B= . 解： 设∠B=x °,则∠A =2 x °, ∵△ABC 是直角三角形， ∴∠A ＋∠B=90°，即2 x ＋ x =90，x =30 因此，∠B=30°. 点评：本题利用直角三角形性质，通过方程的数学思想来解决，这种数学思 想值得重视. 〖做一做〗在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= . 60°，30°. 三、已知一个锐角，求斜边的高与直角边的夹角 例3 如图2，在△ABC 中，∠BAC=900，AD 是斜边CB 上的高，∠C=70°,求∠BAD 的度数. 解：∵∠BAC=900，AD ⊥CB ， ∴∠C 与∠CAD 互余，∠BAD 与∠CAD 互余， ∴∠BAD=∠C=70°. 图2 图1
三角形的角度计算 2012
三角形的角度计算2012-12-5 1、 2、 3、 4、
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9、 10、 11、 12、 13、
E D C B A P E D C B A 2 1 E D C B A 654 321F E D C B A 14.如图, 在△ABC 中， D 44,∠=?ABC ∠的平分线交ACB ∠的外角平分线于点D, 那么∠A 的度数为__________________. 15.如图, 在△ABC 中，BPC 2A,∠=∠两条角平分线BD 和CE 交于点P, 那么BPC ∠的大小为________________. 16.如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠, 那么,1,2A ∠∠∠这三个角之间的等量关系是__________________. 17.如图, 已知1,23,45A ∠=∠∠=∠∠=∠, 6C ABC ∠=∠=∠. 求A ∠的大小.
18.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数 19.等腰三角形一腰上的高线长等于另一腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角的度数 20.如图，已知△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD=BC，求∠BDC的大小． 21.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，求∠BAC的度数。 、
22.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。 23.如图，AB=AC，DA=DE，BC=BE=BD，求∠A的度数； 24.如图，AE=AC=AD，BD=BA，CB=CE，求∠ABD的度数；
3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算 ——全方位求角度，一网搜罗 ◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度 1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是() A．直角三角形B．等腰三角形 C．钝角三角形D．锐角三角形 2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________. 3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°. 4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． ◆类型二综合内、外角的性质求角度 5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为() A．40° B．60° C．80° D．100° 6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数． 7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证：∠EAC＝∠B； (2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
◆类型三在三角板或直尺中求角度 8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为() A．60°B．50° C．40°D．30° 第8题图第9题图 9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是() A．75°B．90°C．105°D．120° 10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为() A．50° B．60° C．70° D．80° 11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________； (2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．
专题训练(四) 与三角形有关的角度计算的四种方法-学习文档
专题训练(四)与三角形有关的角度计算的四种方法? 方法一根据三角形的内角和定理及其推论直接计算角度 1．如图4－ZT－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC 的度数为() 图4－ZT－1 A．25°B．50°C．65°D．70° 2．如图4－ZT－2，已知∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE的度数为() 图4－ZT－2 A．120°B．115°C．110°D．105° 3．2019·枣庄如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于() 图4－ZT－3 A．15°B．17.5° C．20°D．22.5° 4．2019·岳西期中如图4－ZT－4，AB∥CD，∠C＝65°，CE⊥BE，垂足为E，则∠B 的度数为________． 图4－ZT－4 5．2019·安徽绩溪期中如图4－ZT－5，已知a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3＝________°. 图4－ZT－5 6．2019·安徽舒城月考如图4－ZT－6，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2＝________°. 图4－ZT－6 7．2019·淅川县期末如图4－ZT－7，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F. (1)填空：∠AFC＝________°； (2)求∠EDF的度数．
8．探索与发现：在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线． (1)在图4－ZT－8①中，若∠B＝20°，∠C＝50°，求∠EAD的度数； (2)在图②中，当∠ACB为钝角时，设∠B＝α，∠ACB＝β，请用含α，β的式子表示∠EAD，并说明理由． 图4－ZT－8 ?方法二三角尺或直尺的组合放置中的角度计算 9．将一副三角尺如图4－ZT－9放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的度数为() A．140°B．160° C．170°D．150° 图4－ZT－9 10．2019·营口如图4－ZT－10，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为() 图4－ZT－10 A．85°B．70°C．75°D．60° 11．将一把直尺与一块三角尺如图4－ZT－11放置．若∠1＝40°，则∠2的度数为() 图4－ZT－11 A．125°B．120°C．140°D．130° 12．2019·枣庄将一副三角尺和一张对边平行的纸条按图4－ZT－12所示方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是() 图4－ZT－12 A．15°B．22.5°C．30°D．45° ?方法三与截取或折叠有关的角度计算 13．如图4－ZT－13，小明将一张三角形纸片(△ABC)沿着DE折叠(点D，E分别在边AB，AC上)，并使点A与点A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2的度数为()
(新)计算角的度数专项练习题
计算角的度数专项练习 1、求图中∠2＝？ 2.已知∠1＝45°，求下面各角的度数。 ∠2＝ ∠3＝ ∠4＝ 3．已知∠3＝30°，求下面各角的度数。 ∠1＝ ∠2＝ 3．求下图中各个角的度数。 （1）已知∠1=28°求∠2、∠3、∠4和∠5各是多少度? （2）如下图，已知∠2=35°，求∠1、∠3是多少度。
3.
【例题1】说出每个钟面上时钟和分针所形成的角的度数。 【举一反三】 一、先写出每个钟面上的时间, 再量一量钟面上的分针和时针所组成的角的度数。 时间 ( ∶ ) ( ∶ ) ( ∶ ) ( ∶ ) 角度 ( ) ( ) ( ) ( )
角度计算和三角形 一、专心填一填。 1、一个等腰三角形，它的一个角是40°，另外两个角的度数分别是（）、（）。 2、长5厘米，8厘米,（）厘米的三根小棒不能围成一个三角形 3、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是（）， 这是一个（）三角形。 4、一个等腰三角形的周长是21厘米，它的底边长是腰的1.5倍，那么这个等腰三角形的腰是（）厘米. 5、一个等腰三角形，顶角度数是其中一个底角的2倍，那么这个等腰三角形的顶角度数是（）. 6、把一个等边三角形平均分成两个直角三角形， 其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）、（）。 二、精心选一选（将正确答案的序号填在括号里）。 1、所有的等边三角形都是（）三角形。 A、钝角 B、锐角 C、直角 2、一个三角形至少有（）个锐角。 A、1 B、2 C、3 3、一个三角形中，最多有（）个直角。 A、1 B、2 C、3 4、把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是（）。
小专题(一)与三角形的角平分线有关的角度计算(选做)
小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算 模型1 两个内角平分线的夹角 方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC ＝90°＋1 2∠A. 1．如图，点O 是△ABC 的∠ABC 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 的角度是________°. 2．如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线． (1)∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由； (2)题(1)中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数； (3)若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数． 模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACE ，则∠BDC ＝1 2∠A. 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D ＝________． 4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为________． 5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD
三角形及多边形中的角度计算 专题训练
三角形及多边形中的角度计算专题训练 一、选择题： 1.如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=（） A.105° B.110° C. 115° D.120° 1题 2题 2.如图，在折纸活动中，把一个△ABC纸片的三个角向内折叠（3个顶点不重合），则图中 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（） A.180° B.270° C.360° D.540° 3.如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉一部分（虚线部分），得到了一个新多边形，若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（） A B C D 二、填空题： 4.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE//AB，交AC于E，则∠ADE= 。 4题 5题 6题 5.如图，在△ABC中，∠B=42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E， 则∠AEC= 。 6.如图，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则 ∠1+∠2+∠3= 。 三、解答题： 7.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.
8.如图，在△BCD中，BC=4，BD=5. （1）求CD的取值范围； （2）若AE//BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数. 9.如图，∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°，求∠EDC的度数. 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D. （1）求证：∠ACD=∠B. （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于点E，F，求证：∠CEF=∠CFE. 11.如图，△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B 的大小.
三角形角度公式
又称三角函数的加法定理 是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 编辑本段附加内容 ★诱导公式★常用的诱导公式有以下几组： 1.sinα^2 +cosα^2=1 2.sinα/cosα=tanα 3.tanα=1/cotα 公式一: 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
三角形角度计算
三角形内角和定理及其推论 一、填空： 1．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（）A．∠1+∠5+∠4=180°B．∠4+∠5=∠2 C．∠1+∠3+∠6=180°D．∠1+∠6=∠2 2．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．其中正确结论是（） （1）在图1中∠A+∠D=∠C+∠B． （2）在图2中“8字形”的个数为4． （3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时∠P=45度． （4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变 ∠D+∠B=2∠P． A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4） 如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线． （1）试判断∠F与∠B、∠D之间的等量关系； （2）若∠B：∠D：∠F=2：x：3，求x的值 3．如图，在△ABC，∠A=70°，D、E、F分别在BC、AC、AB上，且∠1=∠2，∠3=∠4，则∠EDF的度数是； 4．如图，已知AF平分∠BAC，过F作FD⊥BC，若∠B比∠C大20度，则∠F的度数是；5．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（） A．B．C．D．
如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1． （1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为； （2）若∠A=α，则∠P1的度数为（用含α的代数式表示）； （3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（用n与α的代数式表示）； 6．如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别过点B，C，如果∠A=40°，那么∠ABD+∠ACD的度数是； 7．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=52°，∠3=70°，则∠2是. 如图所示，已知∠ABC=8°，∠θ=90°．若∠α1=∠β1，∠α2=∠β2，∠α3=∠β3，…，∠αn=∠βn （n是大于等于1的自然数），试探究∠A的度数x与n的关系式． 二、解答题： 8．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足为D，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，AE与BF相交于点O． （1）当∠BAC=50°，∠C=70°时，求∠AED，∠AOB；（2）当∠C=α时，求∠AOB．