初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题(重要)

B A O

C 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考）

一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用

例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？

研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2)

而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 12

∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 12

∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交

于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 12 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与

∠A 的关系又如何呢?

分析：∠O = 180°-（∠1+∠2）

而∠1+∠2 = 12

(180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 12

(180°+ ∠A)]

= 180°- 90°- 12

∠A = 90°- 12 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为

∠O = 90°- 12

∠A 。 例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， 且交于点P ，

探究：∠A 与∠P 的关系。

分析：∠P=∠2-∠1，

∠2= 12 (∠A+∠ABC) ∠1= 12

(180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12

∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 12 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一

半。即为∠P = 12

∠A 。 规律的应用

1、 如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。

E F

2、如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点E ，且∠A=110°，求∠E= 。

3、如图：在△ABC 中,∠A=90°,∠B =32°,OA 、OB 、OC 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，

则∠AOB= ，∠BOC= ，∠COA= 。

4、在△ABC 中，OA 、OC 分别平分∠A 、∠C ，且∠AOC=116°，则∠B= 。

5、如图，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，∠A=62°，则∠P= 。

6、在△ABC 中，∠A=m °, ∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点P 1，得∠P 1，∠P 1BC 与∠P 1CD 的平分线P 2，得∠P 2……，∠P 2013BC 和∠P 2013CD 的平分线交于P 2014，∠P 2014= 度。

7、如图所示，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，

若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

二、三角形内角和、角平分线与高线规律发现及应用

例1：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ， 交BC 于点E ，且∠C ＞∠B ，求证∠DAE= 12 (∠C-∠B) 分析引导：∠DAE=∠BAC-∠BAE-∠CAD

而∠BAE = 12 ∠BAC ，∠CAD= 90°-∠C ∴∠DAE =∠BAC - 12 ∠BAC -（90°-∠C ）= 12 ∠BAC +∠C - 90° = 12 （180°-∠B -∠C ）+∠C - 90° = 90°- 12 ∠B - 12 ∠C+∠C - 90°= 12

(∠C-∠B) 由例1总结出重要规律：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角的差的一半。 规律的应用

（1）如图所示，AD 、AE 分别为△ABC 的高和角平分线，且

∠B=35°，∠C=45°，则∠DAE= 。

（2）如图所示，AD 和AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且

∠DAE=12°，∠B=62°，则∠A= ，∠ACB= 。

（3）在Rt △ABC 中，CD 和CE 分别是高和角平分线，∠DCE=15°，

则△ABC 三边的比为 。

（4）已知如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ），F 为AE 上任意一点（A 、E 除外），且FD ⊥BC 于D ，求

证：∠DFE= 12

（∠C-∠B ）

在教学中通过对基本内容的讲解和分析、综合，找出其中的内在联系，并配以适当的

作业练习，使学生对所学知识熟练化、系统化、规律化，使学生对知识强化的同时，也开

（第5题）

C P B A

D D

发了学生的智力。