八年级数学特殊三角形
八年级数学上册 17 特殊三角形小结与复习冀教版
——————————教育资源共享步入知识海洋————————第十七章小结与复习【知识梳理】一．等腰三角形1.相关概念：有两边相等的三角形是等腰三角形（在未知是否为等腰三角形时，不能先说有两腰相等的三角形叫等腰三角形，防循环论证）；三边都相等的三角形叫等边三角形（也称之为正三角形），它是特殊的等腰三角形．2.等腰三角形及等边三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线就是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°．二．直角三角形１.直角三角形的性质定理：２.含30°角的直角三角形的性质：３.直角三角形的判定：4.直角三角形全等的判定：三．勾股定理勾股定理是初中数学中的一个重要定理，在直角三角形中，已知两边可利用此定理求第三边的长.可从三边的平方关系中判断一个三角形是否为直角三角形，可解决面积问题等等．1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 +b2 = c22.如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形；3.满足a2 +b2 = c2的三个正整数，称为勾股数．四．反证法1.用反证法证明找出命题结论的反面是关键，“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”；2.用反证法证明一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与定义、定理的矛盾．【典例分析】例1．等腰三角形顶角与底角之比为1:4，则三个角分别是_________．解：设顶角与底角分别为x ，4x ，根据题意，有x +4x +4x=180．（以下略）掌握概念、把握方法、灵活运用数学思想，善于数形结合，就能掌握等腰三角形．例2.如图1，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =425cm ，则AD 的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm分析:本题考查折叠的有关知识及勾股定理的应用.∵△ABC ≌△AEC ,∴∠EAC=∠BAC , 又∵四边形ABCD 为矩形,∴DC=AB=8,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC =∠FCA, ∴AF =FC =425,∴DF=DC-CF =8-425=47, 又∵∠D=090,∴AD =(),636474252222cm DF AF ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-故选C. 例3.如图2，有一木质圆柱形笔筒的高为h ，底面半径为r ，现要围绕笔筒的表面由A 至1A （1A A ，在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．分析:求几何体表面的最短距离时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转化成平面图形,于是问题可迎刃而解.把圆柱的侧面展开如图3,金属线的最短长度()22222212142h r h r B A AB AA +=+=+=ππ. 评析: 解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化.方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求.例4．如图，AB=AC ，D 为BC 上一动点，DE ⊥AB于E ，图1 图2 A1A 1ADF ⊥AC 于F ，∠BAC ＝120°，BC ＝10cm,则DE ＋DF ＝ 。
河北省2024八年级数学上册第十七章特殊三角形拔高练三角形中的动态问题课件新版冀教版
∠ ACD 的数量关系.
1
2
(2)①解：同(1)可证，△ BAD ≌△ CAE ，
∴∠ ABD ＝∠ ACE . ∵∠ AFB ＝∠ CFO ，∠ ABF ＋∠ AFB
＋∠ BAC ＝∠ FCO ＋∠ CFO ＋∠ BOC ＝180°，
∴∠ BOC ＝∠ BAC ＝70°.
∴ PB ＝ BC － PC ＝6 －6. 1 2
③当 AQ ＝ PQ 时，如图②，∠ QAP ＝∠ QPA ＝45°.
∵∠ BAP ＝∠ BAC －∠ QAP ＝45°，∴∠ APB ＝
90°.∵ AB ＝ AC ， AP ⊥ BC ，∴ PB ＝ PC ＝ BC ＝3
.综上所述， PB 的长度为0或6 －6或3 .
∵0°≤∠ BAP ＜90°，∠ B ＝45°，
∴45°≤∠ BAP ＋∠ B ＜45°＋90°＝135°，
∴45°≤∠ APC ＜135°. 1 2
2. [2023保定期中]如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，
AB ＝ AC ＝6， BC ＝6 ，点 P 从点 A 出发以每秒1个
单位长度的速度沿折线 AB — BC 匀速移动，运动时间
为 t 秒，到达点 C 时停止，点 Q 在 AC 边上随点 P 移
动，且始终保持∠ APQ ＝∠ B .
(3)当点 P 在边 BC 上(包括端点 B )，△ APQ 为等腰三角形
时，求 PB 的长度.
1
2
解：根据题意有∠ AP为等腰三角形时，分为三种情况：
①当 AP ＝ AQ 时，∠ AQP ＝∠ APQ ＝45°，则∠ PAQ ＝
第十七章
培优拔高练
八年级数学特殊三角形教案
解：作AF⊥BC于F．
因为AB＝AC，AF⊥BC．
所以BF＝FC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．
同理可证DF＝EF．所以BD＝CE．
例4.如图所示，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，那么BH＝AC吗？说明道理．
2.等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不是顶角平分线本身）。
3.推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。
4.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。
（2）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）
A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm
分析：（1）要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角，当顶角的外角是70°时，则底角为 ×70°＝35°或顶角是180°－70°＝110°，则底角是 （180°－110°）＝35°；若它是底角的外角，则底角为110°，但是两个底角的和为220°＞180°，所以这种情况不合理．（2）根据三角形的三边关系可知当以3cm为腰时，不能组成三角形，所以只能以3cm为底边，6cm为腰，所以其周长为6＋6＋3＝15cm．
2.等腰三角形是轴对称图形，顶角__________________是它的对称轴。等边三角形有__________________条对称轴。
3.等腰三角形的两个__________________相等。等腰三角形的顶角平分线、__________________和__________________互相重合。
浙教版八年级上数学特殊三角形
考点分析1、掌握等腰三角形的性质及判定定理2、掌握直角三角形的性质3、特殊三角形在全等证明中的运用4、掌握勾股定理的计算方法知识点概要1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
PS:等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
4、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
8年级 数学 特殊三角形参考答案
【题 11】
【分析】证明：∵AF=AG，∴∠G=∠GFA． ∵∠ADC=∠GEC， ∴AD∥GE． ∴∠BAD=∠GFA，∠DAC=∠G． ∴∠BAD=∠DAC，即 AD 平分∠BAC．
2
业精于勤荒于嬉， 行成于思毁于随
【暑假收心· 第四练参考答案】
学员检测反馈体系
可预期 可检测 可反馈
【题 12】
【题 19】①②
【分析】在等边△ABC 中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°， ∵在△ABE 和△CAD 中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD，故①正确； ∵∠ACD=∠BAE， ∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°， 在△ACF 中，∠AFC=180°﹣（∠CAF+∠ACD）=180°﹣60°=120°，故②正确； ∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠FAD≠60°， ∴△ADF 不是正三角形，故③错误.
【题 3】9 或 13
【分析】设等腰三角形的底边长为 x，腰长为 y，则根据题意得：
或
， 解得
或
，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为 9 或 13．
【题 4】8 或 4
【分析】设等腰三角形的腰长是 x， ∵等腰△ABC 的底边长为 6， ∴分两种情况，①x﹣6=2；②6﹣x=2， 解得：x=8 或 4.
【题 17】等边三角形
【分析】∵△ABC 为等边三角形，且 AD=BE，∴AF=BD，∠A=∠B=60°， ∴在△ADF 与△BED 中， ， ∴△ADF≌△BED（SAS）．
4
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最新八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)
八年级上特殊三角形复习一、等腰三角形1、如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．2、如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．3．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．4．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．5．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．6．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．7．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。
（1）求证：AE=CD；（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论。
8．如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．9．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？二、直角三角形1．如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，即可求出x的值．参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4．请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）2．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为时，△PBQ是等边三角形？（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．3．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=900，B,C,E在同一条直线上，连结DC．（1）图2中的全等三角形是_______________ ,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由．4．已知：如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2=AD2+DB2．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．6．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3cm，长BC=5cm．求EC的长．7．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．8．在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．9．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接DE ． （1）判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由； （2）若AC =6，BC =8，PA =2，求线段DE 的长．10．如图， C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB BD ，ED BD ，连结AC 、EC ，已知线段AB =5，DE =1，BD =8，设CD =x （1）用含x 的代数式表示AC +CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC +CE 最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式9)12(422+-++x x 的最小值．11．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD 的长．一、等腰三角形1．过点P 作PH ⊥BO 于点H ，则PE =PH =21PD =2 2．证明：（1）∵AB =AC ，D 是B C 的中点，∴∠BAE =∠EAC ， ∴△ABE ≌△ACE （S A S ），∴BE =CE ； （2）∵∠BAC =45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF =BF ， ∵AB =AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF +∠C =90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF +∠C =90°，∴∠EAF =∠CBF ，∴△AEF ≌△BCF （A S A ）．∴EF =CF 3．延长AD 、BC ，两条延长线交于点E ∵∠B =90°，∠A =30°∴∠E =60° ∵∠ADC =120°∴∠CDE =60°∴△CDE 是等边三角形，则CD =CE =DE 设CD =x ，则CE =DE =x ，AE =x +4，BE =x +1∵ 在Rt △ABE 中，∠A =30°，∴ x +4=2(x +1)，解得：x =2，∴CD =2 4．（1）∵△ABC 为等边三角形∴∠A =∠ABC =∠C =60° ∵DE ∥BC ，∴∠AED =∠ABC =60º，∠ADE =∠C =60º∴∠AED =∠ADE =∠A =60º，∴△ADE 是等边三角形 （2）∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC ∵AB =BC ，BD 平分∠ABC ，∴AD =21AC ∵△ADE 是等边三角形，∴AE =AD ，∴AE =21AB 5．（1） 10° （2）40°（3） α=2β．理由如下：（4）因为 AB =AC ，AD =AE ，所以 ∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ． 又∠ADC =∠B +∠BAD ，得∠AED +∠EDC =∠B +∠BAD ．所以∠EDC +∠C +∠EDC =∠B +∠BAD ，所以2∠EDC =∠BAD ，即α=2β ．6．（1）（2）解：∵点A 与点D 关于CN 对称， ∴CN 是AD 的垂直平分线， ∴CA =CD ． ∵∠AC N=α， ∴∠ACD =2α．∵等边△ABC ，∴CA =CB =CD ，∠ACB =60°． ∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =60°+2α． ∴∠BDC =∠DBC =21（180°∠BCD ）=60°-α． （3）结论：PB =PC +2PE ． 本题证法不唯一，如：证明：在PB 上截取PF 使PF =PC ，连接CF ． ∵CA =CD ，∠ACD =2 ∴∠CDA =∠CAD =90°-α．∵∠BDC =60°-α， ∴∠PDE =∠CDA ∠BDC =30°． ∴PD =2PE ． ∵∠CPF =∠DPE =90°∠PDE =60° ∴△CPF 是等边三角形． ∴∠CPF =∠CFP =60°∴∠BFC =∠DPC =120°∴△BFC ≌△DPC ． ∴BF =PD =2PE ∴PB = PF +BF =PC +2PE ．7．因为,△ABD ,△BCE 都是等边三角形，AB =BD ，BE =BC ∠ABD +∠DBE =∠EBC +∠DBE ，所以∠ABE =∠DBC 所以△ABE 全等△DBC ，所以AE =CD （2）等边三角形8．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =60°,AB =AC 又∵AE =BD ,∴△AEC ≌△BDA ，∴ AD =CE（2）解由（1）△AEC ≌△BDA ，得∠ACE =∠BAD ∴∠DFC =∠FAC +∠ACE =60° 9．(1)证明：∵CO ＝CD ，∠OCD ＝60°，∴△COD 是等边三角形；(2)解：当α＝150°时，△AOD 是直角三角形．(5分)理由如下：由题意可得△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC ＝∠BOC ＝150°．又∵△COD 为等边三角形，∴∠ODC ＝60°，∴∠ADO ＝90°．即△AOD 是直角三角形；(3)解：①要使AO ＝AD ，需∠AOD ＝∠ADO ．∵∠AOD ＝190°－α，∠ADO ＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°．②要使OA ＝OD ，需∠OAD ＝∠ADO ．∵∠OAD ＝180°－(∠AOD ＋∠ADO )＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°．∴α＝110°；③要使OD ＝AD ，需∠OAD ＝∠AOD ，∴190°－α＝50°，∴α＝140°．综上所述，当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．二、直角三角形1．参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EA F =60°， ∠EGF =120°，∠AEG =∠AFG = 90°，AE =AF =AD =4． 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形．∴ EF =4． ∴ ∠FEG =∠EFG = 30°．∴ EG =FG ．在△EFG 中，可求，EG =334． ∴△EFG 的周长＝BG +CG +BC =BG +CG +EB +FC =2EG =338．2．（1）要使，△PBQ 是等边三角形，即可得：PB =BQ ， ∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ．∴AB =36cm ， 可得：PB =36﹣2t ，BQ =t ，即36﹣2t=t ，解得：t=12，故答案为；12（2）当t 为9或572时，△PBQ 是直角三角形，理由如下： ∵∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ∴AB =2BC =18×2=36（cm ）∵动点P 以2cm/s ，Q 以1cm/s 的速度出发∴BP =AB ﹣AP =36﹣2t ，BQ =t∴∠4＝∠B ＝45°，BD ＝CE ∴∠ECF ＝∠3+∠4＝90°， ∴CE 2+CF 2＝EF 2，∴BD 2+FC 2＝EF 2，∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴△DAF ≌△EAF ∴DF ＝EF ∴BD 2+FC 2＝DF 2．（3）解：过点A 作AG ⊥BC 于G ，由（2）知DF 2＝BD 2+FC 2＝32+42＝25∴DF ＝5， ∴BC ＝BD +DF +FC ＝3+5+4＝12，∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝AG ＝21BC ＝6，∴DG ＝BG ﹣BD ＝6﹣3＝3， ∴在Rt △ADG 中，AD ＝53．6．由折叠可知AD=AF=5cm ，DE=EF∵∠B ＝90°∴ AB 2+BF 2= AF 2，∵AB=3cm ，AF=5cm∴BF=4cm ，∵BC=5cm ，∴FC=1cm ∵∠C ＝90°，∴ EC 2+FC 2= EF 2 设EC ＝x ，则DE=EF=3－x ∴（3－x ）2＝12+x 2∴ x ＝347．证明：（1）连接BE ，DE∵∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点，∴BE =21AC ，DE =21AC ∴BE =DE ∵点F 是BD 的中点，BE =DE ∴EF ⊥BD（2）∵BE =21AC ∴BE =5 ∵点F 是BD 的中点∴BF =DF =3在Rt △BEF 中，EF ==48．作AD ⊥BC 于D ，如图所示：设BD = x ，则CD =x -14． ∴2222)14(1315x x --=-， 解之得：9=x ． ∴． ∴84=S9．（1）DE ⊥DP ，理由如下：连接OD ，∵PD =PA ，∴∠A =∠PDA ，∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EB =ED ，∴∠B =∠EDB ，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°，∴∠PDA +∠EDB =90°，∴∠ODE =180°﹣90°=90°，∴DE ⊥DP （2）连接PE ，设DE =x ，则EB =ED =x ，CE =8﹣x ，∵∠C =∠PDE =90°，∴PC 2+CE 2=PE 2=PD 2+DE 2，∴42+（8﹣x ）2=22+x 2，解得：x =4．75，则DE =4．75． （10分）10．（1）125)8(22+++-x x（2）解：当点C 为AE 和BD 的交点时，根据两点之间线段最短，所以AC +CE 的值最小（3）解：如图（1），C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB BD ，ED BD ，连接AC ，ED 。
人教版初二数学讲义《特殊三角形之直角三角形》
1有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形 思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定11特殊三角形之 直角三角形2等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．【引例】 如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长．【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =， 在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1， 则点C 到AB 所在直线的距离等于 ．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝ ．EABCDDCBA典题精练例题精讲图2图1AMF DE FM D CBADCBAABC35. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6， 则S △ABC ＝ ．【解析】 1. 直角2. 62︒；62︒；28︒3. 24. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．5. ∵AB 边上的中线长为2，∴AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC ＋BC ＝6，∴()236AC BC +=，即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】 若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：⑴ 222111a b h+=；⑵ a b c h +<+．【解析】 ⑴ ∵222a b c +=，ab ch =，∴ab c h=， 代入得22222a b a b h +=，∴222111a b h+=． ⑵ 由222a b c +=，ab ch =，则22222a ab b c ch ++=+，∴222222a ab b c ch h ++<++，即()()22a b c h +<+，∴a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】 已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长． 例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系4【解析】 解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =， 设BC x =，则2AB x =， 那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =，∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==．【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置， 若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为 ．（四中期中）⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是 ．【解析】 ⑴ 2c a =；⑵ 12cm ；⑶ 64．【例4】 如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。
2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版
BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE
新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节等腰三角形的性质
新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节 等腰三角形的性质【课本相关知识点】1、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角 ，这个定理也可以说成，在同一个三角形中，2、推论：等边三角形的每个内角都等于3、等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的 、底边上的中线和高线互相 ，简称等腰三角形的【典型例题】【题型一】利用等腰三角形的性质求角度例1、（1）在△ABC 中，AB=AC ，若∠A=50°，则∠B=（2）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为（3）若等腰三角形的一个角为90°，则顶角为（4）若等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为温馨提醒：一定要看清题目，是否要分类讨论。
多画图，有助于解题。
例2、如图所示，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，分别以两腰为边向外作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，已知∠DAE=∠DBC ，求△ABC 的三个内角的度数。
【题型二】三线合一中，知“一线”推“二线”（前提一定要在等腰三角形中） 例1、如图，已知△ABC（1）若AB=AC ，∠1=∠2，则 ，（2）若AB=AC ，AD ⊥BC ，则 ，（3）若AB=AC ，BD=DC ，则 ， 【题型三】运用等腰三角形的性质证明线段相等、垂直、角度相等例1、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是△ABC 的高，求证：∠BCE=∠CBD例2、如图所示，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。
（1）试说明AF ⊥CD（2）在（1）中的结论说明完毕后，还能得出什么新的结论？请你写出三个（不必说明理由）例3、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，试说明EF ⊥BC 。
巩 固 练 习1、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是2、若等腰三角形的顶角等于50°，则一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A 25°B 30°C 45°D 65°注意：记住结论：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半3、如图所示，已知P 、Q 是△ABC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC=4、在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE ，BC=BD ，求∠DCE 的度数5、如图所示，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，AD=AE ，∠BAD=40°，求∠CDE 的度数6、如图所示，∠AOB 是一个钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管________根 7、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，如果∠BAC=110°，那么∠PAQ=8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的BC 边上的高为h 。
八年级上册数学第二章特殊三角形
八年级上册数学第二章特殊三角形示例文章篇一：《特殊三角形：八年级上册数学第二章的奇妙之旅》嘿，你知道吗？在我们八年级上册的数学里，有一个超级有趣的章节，那就是第二章特殊三角形。
这可不像我们平常看到的那些普普通通的三角形哦。
特殊三角形就像是三角形家族里的明星。
先来说说等腰三角形吧。
等腰三角形呀，就像一个对称的小房子，它有两条边是一样长的，这两条边就像是房子的两个支柱，稳稳地支撑着。
我和我的同桌就经常讨论等腰三角形呢。
我对同桌说：“你看等腰三角形，这两条相等的边多神奇呀，就像双胞胎一样。
”同桌就会回答我：“是呀，而且等腰三角形的两个底角也是相等的呢。
这就好比是双胞胎不仅长得像，连性格都有相似之处。
”有一次做数学题，题目里有一个等腰三角形，只告诉了我们顶角的度数，要我们求底角的度数。
我一开始有点懵，这可怎么求呀？我就抓耳挠腮的。
这时候，前面的学霸转过来看到我的样子，笑着说：“这还不简单嘛。
等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180度，用180度减去顶角的度数，再除以2就得到底角的度数啦。
”我听了之后，恍然大悟，就像在黑暗中突然看到了亮光一样。
我赶紧按照学霸说的方法去做，果然得出了正确的答案。
我兴奋地对同桌说：“原来等腰三角形的这个性质这么好用啊，就像一把万能钥匙，可以打开这类型题目的锁。
”再说说等边三角形吧。
等边三角形可就更厉害了，它就像一个完美的小金字塔。
等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60度呢。
这就好像是三个一模一样的小伙伴，手拉手围成了一个圈。
有一回老师在黑板上画了一个等边三角形，问我们：“这个等边三角形的角是不是都一样呀？”我们都齐声回答：“是。
”老师又问：“那这个等边三角形和等腰三角形有什么关系呢？”我马上举手说：“老师，等边三角形是特殊的等腰三角形，因为它不仅两条边相等，是三条边都相等呢。
”老师笑着点头说：“非常正确。
”这时候我可高兴了，感觉自己像个小数学家一样。
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特殊三角形复习题
一．精心选一选：（每题3分，共24分。
）
1.等腰三角形的两条边长是4和5，则它的周长是（）A12B13C.14 D. 13或14
2.下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是。
（）
A．线段B。
角C。
等腰三角形D。
等边三角形
3.如下图在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互为余角的有。
（）
A．2对B。
3对C。
4对D。
5对
4.在△ABC中，∠C＝40°,∠B=70°,则下面的结论是正确的是。
（）
A．AB＝AC B。
AC＝BC C。
BC＝AB D。
都不相等
5.以下各组数为连长的三角形中，能组成直角三角形的是（）
A．3、4、6 B。
15、20、25 C。
5、12、15 D。
10、16、25
6.在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70
B。
55°C。
70°或55° D.60°
7.下列判断正确的是。
（）
A.顶角相等的的两个等腰三角形全等
B.腰相等的两个等腰三角形全等
C.有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
D.顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
8.已知，如图在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的
个数是（）A．2B。
3 C。
4 D。
5
二．专心填一填：（每题3分，共30分。
）
1.在△ABC中, ∠ACB＝90°，AB＝10cm,点D为AB的中点，则CD＝_____cm.
2.在Rt△ABC中, 锐角∠A＝35°，则另一个锐角∠B＝＿＿＿＿＿＿＿。
3.在△ABC中, ∠A＝120°，∠B＝30°，AB＝4cm,则∠DAC＝＿＿＿＿__。
4.如图，在△ABC中,AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝6cm,则BC＝＿＿＿＿＿。
5.
等腰直角三角形的一条直角边为1cm,则它的斜边上的高线是＿＿＿_cm. 6. 如图,已知在△ABC 中,BC ＝3，∠ACB 和∠ABC 的两条角平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，则△OEF
的周长是＿＿＿＿＿＿＿。
7. 已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成9cm 和6cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是＿＿＿
8．在Rt △ABC 中, AB ＝5，BC ＝3，则AC ＝＿＿＿＿＿＿。
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6厘米，BC ＝8厘米，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为______
10．如图2，某地有两所大学M 、N 和两条交叉的公路AO 、BO ，现计划建一个体育馆，希望体育馆到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，则体育馆应建在 .
11．如图3，用硬纸片剪一个长为16cm ，宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 cm ，周长最小的是 cm.
三． 细心做一做：（每题6分，共36分。
）
17.如图，在四个均由16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这四个三角形中，
3．
已知如图，BD 、CE 是△ABC 的高线，且BD ＝CE ，则△ABC 是等腰三角形吗？
请你说明理由。
4．如图，在Rt
△ABC 中, ∠C ＝90°，∠A ＝30°，
（1）以直角边AC 所在的直线为对称轴，将Rt △ABC 作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。
A B C D
图3
（2）Rt △ABC 和它的像组成了什么图形？（＿＿＿＿）（3）利用上面的图
形，你能找出直角边BC 与斜边AB 的数量关系吗？并请说明理由。
5．已知如图，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝BE ，，∠EDC ＝∠ECD ，请你说明下
列结论成立的理由：（1）△AED ≌△BCE ，（2）AB ＝AD ＋BC 。
21．小娇的母亲下岗后，在再就业服务中心的帮助下，开了一家皮衣美容店.一天，一位顾客送来一件皮衣，皮衣上有一个三角形孔洞，让她修补，此时店里有一块颜色、皮质与皮衣完全一样的皮子，其大小与皮衣的孔洞恰好一样，但方向相反，如图7，请你帮小娇的母亲想一想，怎样利用这块皮子（可剪开拼接，损耗不计）补满皮衣上的三角形孔洞.
23．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们
会全等?
(1)阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB=A 1B 1，BC=B 1C l ，∠C=∠C l ．
求证：△ABC≌△A 1B 1C 1．
(请你将下列证明过程补充完整)
证明：分别过点B ，B 1作BD⊥CA 于D ，
B 1 D 1⊥
C 1 A 1于
D 1.
则∠BDC=∠B 1D 1C 1=900，
∵BC=B 1C 1，∠C=∠C 1，
∴△BCD≌△B 1C 1D 1，
∴BD=B 1D 1．
(2)归纳与叙述：
由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
6．如图，下面是两张三角形纸片，图1的三角形纸片△ABC 的各个角的度数与图2的三角形纸片△DEF 的各
个角的度数如图所示，且AB ＝EF ＝a,AC ＝DF ＝b,将它们剪 成三个等腰三角形，且其中有两组全等的三角形。
请在原图上画出剪法，并作必要的说明。
皮衣上的孔洞形状
店里的皮子
图7。