专题 特殊三角形-讲义
特殊三角形
主讲教师：傲德
我们一起回顾
1、等腰三角形
2、等边三角形
3、直角三角形
重难点易错点解析
等腰三角形
题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．
等边三角形
题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．
直角三角形
题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．
请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．
金题精讲
题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．
求证：BD=2CD．
题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．
题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
思维拓展
题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．
学习提醒
重点：
等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一
等腰三角形的判定——等角对等边
等边三角形的性质——三边相等，3个60°
等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形
30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半
直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理
直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
特殊三角形
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：证明略
点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一
等腰三角形的判定——等角对等边
题二：证明略
点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60°
等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半
题三：证明略
点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理
直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
金题精讲
题一：证明略
题三：证明略
思维拓展
题一：证明略
特殊三角形专题练习
特殊三角形专题练习 一．选择题(共9小题) 1.已知等腰三角形的周长为２4,腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x<6 C．6＜ｘ＜12 D．0＜x<12 2.若实数x,y满足﹣4０，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 16或２０ D. 20 A．12 B．16 Ｃ . 3．如图,在△中，∠９0°,,是经过A点的一条直线,且Ｂ,C在的两侧,⊥于Ｄ，⊥于E,2,6,则的长为（） ３ C. 5 D. 4 A. 2 Ｂ . 4．等腰三角形一条边的边长为３,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程ｘ2﹣１20的两个根，则k的值是（）A．27 B．3６Ｃ 2７或3６ D．１8 ．
5．如图,在△中,，平分∠交于点D,∥交的延长线于点Ｅ．若∠３5°,则∠的度数为（） Ａ．40° B. 45°Ｃ ． ６0° D. 70° ６．如图，△中,⊥于D,⊥于Ｅ，与相交于F，若，则∠的大小是（ ) A．4０°B．45°C．5０°Ｄ ． 60° 7.如图,,若∠80°，则∠（ )
A. ８０°Ｂ 1０0°C．140° D. 160° . ) 8.已知如图,∥，⊥，⊥,，2，3，则△的面积为（ 5 D. 无法确定 ． 9．如图，已知△的面积为10２,为∠的角平分线,垂直于点Ｐ, ) 则△的面积为（ A. 62B．52 C. ４2Ｄ ． 二.填空题（共８小题) 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，
江苏省2019年中考数学复习微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明训练
微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连结AD ，CD. (1)求证：△ADE≌△CDB； (2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值． 2．如图，在等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别同时从点A ，B ，C 出发，以相同的速度在AB ，BC ，CA 上运动，连结DE ，EF ，DF. (1)证明：△DEF 是等边三角形； (2)在运动过程中，当△CEF 是直角三角形时，试求S △DEF S △ABC 的值．
3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．
专题 特殊三角形-讲义
特殊三角形 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、等腰三角形 2、等边三角形 3、直角三角形 重难点易错点解析 等腰三角形 题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C． 等边三角形 题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE． 直角三角形 题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF． 请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．
金题精讲 题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D． 求证：BD=2CD． 题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长． 题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形． 思维拓展 题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交． 学习提醒 重点： 等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形 30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
特殊三角形 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一：证明略 点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 题二：证明略 点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 题三：证明略 点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理 金题精讲 题一：证明略 题三：证明略 思维拓展 题一：证明略
浙教版八年级上册专题复习--特殊三角形
八年级专题复习---第二章 特殊三角形 知识点回顾 一、等腰三角形 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定 （1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）三条边都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符 号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称 之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的 两条直角边和斜边，那么222c b a =+ 3、直角三角形判定 (1)根据定义判定 (2)两内角互余的三角形是直角三角形. (3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 四、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴ 2、勾股定理的应用： （1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n 的线段. 3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
特殊三角形常见题型
八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 B O D B O
第3讲特殊三角形专题复习.docx
特殊三角形专题复习 【构造等腰三角形解题的常见途径】 一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中岀现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1①中，若4D 平分 ZB4C, AD//EC,则/VICE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分ZBAC, DE//AC,则ZVIDE 是等腰三 角形；如图1③中，AQ 平分ZBAC, CE//AB,则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分ZBAC, EF //AD,则ZV1GE 是等腰三角形. 例2如图3,在△ABC 中，ZBAC 、ZBCA 的平分线相交于点0,过点。作DE 〃人C,分别交4B 、BC 于点ZX E.试猜想线段AD. CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由. 例3 如图4, AABC 中，AD 平分ABAC, E 、F 分别在3￡＞、AD 上，且DE=CD 求证：EF//AB ? 例1 如图2, /XABC 中，AB=AC,在AC _k 取点P,过点P 作EF 丄BC,交 BA 的延长线于点E,垂足为点F.求证：AE=AP. B C B 图1
二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5 中，若AD平分 ZBAC, AD丄DC,则ZVIEC是等腰三角形. 例 4 如图6,已知等腰Rt/\ABC中，AB=AC, ZBAC=90° , BF 平分ZABC, CD 丄BD交BF的延长 线于D.求证：BF=2CD. A 三、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图7①中，若Z4BC=2ZC,如果作3D平分ZABC.则是等腰三角形；如图7②中，若Z4BC=2ZC, 如果延长线CB到D 使连结AD,则△4DC是等腰三角形；如图7③中，若kB=2ZACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ZACD=ZACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形. 例 5 如图8,在△ABC 中，ZACB=2ZB, BC=2AC.求证：ZA=90°? 四、模拟画图例6已知在如图1的ZLABC中，AB=AC, ZA=36°, 仿照图1，请你再用两种不同的方法，将AABC分割成3个三角 形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工 具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰 三角形的内角度数） . 图8 图1图3
特殊三角形专题练习(精.选)
特殊三角形专题练习 一．选择题（共9小题） 1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12 2．若实数x，y满足﹣40，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A．12 B．16 C．16或20 D．20 3．如图，在△中，∠90°，，是经过A点的一条直线，且B，C 在的两侧，⊥于D，⊥于E，2，6，则的长为（） A．2B．3C．5D．4 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣120的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18 5．如图，在△中，，平分∠交于点D，∥交的延长线于点E．若∠35°，则∠的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70° 6．如图，△中，⊥于D，⊥于E，与相交于F，若，则∠的大小是（） A．40°B．45°C．50°D．60° 7．如图，，若∠80°，则∠（） A．80°B．100°C．140°D．160° 8．已知如图，∥，⊥，⊥，，2，3，则△的面积为（） A．1B．2C．5D．无法确定
9．如图，已知△的面积为102，为∠的角平分线，垂直于点P，则△的面积为（） A．62B．52C．42D．32 二．填空题（共8小题） 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形的顶点E、F、G、H分别在正方形的边、、、上．若正方形的面积=16，1；则正方形的面积= ． 11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，则每个直角三角形的
特殊三角形与四边形——几何综合专题复习
特殊三角形与四边形 ——几何综合专题复习一、教材内容解析 《特殊三角形与四边形》，是在九年级下学期第一轮系统复习《直线形》中的一节小专题复习课，是在前面复习了三角形、特殊三角形、平行四边形、矩形、菱形及正方形的基础上进行的,本节课将以直线形为载体,以方程、分类讨论的思想为主线,是学生学习几何图形的再知和整合的过程,通过本节课的学习,逐步增强学生利用特殊三角形与四边形的相关知识解决综合问题的能力,为中考和以后学习其它的几何图形做好准备. 二、学习目标 1、在问题的引导下,进一步体会特殊三角形与四边形之间的关系； 2、通过问题的解决,形成解决相关问题的基本方法和思路,进一步优化解决问题的策略; 3、在活动的探究中,逐步增强利用特殊三角形与四边形的相关知识解决综合问题的能力; 4、结合特殊三角形与四边形相关的几何问题,体会方程、分类讨论的数学思想. 三、重点难点 重点:体会特殊三角形与四边形之间的联系。 难点:在特殊三角形与四边形的背景下,综合运用相关知识解决问题 四、教学活动 活动一：动手操作 两个全等的直角三角形可以拼成哪些特殊的三角形或四边形？ （1）拼成的等腰三角形可能三条边都相等吗？这两个直角三角形需要满足什么条件？（2）拼成的矩形会是正方形吗？ （3）拼成的平行四边形可能是菱形吗？为什么？ 【设计意图】从动手操作中激发学习对特殊三角形与四边形复习的兴趣，通过追问，体会特殊三角形与四边形之间的联系，从而使学生在轻松的氛围中进入学习的佳境。 活动二：基础练习 1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，用直尺和圆规作∠DAB的平分线； （1）△ADH的形状是；
（2）连接BH ，若BH 平分∠ABC ，则AD 、AB 的数量关系是 。 2、如图所示，菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，则菱形ABCD 的面积为 ． 【设计意图】这组基础训练题，以便了解学生对基础知识、基本方法的掌握情况，通过巧妙变式，使学生总结方法、形成能力，感受三角形是四边形的基础，四边形问题的转化途径是三角形。 活动三：例题讲解 例1、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线AC 上的B′处， （1）若AB=3，BC=4； ①B’C= ； ②求CE 的长 ； （2）若BC=3BE ，则∠ACB= ． 【设计意图】例一体现了矩形与直角三角形的联系，例题讲解针对学生日常重点问题，通过一题多解，从不同角度,不同方位审视分析同一题中的数量关系,用不同解法求得相同结果，逐步增强学生解决综合问题的能力，同时也渗透方程的数学思想。 例2、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将△ABC 沿EF 所在的直线折叠，点C 恰好落在点B 处。 （1）证明：点E 是AC 的中点； （2）过点B 作AC 的平行线，交EF 的延长线于点D ，连接CD ，证明：四边形BECD 是菱形 B A C F B A C F D B D
初中数学竞赛专题分类解析 第三讲：特殊三角形
初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形 一、基础知识： 1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。 2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和120 度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；…… 3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆； 4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120 度的等腰三角形。 二、例题分析 例1、如下左图，在四边形ABCD 中，∠B=135 度，∠C=120 度，AB=2， BC=4-2，CD=4，求AD 的长度。 例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点E，I 是△BEC 的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M 是BC 的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.
例3、如下左图△ABC 中，AB=AC，在AB 边上有两点P 和Q，在AC 边上有两点R 和S，且PQ=RS，M 和N 分别是PR 和QS 的中点，求证：MN⊥BC。 例4、如上右图，等腰△ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C 的平分线交DF 于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE 的长。 例5、如下左图，等边△ABC 的边长为4，D 是AC 边上的动点，连接BD，以BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE 长的最小值。 例6、如上右图，△ABC 中，∠B AC=60 度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120 度，M 是BC 的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。 例 7、如下图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，A E⊥CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证，M 是 DF 的中点。
中考总复习(特殊三角形)
中考总复习：特殊三角形—知识讲解【考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形 1. 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2．性质： (1) 具有三角形的一切性质； (2) 两底角相等(等边对等角)； (3) 顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4) 等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等(等角对等边) ； (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形； (3) 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释： (1) 腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2) 等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形 1. 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2 性质：(1) 直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3) 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4) 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5) 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； (6) 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释： 1直角三角形中，SRS ABC=ch=ab ,其中a、b为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 2 圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0 一次函数与特殊三角形专题复习 姓名 班级 例1：如图，在△AOB 中，OA=AB=5,OB=8，点B 在x 轴上，直线y= 21x+b 经过点A ，交y 轴与点C 。 （1）求点A 的坐标和b 的值； （2）求△ABC 的面积。 变式1：如图，在△ABO 中，∠OAB=90°，OA=AB,OB=8，点B 在x 轴上，直线y=21x+b 经过点A ，交y 轴与点C 。 （1）求点A 的坐标和b 的值； （2）求△ABC 的面积。 变式2：如图，在△ABO 中，∠OAB=90°，OA=AB ，点B 在x 轴上，直线y=21x+2经过点A ，交y 轴与点C 。 （1）求点A 和点B 的坐标； （2）求△ABC 的面积； （3）y 轴上是否存在点P ，使△PAO 的面积等于△ABC 的面积，若存在，直接写出点P 在 坐标。 变式3：如图，等边△ABO 的一个顶点与原点O 重合，顶点B 在x 轴上，直线y=33x+3经过点A ，交y 轴与点C 。 （1）求点A 和点B 的坐标； （2）求△AOC 的面积； （3）直线AC 上是否存在点P ，使△PCO 的面积等于△ABC 的面积，若存在，直接写出点P 在坐标。 提高练习： 1.如图：点A ，A 1，A 2...分别是直线y=x 上的点，点B ，B 1，B 2，B 3...分别是x 轴正半轴上的点，△ABB 1,△A 1B 1B 2,△A 2B 2B 3...分别是以∠ABB 1,∠A 1B 1B 2,∠A 2B 2B 3...为直角的等腰直角三角形，OB=1，则A 8的坐标为，A n 的坐标为 . 2. 如图等边△OA 1B 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的顶点分别在直线y= 33x+332和x 轴正半轴上， （1）求点A 1的坐标。 （2）求等边△A 2B 1B 2的边长和面积。 导 学 过 程 设 计 一、看图说话 二、知识梳理 复习等腰、等边、直角三角形的性质与判定 三、我来闯关 探究一:等腰、直角三角形边、角计算 1.如果等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为___________. 2.如果等腰三角形的一个内角为50°，则其它的底角的度数是___________. 3.如果一个等腰三角形的一个内角为 100°，则它的顶角的度数是________. 4.已知直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边的长为 ________. 探究二:等腰、直角三角形的性质与判定 1.如图1，在△ABC 中，已知∠ABC 与∠ACB 的角分平线相交于点O ，过O 点作DE 平行于 BC 交AB 点D ，交AC 于点E ，已知DE ＝5，则BD+CE ＝________. 2.如图2，在△ABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，O 是BC 边的中点，连接OD 、OE 、 DE ，猜想△ODE 是等腰三角形吗？请说明理由。 3.如图3，在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＝DE ，∠B ＝∠E ，F 是CD 的中点，求证： 恩江中学数学中考总复习课导学案 图3 图1 探究三:等腰、直角三角形在平面直角坐标系中的应用 1.如图1在平面直角坐标系中，OA=OB=13,点B 在x 轴上，OB ＝10则点A 的坐标是________. 2.如图2在平面直角坐标系中，OA=AB=2,点A 在x 轴上，∠OAB ＝150°则点B 的坐标是________. 3.如图3在平面直角坐标系中，OA=2,OA 与x 轴的夹角是30° ，点P 在坐标轴上运动，若 速度从A 向点B 运动，到达B 点停止， （1）求当点P 运动多少秒时，△ACP （2）求当点P 运动多少秒时，△ACP 四、当堂检测 1.如果一个等腰三角形的周长10,其中一边长为4，则它的腰长为_________. 2.如果一个等腰三角形的一个外角为50°，则其它的顶角的度数是__________. 3.在直角三角形中，已知两直角边分别为3和4，则斜边上的高为__________. 五、课堂小结 六、 课后作业 七、教学反思 B A C 第 8 题 D H P G F E D C B A 三角形、 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： （1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于___°。②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 2 1a h （ h 是a 边上的高 ） 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度） ②：、。如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______. 浙江省温州市平阳县鳌江镇第三中学九年级数学复习：特殊三角形专题教案新 人教版 教学目标 知识目标 通过复习过程，使学生进一步理解折叠问题的本质是图形的轴对称变换，会利用轴对称变换的性质进行有关的计算和证明。培养学生运用知识的能力。 能力目标 能运用转化的数学思想方法解决问题,提高解题的灵活性,并学会归纳总结解题方法。 情感目标 通过学生动手操作, 激发学生学习的兴趣,培养学生的自主学习的能力,让学生主动参与到学习探索的过程中来,加强其进一步学习的自信心。 教学重点 通过动手操作,应用轴对称性解决折叠问题。 教学难点 学生通过折叠自己进行解题过程较难,思维不易发散. 教学过程 巧设情境，设疑引入 通过对特殊三角形一章的学习我们对直角三角形已经有了一定的认识和了解。今天我们继续探讨和直角三角形有关的折叠问题。 【动动手，动动脑】：如图操作，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的点E 处． (1)你能找出其中全等的三角形吗？△ADC ≌△ADE (2)图中有哪些有相等的角和相等的线段？ ∠1=∠2; ∠3=∠4=∠C=90°;∠5=∠6; AE=AC;DE=CD (3)图中的对称轴是哪条线段所在的直线？ 线段AD 所在的直线 从操作中不难看出，折叠操作“折”是过程，“叠”是结果。但是，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠的本质又是什么呢？ 学生归纳:折叠问题的实质是图形的轴对称变换。利用轴对称变换得到对应的角相等和对应的线段 相等。 运用性质，归类探究 【归类一】：求角的度数 例1：如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的点E 处．已知∠B=30°， ∠C=90°，则∠BAD= ,∠ADE= 解：∵△ADE 由△ADC 折叠而来 ∴ △ADE ≌△ADC ∴AD 是∠BAC 的平分线即∠BAD=∠DAC ∴∠AED=∠C=90° ∵∠B=30°, ∠C=90°∴∠BAC=90°-30°=60°（为什么？） ∴∠BAD=∠DAC=2 1×(90-30)°=30° ∴∠ADE=90°-30°=60° 点评：利用折叠的本质求角的度数，当条件中有某些角的度数已知时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角之间的关系，从而求得未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考呢？ 体验感悟：（1）如图：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A= ． 解 ∵M 是AB 的中点，∠ACB=90° 题库：二次函数压轴题-特殊三角形问题 1.如图，抛物线y ＝－12x 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求sin ∠ABC 的值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2 ＋bx ＋c 中得， ??? ??－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得?????b ＝32 c ＝2 ， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋3 2x ＋2； (2)令y ＝－12x 2＋3 2x ＋2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)， 在Rt △BOC 中，BC ＝ OC 2＋OB 2＝22＋42＝25， ∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝5 5 ； (3)存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(3 2，4)． 【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝3 2， ∴点D 的坐标为(3 2，0)． ∴CD ＝OC 2 ＋OD 2 ＝ 22 ＋（32）2＝52. ∵点P 在对称轴x ＝3 2上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝5 2， 此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－5 2)； 当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ， 第1题解图 ∵DG ＝2， ∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(3 2，4)． 中考数学专题练习：特殊三角形（含答案） 1．（·柳州)如图,图中直角三角形共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,点D在BC上,且AD平分∠BAC,则AD的长为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 3．在直角三角形中,如果有一个角是30°,那么下列各比值中,最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( ) A．3∶4∶5 B．1∶1∶ 2 C．5∶12∶13 D．1∶3∶2 4．（·扬州)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( ) A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC 5．（·海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条 A．3 B．4 C．5 D．6 6．（·宿迁)若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( ) A．12 B．10 C．8 D．6 7．等腰三角形的一个内角为40°,则它的顶角的度数为_______________． 8．（·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于__________．9．（·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE＋DF＝______． 10．（·内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形． 证明：∴△BDE是等腰三角形． 参考答案 1．C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7．100°或40°8.2.5 9.2 3 10．证明：如解图,∵DE∥AC,∴∠1＝∠3. ∵AD平分∠BAC,∴∠1＝∠2, ∴∠2＝∠3. ∵AD⊥BD, ∴∠2＋∠B＝90°,∠3＋∠BDE＝90°, ∴∠B＝∠BDE,即BE＝DE, ∴△BDE是等腰三角形． 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 期末专题复习特殊三角形 一、知识整理 (一)等腰三角形的性质与判定 1.性质(1)：等腰三角形的两腰相等、两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 3.等边三角形:性质:三边相等,三内角都是60度 判定 1 . 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 . 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 (二)直角三角形的性质与判定 性质： 1 在直角三角形中，两个锐角_______。 2、直角三角形斜边上的中线等于________ 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于____度，那么它所对的直角边等于________的一半。 2、直角三角形_____________的平方和等于_______的平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+ _____=_____。 判定 1、定义 2、两内角______的三角形是直角三角形. 3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边的平方，那么这个三角形是直角三角形，________所对的角是直角。 (三)等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知 数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等 (四)以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC ①作AD⊥BC于D，必有结论: ∠1=∠2，BD=DC ②若BD=DC，连结AD，必有结论： ∠1=∠2，AD⊥BC ③作AD平分∠BAC必有结论： AD⊥BC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. （五）直角三角形全等的判定方法： ASA, AAS、SAS、SSS、HL 二、典型例题 A B C D 12 特殊二角形专题试 作者: 日期: 特殊三角形专题练习 一. 选择题（共9小题） 1.已知等腰三角形的周长为 24,腰长为x ，贝U x 的取值范围是（ ） A . x > 12 B . x v 6 C . 6v x v 12 D . 0 v x v 12 2若实数x y 满足|x - 4|+,.：r - ；=o,则以x y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 7.如图，AB=AC=AD ，若/ BAD=80 °,贝U / BCD= A . 12 B . 16 C . 16 或 20 D . 20 3.如图，在 △ ABC 中，/ BAC=90 ° AB=AC , AE 是经过 A 点的一条直线，且 CE 丄 AE 于 E , CE=2 , BD=6，贝U DE 的长为( 4. 等腰三角形一条边的边长为 3, 12x+k=0的两个根，则k 的值是（ A . 27 5. 如图，在△ ABC 线于点E .若/ B . 36 中，AB=A C , ，则/ BAC 的度数为（ C . 5 D . 它的另两条边的边长是关于 ） C . 27或 36 BD 平分/ ABC 交 4 x 的一元二次方程 AC D . 于占 18 D , AE // BD 交CB 的延长 A . 40° 6.如图，△ ABC B . 45° C . 60° 中，A D 丄BC 于D , B E 丄AC 于E , AD D . 70° 与BE 相交于F ,若BF=AC ，则 C . 50° D. 60° o 二. 填空题（共8小题） 10. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来， 人们对勾股定理的证明颇 感兴趣 ，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图 ，是最早 证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点， 再连接四点构成一个 正方形，它可以验证勾股定理.在如图的弦图中，已知：正方形 EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形 ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上.若正方形 ABCD 的面积=16，AE=1 ;则 正方形 EFGH 的面积= ___________________ . B . 100° C . 140° D . 160° A . 80° &已知如图， AD // BC , A B 丄 B C , C D 丄 D E , CD=ED , AD=2 , BC=3，则△ ADE 的面积 9.如图，已知△ ABC 的面积为 △ PBC 的面积为（ ） C . 5 D .无法确定 10cm 2, BP 为/ ABC 的角平分线，AP 垂直BP 于点P,则 B . 5 cm 2 C . 4cm 2 2 D . 3cm 中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】 1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定； 2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质 和判定解决简单问题； 3.会运用等腰三角形、等边三角形、直 角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质： (1)具有三角形的一切性质. (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三 线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 3.判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2性质： (1)直角三角形中两锐角互余. (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的 一半. (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一 半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等 于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满 足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3．判定： (1)有两内角互余的三角形是直角三角形. (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形. (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 【典型例题】 类型一、等腰三角形 1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A.顶角的2倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半 【思路点拨】等角的余角相等. 【答案】B. 【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C= 90°-(180-∠A)= ∠A，一次函数与特殊三角形专题复习
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