专题 特殊三角形-讲义
特殊三角形提高讲义
学生：科目：教师：知识框架（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线211231线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
1、直角三角形的基本性质（1）直角三角形的两锐角互余；斜边长大于两直角边；面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半.（2）直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半.(3) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2、判定直角的一些方法（1）三角形中有两个角互为余角；（2）勾股定理逆定理：三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，则该三角形是以第三边为斜边的直角三角形;（3）若三角形一条边上的直线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形. 3、勾股定理的推广.4、两类特殊的直角三角形的三边关系 （1）45,45,90的直角三角形（2）30,60,90的直角三角形B /A /EDCBAGFED CBANMCBA【例题精讲】1 利用“等边对等角”性质求角例1 如图，,AA BB 分别是,EAB DBC 的平分线，若AA BB AB ，求BAC 的度数.拓展训练 1、如图，在ABC 中，AB BC ,在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MNNA ，若BAMNAC ，求MAC 的度数.2、如图，,AE AD 是直线，且AB BC CD DE EF FG GA ，求DAE 的值.3、已知ABC 的三角形的边长的长分别为,,a b c ，且a abc b cbca，试判定ABC 的形状.PDCBADCBAAQP FE DCBA4、在ABC 中，已知ABAC ，且过ABC 某一顶点的直线可将ABC 分成两个等腰三角形，求ABC 各内角的度数.5、四边形ABCD 中，ABDC ,,E F 分别是,BC AD 的中点，EF 交,BA DC 于,P Q ,求证：BPECQF .2、等腰三角形中的全等构造 例 2 在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，BPAD ，垂足是P ，已知5,2,9ABBPAC，求证：3ABCC .例3 如图，在四边形ABCD 中，ABAD ,若2360BAD BCD,求证：AB AD AC例4 如图，在ABC 中，AB AC ,D 是BC 上一点，求证：22DB DCAB AD .FD CBAMDCBAFEDCBADCA拓展练习 1、如图，在ABC 中，7,11ABAC,点M 是BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MF∥AD ,求FC 的长.2、如图，ABC 中，AD BC 于D ，AB BD CD ,求证：2B C3、如图，在ABC 中，46ABC ,D 是BC 上一点，DC AB ,21DAB,求CAD的度数.3、等边三角形中的几何问题 例5 如图，ABC 中，分别以,,BC CA AB 为边向外作等边三角形，记,,D E F 分别是等边三角形的中心.(1)求证：DEF 是等边三角形.(2) 若4,5,6BC CAAB，求DEF 的面积.PCBAFEDCBAFEDC BAMB例6 边长为a 等边ABC 中，,D E 是边,BC CA 上的点，AD 与BE 交于点F .(1) 若BD CE ,AFB 的度数.(2) 13BD CE a ，求证：CFAD .拓展训练1、一个六边形的六个内角均为120，连续四边的长依次是1,3,3,2，求该六边形的周长和面积.2、P 是等边ABC 内一点,3,4,150PA PB APB ，求PC 的长.3、如图，菱形ABCD 中，120BAD ,,E F 是,BC CD 边上的点，若AEF 中有一个内角是60，求证：AEF 是等边三角形.4、构造等边三角形解题 例7 如图，ABC 中，44BAC BCA ,M 为ABC 内一点，使得30,16MCAMAC ，求BMC 的度数.DCBA DCBADCBAQPA拓展练习1、ABC 中，AB AC ,80BAC,O 为ABC 内一点，且10,OBC20,OCA求BAO 的度数.2、如图，在等腰ABC 中，AB AC ,20A ,在边AB 上取点D ，使得AD BC ，求BDC 的度数.例8 如图，在ABC 中，90,30,C CAD AC BCAD .求证：.CDBD .拓展练习 1、如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ,D 是ABC 内一点，且15DACDCA ，求证：BD BA .练习题1、在ABC 中，12,132,ABC ACB BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和AB 上，则（ ）.A BMCN .B BM CN.C BM CN .D ,BM CN 的大小关系不能确定.QPCBAEDCBAPCBANMCBA2、如图，已知等腰ABC 中，,,ABAC P Q 分别是,AC AB 上的点，且APPQQBBC ，求PCQ 的度数.3、如图，在ABC 中，60,40BAC ACB ,,P Q 分别在,BC CA 上，并且,AP BQ 分别是,BAC ABC的角平分线，求证：AQBQ AB BP .4、如图，ABC 中，60B ,延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AEBD ，联接,CE DE ，若CEDE ，求证：ABC 是等边三角形.5、如图，ABC 中，40ABC ACB , P 为ABC 内一点，使得20PCAPAB，求BPC 的度数.二 讲解 例 1 如图，ABC 中，,90AB AC BAC ,,M N 在BC 上，45MAN求证：222BM CN MNCBAF EDCBADCBADPCBAD拓展练习 1、如图，在ABC 中，90A,D 是斜边BC 的中点，DEDF ，求证：222EF BE CF2、在四边形ABCD 中，30,60,ABC ADC AD CD .求证：222BD AB BC例2 如图，四边形ABCD 中，2222AB CD AD BC ,求证：ACBD拓展练习1、如图，P 是矩形ABCD 内一点，若4,5,6PB PC PD,求PA 的长.DCBADCBADCBA2、ABC 中，13,14,15AB BCCA,求ABC 的面积.3、ABC 中，边,,BC CA AB 分别为,,a b c ，求BC 边上的中线a m .例3 在四边形ABCD 中，60,90,8,7A B D AD AB ,求BCCD .拓展练习1、 在四边形ABCD 中，90,23,6,3BAD AB BC AC AD ,求CD 的长.2、如图，在ABC 中，45BAC ,AD BC 与点D ,4,3BD CD ，求ABC 的面积.个性化辅导讲义11HGFEP DCBAFEDCBAHGNMP D CBA3、P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作,,,AB BC CD DA 的垂线，垂足分别为,,,E F G H ，已知3,4,1,5,6,4,AH HD DG GC CFFB且1BEAE.求四边形ABCD 的周长.例3分别以锐角ABC 的边,,AB BC CA 为斜边向外作等腰直角三角形,,DAB EBC FAC ，求证：（1）AEDF ； （2）AEDF拓展练习如图，P 是正方形内一点，过点P 作边,,,AB BC CD DA 的垂线，垂足分别为,,,M N G H 若四边形PNCG 的面积是四边形PMAH 面积的二倍，求GAN 的度数.。
2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版
BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE
勾股定理第十七章特殊三角形第1课时
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(2)如图②，分别以直角三角形ABC 的
三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
S1 S 2 S3
.(用图中字母表形、半圆及正多边形、圆都具有相同的
结论：
两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
4
当AB为斜边时，如图，
当BC为斜边时，如图，
3
C
图
4
AA
3
图
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先
明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
C
随堂演练
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则
△ABC的斜边AB的长是
A.20
B.10
C.9.6
(
)
A
D.8
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( D )
第十七章 特殊三角形
勾股定理
第1课时
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特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件
等腰三角形
等腰三角形的性质: 轴对称性
在同一个三角形中, 等边对等角
底边上的高、中线、 顶角平分线三线合一
特
殊
三 角
等边三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性 质和判定 直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
又会有几个等腰三角形？
A
BE＋CF=EF仍然成立吗？
E
OF
B
C
例2、如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD 相交于E点，由这些条件你能推导出哪些结 论呢？ 请说明理由。
D
A
E
C
B
在网格中已有两个点A、B，现要在格点上寻 找一个点C，使△ABC为等腰三角形。
① 已知BC=7cm，
D是AB的中点，CD
AD平分∠CAB，BC=10，
BD=7，求点D到
E
AB的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点E C
D
B
∵∠C= 90°， DE⊥AB ,AD平分∠CAB，
∴CD=D(E角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ BC=10，BD=7
∴DE=CD=BC-BD=10-7=3
2 .如图，D为等腰三角形ABC底边BC
有两个角互余的三角 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平
形是直角三角形
方，那么这个三角形是直角三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性 质和判定 直角三角形的性质
针角三角形的定义-概述说明以及解释
针角三角形的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述针角三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和特点。
在几何学中，针角三角形是一种三个角都小于90度的三角形，也就是说，它的每个角都是锐角。
这与普通的三角形不同，普通三角形有可能存在直角三角形或者钝角三角形，而针角三角形则全部为锐角。
针角三角形的定义在一定程度上影响了它的性质和应用。
本文将深入探讨针角三角形的定义、性质和应用，希望读者通过本文的阐述能够更加全面地了解这一特殊类型的三角形。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍针角三角形的定义，包括其基本概念和特征；接着将探讨针角三角形的性质，如内角和等于180度、对顶边相等等；最后将探讨针角三角形在几何学中的应用，如在计算几何、机械设计等领域的具体运用。
通过对针角三角形的深入探讨，希望读者能更好地理解这一几何形状的特点和应用价值。
1.3 目的目的部分:本文旨在深入探讨针角三角形的定义、性质和应用，通过对针角三角形的研究，帮助读者更好地理解这一特殊类型的三角形，在数学领域的应用以及实际生活中的运用。
同时，通过本文的阐述，读者可以更好地理解三角形的形态和性质，提升数学思维和解题能力。
希望本文能够为读者提供全面而实用的知识，引发对数学的兴趣并启发进一步探究针对三角形的研究。
2.正文2.1 针角三角形的定义：针角三角形是一个特殊类型的三角形，它的三个角分别为一个锐角、一个直角和一个钝角。
具体来说，针角三角形是指其中一个角小于90度，一个角等于90度，另一个角大于90度的三角形。
在针角三角形中，直角是最明显的角，通常被放在三角形的右下角。
直角是一个90度角，它表示三角形的一条边与另一条边相垂直。
另外，钝角是另外一个大于90度的角，它通常被放在三角形的左上角或左下角。
钝角表示三角形的一条边与另一条边形成一个较大的夹角。
最后，锐角是三角形中的最小角，它通常被放在三角形的右上角。
锐角表示三角形的两条边之间形成一个较小的夹角。
初中数学特殊三角形复习讲义
等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化
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2
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为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相
类型六：直角三角形的性质运用 1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D， 下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD， 其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
４.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对
授课标题 特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质 学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用 三线合一的运用 重点难点 分类讨论问题
教学负责人签字处
1
学习，为了追寻更好的自己！
本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，
最新特殊三角形讲义
特殊三角形讲义【知识点精析】一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、直角三角形1. 认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。
三、勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）2c22+∴a=b（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n的线段.三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+那么这个三角形是直角三角形.1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 1．先找出最大边（如c ）；2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等.若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形. 若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形. 注意：（1）△ABC 中，若222c b a =+，则∠C=90°；而222a c b =+时，则∠A=90°；222b c a =+时，则∠B=90°.（2）若222c b a <+，则∠C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. 若222c b a >+，则∠C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形. 三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.四、全等三角形的概念、性质与判定1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
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特殊三角形
主讲教师：傲德
我们一起回顾
1、等腰三角形
2、等边三角形
3、直角三角形
重难点易错点解析
等腰三角形
题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．
等边三角形
题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．
直角三角形
题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．
请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．
金题精讲
题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．
求证：BD=2CD．
题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．
题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
思维拓展
题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．
学习提醒
重点：
等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一
等腰三角形的判定——等角对等边
等边三角形的性质——三边相等，3个60°
等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形
30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半
直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理
直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
特殊三角形
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：证明略
点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一
等腰三角形的判定——等角对等边
题二：证明略
点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60°
等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半
题三：证明略
点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理
直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
金题精讲
题一：证明略
题三：证明略
思维拓展
题一：证明略。