特殊三角形专题练习(精.选)

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【浙教版】八年级数学上：第二章-特殊三角形单元测试题(含答案)

第二章特殊三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里2、如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A、（1，2）B、（2，2）C、（3，2）D、（4，2）3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（）A、27B、18C、18D、94、如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A、AC=ADB、AB=ABC、∠ABC=∠ABDD、∠BAC=∠BAD5、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、75°B、60°C、45°D、30°6、对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2．”用反证法证明，应假设（）A、a2＞b2B、a2＜b2C、a2≥b2D、a2≤b27、图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A、0B、1C、D、8、用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A、假定CD∥EFB、已知AB∥EFC、假定CD不平行于EFD、假定AB不平行于EF9、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M 是OP的中点，则DM的长是（）A、2B、C、D、10、在△ABC中，∠B=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，则下列等式中成立的是（）A、a2+b2=c2B、b2+c2=a2C、a2+c2=b2D、c2﹣a2=b2二、填空题（共8题；共24分）11、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设 ________12、在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件是 ________ ．（只添加一个）13、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是________14、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________ 米．15、如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．16、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为________ m2．17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2．18、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为________．三、解答题（共5题；共40分）19、已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．20、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长．21、如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距离．22、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于多少cm？23、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．四、综合题（共1题；共6分）24、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．(1)△ABD与△CBD的面积之比为________；(2)若△ABC的面积为70，求DE的长．答案解析一、单选题1、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离。

特殊三角形-练习题(含答案)

特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。

2. 整数边长的直角三角形有__________组。

3. 锐角三角形的内角和为__________度。

4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。

5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。

三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。

解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。

2. 在等边三角形ABC中，边长为6。

连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。

解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。

四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。

结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。

专题训练(二) 特殊三角形中的折叠问题

专题训练(二) 特殊三角形中的折叠问题
介绍
本文档将讨论特殊三角形中的折叠问题。

特殊三角形包括等边
三角形和等腰三角形。

我们将深入探讨如何正确地折叠这些三角形，以及折叠过程中可能出现的问题和解决方案。

等边三角形的折叠问题
等边三角形的每一边都相等，并且每个角都是60度。

折叠等
边三角形时，我们需要确保折叠线与三角形的边相切，并且每个顶
点都重合。

这样才能确保折叠后形成一个三角形。

等腰三角形的折叠问题
等腰三角形有两条边相等，并且两个底角相等。

折叠等腰三角
形时，我们需要确保折叠线与底边重合，并且顶点位于底边的中垂
线上。

这样才能确保折叠后形成一个三角形。

折叠过程中可能出现的问题和解决方案
在折叠特殊三角形的过程中，可能会遇到以下问题和解决方案：
1. 无法准确地将折叠线与三角形的边相切时，可以使用尺子或直角工具来辅助确定折叠线的位置。

2. 折叠后形成的三角形不完整或变形时，可能是由于折叠线位置不准确或不规整造成的。

可以重新调整折叠线的位置，或者使用更精确的工具进行折叠。

结论
特殊三角形中的折叠问题需要注意折叠线的位置和准确性，以确保折叠后形成一个完整的三角形。

在折叠过程中遇到问题时，可以使用合适的工具和调整手法来解决。

折叠特殊三角形不仅可以提高我们的几何认知能力，还能培养我们的空间想象力。

专题2.16特殊三角形单元提升卷八年级数学上册举一反三系列(浙教版)[含答案]

第2章特殊三角形单元提升卷【浙教版】考试时间：60分钟；满分：100分考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）（23-24八年级·重庆·期中）1．下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．（23-24八年级·浙江·期中）2．如图所示，已知D 为BC 上一点且AB AC BD ==，那么1Ð与2Ð之间满足的关系是（）A ．122Ð=ÐB ．132180Ð+Ð=°C ．212180Ð+Ð=°D ．312180Ð-Ð=°（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）3．已知ABC V 的三边长分别为a ，b ，c ，)2100c -=，则ABC V 是（）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．等边三角形（23-24八年级·河北邯郸·期中）4．如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l 剪开，得到ABD △和A CD ¢¢△，下列不一定正确的是（）A ．BD D C ¢=B ．90AC Ð+Ð=°C ．AB AD =D ．D A B ¢Ð=+ÐÐ（23-24八年级·全国·单元测试）5．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，AD 平分CAB Ð交BC 于D ，DE AB ^于E ，若7cm AB =，则AC CD +的长等于（）A ．19cmB ．8cmC ．7cmD ．6cm（23-24八年级·山东烟台·期中）6．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为10，面积是125，腰AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为（）A ．15B ．20C ．25D ．30（23-24八年级·云南昆明·期中）7．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b ，较短的直角边为a ，则a b +的值是（）A ．11B ．10C ．9D ．8（23-24八年级·辽宁丹东·期中）8．如图，已知等边ABC V 和等边BPE V ，点P 在BC 的延长线上，EC 的延长线交AP 于点M ，连接BM ；下列结论：①AP CE =；②60PME Ð=°；③BM 平分AME Ð；④AM MC BP +=，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（23-24八年级·山东烟台·期中）9．如图，已知等腰直角三角形ACB 中，90,1Ð=°==ACB AC BC ，过点C 作1CM AB ^，垂足为11,M CBM △的面积为1S ，过点1M 作12M M BC ^，垂足为212,M CM M △的面积为2S ，过点2M 作231M M CM ^，垂足为3123,M M M M △的面积为3S ，过点3M 作3412M M M M ^垂足为1234,M M M M △的面积为4S ，如此作下去，…，21n n n M M M --△的面积为n S ，则121n S S S S ++++=L （）A ．1122n æö+ç÷èøB ．11122n +æö+ç÷èøC ．1122n æö-ç÷èøD ．11122n +æö-ç÷èø（23-24八年级·湖北荆门·期中）10．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：① AB MG =；② ABC AFN S S =△△；③ 过点B 作BI EH ^于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ CJ =．④ 若1AB =，则225EH FN +=．其中正确的结论个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）（23-24八年级·陕西榆林·期中）11．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的角平分线，E 为AD 的中点，若6BC =，5AC =，则BDE V 的面积为．（23-24八年级·山东烟台·期中）12．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A 处出发先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再向北走到6km 处往东拐，仅走了1km ，就找到了宝藏，则门口A 到藏宝点B 的直线距离是．（23-24八年级·河南开封·期中）13．如图，在四边形ABCD 中，90DAB BCD Ð=Ð=°，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a ，b ，c ，d ．若12b c +=，则a d += ．（23-24八年级·湖北孝感·期中）14．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，30B Ð=°．点D 、E 、F 分别为边AC 、AB 、CB 上的点，且DEF V 为等边三角形，若34AD CD =．则AE BE的值为．（23-24八年级·山东济宁·期中）15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为16°，则顶角的度数为．（23-24八年级·福建宁德·期中）16．如图，在ABC V 中，AB 边的垂直平分线PQ 与ABC V 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD BC ^于点D ，PE AC ^于点E ．若8BC =，4AC =．则CE 的长度是．三．解答题（共7小题，满分52分）（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）17．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ^于点E ，DF BC ^于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =．(1)求证：ABC V 是等边三角形；(2)若3BF =，求CG 的长．（23-24八年级·浙江台州·期中）18．如图是边长为1的小正方形组成的58´网格，ABC V 的顶点均在格点上．(1)ABC V 为______三角形；(2)仅用无刻度的直尺画图（画图用实线，要体现过程并保留痕迹）①在图（1）中的AB 上画点D ．连接CD ，使2CD AB =；②在图（2）中的网格上画格点E ，使ACE ACB S S =△△．（23-24八年级·山东济宁·期中）19．如图，ABC V 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．(1)当点P 的运动速度是1cm /s ，点Q 的运动速度是2cm /s ，当Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当2t =时，判断BPQ V 的形状，并说明理由；(2)当它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？（23-24八年级·北京海淀·期中）20．已知：在ABC V 中，作ABC Ð的平分线BM ，在BM 上找一点D ，使得DA DC =，过点D 作DE BC ^，交直线BC 于点E ．(1)在图中，依题意补全图形；(2)用等式写出AB BC BE ，，之间的数量关系，并给出证明；(3)如果把作ABC Ð的平分线BM ，改为作ABC Ð的外角PBA Ð的平分线BM ，其他条件不变，直接用等式写出AB BC BE ，，之间的数量关系．（23-24八年级·山西运城·期中）21．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm ，宽为50cm 的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD ，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形．求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC ．(2)线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB =_____，BC =_____．(4)这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是_____．（23-24八年级·广东湛江·期中）22．如图，在ABC V 中，AB AC =，60BAC Ð=°，过C 作直线CE ，B 关于直线CE 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，CE 与BD 的交点为E ，设()090BCE a a Ð=°<<°．(1)若15a =°，则请直接写出下列两个角的度数：ADC Ð= _______，ADB =∠ _______．(2)随着α的变化，ADB Ð的度数是否也发生变化，请说明理由；(3)当ABD △成为等腰三角形时，求α的值．（23-24八年级·广东广州·期中）23．在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^于点E ．(1)如图1，连接EC ，求证：EBC V 是等边三角形；(2)点M 是AC 边上一个动点（不与点D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作60BMG Ð=°，MG 交射线DE 于点G ，请画出完整图形，探究MD DG ，与AD 数量之间的关系，并说明理由．1．B【分析】根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿一个条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，故符合题意；C 、不是轴对称图形，故不符合题意；D 、不是轴对称图形，故不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2．D【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据AB AC BD ==可得180122B C °-Ð-ÐÐ=Ð=，1BDA Ð=Ð，结合三角形外角性质即可得到12C Ð=Ð+Ð，代入C Ð的值整理即可解题．【详解】解：AB AC BD ==Q ，180122B C °-Ð-Ð\Ð=Ð=，1BDA Ð=Ð，2BDA C Ð=Ð+ÐQ ，180121222C °-Ð-Ð\Ð=Ð+Ð=Ð+，整理得：312180Ð-Ð=°，故选：D ．3．C【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为0的条件、勾股定理的逆定)2100c -=可得a ，b ，c 的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为0的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．【详解】解：Q )2100c -=，60,80,100a b c \-=-=-=，解得6,8,10a b c ===，22236,64,100a b c ===Q ，3664100\+=，即222a b c +=，\ABC V 是以c 为斜边的直角三角形，故选：C ．4．C【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．由AD 是直角三角形斜边上的中线可得AD BC BD CD ¢===12，进而得到C A ¢Ð=Ð，根据三角形的外角性质可得D A B ¢Ð=+ÐÐ，即可求解．【详解】解：Q AD 是直角三角形斜边上的中线，\AD BC BD CD ¢===12，\C A ¢Ð=Ð，Q A A ¢Ð+Ð=°90，\90A C Ð+Ð=°，Q D ¢Ð是ABD △的外角，\D A B ¢Ð=+ÐÐ，故A 、B 、D 正确，不符合题意，故选：C ．5．C【分析】根据角的平分线性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线性质定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．【详解】∵90C Ð=°，AD 平分CAB Ð，DE AB ^，∴DE DC =．∵DA DA =，∴()HL DAE DAC V V ≌．∴AE AC =．∵90C Ð=°，AC BC =，∴45B CAB Ð=Ð=°．∴45BDE B Ð=Ð=°．∴DE BE =．∴DE BE CD ==．∴7cm AC CD AE BE AB +=+==，故选C ．6．D【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于ABC D 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ^，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线，可知点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：如图，连接AD ，MA ，ABC QV 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC \^，111012522ABC S BC AD AD \=×=´´=V ，解得25AD =，EF Q 是线段AC 的垂直平分线，∴MC MA =，∴MC MD MA MD +=+，∵垂线段最短，且两点之间线段最短，∴MA MD +的最小值为AD 的长，即MC MD +的最小值为AD 的长，CDM \D 周长的最小值()1125103022CM MD CD AD BC =++=+=+´=．故选：D ．7．A【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．根据题意得出2261a b +=，()21b a -=，再根据()()224a b a b ab +=-+，即可得出结果．【详解】解：Q 大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，2261a b \+=，()21b a -=，2221b a ab \+-=，261160ab \=-=，4120ab \=，()()2241120121a b a b ab \+=-+=+=，11a b +=∴（负值舍去），故选：A ．8．C【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案．【详解】证明：①∵等边ABC V 和等边BPE V ，∴AB BC =，60ABC PBE Ð=Ð=°，BP BE =，在APB △和CEB V 中，AB BC ABP CBE BP BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS APB CEB V V ≌，∴AP CE =，故①正确；②∵APB CEB V V ≌，∴APB CEB Ð=Ð，∵MCP BCE Ð=Ð，则60PME PBE Ð=Ð=°，故②正确；③作BN AM ^于N ，BF ME ^于F ，∵APB CEB V V ≌，∴BPN FEB Ð=Ð，在BNP △和BFE △中，BNP BFE NPB FEB PB EB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS BNP BFE V V ≌，∴BN BF =，∴BM 平分AME Ð，故③正确；④在BM 上截取BK CM =，连接AK ．由②知60PME Ð=°，∴120AMC Ð=°，由③知：BM 平分AME Ð，∴60BMC AMK BAC Ð=Ð=°=Ð，∴ACM ABK Ð=Ð，在ABK V 和ACM △中，AB AC ABK ACN BK CM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABK ACM V V ≌，∴AK AM =，∴AMK △为等边三角形，则AM MK =，故AM MC BM +=，∵BM BP ¹，∴AM MC BP +¹，故④错误；正确的有①②③，共3个．故选：C ．9．D【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算，解题的关键是通过计算三角形的面积得出规律是解题的关键．先分别求出出123,,S S S L ，得出规律，再求出它们的和即可．【详解】解：∴等腰直角三角形ACB 中，90,1Ð=°==ACB AC BC ，111,B CM A B M A M \^=，∴2111112222ABC S S æö==´´1´1=ç÷èøV ,同理：3212S æö=ç÷èø，4312S æö=ç÷èø，……112n n S +æö=ç÷èø设121n S S S S S =++++L 234111112222n +æöæöæöæö=++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ,则34512111111222222n n S ++æöæöæöæöæö=+++++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ，∴22111222n S S +æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，22111222n S +æöæö=-ç÷ç÷èøèø11122n S +æö=-ç÷èø．故选D ．10．D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出()SAS ACB MCG V V ≌，进而得到AB MG =，即可判断①；过点F 作FO NA ^交NA 延长线于点O ，证明出()AAS AFO ABC V V ≌，得到OF BC =，然后利用三角形面积公式即可得到ABC AFN S S =△△，即可判断②；过点A 作AP BJ ^交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ BJ ^，证明出()AAS ABP BEI V V ≌，得到AP BI =，同理得到CQ BI =，得到CQ AP =，然后证明出()AAS AJP CJQ V V ≌，得到AJ CJ =，即可判断③；根据全等三角形的性质得到2EH BJ =，然后利用勾股定理证明出2224EH AC BC =+，同理得到2224NF AC BC =+，然后得到22255EH NF AB +==，即可判断④．【详解】∵在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC MC =，BC GC =，90MCA GCB Ð=Ð=°∵90ACB Ð=°∴90MCG ACB Ð=Ð=°∴()SAS ACB MCG V V ≌∴AB MG =，故①正确；如图所示，过点F 作FO NA ^交NA 延长线于点O ，∵90FAO BAO CAB BAO Ð+Ð=Ð+Ð=°∴FAO CABÐ=Ð又∵90O ACB Ð=Ð=°，AF AB=∴()AAS AFO ABC V V ≌∴OF BC=∵AN AC=∵12ANB S AN OF =×V ，12ACB S AC BC =×V ∴ABC AFN S S =△△，故②正确；如图所示，过点A 作AP BJ ^交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ BJ^∵90ABP BEI Ð+Ð=°，90EBI BEI Ð+Ð=°∴ABP BEIÐ=Ð又∵90P BIE Ð=Ð=°，AB BE=∴()AAS ABP BEI V V ≌∴AP BI=同理可证，()AAS BCQ HBI V V ≌∴CQ BI=∴CQ AP=∵90P CQJ Ð=Ð=°，AJP CJQÐ=Ð∴()AAS AJP CJQ V V ≌∴AJ CJ =，故③正确；∵()AAS ABP BEI V V ≌∴BP EI=∵()AAS BCQ HBI V V ≌∴BQ HI=∵()AAS AJP CJQ V V ≌∴PJ QJ=∵2EH EI HI PB BQ PJ QJ BQ BQ BJ=+=+=+++=∵AJ CJ=∴2222214BJ CJ BC AC BC =+=+∴()2222222124444EH BJ BJ AC BC AC BC æö===+=+ç÷èø同理可证，2224NF AC BC =+∴()22222222224455515EH NF AC BC AC BC AC BC AB +=+++=+==´=，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D ．11．3【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质得3BD CD ==，AD BC ^，由勾股定理求得4=AD ，则得2DE =，由面积公式即可计算结果，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键，【详解】解：∵AB AC =，AD 是ABC V 的角平分线，∴132BD CD BC ===，AD BC ^，∴90ADB ADC Ð=Ð=°，在Rt ADC V 中，由勾股定理得4AD ===，∵E 为AD 的中点，∴122AE ED AC ===，∴BDE V 的面积为11·32322BD DE =´´=，故答案为：3．12．10km【分析】根据题意先求A 、B 两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点B 作BC AC ^，垂足为C ，延长ND 交AC 于M ，如下图：观察图形可得：8316AC AF MF MC =-+=-+=（km ），628BC =+=（km ），在Rt ACB V 中，10AB （km ）．故答案为：10km ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．13．12【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答．【详解】解：如图，连接BD ，由题意可知：2a AB =，2b BC =，2c CD =，2d AD =．在直角ABD △和BCD △中，22222BD AD AB CD BC =+=+，即a d b c +=+，Q 12b c +=，12a d \+=．故答案为：1214．1117【分析】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，设3,4AD m CD m ==，则214AB AC m ==，利用三角形外角性质推出31Ð=Ð，在BE 上截取3EG AD m ==，证明EFG DEA V V ≌，得到460A Ð=Ð=°，推出5B Ð=Ð，即可求出BG 的长度，由此得到答案，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】设3,4AD m CD m ==，则214AB AC m ==，∵321BED A Ð+Ð=Ð=Ð+Ð，260Ð=Ð=°A ∴31Ð=Ð，在BE 上截取3EG AD m==∵=DE EF∴EFG DEAV V ≌∴460A Ð=Ð=°∴5430B BÐ=Ð-Ð=°=Ð∴1122AB EG BG FG AE m -====，∴172BE m =，∴1111217172m AE BE m ==，故答案为：1117．15．74°或106°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键．【详解】①当等腰三角形的顶角为锐角时，过B 作BD AC ^于点D ，如图所示，∴90BDA Ð=°，∵16ABD Ð=°，∴74A Ð=°；②当等腰三角形的顶角为钝角时，过B 作BD AC ^，交CA 延长线于点D ，如图所示，∴90BDA Ð=°，∵16ABD Ð=°，∴9016106BAC BDA ABD Ð=Ð+Ð=°+°=°，故答案为：74°或106°．16．2【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接,AP BP ，通过证明()Rt Rt HL CPD CPE V V ≌，得出CD CE =，在证明()Rt Rt HL APE BPD V V ≌，得出AE BD =，即可解答．【详解】解：连接,AP BP ，∵CP 平分DCE Ð，PD BC ^，PE AC ^，∴PD PE =，在Rt CPD V 和Rt CPE △中，CP CP PD PE =ìí=î，∴()Rt Rt HL CPD CPE V V ≌，∴CD CE =，∵PQ 是AB 的垂直平分线，∴AP BP =，在Rt APE V 和Rt BPD △中，AP BP PD PE=ìí=î，∴()Rt Rt HL APE BPD V V ≌，∴AE BD =，∴()CE AE AC BD AC BC CD AC BC CE AC =-=-=--=--，整理得：2844CE BC AC =-=-=，∴2CE =，故答案为：2．17．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到A ACB Ð=Ð，求得AB BC =，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，ABC V 是等边三角形，求得60ACB Ð=°，易得30DBC Ð=°，得到BD GD =，求得3BF FG ==，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥于点E ，DF BC ^于点F ，90AED CFD \Ð=Ð=°，D Q 为AC 的中点，AD CD \=，在Rt ADE V 与Rt CDF △中，AD CD DE DF =ìí=î，Rt Rt (HL)ADE CDF \V V ≌，A ACB \Ð=，AB BC \=，AB AC =Q ，AB AC BC \==，ABC \V 是等边三角形；（2）解：由（1）知，ABC V 是等边三角形，60ACB Ð=°∴，60ACB G CDG \Ð=Ð+Ð=°，CD CG =Q ，30G CDG \Ð=Ð=°，AD CD =Q ，∴30DBC Ð=°，BD GD \=，3BF FG \==，90DFC Ð=°Q ，60BCA Ð=°，30CDF \Ð=°，1122CF CD CG \==，2CG \=．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．18．(1)直角；(2)①作图见详解；②作图见详解【分析】（1）利用勾股定理分别求出222,,AC BC AB ，再利用勾股定理逆定理证明即可；（2）①根据矩形的性质得到点D 为AB 中点即可；②平行线间的距离处处相等，得到CEA V 与ABC V 等高同底，即可求解．【详解】（1）解：2222222223318,4432,1750AC BC AB =+==+==+=，∴222AC BC AB +=，∴90ACB Ð=°，∴ABC V 为直角三角形；（2）解：①如图，CD 即为所求：根据矩形对角线相等且互相平分得到点D 为AB 中点，∵90ACB Ð=°，∴2CD AB =；②如图，CEA V 即为所求：此时,BE AC 与水平线的夹角为45°，∴AC BE P ，∴根据平行线间的距离处处相等，得到CEA V 与ABC V 等高，又同底，∴ACE ACB S S =△△．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19．(1)BPQ V 是等边三角形，理由见解析(2)当点P 的运动时间为2s 或4s 时，BQP V 是直角三角形【分析】（1）分别求出BP BQ 、的长可知BP BQ =，再由等边三角形的性质得到=60B Ð°，即可证明BPQ V 是等边三角形；（2）分当90PQB Ð=°时和当90BPQ Ð=°时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．【详解】（1）解：BPQ V 是等边三角形，理由如下；由题意得，当2t =时，2cm 4cm AP BQ ==，，∴4cm BP AB AP =-=，∴BP BQ =，∵ABC V 是等边三角形，∴=60B Ð°，∴BPQ V 是等边三角形；（2）解；∵运动时间为s t ，∴cm cm AP t BQ t ==，，∴()6cm BP AB AP t =-=-，如图1所示，当90PQB Ð=°时，∵=60B Ð°，∴9030BPQ B =°-=°∠∠，∴2BP BQ =，∴62t t -=，解得2t =；如图2所示，当90BPQ Ð=°时，同理可得30BQP Ð=°，∴2BQ BP =，∴()26t t -=，解得4t =；综上所述，当点P 的运动时间为2s 或4s 时，BQP V 是直角三角形．20．(1)见解析(2)2AB BC BE +=,证明见解析(3)2AB BC BE-=【分析】根据题意补全图形即可．（2）在BC 上截取FB AB =，从而构造ABD FBD ≌△△，则DF DA DC ==，再利用等腰三角形CDF 的“三线合一”性质证得EF CE =，再结合AB FB =即可获得结论．（3）与（2）的思路类似．【详解】（1）补全图形如图所示：（2）2AB BC BE +=，证明如下：在BC 上取一点F ，使AB FB =，连接DF ．（如图）∵AB FB ABD FBDBD BD =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ABD FBD V V ≌∴DA DF =，∵DA DC=∴DF DC=∵DE BC ^，∴DE 为等腰三角形CDF 底边CF 上的高，∴EF CE =，由ABD FBD ≌△△得AB FB=∵BE BC CE BC EF BE FB EF AB EF =-=-ìí=+=+î①②∴+①②，得2BE AB BC=+即：2AB BC BE+=（3）结论：2AB BC BE -=．理由如下：在射线BP 上取一点F ，使FB AB =（如图）∵FB AB FBD ABDBD BD =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS FBD ABD V V ≌∴DF DA=又∵DA DC=∴DF DC=∵DE BC ^，即DE FC^∴EF CE =，即FB BE BC BE-=+∴AB BE BC BE-=+∴2AB BC BE-=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、利用等腰三角形“三线合一”证明，解题的关键是利用角平分线构造全等三角形．21．(1)见解析；(2)两点之间线段最短；(3)120cm ，50cm ；(4)130cm【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接AC 即可；（2）根据题（1）即可求解；（3）根据题意可得，展开图中AB 等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中BC 等于长方形地毛毯的宽；（4）根据勾股定理计算AC 的长即可求解．【详解】（1）如图所示即为所求：（2）线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的802020120AB =++=cm ，50BC =cm ．故答案为：120cm ，50cm ；（4）由题（1）可得：在Rt ABC V 中，由勾股定理可得：130AC ===cm ，故答案为：130cm ．【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．22．(1)45°；30°(2)不变，理由见解析；(3)15°或30°或75°或60°【分析】（1）根据轴对称的性质得出15BCE DCE Ð=Ð=°，CB CD =，根据等腰三角形的性质求出()118030752CDB CBD Ð=Ð=°-°=°，证明ABC V 是等边三角形，得出60ACB Ð=°，AC CB CD ==，根据等腰三角形性质求出190452ADC Ð=´°=°，最后求出结果即可；（2）根据解析（1）的思路，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出30ADB Ð=°即可证明结论；（3）分四种情况进行讨论，根据等腰三角形的定义，进行分类，分别画出图形，求出结果即可．【详解】（1）解：如图1中，∵B ，D 关于CE 对称，∴15BCE DCE Ð=Ð=°，CB CD =，∴30BCD Ð=°，∵CB CD =，∴()118030752CDB CBD Ð=Ð=°-°=°，∵AB AC =，60BAC Ð=°，∴ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，AC CB CD ==，∴603090ACD Ð=°+°=°，∴190452ADC Ð=´°=°，∴754530ADB CDB ADC Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：45°；30°．（2）解：如图2中，结论：ADB Ð的度数不变，30ADB Ð=°．理由：∵CA CD =，602ACD a Ð=°+，∴()1180602602CDA CAD a a Ð=Ð=°-°-=°-，∵CB CD =，2BCD a Ð=，∴()11802902CDB CBD a a Ð=Ð=°-=°-，∴()906030ADB CDB CDA a a Ð=Ð-Ð=°--°-=°．（3）解：如图3中，当DA DB =时，∵CA CB =，DA DB =，∴AC ，BC 关于CD 对称，∴30BCD ACD Ð=Ð=°，∴1152BCD a =Ð=°；如图4中，当BA BD =时，BCD △是等边三角形，∴60DCB Ð=°，∴1302BCD a =Ð=°；如图5中，当DA DB =时，∵DA DB =，CA CB =，DC DC =，∴ADC BCD △≌△，∴()1360601502DCB DCA Ð=Ð=°-°=°，∴1752BCD a =Ð=°；如图6中，当DA AB =时，∵DA AB =，CD CB =，AC AC =，∴ADC ABC ≌△△，∴60ACD ACB Ð=Ð=°，∴6060120BCD Ð=°+°=°，∴1602BCD a =Ð=°，综上所述，满足条件的α的值为15°或30°或75°或60°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．23．(1)见解析(2)MD AD DG +=，理由见解析【分析】（1）先证DA DB =，再证BC BE =，然后由等边三角形的判定即可得出结论；（2）延长BD 至H ，使得DH DM =，连接MH ，证MDH V 是等边三角形，得MH MD =，60H HMD HDM Ð=Ð=Ð=°，得H ADG Ð=Ð，然后证()ASA DMG HMB V ≌，得DG HB =，即可解决问题．【详解】（1）证明：Q 在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，\60ABC Ð=°，12BC AB =，Q BD 平分ABC Ð，\30CBD DBA A Ð=Ð=Ð=°，\DA DB =，又Q DE AB ^，\12AE BE AB ==，\BC BE =，又Q 60ABC Ð=°，\EBC V 是等边三角形；（2）解：MD AD DG +=，理由如下：如图，延长BD 至H ，使得DH DM =，连接MH ，由（1）得DA DB =，30CBD DBA A Ð=Ð=Ð=°，Q 90ACB Ð=°，\90903060CDB CBD Ð=°-Ð=°-°=°，\60MDH CDB Ð=Ð=°，又Q DH DM =，\MDH V 是等边三角形，\MH MD =，60H HMD HDM Ð=Ð=Ð=°，Q DE AB ^，\90DEA Ð=°，\90903060ADG A Ð=°-Ð=°-°=°，\H ADG Ð=Ð，Q 60BMG Ð=°，\BMG BMD DMH BMD Ð+Ð=Ð+Ð，即DMG HMB Ð=Ð，在DMG V 和HMB V 中，DMG HMB DM HMMDG H Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，\()ASA DMG HMB V ≌，\DG HB =，Q HB HD DB MD AD =+=+，\MD AD DG +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析

特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。

专题训练(七) 四种特殊的等腰三角形的运用

专题训练(七) 四种特殊的等腰三角形的运用►类型一等腰直角三角形定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.判定：利用定义．1．如图7－ZT－1，轮船从B处以每小时50 n mile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时后到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________n mile.图7－ZT－12．如图7－ZT－2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是角平分线，ED⊥BC 于点D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)若BC＝10，求AB＋AE的长．图7－ZT－23．如图7－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于点F，判断△DBF的形状，并证明你的结论．图7－ZT－34．如图7－ZT－4，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形BCD和ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G.求证：CG垂直平分AB.图7－ZT－4►类型二等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°.判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．5．如图7－ZT－5所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN 的长为()图7－ZT－5A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm6.如图7－ZT－6，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.图7－ZT－67．如图7－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.求证：AE＝EF.图7－ZT－7►类型三有一个角是30°的等腰三角形8．2017·荆州如图7－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为()图7－ZT－8A．30° B．45° C．50° D．75°9．如图7－ZT－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B 落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为________．图7－ZT－910．如图7－ZT－10，在△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC的边BC上一点，DC＝2DB，∠ADC＝60°，CE⊥AD，垂足为E，连接BE.求证：EA＝EB＝EC.图7－ZT－10►类型四有一角是36°的等腰三角形有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；(2)底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．11．如图7－ZT－11，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为()图7－ZT－11A．30° B．36°C．38° D．45°12．2017·益阳如图7－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC 的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的式子表示△ABC的周长为________．图7－ZT－1213．如图7－ZT－13所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________度．图7－ZT－1314．如图7－ZT－14，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)图7－ZT－14(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在图③中画n条线段，则图中有________个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．教师详解详析1．[答案] 25[解析] 由题意知∠ABC ＝45°，∠ACB ＝90°，于是∠A ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴AC ＝BC ＝50×12＝25(n mile)．2．解：(1)如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠8＝45°. 又∵ED ⊥BC ，∴∠EDC ＝90°，∠7＝∠8＝45°.∴DE ＝DC ，故△DCE 为等腰三角形；∵BE 是∠ABC 的平分线，∠BAC ＝∠EDB ＝90°， ∴AE ＝DE ，故△ADE 为等腰三角形； ∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2. 又∵∠BAE ＝∠EDB ＝90°，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△DBE.∴AB ＝BD ，故△ABD 为等腰三角形．故图中所有的等腰三角形为△ABC ，△DCE ，△ADE ，△ABD ，共四个．(2)由(1)可知△ADE ，△ABD ，△DCE 均为等腰三角形， ∴AB ＝BD ，AE ＝DE ＝CD. ∴AB ＋AE ＝BD ＋CD ＝BC ＝10. 3．解：△DBF 是等腰直角三角形．证明：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC. ∵BF 平分∠ABE ，BE ⊥AC ，∴∠DFB ＝∠DAB ＋∠ABF ＝12(∠BAE ＋∠ABE)＝12(180°－∠AEB)＝45°.∴∠DBF ＝90°－∠DFB ＝45°.∴DB ＝DF. ∴△DBF 是等腰直角三角形． 4．证明：∵AC ＝BC ， ∴∠CAB ＝∠CBA.∵△ACE 和△BCD 均为等腰直角三角形， ∴∠CAE ＝∠CBD ＝45°.∴∠FAG ＝∠FBG. ∴AF ＝BF.在△ACF 和△BCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝BF ，AC ＝BC ，CF ＝CF ，∴△ACF ≌△BCF(SSS)． ∴∠ACF ＝∠BCF.∴AG ＝BG ，CG ⊥AB(三线合一)，即CG 垂直平分AB. 5．C 6．[答案] 8[解析] 延长AD 交BC 于点M.由AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 可得AM ⊥BC ，BM ＝MC ＝12BC.延长ED 交BC 于点N ，则△EBN 是等边三角形，故EN ＝BN ＝BE ＝6 cm ，∴DN ＝6－2＝4(cm)．在Rt △DMN 中，∵∠MDN ＝90°－∠DNM ＝30°，∴MN ＝12DN ＝2 cm.∴BM ＝6－2＝4(cm)．∴BC ＝2BM ＝8 cm.7．证明：如图，在AB 上截取AG ＝CE ，连接EG.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠ACB ＝60°.∴BG ＝BE. ∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGE ＝60°. ∴∠AGE ＝120°. ∵CF 平分∠ACD ，∴∠ACF ＝12(180°－∠ACB)＝60°.∴∠ECF ＝120°.∴∠AGE ＝∠ECF.∵∠AEC ＝∠B ＋∠GAE ＝∠AEF ＋∠CEF ，且∠AEF ＝∠B ＝60°， ∴∠GAE ＝∠CEF.∴△AGE ≌△ECF(ASA)．∴AE ＝EF.8．[解析] B ∵AB ＝AC ，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°.∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD.∴∠A ＝∠ABD ＝30°.∴∠CBD ＝∠ABC －∠ABD ＝75°－30°＝45°.故选B.9．[答案] 1或2[解析] 根据题意，得∠AEF ＝2∠B ＝60°.(1)若∠AFE ＝90°，如图①，则∠FAB ＝90°－∠AEF ＝30°，∴∠FAB ＝∠B.∴AF ＝BF.∵∠B ＝30°，∴∠BAC ＝60°.∴∠FAC ＝30°.在Rt △FAC 中，FC ＝12AF ＝12BF ＝13BC ＝1，∴BF ＝BC －FC ＝2.∴BD ＝12BF ＝1；(2)若∠EAF ＝90°，如图②，同理可得FC ＝12AF.在Rt △BAF 中，FA ＝12BF.∴FC ＝14BF ＝13BC ＝1.∴BF ＝BC ＋CF ＝4. ∴BD ＝12BF ＝2. 综上所述，BD 的长为1或2.10．证明：∵CE ⊥AD ，∠ADC ＝60°，∴∠DCE ＝30°.∴DC ＝2DE.∵DC ＝2DB ，∴DE ＝DB.∴∠EBC ＝12∠ADC ＝30°. ∴∠EBC ＝∠ECB ＝30°.∴EB ＝EC.∵∠DAB ＝∠ADC －∠ABC ＝15°，∠EBA ＝∠ABC －∠EBC ＝45°－30°＝15°，∴∠DAB ＝∠EBA.∴EA ＝EB.∴EA ＝EB ＝EC.11．B12．[答案] 2a＋3b[解析] 根据题意可知AC＝AB＝a＋b.∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝36°，∴AE＝CE.∴∠ACE＝∠BAC＝36°.∴∠B＝∠BEC＝72°.∴BC＝CE＝AE＝b.∴△ABC的周长＝2(a＋b)＋b＝2a＋3b.13．10814.解：(1)如图①所示(画图不唯一)．空格处分别填：108，36.提示：当AE＝BE时，∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，∠EBC＝36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°和36°.(2)答案不唯一，如图②所示．(3)空格处分别填：2n，n.提示：画1条线段可得到2个等腰三角形；画2条线段可得到4个等腰三角形；画3条线段可得到6个等腰三角形……∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．。

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1(解析版)

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．若以下列数组为边长，能构成直角三角形的是()A．4，5，6B．√2，√3，√5C．0.2，0.3 ，0.5D．13，14，15【答案】B【解析】A、42+52≠62，不能构成直角三角形；B、(√2)2+(√3)2=(√5)2，能构成直角三角形；C、0.22+0.32≠0.52，不能构成直角三角形；D、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角形.故答案为：B.2．下列命题中，逆命题错误的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【答案】B【解析】A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，符合题意，故本选项不符合题意；B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项符合题意；C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意；D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意．故答案为：B．3．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（）A．7根B．8根C．9根D．10根【答案】B【解析】∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，∴∠DBE＝∠DEB＝10°，∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝20°，∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，…由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就不存在了，所以一共有8个，∴添加这样的钢管的根数最多是8根.故答案为：B.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（）A．52B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵∠ACB=90°，M 是BD 的中点，∴CM =12BD ，设CM =x ，则BD =AD =2x ， ∵AC =8，∴CD =AC −AD =8−2x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得， BC 2+CD 2=BD 2，即42+(8−2x)2=(2x)2，解得：x =52故答案为：A. 5．如图，在等边三角形ABC 中，BC=2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（）A ．1B ．32C ．54D ．43【答案】C【解析】∵D 是AB 的中点，∴AD =12AB =1， ∵等边三角形ABC 中∠A=∠C=60°，且DF ⊥AC ，∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，在Rt △ADF 中，AF =12AD =12，∴FC =AC −AF =2−12=32，同理，在Rt △FEC 中，EC =12FC =12×32=34，∴BE =BC −EC =2−34=54．故答案为：C ．6．以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（）A ．6B ．36C ．64D ．8 【答案】A【解析】∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A 的面积=14-8=6．故答案为：A ．7．如图， △ABC 中， ∠BAC =90° ， AB =3 ， AC =4 ，点 D 是 BC 的中点，将 △ABC 沿 AD 翻折得到 △AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于（）A ．75B ．54C ．53D ．2【答案】A【解析】如图，连接 BE 交 AD 于 O ，作 AH ⊥BC 于 H ．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC=√AC2+AB2=5，∴CD=DB，∴AD=DC= DB=52．又∵12BC⋅AH=12AB⋅AC，∴AH=125．又∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线BE，△BCE是直角三角形．∵12AD⋅BO=12BD⋅AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245．在Rt△BCE中，EC=√BC2−BE2=75．故答案为：A．8．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB.∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°.∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA.在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC.∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣S△AOE=S△EOC=12×2×2=2.故答案为：A.9．如图，在ΔABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在ΔACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC=∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC=BE．其中，正确的结论有（）A．①②③④B．①③④C．②③D．②③④【答案】D【解析】∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BDA=∠ECA=45 °，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即：∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC，故④正确；∠ADF=∠ABF，∴∠BDC=45 °−∠ADF，∠BEC=45 °−∠AEF，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF，∴∠BDC ≠∠BEC，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD⊥BE，故③正确；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，∵△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∵BE=DC，∴AP= AQ，∵AP⊥CD，AQ⊥BE，∴FA平分∠DFE，故②正确；综上，②③④正确；故答案为：D．10．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=4，BC=2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．2√3B．2√7C．√3或√7D．2√3或2√7【答案】D【解析】①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如下图：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，∴AE=CE−AC=4−2=2，∠BAC=60°，∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=30°，EM=BM，在Rt△ABM中，AM=12AB=1，BM=√3AM=√3，∴BE=2BM=2√3；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如下图：在Rt△BCN中，CN=12BC=1，由勾股定理得：BN=√3CN=√3，∴NE=CE+CN=4+1=5，在Rt△BNE中，BE=√BN2+NE2=√(√3)2+52=2√7．综上所述，线段BE的长为2√3或2√7．故答案为：D．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【答案】3.75【解析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据题意，得x2+22=(x+0.5)2，解得：x=3.75，∴这个湖的水深是3.75尺．故答案为：3.75．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是．【答案】25°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，在△DBF和△DAC中，{∠BDF=∠ADC ∠DBF=∠DACBF=AC，∴△DBF≅△DAC（AAS），∴AD=BD，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=∠DAB=45°，∵∠ABE=20°，∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°.故答案为：25°.13．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是.【答案】12【解析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，∴∠D=90°，∴AB2−BD2=AD2=AC2−CD2，∵AB=20，AC=15，BC=7，∴202−（7+CD）2=152−CD2，∴CD=9，∴AD=√152−92=12，∴点A到BC的距离是12；故答案为：12.14．如图，在平面直角坐标系中，长方形AOBC的边OB、OA分别在x轴、y轴上，点D在边BC 上，将该长方形沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的E处.若点A(0，8)，点B(10，0)，则点D 的坐标是.【答案】（10，3）【解析】∵A（0，8），点B（10，0），∴OA=BC=8，OB=AC=10，设BD＝a，则CD＝8﹣a，由题意可得，CD＝DE＝8﹣a，由对折知，AE＝AC＝10，∴OE=√AE2−AO2=√102−82=6，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，∵∠DBE＝90°，∴a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点D的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）.15．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，AB和FE交于点M，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②BE2＋DC2＝DE2；③AB﹣AD＝ED﹣BE；④只有当∠AME＝90°时，BF＝BE，其中正确的有．【答案】①②④【解析】∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠CAD+∠BAD=∠F AB+∠BAD=90°，∴∠F AB=∠DAC，又∵AB=AC，AF=AD，∴△AFB≌△ADC（SAS），∠C=∠ABC=45°，故①说法符合题意∴AF=AD，BF=CD，∠C=∠ABF=45°，∴∠FBE=90°∵∠EAD=45°，∠F AD=90°，∴∠F AE=∠DAE=45°又∵AE=AE，∴△AFE≌△ADE（SAS），∴DE=FE，2BE2=EF2，∵BF+2BE2=DE2，故②说法符合题意；∴CD+如图所示，过点A作AH⊥BC于H，设AH=BH=x，则AB=√2x，当BE=CD时，即BE=BF，∴ED=EF=√2BE，∵AB=AC，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD，∴AD=AE，∴EH=DH=12ED∵BH=BE+EH=x，∴BE+√22BE=x ，∴BE=(2−√2)x，∴EH=(√2−1)x∴AD=AE=√AH2+EH2=√4−2√2x，∴AB−AD=√2x−√4−2√2x，ED−BE=(2√2−2)x−(2−√2)x=(3√2−4)x∴此时AB−AD≠ED−BE，故③不符合题意；当∠AME＝90°时，∴∠BMF=∠BME=90°，又∵∠FBM=∠MBE=45°，∴BF=BE，故④符合题意，故答案为：①②④．16．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6.点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是.【答案】√223【解析】如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP=N′P，作点M关于OB的对称点M′，则MQ=M′Q，∴MQ+PQ+NP=M′Q+PQ+N′P≥M′N′，∴当N′，P，Q，M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，过点N′作N′E⊥OM′交OM′的反向延长线于点E，∵∠AOB=50°，∠OC=30°，则∠N′OA=∠AOC=∠AOB−∠BOC=20°，∠BOM′=∠BOA=50°∴∠N′OM′=2∠N′OA+∠COB+∠BOM′=40°+30°+50°=120°，∴∠EON′=60°∵N′E⊥OM′∴∠EN′O=30°∵ON′=ON=6，OM=OM′=11∴EO=12N′O=3在Rt△EON′中，EN′=√ON′2−OE2=√62−32=3√3在Rt△EM′N′中，EM′=EO+OM′=3+11=14，∴M′N′=√EN′2+EM′2=√(3√3)2+142=√223故答案为：√223.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝17．（1）求证：△BCD≌△ACE．（2）若BD＝5，求DE的长．【答案】（1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB-∠ACD＝∠ECD-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，∴△BCD≌△ACE；（2）解：∵AC=BC，∠ACB＝90°，∴∠B=∠CAB=45°，∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD=5，∴∠EAD=90°，∵AB＝17，BD＝5，∴AD=12，∴DE=√AE2+AD2=√122+52=13．18．如图，在等腰△ABC中，点D在AB边上，点E是AC延长线上的点，DE交底边BC于点G，AE＝3AD＝3BD＝3，（1）求CE的长度；（2）求证：AG是△ADE的中线．【答案】（1）解：∵AE＝3AD＝3BD＝3，∴AE=3，AD=1，BD=1，∴AB=AD+BD=1+1=2，∴△ABC为等腰三角形，BC为底边，∴AC=AB=2，∴CE=AE-AC=3-2=1；（2）证明：过点E作EF∥AB交BC延长线于点F，∴∠F=∠ABC，∵△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠FCE，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FCE=∠F，∴CE=FE=1=BD，在△BDG 和△FEG 中{∠B =∠F∠DGB =∠EGF BD =FE，∴△BDG ≌△FEG （AAS ）， ∴DG=EG ，∴AG 为△ADE 的中线．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，在Rt △ABD 中，∠D =90°，AD 与BC 交于点E ，且∠DBE =∠DAB ．求证：（1）∠CAE =∠DBC ；（2）AC 2+CE 2=4BD 2．【答案】（1）证明：如下图所示，标出∠1，∠2，∠3．∵∠ACB =90°，∠ADB =90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠DBC =90°． ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2．∴∠3=∠DBC ，即∠CAE =∠DBC ．（2）证明：在（1）中图延长BD 交AC 延长线于点F ．由（1）可知∠3=∠DBC ，即∠3=∠DBE ． ∵∠DBE =∠DAB ， ∴∠3=∠DAB ． ∵∠ADB =90°， ∴∠ADF =90°． ∴∠ADF =∠ADB ．在△ADF 和△ADB 中，∵{∠3=∠DAB ，AD =AD ，∠ADF =∠ADB ，∴△ADF ≌△ADB(ASA)． ∴FD =BD ． ∴BF =2BD ．∵∠ACB =90°，即∠ACE =90°， ∴∠BCF =90°． ∴∠ACE =∠BCF ．由（1）可知∠3=∠DBC ，即∠3=∠CBF ．在△ACE 和△BCF 中，∵{∠3=∠CBF ，AC =BC ，∠ACE =∠BCF ，∴△ACE ≌△BCF(ASA)．∴AE =BF ．∴AE =2BD∵在Rt △ACE 中，AC 2+CE 2=AE 2，∴AC 2+CE 2=(2BD)2=4BD 2．20．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点E ，使CE=12BC ，若D 是AC 的中点，连接ED 并延长交AB 于点F ．（1）若AF=3，求AD 的长；（2）求证：DE=2DF ．【答案】（1）解：∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，∵D 为AC 中点，∴CD=AD=12AC ， ∵CE=12BC ， ∴CD=CE ，∴∠E=∠CDE ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ，∴∠E=∠CDE=30°，∴∠ADF=∠CDE=30°，∵∠A=60°，∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，∵AF=3，∴AD=2AF=6，（2）解：连接BD ，∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，∴BD 平分∠ABC ，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°， ∵∠BFD=90°，∴BD=2DF ，∵∠DBC=∠E=30°，∴BD=DE ，∴DE=2DF ，21．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上.（1）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°.∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.22．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）若P为BC上的中点，求证：AB2−AP2=PB·PC；（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．【答案】（1）证明：连接AP，∵AB＝AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，AB2−AP2=BP2=PB·PC；（2）解：成立．如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，同理，AP2=AD2+DP2，∴AB2−AP2=AD2+BD2−(AD2+DP2)=BD2−DP2又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，∴BP•CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝BD2−DP2，∴AB2−AP2=PB·PC；（3）解：AP2−AB2=PB·PC．如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC 于D，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2，在Rt △ADP 中，AP 2=AD 2+DP 2，∴AP 2−AB 2=(AD 2+DP 2)−(AD 2+DB 2)=PD 2−BD 2 又∵BP ＝BD ＋DP ，CP ＝DP －CD ＝DP －BD ，∴BP•CP ＝（BD ＋DP ）（DP －BD ）＝DP 2−BD 2，∴AP 2−AB 2=BP ·CP ． 23．已知：如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．（1）求证：AD =BE ；（2）求∠DOE 的度数；（3）求证：△MNC 是等边三角形．【答案】（1）证明：∵△ABC 、△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴AD =BE ．（2）解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ，∵等边三角形DCE ，∴∠CED =∠CDE =60°，∴∠ADE +∠BED =∠ADC +∠CDE +∠BED ，=∠ADC +60°+∠BED ，=∠CED +60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE =180°−(∠ADE +∠BED)=60°，答：∠DOE 的度数是60°．（3）证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，AD =BE ，AC =BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM =12AD ，BN =12BE ， ∴AM =BN ，在△ACM 和△BCN 中{AC =BC ∠CAM =∠CBN AM =BN，∴△ACM≌△BCN(SAS)，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．24．如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点.如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若PC＞PA，PC＞PB，且PC2＝PA2+PB2，则点P就是△ABC的勾股点.（1）如图2，在3×2的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（小正方形的顶点）上，格点P是△ABC的勾股点吗？请说明理由；（2）如图3，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点E在该垂线上，以CE为边在其右侧作等边△CDE，连结AD.①求证：点A是△CDE的勾股点；②若AC＝√3，AE＝1，直接写出等边△CDE的边长.【答案】（1）解：格点P是△ABC的勾股点，理由：∵PA2＝22+12＝5，PB2＝22＝4，PC2＝12＝1，∴PA2＝PB2+PC2，∴格点P是△ABC的勾股点；（2）解：①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴AB∥CE，∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，∵∠BAC＝60°，∠BAE＝90°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝12AC，∴AE=√AC2−CE2=√AC2−14AC2=√32AC过A作AH⊥BC于H，∴CH＝BH＝12BC＝12AC，∠AHC＝90°，∴DH＝CD+CH＝12AC+12AC＝AC，∴AH2＝AC2﹣CH2＝AC2﹣14AC2＝34AC2，∴AH＝√32AC，∴AH＝AE，∴AD2＝AH2+HD2＝AE2+AC2，∴点A是△CDE的勾股点；②√2.【解析】（2）②解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴AB∥CE，∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，∵AC＝√3，AE＝1，∴CE＝√AC2−AE2＝√2，∴等边△CDE的边长为√2.。

特殊三角形培优专项训练(解析版)

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：特殊三角形培优专项训练一．选择题1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．9【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论．【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．（轴对称与勾股定理综合）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．6【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DE，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3；∴CE＝3；∴BE＝8﹣3＝5．故选：B．5．（勾股定理＋中点）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，则AB的长为（）A．10B．4C．D．8【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，根据勾股定理求得AB．【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25．在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55，解得x＝，y＝．在直角△ABC中，AB＝＝＝8．故选：D．6．（勾股定理与面积规律）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4B．6C．8D．12【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝S Rt△ABC；S3＝S△FPT；S4＝S Rt△ABC，进而即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2＝S Rt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4＝S Rt△ABC，∴S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝S Rt△ABC﹣S Rt△ABC+S Rt△ABC＝6﹣6+6＝6，故选：B．7．（勾股定理与整体思想）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．【解答】解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，∴S△AEF＝，S，∵S△AEF+S△ABD＝8.5，∴BD2+DG2＝17，∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），∴BG2+CG2＝34，∵BG＝5，∴CG＝＝3，故选：C．8．（等边三角形“手拉手”模型）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列六个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤BD∥MN．⑥CP平分∠BPD其中，正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，即可解决问题；③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD＝120°，即可得到结论；④由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；⑤由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形，得到∠CMN＝60°，所以∠CMN＝∠BCM，于是根据平行线的判定即可得到MN∥BC；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CP平分∠BPD．【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正确；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴AN＝BM，∠BMC＝∠ANC；故②④正确；③∵∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE+∠CDA＝60°，∴∠BPD＝120°，∴∠APM＝60°；故③正确；⑤∵△ACN≌△BCM，∴CN＝BM，而∠MCN＝60°，∴△CMN为等边三角形；∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠BCM，∴MN∥BC；故⑤正确；⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，∵△ACD≌△BCE，∴CQ＝CH，∴CP平分∠BPD，故⑥正确．正确的有：①②③④⑤⑥，共6个．故选：D．9．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF＝AC；②CE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④BD+DF＝BC；⑤；A．5B．4C．3D．2【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝AC ＝BF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求＝，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，∴△DGF是等腰直角三角形，故③正确．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确；∵BE平分∠ABC，∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离，∴＝，故⑤正确，故选：A．10．（折叠与勾股定理求长度）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．1【分析】由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，CF ＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，根据勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故选：A．11．（三角形与特殊三角形性质的综合）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC 内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得DE＝DF，AE＝CF，可得∠DEF＝∠DFE＝45°，EC＝BF，可判断①，在直角三角形CEF中，由勾股定理可得BF2+AE2＝EF2，可判断②，由特殊位置可求CD的范围，可判断③，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝△CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝CF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确；∴EC＝BF，∵CF2+CE2＝EF2；∴BF2+AE2＝EF2；故②正确；当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD，当DE⊥AC时，则DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD，∴CD≤EF＜CD，故③错误，故选：A．二．填空题12．（中垂线性质定理与特殊角的应用）在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，DE＝2，则AC的长为．【分析】利用线段垂直平分线的性质，说明△BCE和△ADB是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求出∠BEA和∠BDC的度数，利用特殊的直角三角形的性质求出BE、DB的长，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴CE＝BE，BD＝AD．∴∠C＝∠CBE＝30°，∠A＝∠ABD＝15°．∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°，∠BEA＝∠C+∠CBE＝60°．∴∠EBD＝90°．在Rt△BED中，∵ED＝2，∠BDC＝30°，∴BE＝1，BD＝．∴CE＝BE，AD＝BD．∴AC＝CE+AD+ED＝1+2+＝3+．故答案为：3+．13．（特殊三角形的判定）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．【分析】首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′＝∠BE′E＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE＝BE′＝2，∠AEB＝∠BE′C∴∠BEE′＝∠BE′E＝45°，∵EE′2＝22+22＝8，AE＝CE′＝1，EC＝3，∴EC2＝E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠AEB＝135°．故答案为：135．14．（赵爽弦图）如图由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S2的值是．【分析】先设一个直角三角形的面积为x，然后结合正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积关系和S1+S2+S3＝60得到S2的值．【解答】解：设一个直角三角形的面积为x，∵图中的三角形全等，∴S1＝S2﹣4x，S3＝S2+4x，∵S1+S2+S3＝60，∴S2﹣4x+S2+S2+4x＝60，∴S2＝20．故答案为：20．15．（直角三角形的分类讨论）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝．【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，综上所述，PB的值为：1或．16．（将军饮马）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出P A的最小值，可得结论．【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，P A，EM，FN，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠P AB+∠P AC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F共线，∵ME＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2P A，∴当P A⊥BC时，P A的值最小，此时P A＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值为．故答案为：．17．（角平分线与将军饮马）如图，BD是Rt△ABC的角平分线，点F是BD上的动点，已知AC＝2，AE＝2﹣2，∠ABC＝30°，则：（1）BE＝．（2）AF+EF的最小值是．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BC＝2AC＝4，由勾股定理得到AB＝＝＝2，于是得到结论；（2）作点A关于BD的对称点A′，根据等腰三角形的性质得到点A′落在BC上，求得A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝2AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AE＝2﹣2，∴BE＝2；故答案为：2；（2）作点A关于BD的对称点A′，∵BD是Rt△ABC的角平分线，∴点A′落在BC上，∴A′B＝AB＝2，连接A′E交BD于F，则此时AF+EF的值最小且等于A′E，过E作EH⊥BC于H，∴EH＝BE＝1，BH＝＝，∴A′H＝，∴BH＝A′H，∴A′E＝BE＝2，∴AF+EF的最小值是2，故答案为：2．18．（折叠与直角三角形分类讨论）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，△DEF为直角三角形，则CF＝．【分析】分两种情况讨论，当∠EFD＝90°时和当∠EDF＝90°时，然后利用折叠的性质和含30°角的直角三角形三边关系求解．【解答】解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，∠B＝60°，由折叠得，∠E＝∠A＝30°，①如图1，当∠EFD＝90°时，∠BFC＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝×2＝1，CF＝BF＝；②如图2，当∠EDF＝90°时，∵∠E＝30°，∴∠EFD＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BC＝2，综上所述，当△BFC为直角三角形时，CF＝2或．故答案为：2或．三．解答题19．（“两定一动”型等腰三角形分类讨论）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD ＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×10•BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10秒，综上所述，t＝3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，则CE＝BE，∴CD＝AD＝AC＝×10＝5，t＝5÷1＝5；②CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．20．（直角三角形判定与角度转化）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠HAC＝30°，∠ACD＝α，点D是线段AH 上的一个动点，连接CD，将线段CD绕C点顺时针旋转90°至点E，连接DE交BC于点F．（1）连接BE，求证：△ACD≌△BCE；（2）当α＝15°时，判断△BEF是什么三角形？并说明理由．（3）在点D运动过程中，当△BEF是锐角三角形时，求α的取值范围．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE；（2）根据三角形内角和定理求出∠ADC，根据全等三角形的性质求出∠CEB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CED，结合图形计算，得到答案；（3）根据三角形内角和定理求出∠ADC，用α表示出∠BEF，根据锐角的概念列式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝15°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣15°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∴△BEF是直角三角形；（3）解：∵∠HAC＝30°，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝150°﹣α，∠CBE＝∠CAD＝30°，∴∠BEF＝∠BEC﹣∠CED＝150°﹣α﹣45°＝105°﹣α，由题意得：105°﹣α＜90°，180°﹣30°﹣（105°﹣α）＜90°，解得：15°＜α＜45°．21．（操作类等腰三角形分类讨论）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图．定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成n+1个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的n+1等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图．（1）如图2，△ABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个△ABC的4等分线的示意图．（2）请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的4等分线图（若两种方法分得的三角形分别成4对全等三角形，则视为一种．）【分析】（1）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个△ABC的4等分线的示意图；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．【解答】解：（1）如图2，取三边的中点D，E，F，并连接，得4个等腰三角形；（2）①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；②如图，作CF⊥AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，△CDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE＝2AE，CF＝2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，所以△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，△ADE和△BDF是等腰三角形．22．（特殊三角形与方程思想）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．（1）若BC＝8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；（2）在（1）的条件下，若AP＝PD，求CP的长；（3）连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ＝2PC，可得结论；（2）证明P A＝PQ，构建方程求出m即可．（3）证明DE＝EQ，设DE＝EQ＝x，根据BC＝5，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝＝6，∵P，Q关于BC对称，∴PC＝CQ＝6﹣m，∴PQ＝2PC＝12﹣2m；（2）当AP＝PD时，∠A＝∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ＝90°，∴∠PDQ+∠ADP＝90°，∠Q+∠A＝90°，∴∠Q＝∠PDQ，∴PD＝PQ，∴P A＝PQ，∴m＝12﹣2m，∴m＝4，∴CP＝AC﹣AP＝6﹣4＝2；（3）∴CP＝CQ，∴S△PEC＝S△ECQ，∵S△PDE＝2S△PEC，∴S△PDE＝S△PEQ，∴DE＝QE，设DE＝EQ＝x，∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2x，∵∠ADQ＝90°，∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝EQ＝x，∵BC＝AB•＝5，∴2x+x＝5，∴x＝2，∴DQ＝2x＝4，CQ＝PC＝EQ•＝3，∵AQ＝5+3＝8，∴m＝AP＝AQ﹣PQ＝8﹣6＝2．23．（特殊三角形动点问题）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP 的长．【解答】解：（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，∴h＝OB＝4，即点P到直线AB的距离是4，故答案为：4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时OP＝4；综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．24．（特殊三角形综合题）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF ＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴F A＝FG；∴FG+DC＝F A+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠F AE+∠DFB＝∠F AE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．。

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特殊三角形专题练习
一．选择题（共9小题）
1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（）
A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12
2．若实数x，y满足﹣40，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
3．如图，在△中，∠90°，，是经过A点的一条直线，且B，C 在的两侧，⊥于D，⊥于E，2，6，则的长为（）
A．2B．3C．5D．4
4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣120的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18
5．如图，在△中，，平分∠交于点D，∥交的延长线于点E．若∠35°，则∠的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70°
6．如图，△中，⊥于D，⊥于E，与相交于F，若，则∠的大小是（）
A．40°B．45°C．50°D．60°
7．如图，，若∠80°，则∠（）
A．80°B．100°C．140°D．160°
8．已知如图，∥，⊥，⊥，，2，3，则△的面积为（）
A．1B．2C．5D．无法确定
9．如图，已知△的面积为102，为∠的角平分线，垂直于点P，则△的面积为（）
A．62B．52C．42D．32
二．填空题（共8小题）
10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形的顶点E、F、G、H分别在正方形的边、、、上．若正方形的面积=16，1；则正方形的面积= ．
11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，则每个直角三角形的
面积为；直角三角形中较小的锐角为θ，那么
θ=．
12．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠90°，∠30°，4．作△使得∠90°，点H在边上，点D，E在边上，点G，F在边上，那么△的周长等于．
13．如图，在梯形中，∥，∠∠90°，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S213，则线段与存在的等量关系是．
14．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△）的长直角边与含45°角的三角尺（△）的斜边恰好重合．已知2，E 是上的一点（＞），且，则的长为．
15．如图，在四边形中，5，12，∠∠90°，M、N分别是对角线、的中点，则．
16．如图，在四边形中，，∠∠90°，⊥于点E，且四边形的面积为9，则．
17．如图所示，在△中，，∠80°，P在△内，∠10°，∠30°，则∠．
三．解答题（共3小题）
18．如图，在四边形中，1，1，2，，且∠90°，求四边形的面积．
19．如图，在△中，，D是上任意一点，过D分别向，引垂线，垂足分别为E，F，是边上的高．
（1），，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
20．如图，在△中，，是过点A的直线，⊥于D，⊥于点E；（1）若B、C在的同侧（如图所示）且．求证：⊥；
（2）若B、C在的两侧（如图所示），其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
特殊三角形专题练习
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B
二．填空题（共8小题）
10．10 11．612．27+1313．2 14．15．2.5 16．3 17．70°
三．解答题（共3小题）
18． 19． 20．
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