专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)
专题05等边三角形的性质和判定综合题(原卷版)
专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：等边三角形等边三角形定义：叫等边三角形.细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的．也就是说等腰三角形包括．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）的三角形是等边三角形；（3）是等边三角形．易错题专训一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC ＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．163．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠P AN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．86．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于cm．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有（填上所有正确结论的序号）13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。
专题05 等腰三角形中的动态问题(解析版)
专题05 等腰三角形中的动态问题【典例解析】【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且∠PMN为等边三角形，则满足上述条件的∠PMN有()A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】D【解析】解：如图，在OA、OB上分别截取OE=OP，OF=OP，作∠MPN=60°．∠OP平分∠AOB，∠∠EOP=∠POF=60°，∠OP=OE=OF，∠∠OPE，∠OPF是等边三角形，∠EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∠∠EPM=∠OPN，∠∠PEM∠∠PON∠PM=PN，∠∠PNM 是等边三角形，只要∠MPN =60°，∠PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故答案为：D ．【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=，点D 在边BC 上运动（点D 不与点,B C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=，DE 交边AC 于点E ．（1）当100BDA ∠=时，EDC ∠= ，DEC ∠=（2）当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA ∠的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）30，100；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）在 △BAD 中，∵∠B =50°，∠BDA =100° ，∴∠EDC =30°，∠DEC =100°.（2）当CD =3时，∠ABD ∠∠DCE ，理由如下：∵AB =CD =3，∠B =50°，∠ADE =50°∴∠B =∠ADE∵∠ADB +∠ADE +∠EDC =180°，∠DEC +∠C +∠EDC =180°∴∠ADB =∠DEC又∠B =∠C∴△ABD ≌△DCE（3）可以，理由如下：∴∠BAC=80°①当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=65°，∠∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°∠∠BDA=115°②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°∠∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=80°又∠∠BAC=80°∠∠DAE=∠BAE∴点D与点B重合，不合题意．③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=50°∠∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°∴∠BDA=100°.综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且∠APO是等腰三角形，这样的点P共有（）个A．6B．7C．8D．9【答案】C.【解析】解：分两种情况进行讨论，当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∠满足条件的点P 共有8个，故答案为：C ．【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：在ABC ∆中， 3 cm AB AC BC ===.点P 从点A 出发以1 cm/s 的速度沿线段AB 向点B 运动．（1）如图1，设点P 的运动时间为()t s ，当t =______s 时，PBC ∆是直角三角形．（2）如图2，若另一动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，如果动点,P Q 都以1 cm/s 的速度同时出发，设运动时间为()t s ，求当t 为何值时，PBQ ∆是直角三角形．（3）如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动，连接PQ 交AC 点D ，且动点,P Q 都以1 cm/s 的速度同时出发．∠设运动时间为()t s ，那么当t 为何值时，DCQ ∆是等腰三角形？∠如图4，连接PC .请你猜想：在点,P Q 的运动过程中，PCD ∆和QCD ∆的面积之间的数量关系为______．【答案】（1）32；（2）（3）见解析． 【解析】解：（1）当∠PBC 是直角三角形时，则∠BPC =90°，∠∠B =60°，∠BP =AP =32cm ， ∠t =32， 故答案为：32；（2）∠当∠BPQ=90°时，BP=12 BQ，即3-t=12t，解得：t=2∠当∠BQP=90°时，BP=2BQ，即3-t=2t，解得：t=1故当t=1或2s时，∠PBQ是直角三角形；（3）∠∠∠DCQ=120°∠当∠DCQ是等腰三角形，CD=CQ，∠∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∠∠A=60°∠∠APD=90°∠AD=2AP3-t=2t，解得：t=1∠S∠PCD=S∠QCD，过点P作PE∠AC于E，过点Q作QG∠AC于点G，∠∠CGQ=∠AEP=90°∠AB=AC=BC∠∠A=∠ACB=∠QCG=60°∠∠EAP∠∠GCQ∠PE=QG∠∠PCD与∠QCD同底等高故S∠PCD=S∠QCD．【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在∠ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．∠若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由；∠若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使∠BPD与∠CQP全等？（2）若点Q以∠中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿∠ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在∠ABC的那一条边上相遇．【答案】（1）∠∠BPD与∠CQP全等，∠点Q的运动速度是53cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在∠ABC的边BC上相遇．【解析】解：（1）∠∠BPD与∠CQP全等，∠点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是1cm/s，∠运动1秒时，BP=CQ=1cm，∠BC=6cm，∠CP=5cm，∠AB=10，D为AB的中点，∠BD=5，∠BD=CP，∠AB=AC，∠∠B=∠C，∠∠BPD∠∠CQP．∠点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，若∠BPD与∠CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，∠点Q的运动速度是53cm/s．（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，∠P的速度是1厘米/秒，Q的速度是53厘米/秒，∠10+10+t=53 t，解得：t=30，此时点Q的路程=30×53=50（厘米），∠50＜2×26，∠此时点Q在BC上，∠经过30秒后点P与点Q第一次在∠ABC的边BC上相遇．【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，∠A1B1A2、∠A2B2A3、∠A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则∠A9B9A10的边长为（）A．32B．64C．128D．256【答案】D【解析】解：如图，∠∠A1B1A2是等边三角形，∠A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∠∠2=120°，∠∠MON=30°，∠∠1=180°-120°-30°=30°，又∠∠3=60°，∠∠5=180°-60°-30°=90°，∠∠MON=∠1=30°，∠OA 1=A 1B 1=1，∠A 2B 1=1，∠∠A 2B 2A 3、∠A 3B 3A 4是等边三角形，∠∠11=∠10=60°，∠13=60°，∠∠4=∠12=60°，∠A 1B 1∠A 2B 2∠A 3B 3，B 1A 2∠B 2A 3，∠∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∠A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∠A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，…∠∠A n B n A n +1的边长为 2n -1，∠∠A 9B 9A 10的边长为29-1=28=256．故答案为D ．【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图∠是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图∠的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图∠，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图∠、∠，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n -B ．3－12nC ．1－132n - D ．132n -＋212n -【答案】A【解析】解：P 1＝1＋1＋1＝3，P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114，P 4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， … ∠P 3－P 2＝114－52＝211=42， P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∠P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ．【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，在射线OM 上，112A B B ∆，223A B B ∆，334A B B ∆，均为等边三角形．若11OB =，则889A B B ∆的边长为（ ）A ．64B ．128C ．132D ．256【答案】B 【解析】解:∠∠A 1B 1B 2 是等边三角形，∠A 1B 1=A 1B 2，∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O =60°∠∠O =30°∠∠A 2A 1B 2=90°∠∠O =∠OA 1B 1=30°∠OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1同理可得：A 3B 3=4，A 4B 4=8，A n B n =2n -1∠∠A 8B 8B 9的边长为2-=128.故答案为：B .【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知1111222233334,,,AB A B A B A A A B A B A B A B ==== ……，若∠A ＝70°，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n - 【答案】C【解析】解：∠1AB A B =，70A ∠=︒∠∠AA 1B =∠A =70°∠1112A B A A =∠∠A 1A 2B 1=∠A 1 B 1A 2∠∠AA 1B =∠A 1A 2B 1＋∠A 1 B 1A 2∠∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B =702︒=35° 同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒ ∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒ ∠11n n n A A B --∠=1702n -︒ 故答案为C ． 【习题精练】1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，∠AOx =40°，点P 在x 轴上，若∠POA 是等腰三角形，则满足条件的点P 共有______个．【答案】4.【解析】解：有OA =OP 、AO =AP 、PO =P A 三种情况：∠以O 为圆心，OA 长为半径画弧，于x 轴有2个交点P 2、P 3，∠以A 为圆心，OA 长为半径画弧，与x 轴有2个交点O 、P 1，点O 与OA 不能构成三角形，P 1符合条件，∠作线段OA 的垂直平分线，交x 轴有1个交点P 4，∠P 4A =P 4O ，∠P 4符合条件，综上所述：符合条件的点共有4个，故答案为：42. （2019·浙江宁波模考）如图，10AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；……按照上面的要求一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求点1n P +了，则n =________．【答案】8【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角10AOB ∠=︒；由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20°，第三个等腰三角形的底角30°，同理可得第n 个等腰三角形的底角度数为10n ，因为等腰三角形的底角小于90°，10n <90，即n <9.故答案为8.3.（2020·河北保定一模）如图，10AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；……，按照上面的要求一直画下去，就会得到11223OP PP PP P P ===，则（1）234P P P ∠=_________︒；（2）与线段OP 长度相等的线段一共有__________条（不含OP ）．【答案】100,9.【解析】解：（1）由题意可知，1PO PP =，121PP P P =，…，则11POP OPP ∠=∠，1212PPP PP P ∠=∠，…，∠AOB ∠=10°，∠1PPB ∠=20°，21P P A ∠=30°，32P P B ∠=40°，43P P A ∠=50°，54P P B ∠=60°，…，∠234P P P ∠=180°−40°−40°=100°，故答案为：100；（2）根据题意，10n <90，解得n <9．∠n 为整数，故n =8．∠54P P B ∠=60°，4556PP P P =， ∠456P P P ∆为等边三角形，∠与线段OP 长度相等的线段一共有9条（不含OP ），故答案为：9.4.（2020·福建连城期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．（1）填空：ABC S ∆=______2cm ；（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍，请你求出时间x 的值．【答案】（1）8；(2)见解析；（3）45或4. 【解析】解：（1）∠S ∠ABC =12×AC ×BC ∠S ∠ABC =12×4×4=8 故答案为：8（2）如图：连接CD∠AC =BC ，D 是AB 中点∠CD 平分∠ACB又∠∠ACB =90°∠∠A =∠B =∠ACD =∠DCB =45°∠CD =BD依题意得：BE =CF在∠CDF 与∠BDE 中，BE CF B DCA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CDF ∠∠BDE （SAS ）∠DE =DF（3）过点D 作DM ∠BC 于点M ，DN ∠AC 于点N ，∠AD =BD ，∠A =∠B =45°，∠AND =∠DMB =90°∠∠ADN ∠∠BDM （AAS ）∠DN =DM当S ∠ADF =2S ∠BDE ． ∠12×AF ×DN =2×12×BE ×DM ∠|4-3x |=2x∠x 1=4，x 2=45综上所述：x =45或4. 5.（2020·广东佛山月考）如图，在等边ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，4DC =厘米，如果点M 以3厘米/的速度运动．（1）如果点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动．点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动，它们同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等：∠经过2秒后，BMN ∆和CDM ∆是否全等？请说明理由．∠当两点的运动时间为多少秒时，BMN ∆刚好是一个直角三角形？（2）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都顺时针沿ABC ∆三边运动，经过25秒时点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是__________厘米/秒．（直接写出答案）【答案】见解析．【解析】解：（1）∠∠BMN ∠∠CDM ．理由如下：N 、M 速度相等，t =2∠CM =BN =6，BM =4∠BN =CM∠CD =4∠BM =CD∠∠B =∠C =60°∠∠BMN ∠∠CDM∠设运动时间为t 秒，∠BMN 是直角三角形有两种情况：当∠NMB =90°时，∠BNM =30°，BN =2BM∠3t =2（10-3t ）解得：t =209当∠BNM =90°时，同理，BM =2BN ，即10-3t =2×3t ，解得：t =109 ∠当t =209或109秒时，∠BMN 是直角三角形； （2）分两种情况，∠若点M 运动速度快，则3×25－10=25V N ，解得V N =2.6；∠若点N 运动速度快，则3×25+20=25V N ，解得V N =3.8．6.（2018·湖北广水期中）（阅读）如图1，等边∠ABC 中，P 是AC 边上一点，Q 是CB 延长线上一点，若AP ＝BQ ．则过P 作PF ∠BC 交AB 于F ，可证∠APF 是等边三角形，再证∠PDF ∠QDB 可得D 是FB 的中点．请写出证明过程．（运用）如图2，∠ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB 延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE∠AB 于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：【阅读】∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝∠ACB＝60°，∠PF∠BC，∠∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AP＝PF，∠AP＝BQ，∠PF＝BQ，∠PF∠BQ，∠∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，∠∠PFD∠∠QBD；∠DF＝DB．【运用】（1）∠∠ABC是边长为6的等边三角形，∠∠ACB＝60°，∠∠BQD＝30°，∠∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∠QC＝QB+BC＝6+x，∠在Rt∠QCP中，∠BQD＝30°，∠PC＝12QC，即6﹣x＝12（6+x），解得x＝2，∠AP＝2；（2）过Q作QG∠AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，又∠PE∠AB于E，∠∠PGQ＝∠AEP＝90°，∠点P、Q速度相同，∠AP＝BQ，∠∠ABC是等边三角形，∠∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，在∠APE和∠BQG中，∠∠AEP＝∠BGQ＝90°，∠∠APE＝∠BQG，∠∠APE∠∠BQG（AAS），∠AE＝BG，PE＝QG且PE∠QG，∠四边形PEQG是平行四边形，∠DE＝12 EG，∠EB+AE＝BE+BG＝AB，∠DE＝12 AB，又∠等边∠ABC的边长为6，∠DE＝3，故运动过程中线段ED的长始终为3．7.（2020·乐清市月考）如图所示，∠ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B 点时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）M、N同时运动秒后，M、N两点重合？（2）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形∠AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰∠AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由.【答案】见详解．【解析】解：（1）M、N同时运动10秒后，点M、N重合；故答案为10；（2）如图，根据题意得：AM=t，BN=2t，则AN=10-2t，∴t =10﹣2t ，解得t =103； ∴当0＜t ＜5时，M 、N 同时运动103秒后，可得等边三角形∠AMN ； （3）M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，理由如下：由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处．如图，∠AN =AM∠∠AMN =∠ANM∠∠AMC =∠ANB∠AB =BC =AC∠∠ACB 是等边三角形∠∠C =∠B在∠ACM 和∠ABN 中∠AC =AB ，∠C =∠B ，∠AMC =∠ANB∠∠ACM ∠∠ABN∠CM =BN设运动时间为y 秒时，∠AMN 是等腰三角形∠CM =y ﹣10，NB =30﹣2y∠y -10=30-2y ，解得y =403 ∠当运动时间为403秒时，M ，N 在BC 上使∠AMN 为等腰三角形． 8.（2020·南京月考）在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ．（1）若AB AC =，120BAC ∠=︒，求证BM MN NC ==；（2）由（1）可知AMN 是______三角形；（3）去掉（1）中的“120BAC ∠=︒”的条件，其他不变，判断AMN 的形状，并证明你的结论； （4）当B 与C ∠满足怎样的数量关系时，AMN 是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AM ，AN ，∠AB =AC ，∠BAC =120°∠∠B =∠C =30°∠AB 的垂直平分线交BC 于M ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，∠BM =AM ，CN =AN ，∠∠C =∠CAN =30°，∠B =∠BAM =30°，∠∠AMN =60°，∠ANM =60°∠∠MAN =60°∠∠AMN 是等边三角形∠AM =AN =MN∠BM =MN =CN（2）等边；（3）等腰三角形，理由如下：∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，∠AB 的垂直平分线交BC 于M ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，∠BM =AM ，CN =AN ，∠∠C =∠CAN ，∠B =∠BAM ，∠∠AMN =2∠B ，∠ANM =2∠C∠∠B =∠C∠∠AMN=∠ANM，∠AM=AN∠∠AMN是等腰三角形（4）∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C，∠MAN=180°－2∠B－2∠C，∠当AM=AN时，∠B=∠C；∠当MN=AN时，得2∠B+∠C=90°；∠当MN=AM时，得∠B+2∠C=90°．9.（2020·长沙月考）点P是边长为3cm的等边∠ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时问为t（s），连换AQ、CP交于点M，∠当t为何值时，∠PBQ是直角三角形？∠在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，∠当t为何值时，∠DCQ是等腰三角形？∠在点P，Q的运动过程中，请探究∠PCD和∠QCD的面积之间的数量关系．【答案】（1）∠t=1或2；∠不发生变化，∠CMQ=60°；（2）∠t=1；∠面积相等【解析】解：（1）∠当∠PBQ是直角三角形时，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t∠PQB =90°，此时BP=2BQ∠根据题意，得3-t=2t解得t=1∠当∠BPQ=90°时，此时BQ=2BP∠根据题意，得t=2(3-t)解得：t=2∠当t=1或2时，∠PBQ是直角三角形；∠不发生变化，∠CMQ=60°在∠ABQ与∠CAP中，AP BQAPQ CAP AB CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABQ∠∠CAP∠∠BAQ=∠ACP∠∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ =∠CAP=60°∠∠CMQ=∠MAC+∠MCA∠∠CMQ=∠CAP=60°故不发生变化，∠CMQ=60°；（2）∠∠∠DCQ=120°，当∠DCQ是等腰三角形时，CD=CQ ∠∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∠∠A=60°∠∠APD=90°∠AD=2AP，即AD=2t∠AC=AD+CD∠2t+t=3解得t=1故答案为t=1时，∠DCQ是等腰三角形；∠面积相等，如图所示：过P作PE∠AD于E，过Q作QG∠AD于G，则PE QG ∠∠G=∠AEP易证∠EAP∠∠GCQ∠PE=QG∠∠PCD和∠QCD同底等高∠∠PCD和∠QCD面积相等故答案为∠PCD和∠QCD面积相等．10.（2020·广东惠来期末）如图，在等边∠ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q 同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE∠AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，∠BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长．【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm【解析】解：（1）∠∠ABC是等边三角形，∠∠B＝60°，∠当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∠6+t＝2（6﹣t），∠t＝2，∠t＝2时，∠BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：连接BF交AC于M．∠BF平分∠ABC，BA＝BC，∠BF∠AC，AM＝CM＝3cm，∠EF ∠BQ ，∠∠EFM ＝∠FBC ＝12∠ABC ＝30°， ∠EF ＝2EM ，∠t ＝2•（3﹣12t ）， 解得t ＝3．（3）过P 作PK //BC 交AC 于K ．∠∠ABC 是等边三角形，∠∠B ＝∠A ＝60°，∠PK ∠BC ，∠∠APK ＝∠B ＝60°，∠∠A ＝∠APK ＝∠AKP ＝60°，∠∠APK 是等边三角形，∠P A ＝PK ，∠PE ∠AK ，∠AE ＝EK ，∠AP ＝CQ ＝PK ，∠PKD ＝∠DCQ ，∠PDK ＝∠QDC ，∠∠PKD ∠∠QCD ，∠DK ＝DC ，∠DE ＝EK +DK ＝12（AK +CK ）＝12AC ＝3cm ． 11.（2019·哈尔滨市月考）如图，()(),6,00,4A B ，点B 关于x 轴的对称点为C 点，点D 在x 轴的负半轴上，∠ABD 的面积是30．（1）求点D坐标；（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为t秒，APC△的面积为S，求S与t的关系式.【答案】见解析．【解析】解:（1）由题意知，130 2AD BO⋅⋅=，∠AD=15，OD=9，∠点D坐标为（-9,0）；（2）∠点B(0,4)关于x轴的对称点为C点，∠点C坐标(0,-4)，∠当0<t≤8时，S=-3t+24，当t>8时，S=3t-2412.（2020·湖北襄州期末）已知等边∠ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．图1 图2（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．∠当t＝2时，求∠AQP的度数．∠当t为何值时∠PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解:（1）∠根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∠∠ABC是等边三角形，∠AQ∠BC，∠B＝60°，∠∠AQB＝90°，∠BPQ是等边三角形，∠∠BQP＝60°，∠∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；∠由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∠∠B＝60°，∠PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝43；当∠BPQ＝90°时，∠∠B＝60°，∠BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝83；∠当t＝43秒或t＝83秒时，∠PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由如下：过点Q作QF∠AC，交AB于F，则∠BQF是等边三角形，∠BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，∠∠ABC为等边三角形，∠BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，∠∠QFP＝∠P AC＝120°，∠PQ＝PC，∠∠QCP＝∠PQC，∠∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，∠∠BPQ＝∠ACP，在∠PQF和∠CP A中，BPQ ACPQFP PAC PQ PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠PQF∠∠CP A，∠AP＝QF，∠AP＝BQ，∠BQ+CQ＝BC＝AC，∠AP+CQ＝AC．13.（2019·连云港市期中）如图，∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，∠AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN？（3）M、N同时运动几秒后，∠AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）当AM＝AN时，∠MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，∠AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN解得t＝48 5运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形∠AMN ∠当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，∠∠A＝60°∠∠AMN＝30°∠AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∠t＝3；∠当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，∠∠A＝60°∠∠ANM＝30°∠2AM＝AN∠4t＝12﹣3t∠t＝127；∠当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，解得t＝10；∠当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，此时2t＝12+6解得t＝9；综上所述，点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，∠AMN为直角三角形．。
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、等腰三角形存在性问题例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．【答案】2.【解析】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4，BC=√42−22=2√3，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF=12BC=√3，BF=12AC=2，EF∥BC，由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t，①当PF =FQ 时，则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3；②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ，则PF =2DF ， ∵BF =CF ，∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°，则DF DQ ，PF ，-t 2-2t ）解得：t =611； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°，而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立；故答案为：2-√3或611+． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．（1）求BC边的长；（2）当∥ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当∥ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）在Rt∥ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16，∥BC=4（cm）；（2）由题意知BP=t cm，∥当∥APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；∥当∥BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，AP2=32+（t-4）2，在Rt∥BAP中，AB2+AP2=BP2，即：52+[32+（t-4）2]=t2，解得：t=254，当∥ABP为直角三角形时，t=4或t=254；（3）如图所示，∥当AB=BP时，t=5；∥当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；∥当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=（4-t）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，AP2=AC2+CP2，所以t2=32+（4-t）2，解得：t=258，综上所述：当∥ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=258．例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当∥ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．【答案】（8，4）或（52，7）.【解析】解：∥四边形OABC是矩形，B（8，7），∥OA=BC=8，OC=AB=7，∥D（5，0），∥OD=5，∥点P是边AB或边BC上的一点，∥当点P在AB边时，OD=DP=5，∥AD=3，由勾股定理得：P A=√52−32=4，∥P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO=PD，此时P（52，7）．故答案为：（8，4）或（52，7）．题型二、直角三角形存在性问题例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，∥B=90°，AC=60，∥A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF∥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：在ΔDFC中，∥DFC=90°，∥A=60°，DC=4t，∥DF=2t又∥AE=2t∥AE=DF；（2）能；理由如下：∥AB∥BC，DF∥BC，∥AE∥DF．又AE=DF，∥ 四边形AEFD为平行四边形．∥∥A=60°，AC=60，∥AB=30，BC∥AD=AC-DC=60-4t，∥平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD∥2t=60-4t，解得：t=10即当t=10时，四边形AEFD为菱形；（3）当t=7.5或12时，ΔDEF为直角三角形；理由如下：∥∥EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在RtΔAED中，∥CDF=∥A=60°，∥AD=2AE．即60-4t=4t，∥t=7.5∥∥DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∥∥ADE=∥DEF=90°．∥∥C=90°-∥A=30°可得：60-4t=t解得：t=12∥∥EFD=90°时，∥DF∥BC，∥点E运动到点B处，用了AB÷2=15秒，点D就和点A重合，点F也就和点B重合，点D，E，F不能构成三角形．此种情况不存在；综上所述，当t=7.5或12时，∥DEF为直角三角形．题型三、等腰直角三角形存在性问题例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt∥ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则∥OA的长为______；∥点B的坐标为______．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt∥ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA∥y轴，垂足为点A，作BC∥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt∥APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1，B(-2，1)；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）过点B作BE∥x轴于E，过点A作AF∥x轴于F，∥A（1，2），∥OF=1，AF=2，OA=√12+22=√5，∥∥AOB=90°，AO=OB，∥∥BEO∥∥OF A，∥BE=OF=1，OE=AF=2，∥B（-2，1）．故答案为√5，（-2，1）；（2）过点B作BH∥x轴于H，∥∥ACB=90°，AC=CB，∥∥BHC∥∥COA，∥HC=OA=4，BH=CO=1，OH=HC+CO=4+1=5，∥B（-5，1）．设直线AB的表达式为：y=kx+b，将A（0，4）和B（-5，1）代入得，b=4, -5k+b=1，解得：k=0.6，b=4，即直线AB的函数表达式为：y=0.6x+4．（3）设Q（t，2t-6），分两种情况：∥当点Q在x轴下方时，Q1M∥x轴，与BP的延长线交于点Q1．∥∥AP1Q1=90°，∥∥AP1B+∥Q1P1M=90°，∥∥AP1B+∥BAP1=90°，∥∥BAP1=Q1P1M，∥∥AP1B∥∥P1Q1M，∥BP1=Q1M，P1M=AB=4，∥B（4，3），Q（t，2t-6），∥MQ1=4-t，BP1=BM-P1M=-2t+5，即4-t=-2t+5，解得：t=1∥BP1=-2t+5=3，此时点P与点C重合，∥P1（4，0）；∥当点Q在x轴上方时，Q2N∥x轴，与PB的延长线交于点Q2．同理可证∥ABP2∥∥P2NQ2．同理求得P2（4，43）．综上，P的坐标为：P1（4，0），P2（4，43）．【刻意练习】1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y=12-x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．（1）直线y=x和直线y=12-x+2交于点Q，点Q的坐标为______；（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；（3）点P是y轴上一动点，且∥PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）联立y=x和y=12-x+2，得：4343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∥Q（43，43），故答案为：（43，43）；（2）在y=x中，当x=t时，y=t；在y=12-x+2中，当x=t时，y=12-t+2，∥E（t，-12t+2），D（t，t）．∥E在D的上方，∥DE=12-t+2-t=32-t+2．（3）当t>0时，∥当PE=DE时，32-t+2=t，解得：t=45，12-t+2=85，∥P点坐标为（0，85）．∥当PD=DE时，32-t+2=t，解得：t=45，∥P点坐标为（0，45）．∥当PE=PD时，即DE为斜边，∥32-t+2=2t，解得：t=47，∥P点坐标为（0，87）．当t＜0时，∥PE=DE和PD=DE时，得32-t+2=-t，解得t=4＞0（不符合题意，舍去）；∥PE=PD时，即DE为斜边，32-t+2=-2t，解得：t=-4，∥P点坐标为（0，0）．综上所述：当t=45时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，85）或（0，45）；当t=47时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，87）；当t=-4时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标是1．（1）求此一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式（k-3）x+b＞0的解集；（3）设一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点M，点N在坐标轴上，当∥CMN是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】见解析. 【解析】解：（1）当x =1时，y =3x =3， ∥点C （1，3），将A （-2，6），C （1，3）代入y =kx +b ，得：263k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∥直线AC 的解析式为：y =-x +4． （2）（k -3）x +b ＞0，即kx +b >3x ，由图象可知，当x <1时，y =kx +b 的图象在y =3x 图象的上方， ∥（k -3）x +b ＞0的解集为：x <1. （3）∥直线AB 的解析式为y =-x +4， ∥点M 的坐标为（0，4）， ∥OB =OM ， ∥∥OMB =45°．∥当∥CMN =90°时， ∥∥OMN =45°，∥MON =90°， ∥∥MNO =45°， ∥OM =ON ，∥点N 1的坐标为（-4，0）； ∥当∥MCN =90°时， ∥∥CMN =45°，∥MCN =90°， ∥∥MNC =45°，∥CN =CM ，∥MN CM =2， ∥点N 2的坐标为（0，2）． 同理：点N 3的坐标为（-2，0）； ∥当∥CNM =90°时，CM ∥x 轴， ∥点N 4的坐标为（0，3）．综上所述：当∥CMN 是直角三角形时，点N 的坐标为（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）2+0．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且∥ABM 是等腰直角三角形，求m 值；（3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2k交AP于点M ，试证明PM PNAM-的值为定值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∥（a﹣2）20，∥a＝2，b＝4，∥A（2，0），B（0，4），设直线AB的解析式是y＝kx+b，得：204k bb+=⎧⎨=⎩，解得：k＝﹣2，b＝4，∥直线AB的函数解析式为：y＝﹣2x+4；（2）当m＞0时，分三种情况：∥如图，当BM∥BA，BM＝BA时，过点M作MN∥y轴于N，∥∥MBA＝∥MNB＝∥BOA＝90°，∥∥NBM+∥NMB＝90°，∥ABO+∥NBM＝90°，∥∥ABO＝∥NMB，∥∥BMN∥∥ABO，∥MN＝OB＝4，BN＝OA＝2，∥ON＝2+4＝6，∥M的坐标为（4，6），将（4，6）代入y＝mx得：m＝32；∥如图，AM∥BA，AM＝BA，过点M作MN∥x轴于N，∥BOA∥∥ANM，同理，得M的坐标为（6，2），m＝13；∥如图，AM∥BM，AM＝BM，过M作MN∥X轴于N，MH∥Y轴于H，则∥BHM∥∥AMN，∥MN＝MH，设M（x，x）代入y＝mx得：x＝mx，∥m＝1，m的值是32或13或1；当m＜0时，同理可得：m＝14-或32-或﹣2；（3）解：设NM与x轴的交点为H，过M作MG∥x轴于G，过H作HD∥x轴，HD交MP于D点，连接ND，由题意得：H（1，0），M（3，k），A（2，0），∥A为HG的中点，∥∥AMG∥∥ADH，由题意得：N点坐标为（-1，-k），P（0，-2k），∥ND∥x轴，N与D关于y轴对称，∥∥AMG∥∥ADH∥∥DPC∥∥NPC，∥PN＝PD＝AD＝AM，∥PM－PN=PM－PD=DM=2AM，即PM PNAM=2.4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt∥AOB中，∥A＝90°，∥AOB＝60°，OB＝，∥AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求∥CPQ的面积；（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，∥OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∥∥A ＝90°，∥AOB ＝60°，OB ＝ ∥∥B ＝30°，∥OA ＝12OB ，由勾股定理得：AB ＝3， ∥OC 平分∥AOB ，∥∥AOC ＝∥BOC ＝∥B ＝30°， ∥OC ＝BC ，在∥AOC 中，由勾股定理得：AO 2+AC 2＝CO 2，∥2+（3﹣OC ）2＝OC 2， 解得：OC ＝2， 即BC =2， ∥OC ＝2，BC ＝2．（2）如图，过点C 作CH ∥PQ 于H ，当t ＝1时，CQ ＝OQ ＝PC ＝PB ＝1， ∥PQ ∥OB ，∥∥CPQ ＝∥B ＝30°， ∥CQ ＝CP ．CH ∥QP ，∥QH ＝PH ，∥CH ＝12PC ＝12，AH ＝PH ，∥QP∥S ∥PQC ＝12•PQ •CH ＝12×12＝4．（3）∥ON ∥OB ， ∥∥NOB ＝90°， ∥∥B ＝30°，∥A ＝90°， ∥∥AOB ＝60°， ∥OC 平分∥AOB ， ∥∥AOC ＝∥BOC ＝30°， ∥∥NOC ＝90°﹣30°＝60°， ∥OM ＝PM 时， ∥MOP ＝∥MPO ＝30°，∥∥PQO ＝180°﹣∥QOP ﹣∥MPO ＝90°， ∥OP ＝2OQ ， 即2（t ﹣2）＝4﹣t ，解得：t ＝83，∥PM ＝OP 时，此时∥PMO ＝∥MOP ＝30°， ∥∥MPO ＝120°， ∥∥QOP ＝60°，不存在； ∥OM ＝OP 时，过点M 作MH ∥ON 于M ，由题意得：OP ＝OM =4﹣t ，∥MH =12（4-t ），OH （4-t ），∥OHM =∥OPM =75°， ∥∥HQM =45°，∥QH =HM =12（4-t ），∥OQ =QH +OH ，即12（4-t ）（4-t ）=t -2，解得：t ，综合上述：当t 为83或63+时，∥OPM 是等腰三角形．5. 【2019·潮州市期末】如图，在∥ABC 中，∥A =120°，AB =AC =4，点P 、Q 同时从点B 出发，以相同的速度分别沿折线B →A →C ，射线BC 运动，连接PQ . 当点P 到达点C 时，点P 、Q 同时停止运动. 设BQ =x ，∥BPQ 和∥ABC 重叠部分的面积为S . （1）求BC 的长；（2）求S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）请直接写出∥PCQ 为等腰三角形时，x 的值.【答案】见解析. 【解析】解：（1）过点A 作AD ∥BC 于D ，∥∥A =120°，AB =AC =4， ∥∥B =∥C =30°，∥AD =12AB =2，BD∥BC =2BD（2）当0<x ≤4时，点P 在线段AB 上，如图，过点P 作PN ∥BC 于点N ，在Rt ∥PBN 中，BP =BQ =x ，∥B =30°， ∥PN =0.5x ， S =S ∥BPQ=12×BQ ×PN =12×x ×12x =14x 2，当4<x P 在线段AC 上，过点P 作PN ∥BC 于点N ， BQ =AB +AP ， ∥BQ =x ，AB =AC =4，∥AP =BQ -AB =X -4，PC =AC -AP =8-x ， 在Rt ∥PCN 中，∥C =30°， ∥PN =12PC =4- 12x ， S =S ∥BPQ=12×BQ ×PN =12×x （4- 12x ） =14x 2+2x当＜x ＜8时，点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 的延长线上，过点P 作PN ∥BC 于点N ，S=12×BC×PN=12×（4-12x）=.综上所述，S=()(()22104412448x xx x xx⎧<≤⎪⎪⎪-+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩（3）∥当点P在AB上，点Q在BC上时，∥PQC不可能是等腰三角形；∥当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，此时x；∥当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，此时x6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）.（1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，∥DPQ是等腰三角形？【答案】（1）8-t；10-2t；（2）（3）见解析.【解析】解：（2）∥四边形PQDC为平行四边形，∥QD=PC，即8-t=10-2t，解得：t=2.（3）∥∥DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∥DQ=PQ或DP=PQ，∥DQ=PQ，过点Q作QH∥BC于H，则BP=2t，AQ=BH=t，PH=t，QH=AB=6，∥DQ2=PQ2，（8-t）2=62+t2，解得：t=74；∥DP=PQ，过点P作PM∥AD于M，则QM+AQ=BP，即822tt t-+=，解得：t=85，综上所述，当t为74或85秒时，∥DPQ是等腰三角形.7. 【2019·涟源市期末】如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接EP，设点P的运动时间为t秒，则当t为何值时，∥P AE为等腰三角形.【答案】见解析.【解析】解：∥ABCD为矩形，AB=8，AD=4，∥∥D=90°，∥CE=5，∥DE=CD-CE=3在Rt∥ADE中，由勾股定理得：AE=5，（1）当AP=AE时，即8-t=5，解得：t=3；（2）当PE=AE时，过点E作EF∥AB于F，则PF=AF=5，EF=4，由勾股定理得：PF=3，AP=2PF=6，∥BP=t，则AP=8-t=6，解得：t=2;(3)当PE=P A时，过点E作EF∥AB于F，∥BP=t，∥AP=8-t，BF=CE=5，PF=5-t，由勾股定理得：PE2=EF2+PF2，∥42+（5-t）2=（8-t）2，解得：t=236，综上所述，当t为2秒、3秒或236秒时，∥P AE为等腰三角形.8. 【2019·重庆外国语月考】如图，在Rt∥ABC中，∥ACB＝90°，∥A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点，过点F作FD∥AB交AC于点D．若∥AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到∥A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，如果D1，B，F构成的∥D1BF为等腰三角形，求出t值．【答案】见解析.【解析】解：∥如图，当BF＝BD1＝6时，在Rt∥BF1D1中，BF1＝∥AA1＝FF1＝6﹣∥t＝3∥如图，当D1F＝D1B时，易知AA1＝FF1＝F1B＝3，可得t＝32．∥如图，当FD1＝FB＝6时，可得AA1＝FF1＝t综上所述，满足条件的t 的值为332 9. 【2019·平潭期中】如图，在平面直角坐标系中，A (0,8)，B （4,0），AB 的垂直平分线交y 轴与点D ，连接BD ，M (a ，1)为第一象限内的点.（1）求点D 坐标；（2）当S ∥DBC =S ∥DBM 时，求a 的值；（3）点E 为y 轴上的一个动点，当∥CDE 为等腰三角形时，直接写出点E 的坐标.【答案】见解析..【解答】解：（1）设D 点坐标为（0，m ），由题意知，CD 是线段AB 的垂直平分线，∥AD =BD ，∥（8-m ）2=m 2+42，解得：m =3，即D 点坐标为（0,3）.（2）由（1）知，AD =5， ∥S ∥BDA =12×5×4=10， ∥S ∥DBC =12S ∥BDA =5， ∥S ∥DBC =S ∥DBM ，即S∥DBM=5，求得直线BD的解析式为：y=-34x+3，当y=1时，x=83，∥12×（a-83）×3=5，解得：a=6（3）设E点坐标为（0，x），设C点坐标为（n，t）则n=2DCASAD△=2, t=4，即C点坐标为（2,4），∥D（0,3），则CD2=5，DE2=（x-3）2，CE2=4+（x-4）2，∥当CD=DE时，5=（x-3）2解得：x x=3；∥当CD=CE时，5=4+（x-4）2解得：x=5或x=3（舍）；∥当DE=CE时，（x-3）2=4+（x-4）2解得：x=112，综上所述，当∥CDE为等腰三角形时，E点坐标为（0，，（0，3，（0,5），（0，112）.。
特殊三角形的存在性(讲义及答案).
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10. 在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=2，AB=CD=4，且 ∠B=60°，M 是 CD 上一动点，作 MN⊥CD，交 BC 于 N，将 ∠C 沿 MN 翻折，使点 C 落在射线 CD 上的点 E 处．当 △ANE 为等腰三角形时，CM 的长为_______________．
11. 如图，BC⊥y 轴，BC＜OA，点 A，点 C 分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上，D 是线段 BC 上一点，BD= 1 OA= 2 ，AB=3， 4 ∠OAB=45°，E，F 分别是线段 OA，AB 上的两动点，且始终 保持∠DEF=45°．使△AEF 为等腰三角形，则线段 OE 的值 为___________．
12. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，点 E 为 AB 上一点， AE= 2 3 ，点 F 在 AD 上，将△AEF 沿 EF 折叠，当折叠后点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 的垂直平分线上时，折痕 EF 的长 为__________．
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13. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点 E 是射 线 DA 上一动点，把△CDE 沿 CE 折叠，其中点 D 的对应点 为点 D′，若 CD′垂直于菱形 ABCD 的边时，则 DE 的长为 ___________．
3.Байду номын сангаас直角三角形的存在性特征分析及特征下操作要点： 理论上三角形的三个顶点分别作为直角顶点进行分类（往往 存在不变特征，分析排除不可能为直角顶点的情况），通常借 助三等角模型，k1·k2=-1 或勾股定理等进行求解．
八年级 专题05 动点中特殊三角形存在性的勾股求解基础巩固提升训练((学生版)
基础巩固+技能提升【基础巩固】1. （2020·江苏苏州期中）如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，13AB =，5AC =，动点P 从点B 出发沿射线BC 运动，当APB ∆为等腰三角形时，这个三角形底边的长为________．2．（2020·浙江宁波期中）老师请同学在一张长为17cm ，宽为16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你计算剪下的等腰三角形的面积．3．（2020·山东烟台期中）Rt △AB C 中，∠ACB=90°，AB=10cm ，AC=6cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．当t 为何值时，△ABP 为直角三角形？4．（2020·仪征市月考）如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．5.（2019·广东深圳宝安期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC=cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．6．（2019·渠县月考）如图，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC ，动点P 从点C 出发，按C A B C →→→的路径运动，且速度为2cm ，设运动时间为(s)t ． （1）求ABC 的面积； （2）求AC 边上的高BD 的长；（3）当t 为何值时，APC △的面积为29.6(cm )；（4）当点P 在BC 边上运动时，若PCD 是等腰三角形，请求出满足条件的t 的值．7. 已知在Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，CD 为AB 边上的高．动点P 从点A 出发，沿着ABC 的三条边逆时针走一圈回到A 点，速度为2cm/s ，设运动时间为t ． （1）求CD 的长；（2）当P 在AB 边上运动，t 为何值时，ACP 为等腰三角形？8．（2020·河南南阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．9.（2019·四川师范大学附属中学期中）如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．以点A为原点，分别以AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立坐标系．（1）求出点B、E、F的坐标．是以AF为腰长的等腰三角形？若存在，请直接（2）在x轴上是否存在点G，使AFG写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【技能提升】1. 如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的“勾股分割点”已知点M ，N 是线段AB 的“勾股分割点”，若2AM =，3MN =，则BN 的长为__________．2．（2020·泰州市月考）如图，在△ABC 中，已知BA ＝BC ，∠B ＝120°．（1）画AB 的垂直平分线DE 交AC 、AB 于点D 、E （保留作图痕迹，作图痕迹请加黑描重）； （2）求∠A 的度数；（3）若AC ＝6cm ，求AD 的长度．3．已知在Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ．连结AP ． （1）当t=3秒时，求AP 的长度（结果保留根号）； （2）当ABP 为等腰三角形时，求t 的值.4．（2020·信阳市期中）（1）发现：如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC=______，BC=_______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝AD ＝BD ，∠CAD ＝90°，AB ＝6，请求出△ABC 的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（-1，-4），点B 为平面内一点．若△AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标5．（2020·河南南阳期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，M 在AC 上，且6cm AM =，过点A （与BC 在AC 同侧）作射线AN AC ⊥，若动点P 从点A 出发，沿射线AN 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．（1）经过_________秒时，Rt AMP △是等腰直角三角形？（2）经过_________秒时，△AMP ≌△CBM ？判断这时的BM 与MP 的位置关系，说明理由．（3）经过几秒时，PM AB ⊥？说明理由．6．（2019·盐城市期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B （8，0），点C （0，6），点A在x轴负半轴上，且AB＝BC．（1）求点A的坐标；（2）如图2，若点E是BC的中点，动点M从点．A．出发．．以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B匀速运动，设点M的运动时间为t（秒）；①若△OME的面积为2，求t的值；②如图3，在点M的运动过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．7.（2020·吉林长春期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．（1）DE的长为．（2）连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE．（3）连结DP．①求当t为何值时，△PDE是直角三角形．②直接写出当t为何值时，△PDE 是等腰三角形．8.（2020·常州武进区月考）如图，OC、AB互相垂直，已知OA=8，OC=6，且AB=AC．(1)求OB的长；(2)如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)；①若OME的面积为1，求t的值；②如图③，在点M运动的过程中，OME能否成为直角三角形?若能，求出此时t的值，并写出相应的OM的长；若不能，请说明理由．9.（2020·浙江杭州期中）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P 的运动时间为t ．连结AP ．（1）当5t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 做DE AP ⊥于点E ，在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？10.（2020·盐城市期中）如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q？。
专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结P A，PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN ＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学难题突破题型05 特殊三角形存在性问题33页PPT
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
10.中考数学专题05 八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题05 八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】【苏科版】【知识点1】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.【知识点2】全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）【知识点3】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点【知识点4】轴对称图形的概念把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴【知识点5】垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线【知识点6】轴对称性质：1、成轴对称的两个图形全等2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上【知识点7】线段的对称性1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上【知识点8】角的对称性1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴2、角平分线上的点到角的两边距离相等3、到角的两边距离相等的点在角平分线上【知识点9】等腰三角形的性质1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴2、等边对等角3、三线合一【知识点10】等腰三角形判定1、两边相等的三角形是等边三角形2、等边对等角直角三角形斜边上中线等于斜边一半【知识点11】等边三角形判定及性质1、三条边相等的三角形是等边三角形2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴3、等边三角形每个角都等于60°(补充) 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形【知识点12】等腰梯形性质1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形对角线相等【知识点13】等腰梯形判定1.、两腰相等的梯形是等腰梯形2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形【知识点14】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²＋b²＝c²【知识点15】勾股定理逆定理如果一个三角形三边a、b、c满足a²＋b²＝c²,那么这个三角形是直角三角形【知识点16】勾股数满足a²＋b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数【考点1 全等三角形的判定】【例1】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB ＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【变式1-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点2 等腰三角形中的分类讨论思想】【例2】（2018春•鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【变式2-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式2-2】（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【变式2-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【考点3 勾股定理与折叠】【例3】（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM 沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（）A．B．C．D．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．C．D．【考点4 轴对称中的最值问题】【例4】（2018秋•吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．2 D．1.5【变式4-1】（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD 是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【变式4-2】（2018秋•大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式4-3】（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC 于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．B．2 C．2D．4【考点5 线段垂直平分线的应用】【例5】（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为°．【变式5-1】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【变式5-2】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【变式5-3】（2018秋•丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝．【考点6 复杂的尺规作图】【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．已知：如图，射线OA．求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-1】（2018秋•泗洪县期中）已知：如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B （1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）（2）设（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．【变式6-2】（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；（2）根据（1）求P A的长（所有可能的值）【变式6-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．【考点7 与直角三角形性质的有关综合】【例7】（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．（1）说明DC＝DG；（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．【变式7-1】（2018秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）请说明：DE＝DF；（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．【变式7-2】（2018秋•高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．【变式7-3】（2018秋•太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数；（2）若EF＝4，求△MEF的面积．【考点8 等腰三角形与全等三角形的综合】【例8】（2019•东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的长．【变式8-1】（2018秋•临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CD＝BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．【变式8-2】（2019秋•宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：△AEF≌△CEB．【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点9 与三角形有关的动点问题】【例9】（2018秋•全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．【变式9-1】（2019秋•本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．【变式9-2】（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【变式9-3】（2019秋•上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【考点10 与等边三角形的性质与判定有关问题综合】【例10】（2018春•天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．【变式10-1】（2018秋•广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE 交AD于点M，CD交AE于N．（1）求证：BE＝DC；（2）求证：△AMN是等边三角形；（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．【变式10-2】（2018秋•麻城市校级期末）（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．求证：EB＝AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【变式10-3】（2017秋•仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD＝AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．【考点11 等腰三角形新定义问题】【例11】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【变式11-1】（2019春•顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE 是△ABC的一条特异线；（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．【变式11-2】（2019秋•余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）【变式11-3】（2019秋•常州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【考点12 旋转法探索几何证明题】【例12】（2019•广州模拟）（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF．②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【变式12-1】（2018秋•灌云县期中）解决问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．小明想到条件∠EAF＝∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD∴△ABG≌△ADF．小明没有证明结束，请你补齐证明过程．基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+CF2；拓展延伸（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．【变式12-2】（2018秋•丰县期中）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE PF（选填＜，＞，＝）（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3①图中全等三角形有对（不添加辅助线）②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．拓展延伸2：画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？请说明理由．【变式12-3】（2018秋•盐都区校级期中）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．。
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专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野
【例题精讲】
题型一、等腰三角形存在性问题
例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．
例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．
题型二、直角三角形存在性问题
例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．
题型三、等腰直角三角形存在性问题
例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则△OA的长为______；△点B的坐标为______．（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA△y轴，垂足为点A，作BC△x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．
【刻意练习】
1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y=
1
2
-x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．
（1）直线y=x和直线y=
1
2
-x+2交于点Q，点Q的坐标为______；
（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；
（3）点P是y轴上一动点，且△PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．
2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，6），且与x 轴交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求此一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式（k -3）x +b ＞0的解集；
（3）设一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点M ，点N 在坐标轴上，当△CMN 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．
3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）
2+
0．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且△ABM 是等腰直角三角形，求m 值；
（3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2
k
交AP
于点M ，试证明
PM PN
AM
-的值为定值．
4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt △AOB 中，△A ＝90°，△AOB ＝60°，OB ＝，△AOB 的平分
线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；
（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
5. 【2019·潮州市期末】如图，在△ABC中，△A=120°，AB=AC=4，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C，射线BC运动，连接PQ. 当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动. 设BQ=x，△BPQ和△ABC重叠部分的面积为S.
（1）求BC的长；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时，x的值.
6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点
Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）.
（1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？
（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
7. 【2019·涟源市期末】如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接EP，设点P的运动时间为t秒，则当t为何值时，△P AE为等腰三角形.
8. 【2019·重庆外国语月考】如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点，
过点F作FD△AB交AC于点D．若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到△A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，如果D1，B，F构成的△D1BF为等腰三角形，求出t值．
9. 【2019·平潭期中】如图，在平面直角坐标系中，A(0,8)，B（4,0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M(a，1)为第一象限内的点.
（1）求点D坐标；
（2）当S△DBC=S△DBM时，求a的值；
（3）点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，直接写出点E的坐标.。