人教版九年级数学下册《解直角三角形》PPT课件
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人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版九年级数学课件：28.2 解直角三角形(共28张PPT)
D
A
甲
乙
B
C
1、在实际问题数学化，运用仰角、俯角 概念解直角三角形时，要首先找出它 们所在的直角三角形，表示时注意 “水平线”；
2、认真分析题意，在原有的图形中寻找 或通过添加辅助线构造直角三角形来 解决问题；
3、再结合图形中的已知元素，解出要求 的未知元素。
A组：
A组：
3、为了测量铁塔的高度，在离铁塔底 部100米的C处，用测角仪测得塔顶 A的仰角为30°，已知测角仪的高 CD为1.2米，求铁塔的高度AB.
3、
28.2 解直角三角形第三课时
1、概念： （1）仰角：从下向上看，
视线与水平线的夹 角叫仰角。 （2）俯角：从上向下看， 视线与水平线的夹 角叫俯角。
2、由A看向B仰角为50°，则由B看向 A的俯角为 .
3、在飞行高度1000米高空的飞机上， 看到地面某标志物的俯角为30°， 那么飞机与标志物之间的距离是 米.（画图分析）
较长的对角线呢？
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成 功，当飞船完成变轨后，就在离地球 350km的圆形轨道上运行，当飞船运行 到地球表面上P点的正上方时，从飞船上 能直接看到的地球上最远的点在什么位 置？这样的最远点与P点的距离是多少？ (地球半径约为6400km)
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成功，当飞船完成变轨后， 就在离地球350km的圆形轨道上运行，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6400km)
28.2 解直角三角形第一课时
在Rt△ABC中,∠C=90°，三边为a，b，c， 1.三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理) 2.锐角之间关系：∠A+∠B=90° 3.边角之间的关系： （锐角三角函数）
最新版人教版九年级数学下册课件《解直角三角形》PPT1.ppt
b c
tan
A
AA的的对邻边边
a b
从上面可以看出，直角三角形的
边与角，边与边，角与角之间都存 在着密切的关系，利用这些关系， 知道其中的两个元素（至少有一个 是边），就可以求出其余三个元素.
.精品课件.
为什么 知道的两 个元素中 至少有一 个是边？
5
探究新知
已知两直
角边，如何解
例1：如图所示，在Rt△这AB个C直中角，三∠角C＝
90°，A2C ＝ ，6BC＝ ，形解？这个直角三角
解形：． tan A BC 6 3 AC 2
A 60
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
.精品课件.
6
探究新知 变式：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝
90° ，AC ＝2，AB＝4，解这个直角三角形．
BC 2 3
（1）三边之间的关系
A
a 2 b 2 c 2（勾股定理）
b
c
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
Ca B
（3）边角之间的关系
sin
A
A斜的边对边
a c
A的邻边 b
cos A 斜边 .精品课件.
c
A的对边 a tan A A 的邻边3 b
回顾旧知 30°，45°，60°角的三角函数值是多少？
【人教版 数学 九年（下）第28章 锐角三角函数】
A
b
c
C
a
B
.精品课件.
1
情境引入
意大利的伟大科 学家伽俐·略，曾在斜 塔的顶层做过自由落 体运动的实验 .
如图所示，已知在 Rt△ABC中，∠C ＝90°,BC＝5.2 m, AB＝54.5 m.
新人教版九年级下册数学 28.2 解直角三角形及其应用参考课件(共30张PPT)
2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中
九年级数学下册28.2 《解直角三角形及其应用》PPT课件
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
AC OC
180
4.5 ，
OB
OC cos∠O
6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组
合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的
地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
c a
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=__9_0_°_；
A
a
bC
b
(3) 边角之间的关系：sinA=__c___，cosA=__c___，
a
tanA=___b__.
讲授新课
一 已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的Rt△ABC中，
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，
3
BC = 5， 试求AB的长.
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 3 AB 3
设 AB x, AC 1 x，
B
人教版九年级数学下册§28.2解直角三角形PPT
2019/3/10
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
2019/3/10
4.（2006，盐城）如图，花丛中有一路灯杆 AB．在灯光下，小明在D• 点处的影长DE=3米， 沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的 影长GH=5米．• 如果小明的身高为1.7米，求路灯 杆AB的高度（精确到0.1米）．
2019/3/10
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
2019/3/10
题型4 应用举例
2019/3/10
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
人教版数学九年级下册 28.2.1 解直角三角形 课件(共27张PPT)
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.
人教版九年级数学下册 28.2.1解直角三角形 (13张PPT)
A
b c
sin
B
b c
cos
B
a c
以上三点就是解直角三角形的依据。
tan
A
a b
tan
B
b a
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 6，AC= 2，解这个直角三角形。
解： Q tan A BC 6 3
AC 2
A 60
B 90 A 90 60 30 AB 2AC 2 2
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）。
解： A 90 B 90 35 55
1
（4）含30°角的直角三角形的三边比为 1: 3 : 2 ；含45°角的 sinα 2
直角三角形的三边比为 1:1: 2 。
cosα 3
2
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
tanα 3
133来自题探究活动1 应用新知，回顾引言
如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜。1972年比萨发 生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立。可是，塔 顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每 年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从 1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线 的距离比纠偏前减少了43.8cm，根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离 垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
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由cosB a ，得 c
a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3
由sinB b ，得 c
b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7
跟踪训练
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º，
BC＝20米，则树高AB＝
米（用计算器计算，结果
精确到0.1米）
解析：由tanC AB，得 BC
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01） （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，ɑ＝30， ∠B=80 °；
∠A=10°, b=170.14, c=172.76 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
1 2
AB CD
1 bc sin 2
A
D
当A＝55，b 20cm, c 30cm时，有
S ABC
1 bc sin 2
A＝ 1 20 30sin 55 2
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
【反思】本题通过作垂线或高，把任意的三角形转化为两个直角三角形， 使问题变得简单易解。因此，大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！
正切函数：tanA
A的对边 A的邻边
如果知道了五个元素的两个元素（至少有一个边）， 就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元 素的过程，叫做解直角三角形.
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′， c=287.4.解这个直角三角形.
解析：∠A=90°-42°6′=47°54′
• 聪明的同学们想一想：已知三角 形的两边及其夹角，能求出三角 形的面积吗？
S ABC
1 bcsin 2
A
小结： 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01） （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，ɑ＝30， ∠B=80 °；
∠A=60°, ∠B=30°, ɑ＝6.93
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
h=6×sin43°=4.09, S=24.55
探一探：
• 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,
• 问：在线段AB上是否存在点P， • 使得以P、A、D为顶点的三 • 角形和以P、B、C为顶点的 • 三角形相似？若不存在，请 • 说明理由；若存在，这样的 • P点共有几个？
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0
答案：13.0
例2 在△ABC中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm.求三角形
的面积S △ABC (精确到0.1cm2).
解：如图，作AB上的高CD 在Rt △ACD中，
CD AC sin A b sin A
S ABC
备用题：（2010·重庆中考）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3 ．点D为BC边上一点，且BD＝ 2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号） 分析：要求△ABC的周长，只要求得BC 及AB的长度即可．根据Rt△ADC中 ∠ADC的正弦值，可以求得AD的长度， 也可求得CD的长度；再根据已知条件 求得BD的长度，继而求得BC的长度； 运用勾股定理可以求得AB的长度，求 得△ABC的周长．
[变式]在△ABC中，∠A=90°,b=20cm,c=30cm.解 这个三角形。(精确到0.1cm,角度精确 AB2
202 302 10 13 36.1
tan B AC 20 AB 30
B 3341'
C 5619'
思考：这一题给了我 们什么样的条件？
解直角三角形
1.认识解直角三角形的概念； 2.探索解直角三角形至少需要多少元素； 3.会用公式解直角三角形.
B
1.三边之间的关系:
解
a2+b2=c2
直
2.两锐角之间的关系:
角
∠A+∠B=90°
A
c a
b
C
三 角
正弦函数：sinA
A的对边 斜边
形
3.边角之间 的关系
余弦函数：cosA
A的邻边 斜边
通过这节课，我们应当掌握： 1.认识解直角三角形的概念； 2.探索解直角三角形至少需要多少元素； 3.会用公式解直角三角形.能把数学问题转化成解直角三 角形问题. 4、大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！
a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3
由sinB b ，得 c
b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7
跟踪训练
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º，
BC＝20米，则树高AB＝
米（用计算器计算，结果
精确到0.1米）
解析：由tanC AB，得 BC
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01） （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，ɑ＝30， ∠B=80 °；
∠A=10°, b=170.14, c=172.76 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
1 2
AB CD
1 bc sin 2
A
D
当A＝55，b 20cm, c 30cm时，有
S ABC
1 bc sin 2
A＝ 1 20 30sin 55 2
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
【反思】本题通过作垂线或高，把任意的三角形转化为两个直角三角形， 使问题变得简单易解。因此，大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！
正切函数：tanA
A的对边 A的邻边
如果知道了五个元素的两个元素（至少有一个边）， 就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元 素的过程，叫做解直角三角形.
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′， c=287.4.解这个直角三角形.
解析：∠A=90°-42°6′=47°54′
• 聪明的同学们想一想：已知三角 形的两边及其夹角，能求出三角 形的面积吗？
S ABC
1 bcsin 2
A
小结： 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01） （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，ɑ＝30， ∠B=80 °；
∠A=60°, ∠B=30°, ɑ＝6.93
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
h=6×sin43°=4.09, S=24.55
探一探：
• 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,
• 问：在线段AB上是否存在点P， • 使得以P、A、D为顶点的三 • 角形和以P、B、C为顶点的 • 三角形相似？若不存在，请 • 说明理由；若存在，这样的 • P点共有几个？
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0
答案：13.0
例2 在△ABC中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm.求三角形
的面积S △ABC (精确到0.1cm2).
解：如图，作AB上的高CD 在Rt △ACD中，
CD AC sin A b sin A
S ABC
备用题：（2010·重庆中考）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3 ．点D为BC边上一点，且BD＝ 2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号） 分析：要求△ABC的周长，只要求得BC 及AB的长度即可．根据Rt△ADC中 ∠ADC的正弦值，可以求得AD的长度， 也可求得CD的长度；再根据已知条件 求得BD的长度，继而求得BC的长度； 运用勾股定理可以求得AB的长度，求 得△ABC的周长．
[变式]在△ABC中，∠A=90°,b=20cm,c=30cm.解 这个三角形。(精确到0.1cm,角度精确 AB2
202 302 10 13 36.1
tan B AC 20 AB 30
B 3341'
C 5619'
思考：这一题给了我 们什么样的条件？
解直角三角形
1.认识解直角三角形的概念； 2.探索解直角三角形至少需要多少元素； 3.会用公式解直角三角形.
B
1.三边之间的关系:
解
a2+b2=c2
直
2.两锐角之间的关系:
角
∠A+∠B=90°
A
c a
b
C
三 角
正弦函数：sinA
A的对边 斜边
形
3.边角之间 的关系
余弦函数：cosA
A的邻边 斜边
通过这节课，我们应当掌握： 1.认识解直角三角形的概念； 2.探索解直角三角形至少需要多少元素； 3.会用公式解直角三角形.能把数学问题转化成解直角三 角形问题. 4、大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！