北京市海淀区2015-2016年八年级(上)册期末数学试卷

2015-2016海淀区八年级第一学期期末练习数 学 2016.1一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．下列标志是轴对称图形的是（ ）A B C D2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把数字0.000002 5用科学记数法表示为（ ）A ．62.510⨯B ．60.2510-⨯C ．62510-⨯D ．62.510-⨯3．使分式23x -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．3x ≠B ．3x >C ．3x <D ．3x = 4．下列计算中，正确的是（ ）A ．238()a a =B ．842a a a ÷=C ．325a a a +=D ．235a a a ⋅= 5．如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，BE ＝5，则DE 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在平面直角坐标系中，已知点A （2，m ）和点B （n ，－3）关 于x 轴对称，则m n +的值是（ ）A ．－1B ．1C ．5D ．－57．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS8．下列各式中，计算正确的是（ ）A ．2(21)21x x x -=-B ．23193x x x +=-- C ．22(2)4a a +=+ D ． 2(2)(3)6x x x x +-=+-9．若1a b +=，则222a b b -+的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．1 D ．010．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，则∠DBC 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50° 11．若分式61a +的值为正整数，则整数a 的值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个12．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题（本题共24分，每小题3分） 13．当x = 时，分式1xx -值为0． 14．分解因式：24x y y -= ． 15．计算：233x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．16．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．17．如图，DE ⊥AB ，∠A ＝25°，∠D ＝45°，则∠ACB 的度数为 ．18．等式222()a b a b +=+成立的条件为 ．19．如图，在△ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分∠ACB ，交BD 于点E ，DE ＝2，BC ＝5，则△BCE 的面积为 ．20．图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：特殊网图结点数（V） 4 6 9 12网眼数（F） 1 2 4 6边数（E） 4 7 12 ☆表中“☆”处应填的数字为；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为．图1 图2三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．计算：114(π3)32-⎛⎫---+-⎪⎝⎭．22．如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝DB．求证：AB= ED．23．计算：2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭．24．解方程：3111x x x -=-+．四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分） 25．已知3x y -=，求2[()()()]2x y x y x y x -++-÷的值．26．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．27．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．AMB五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为⨯-⨯=，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．121462048（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为____________．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（3k≥），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为__________________（直接写出结果）．图1 图2图329．数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．图1 图2（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为_______________________________________________（直接写出结果）．八年级第一学期期末练习数 学 答 案 2016.1一、选择题（本题共36分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDADACABCBBC二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．0x =； 14．(2)(2)y x x +-； 15．269x y； 16．17； 17．110°；18．0ab =； 19．5； 20．17，1V F E +-=，1V F E +-=． 三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．解：原式＝2123--+ ---------------------------------------------------------------------3分 ＝2 . -------------------------------------------------------------------------4分 22．证明：∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠EBD ． ---------------------------------------------------------1分在△ABC 和△EDB 中,,,,AC EB C EBD BC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EDB ． ----------------------------------------------------------------------3分 ∴AB ＝ED ． --------------------------------------------------------------------4分23．解：原式＝2342(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++-÷⎢⎥+-+--⎣⎦--------------------------------------------1分 ＝2(34)2(1)(1)(1)(1)2x x x x x x +-+-⋅+-+ -----------------------------------------------2分 ＝22(1)(1)(1)2x x x x x +-⋅+-+ --------------------------------------------------3分 ＝11x x -+. ---------------------------------------------------------------------4分 24．解：方程两边乘以(1)(1)x x +-，得(1)(1)(1)3(1)x x x x x +-+-=-. ------------------------------------------1分 解得 2x =. ----------------------------------------------------------3分检验：当2x =时，(1)(1)0x x +-≠．所以， 原分式方程的解为2x =． ---------------------------------4分四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分） 25．解：原式＝2222(2)2x xy y x y x -++-÷ -------------------------------------1分 ＝2(22)2x xy x -÷ -------------------------------------------2分＝x y -. -------------------------------------------------------3分当3x y -=时，原式＝x y -＝3. -------------------------------------------4分26．解：设普通快车的平均行驶速度为x 千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为1.5x 千米/时．----1分 根据题意得18018011.53x x -=． -------------------------------------3分 解得 180x =． ----------------------------------------------4分 经检验，180x =是所列分式方程的解，且符合题意．∴1.5 1.5180270x =⨯=．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时． -----------------------------5分27．解：（1）（注：不写结论不扣分）ME DC B A-------------------------------1分（2）BD ＝DE -------------------------------------------------------------2分证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝12∠ABC ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠4． ∴∠1＝12∠4． ∵CE ＝CD ， ∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2＋∠3， ∴∠3＝12∠4． ∴∠1＝∠3．∴BD ＝DE ． ---------------------------------------------------------4分五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分） 28．（1）24； -------------------------------------------------------------------------------------1分4321ME DCB A（2）21k -； ---------------------------------------------------------------------------2分 证明：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为x k -，x k +（3k ≥）．十字差为(1)(1)()()x x x k x k -+--+ -----------------------------------3分＝222(1)()x x k ---＝2221x x k --+＝21k -． -------------------------------------------------4分∴这个定值为21k -．（3）976． --------------------------------------------------------------------5分 29．（1）解：如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°． ∵∠DBC ＝30°，∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝15°．∵AB ＝AB ，∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ， ∴△ABD ≌△ABD′． ∴∠ABD ＝∠ABD′＝15°，∠ADB ＝∠AD ′B ． ∴∠D′BC ＝∠ABD′＋∠ABC ＝60°． ∵BD ＝BD′，BD ＝BC ， ∴BD′＝BC ．∴△D′BC 是等边三角形． ----------------------------------------------1分 ∴D′B ＝D′C ，∠BD′C ＝60°． ∵AB AC =，AD AD ''=， ∴△AD ′B ≌△AD ′C ． ∴∠A D′B ＝∠A D′C ．∴∠ A D′B ＝12∠BD′C ＝30°． ∴∠ADB ＝30°． -------------------------------------------------------------2分（2）解：第一种情况：当60120α︒︒＜≤时如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ．∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋2∠ABC ＝180°．∴∠ABC ＝1809022αα︒-=︒-．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝902αβ︒--．同（1）可证△ABD ≌△ABD′． ∴∠ABD ＝∠ABD′＝902αβ︒--，BD ＝BD′，∠ADB ＝∠AD ′B ．∴∠D′BC ＝∠ABD′＋∠ABC ＝9090180()22ααβαβ︒--+︒-=︒-+．D 'DCBA－ 11 － ∵120αβ+=︒，∴∠D′BC ＝60°．以下同（1）可求得∠ADB ＝30°． -----------------------------------------3分 第二种情况：当060α︒︒＜＜时，如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴α＋2∠ABC ＝180°．∴∠ABC ＝1809022αα︒-=︒-． ∴∠ABD ＝∠DBC －∠ABC ＝902αβ-︒-（）． 同（1）可证△ABD ≌△ABD′．∴∠ABD ＝∠ABD′＝902αβ-︒-（），BD ＝BD′，∠ADB ＝∠AD ′B ． ∴∠D′BC ＝∠ABC －∠ABD′＝90[(90)]=180()22ααβαβ︒---︒-︒-+．∵120αβ+=︒，∴∠D′BC ＝60°．∵BD ＝BD′，BD ＝BC ，∴BD′＝BC ．∴△D′BC 是等边三角形．∴D′B ＝D′C ，∠BD′C ＝60°．同（1）可证△AD ′B ≌△AD ′C ．∴∠A D′B ＝∠A D′C ．∵∠A D′B ＋∠A D′C ＋∠BD′C ＝360°，∴2∠ A D′B ＋60°＝360°．∴∠ A D′B ＝150°．∴∠ADB ＝150°． ---------------------------------------------4分（3）0180α︒︒＜＜，60β=︒或120180α︒︒＜＜，120αβ-=︒． ------------------------------6分（注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分）。