高考数学一轮复习任意角和弧度制及任意角的三角函数
高三数学一轮复习知识点讲解5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180rad ．知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ；（3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝yx .它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π2＋k π（k ∈Z ）．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr180l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2360S ＝|α|2r 2 ＝ 12lr 注意事项r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长【典例剖析】高频考点一 象限角及终边相同的角【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B ． 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}高频考点二三角函数的定义【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【典例3】已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．【答案】【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝2 5＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2． 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2．【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______. 【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式探究】1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得．故选B ．2.已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为： A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ab． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 高频考点三：三角函数值的符号判定 【典例5】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8；(3)cos6·tan6． 【答案】【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号． (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0． 于是sin105°·cos230°<0．(2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0． ∴sin 7π8·tan 7π8<0．(3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0． 【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵00cos ，sin αα≤>，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴39020a a ⎧-≤⎨+>⎩∴23－a <≤.故选A.2.(1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α．(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角【答案】（1）①正，②负；（2）C【解析】 (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0． ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0．(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．高频考点四：扇形的弧长及面积公式【典例7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）A ．15B ．16C ．17D ．18 【答案】B 【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.【典例8】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】r=10cm, θ＝＝2rad, 100 cm 2【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20) ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．【总结提升】1.(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 【变式探究】1.（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R ，扇形弧长为l ，则lR=2R+l ，所以即是lR=4R+2l ， ∴l=∵l＞0，∴R＞2 故选：B ．2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．3.一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm 2． 【解析】设扇形的半径为r cm ，则弧长为l ＝(20－2r ) cm ． 由0<l <2πr ，得0<20－2r <2πr ，∴10π＋1<r <10．于是扇形的面积为S ＝12(20－2r )r ＝－(r －5)2＋25(10π＋1<r <10)．当r ＝5时，l ＝10，α＝2，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2．故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．11金榜题名前程似锦。
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考点二 弧度制及其应用
例 1 (经典母题)一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，求该扇形的面积. 解 由已知得 α＝π3，R＝10， ∴S 扇形＝21α·R2＝12×π3×102＝503π(cm2).
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迁移 1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝π3×10＝103π(cm)，
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常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量
制必须一致，不可混用. 3.象限角
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4.轴线角
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诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( ×) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( × ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
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分层训练 巩固提升
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
解析 (1)锐角的取值范围是0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角.
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2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了___－__2_3π__弧度.
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3. 在 － 720° ～ 0° 范 围 内 ， 所 有 与 角 α ＝ 45° 终 边 相 同 的 角 β 构 成 的 集 合 为
_{_－__6__7_5_°__，___－__3_1_5_°___}_.
解析 设 P(x，y)，由题设知 x＝－ 3，y＝m， 所以 r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，即 r＝ 3＋m2，
第5章+第1讲+任意角和弧度制及任意角的三角函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2．(多选)(2021·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是( ) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 α 是第二象限角，则α2是第一或第三象限角
答案
解析 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误； 对于 B，钝角大于锐角，显然正确；对于 C，若三角形的内角为 90°，是终 边在 y 轴正半轴上的角，故错误；对于 D，因为 α 是第二象限角，所以 2kπ ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，所以 kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z，α2是第一或第三象限角， 故正确．故选 BD.
解
弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，α 是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任 意两个量．
3.(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有( )
答案 2 解析 由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为 2r，故弧长为 2 r 的弧所对的圆心角为 2.
解析 答案
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 角的概念及表示
例 1 (1)(2021·赤峰模拟)若角 α 的终边与 240°角的终边相同，则α2的终
边所在象限是( )
A．第二或第四象限
B．第二或第三象限
半轴重合，终边经过点 P(－1，2)，则 sinα－cosα＋tanα＝________.
3 5－10
答案
5
高考数学一轮复习 课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数 理(含解析)新人教版-新人教版高三
课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( B ) A ．－43π B．－53πC ．－76π D．－74π解析：－300×π180＝－53π.2．tan 8π3的值为( D )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1 解析：r ＝1sin1，l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2sin1，故选C.4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(C)A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π6.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( D )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.6．(2019·某某一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.7．点P (cos α，tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若点P (cos α，tan α)在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，可得α的终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，即点P (cos α，tan α)在第二象限，故选项C 正确．8．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值X 围是( C )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空题9．－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.10．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第四象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为518.解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6.∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝13.解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13. 解法3：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．13．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( D )A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6解析：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.14．(2019·某某模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin2α＝32. 解析：由题意得|OA |2＝m 2＋3m 2＝1， 故m 2＝14.由任意角三角函数定义知cos α＝m ，sin α＝3m ，由此sin2α＝2sin αcos α＝23m 2＝32. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( D ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：由三角函数线可知选D.16．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( B )A.15B.55C.255D ．1 解析：解法1：由正切定义tan α＝y x，则tan α＝a 1＝b2，即a ＝tan α，b ＝2tan α.又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23，得tan 2α＝15，tan α＝±55. ∴|b －a |＝|2tan α－tan α|＝|tan α|＝55. 解法2：由两点斜率公式，得：tan α＝b －a2－1＝b －a .又cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 解得tan 2α＝15，∴|b －a |＝|tan α|＝55.。
备考高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数（解析版）
2020年高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、单选题1.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.2.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.3.若角a=-4，则a的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若p(-，m)是角θ终边上的一点，且sinθ=，则m的值为（）A. B. 6 C. -或 D. -6或65.已知是角的终边上的点，则（）A. B. C. D.6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.7.设函数，若角的终边经过，则的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 48.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.9.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点，则等于A. B. C. D.10.在直角坐标系中，若角α的终边经过点P（sin，cos），则cos（+α）=（）A. B. ﹣ C. D. ﹣11.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.12.在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题13.角的终边经过点，则________.14.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则________．15.已知角终边上有一点,且，则________16.若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点，________．17.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.三、解答题18.若点在角的终边上，求的值．19.已知角终边经过点，且，求，，.20.已知角的终边过点，且，求和的值.21.已知角θ的终边经过点P(-3a,4a）．(a≠0）（1）当a=1时，求sinθ-2cosθ的值：（2）若sinθ<0，求3tanθ+5cosθ的值22.在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点．（1）求、；（2）求．答案解析部分一、单选题1. D解析：角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是．故答案为：D.【分析】由已知利用任意角的三角函数定义，得到与的值代入，即可得结果.2. D解析：任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，可得与角终边相同的角是，当时，，故答案为：D。
高考数学(文)一轮课件【第16讲】任意角和弧度制及任意角的三角函数
三角函数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT 为 为余弦线 正切线 Biblioteka 正弦线返回目录第16讲
任意角和弧度制及任意角的三角函数
• 双 向 固 基 础
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 终边在x轴上的角的集合为________．
[答案] {α|α＝n· 180° ，n∈Z}
[解析] 在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个：0 °，180°，所以所有终边在x轴上的角可构成集合{α|α＝ n· 180° ，n∈Z}．
• 双 向 固 基 础 • 点 面 讲 考 向 • 多 元 提 能 力 • 教 师 备 用 题
第16讲 任意角和弧度制及 任意角的三角函数
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考试说明
1．了解任意角的概念、弧度． 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
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第16讲
任意角和弧度制及任意角的三角函数
• 双 向 固 基 础
1．角的概念的推广 (1)任意角：角可以看成平面内的一条射线 ________绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的________ ．角按旋转方向分为 图形 正角、负角和零角 ______________________________ ． (2)与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合是S ＝____________________________ {β|β＝α＋k· 360°，k∈Z} ． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的 非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第 几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何 一个象限．
3．任意角的三角函数及三角函数线
三角函数 正弦 余弦 正切 y x叫作 α 的正切，记 作 tan α ＋ － ＋ －
高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数
高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总 (1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、考点解析考点一 象限角及终边相同的角 例、(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 跟踪训练1．集合},4{Z k k k ∈+≤≤ππαπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．考点二 三角函数的定义典例、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．跟踪训练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45考点三 三角函数值符号的判定例、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断：三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0. 跟踪训练1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎪⎭⎫⎝⎛-322π>0 D ．sin 10<0 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后作业1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.},32{Z k k ∈-=ππαα B.},322{Z k k ∈+=ππαα C.},32{Z k k ∈-=ππαα D.},3{Z k k ∈-=ππαα4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A.3 B ．－5 C.5 D.3或56．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________． 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛m ,53，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．提高训练1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 2．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。
适用于老高考旧教材2024版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函
=
1
2
1 1
+
4 4
-
=-
2
.故选
2
(2)由题意知 cos α≠0,设角 α 的终边上一点(a,-3a)(a≠0),
则 r= 2 + 92 = 10|a|.
当 a>0 时,r= 10a,sin α=
10sin
3
α+
=-3
cos
10sin
α=
10
=
10
,
10
10+3 10=0.
当 a<0 时,r=- 10a,sin
4.三角函数线的应用
核心素养
1.数学抽象
2.直观想象
3.数学运算
强基础•固本增分
1.角的概念的推广
(1)角的定义:平面内一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形.
按旋转方向不同分为 正角
(2)角的分类
和 零角
、 负角
.
按终边位置不同分为 象限角
和轴
线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
(2)tan
1-tan15 °
α=
1+tan15 °
=
α=
=
6
3
=- .
-4 2
tan45 °-tan15 °
=tan(45°-15°)=tan
1+tan45 °·tan15 °
3
30°= .故选3来自D.考向2 三角函数值的符号判断
例4(1)已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α为(
(方法
α= =2.
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5．在与2 010° 终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 5π － 6 ． ________
67 5π 解析：2 010° ＝ π＝12π－ ， 6 6 5π ∴与2 010° 终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－ . 6
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内， 可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k· 360° ，k∈Z}．
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2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，弧度记作 rad.
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[小题诊断] 1．若 α＝k· 360° ＋θ，β＝m· 360° －θ(k，m∈Z)，则角 α 与 β 的 终边的位置关系是( C ) A．重合 C．关于 x 轴对称 B．关于原点对称 D．关于 y 轴对称
第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
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C
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ONTENTS
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1．了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互 化． 2．会判断三角函数值的符号． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
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1．角的概念及推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形．
按旋转方向不同分为 (2)分类 按终边位置不同分为
正角 、 负角 、零角 ， 象限角 和轴线角.
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4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆 心角 α(0＜α＜π)的弧度数为( C ) π A. 3 C. 3 π B. 2 D． 2
解析：设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3 r＝αr， ∴α＝ 3.
y x
叫做 α 的正切，
记作 tan α
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三角函数 各象 限符 号 一 二 三 四 正 ＋ ＋ 一 一 弦 余 ＋ 一 一 ＋ 弦 正 ＋ 一 一 一 切
三角函 数线 有向线段MP为 有向线段OM 为 有向线段 AT 为 正弦线
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3．点 A(sin 2 018° ，cos 2 018° )位于( C ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
解析：因为 sin 2 018° ＝sin(11×180° ＋38° ) ＝－sin 38° ＜0，cos 2 018° ＝cos(11×180° ＋38° ) ＝－cos 38° ＜ 0， 所以点 A(sin 2 018° ，cos 2 018° )位于第三象限．
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1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90° 的角是概念 不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．角度制与弧度制可利用180° ＝π rad进行互化，在同一个式 子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在 坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝ y y，cos α＝x，tan α＝ x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为 y x y r，则sin α＝r ，cos α＝ r ，tan α＝x.
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1 2 |α|r 2 =
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3.任意角的三角函数 三角 函数 正 弦 余 弦 正 切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， 定 义 y)，那么
y 叫做 α
x 叫做 α
的正弦，记 的余弦，记 作 sin α 作 cos α
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1 ± 5 2． 角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上， 则 sin α＋cos α＝________.
A．(cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ)
B．(－cos θ，sin θ) D．(－sin θ，cos θ)
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解析：由三角函数的定义知 xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选 A.
答案：A
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解析：角 α 与 θ 终边相同，β 与－θ 终边相同． 又角 θ 与－θ 的终边关于 x 轴对称． ∴角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称．
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2．(2018· 杭州模拟)如图所示，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位圆 O 于点 P，若∠AOP＝θ，则点 P 的坐标是( )
高考·导航 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业的是( D ) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．第一象限角必是锐角 C．不相等的角终边一定不相同 D．若 β＝α＋2kπ(k∈Z)，则 α 和 β 终边相同
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(2)公式 l 角 α 的弧度数公式 |α|＝ (l 表示弧长) r π ①1° ＝ rad； 180 角度与弧度的换算 ②1 弧长公式 扇形面积公式
180 ° rad＝ π
l＝ |α|r
1 S＝ 2lr