数学模型之代数模型
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
小学数学三种模型思想的构建策略
小学数学三种模型思想的构建策略
小学数学三种模型思想是代数模型、几何模型和统计模型。
下
面是构建这三种模型思想的策略：
1. 代数模型思想：
（1）用字母代替数字，建立代数方程或不等式。
（2）运用常识、逻辑和推理能力，在实际情境中建立代数模型。
（3）学会转化问题，将实际问题转化为代数模型，再运用代数
技巧进行解决。
2. 几何模型思想：
（1）将实际问题转化为几何图形，以几何图形为载体进行分析。
（2）注意几何图形的特征，处理几何图形之间的关系，掌握几
何知识，辨别几何概念。
（3）注意几何思维的空间感知和视觉能力，将几何图形映射到
具体场景中，抽象、逻辑化和实际化相结合。
3. 统计模型思想：
（1）识别变量和数据，建立统计模型。
（2）巧妙选择统计方法，让样本数据代表总体数据，从而进行
推断。
（3）重视数据的收集、整理、分析和解释，以及数据的可视化
呈现。
初中数学48种模型
初中数学48种模型初中数学有很多种模型，其中包括代数模型、几何模型、数据统计模型等等。
接下来将介绍其中的一些重要模型。
首先是代数模型。
代数模型是数学中的一种重要模型，它主要涉及到的内容包括代数式、方程、函数等。
代数模型可以帮助我们解决各种实际问题，如应用方程进行运算、解决实际问题中的未知数等。
在代数模型中，我们需要掌握各种基本代数运算法则，如四则运算、指数运算、根式运算等。
我们还需要学会代数方程的解法，如一元一次方程、一元二次方程的解法等。
第二种模型是几何模型。
几何模型主要涉及到的内容包括图形的性质、图形的相似、图形的对称等。
几何模型可以帮助我们理解图形的特点，如角的性质、线段的性质等。
在几何模型中，我们需要学会计算图形的面积、周长等。
我们还需要了解不同图形之间的关系，如相似图形、全等图形等。
第三种模型是数据统计模型。
数据统计模型主要涉及到的内容包括统计图表的制作、数据的分析与解释等。
数据统计模型可以帮助我们理解数据的变化规律，如数据的集中趋势、离散趋势等。
在数据统计模型中，我们需要学会制作各种统计图表，如条形图、折线图、饼图等。
我们还需要学会从统计图表中分析数据，解释数据的意义。
除了上述三种模型，初中数学还包括其他模型，如概率模型、函数模型等。
概率模型主要涉及到的内容包括事件的概率、随机事件等。
函数模型主要涉及到的内容包括函数的概念、函数的性质等。
初中数学的模型是相互关联的，它们之间有时会有交叉运用。
比如，我们在解决一些实际问题时，可能既需要运用到代数模型，又需要运用到几何模型。
因此，我们需要全面了解各种模型的知识，灵活运用。
总结起来，初中数学的模型包括代数模型、几何模型、数据统计模型等等。
掌握这些模型的知识可以帮助我们解决各种实际问题，在数学学习中起到重要的作用。
同时，这些模型彼此之间有着联系和交叉，我们需要综合运用这些模型来解决复杂的问题。
通过不断学习和实践，我们能够提高数学理解能力和解决问题的能力。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工具或方法。
数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。
解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。
仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。
数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。
数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。
下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。
一、数学模型的分类数学模型主要包括解析模型和仿真模型。
下面分别介绍：1、解析模型解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解数学表达式或数值解的模型。
它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。
解析模型主要包括以下几种类型：（1）几何模型几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。
如，根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。
几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。
（2）微积分模型微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。
微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。
如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。
（3）代数模型代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。
如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。
代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。
（4）概率统计模型概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。
如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。
又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。
2、仿真模型仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。
计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。
初中数学代数模型总结大全
初中数学代数模型总结大全代数模型是将数学概念应用于实际问题中的一种方法，是数学解决实际问题的重要手段。
初中数学中，代数模型是一个非常重要的知识点，通过代数模型可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地解决问题。
本文将总结初中数学代数模型的相关知识点。
一、代数式的应用代数式是代数模型的基石，它是由字母和数字组成的一种式子，可以代表一些具体的数值。
在实际问题中，代数式可以帮助我们描述一系列数学关系。
例如，可以通过代数式描述物体的运动状态，解决面积和周长的问题等等。
从代数式的应用到实际问题中，我们需要了解代数式的一些性质和运算法则，如加、减、乘、除等，以及各种常见代数式的含义和应用。
在学习过程中多加练习，可以掌握代数式的运用能力。
二、一元一次方程式的应用一元一次方程式是一种形如ax+b=c的式子，其中a、b、c是确定的数字或变量，x为未知数。
一元一次方程式是数学中最简单的方程式。
在实际问题中，一元一次方程式可以用来解决一些实际的数学问题，例如求未知数的值、解决搬运问题等等。
学习一元一次方程式，需要熟练掌握方程式的基本原理和解题方法。
在学习过程中，可以通过练习类似的数学题目，加深对方程式解题的理解。
二元一次方程组由两个一元一次方程组成，其中每个方程有两个未知数。
在实际问题中，二元一次方程组可以用来描述两个未知数之间的关系。
函数是一种在数学上描述输入和输出之间的关系的工具。
在实际问题中，函数可以用来描述一些复杂的数学关系，例如动态规划问题、贝叶斯公式等。
五、三角函数的应用六、指数和对数的应用指数和对数是一种描述数值增长和减少的工具。
在实际问题中，指数和对数可以用来计算复利、解决乘法和除法问题等等。
二次函数是一种非常常见的函数类型，在实际问题中，二次函数可以用来描述一些变化情况，例如汽车行驶路程、人口增长等等。
总之，代数模型在初中数学中占据重要地位，掌握代数模型的应用，可以更加深入地理解数学知识，更好地解决实际问题。
中考数学71个模型
中考数学71个模型中考数学常见的题型包括选择题、填空题、计算题和应用题。
以下是一些出现的数学模型题：1.几何模型：包括求解图形面积、周长、体积等几何题目，如计算矩形、三角形、圆的面积、周长等。
2.暗盒模型：通过给定条件，使用代数建模解决问题，如解方程、组织代数式等。
3.比例模型：涉及到比例关系的问题，如长、宽、高的比例、速度、时间、距离的比例等。
4.函数模型：涉及到函数关系的问题，如函数的定义、求最值、函数图像的性质等。
5.利益模型：涉及到利益、利率、本金、时间的关系，如求解利息、本金、时间的问题。
6.速度模型：涉及到速度、时间、距离的关系，如求解两车相遇的时间、相遇的地点等。
7.图表模型：通过描述、解读和分析图表数据来回答相关问题，如求解平均数、中位数、众数等问题。
8.张弛模型：涉及到加减乘除的问题，如商与余数的关系、面积和周长的关系等。
9.综合模型：将多个数学知识点结合起来综合运用，解决实际问题。
1.比例模型：甲乙两人的身高比例是3:4，甲的身高是150厘米，那么乙的身高是多少厘米？2.几何模型：一个长方形花坛的长是6米，宽是4米，如果要用正方形的花砖铺满整个花坛，每块花砖边长是0.2米，需要几块花砖？3.张弛模型：一个数的四倍加上7等于27，求这个数是多少？4.几何模型：一个直径为16厘米的圆形花坛需要修建一个环形边界，内径是10厘米，外径是14厘米，这个环形边界的周长是多少厘米？5.利益模型：小明存入银行1000元，按年利率5%，一年后可以得到多少利息？6.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 2x + 15，如果销售量是100，那么商品的销售价格是多少元？7.比例模型：小红通过比例尺绘制了一幅图，比例尺是1:5000，她测量了图上两个点之间的距离为2厘米，实际的距离是多少米？8.图表模型：根据一张成绩表格，某班级30名学生的数学考试成绩的平均分为85分，如果其中一名学生的成绩被记作90分，那么班级的新平均分是多少？9.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是12千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是16千米/小时，A点到B点的距离是30千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B点相遇？10.图表模型：根据某市最近10天的气温数据，制作了一份折线图，可以看出温度的最高值是35摄氏度，最低值是15摄氏度，那么这10天内的平均温度是多少摄氏度？11.综合模型：小明爬上一座山峰，开始时他离山脚1000米，每10分钟他爬升200米，那么他爬到山顶需要多少时间？12.暗盒模型：一个数字x加上7的一半等于15，求这个数字x是多少？13.比例模型：小明以每分钟30个字的速度打字，如果他打了20分钟，他一共打了多少个字？14.几何模型：一个正方形花坛的周长是20米，求花坛的面积是多少平方米？15.函数模型：某商品的原价是x元，经过打折后销售价为原价的80%，如果现在的销售价是96元，那么原价x是多少元？16.利益模型：小明存入银行2000元，按年利率2.5%，存款一年后可以得到多少利息？17.速度模型：一个人以每小时5千米的速度骑自行车，另一个人以每小时8千米的速度骑自行车，如果他们分别从同一地点出发，两人相距40千米，他们相遇需要多少小时？18.图表模型：某班级有30名学生，根据最近一次考试成绩，制作了一张成绩表，表中A的人数是10人，B的人数是12人，C的人数是8人，D的人数是0人，那么没有得到D的学生所占的百分比是多少？19.比例模型：小红和小明一起放风筝，小红放了6个风筝，小明放了9个风筝，那么他们两个人放风筝的总数和小红放的风筝数量的比是多少？20.几何模型：一个三角形的两边长分别是4厘米和6厘米，夹角的正弦值是多少？21.综合模型：一个管道开关一分钟可以注满1/5的水池，那么这个水池需要多少分钟才能被注满？22.利益模型：小明借给小红200元，小红答应每月还50元，那么小红还完这笔借款需要多少个月？23.函数模型：某商品的售价与进价的关系是y = 0.8x + 5，如果进价是100元，那么售价是多少元？24.暗盒模型：一个数减去12的两倍等于4，求这个数是多少？25.比例模型：一个长方形花坛的长是8米，宽是4米，如果要用正方形的花砖铺满整个花坛，每块花砖边长是0.5米，需要几块花砖？26.图表模型：根据一份成绩单，某班级40名学生的数学考试平均成绩是80分，如果班级再加入一名学生，这名学生的分数是70分，那么新的平均分是多少？27.几何模型：一个圆形花坛的半径是5米，求花坛的周长是多少米？28.张弛模型：一个数的四分之一加上3等于7，求这个数是多少？29.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 3x + 20，如果销售量是200，那么商品的销售价格是多少元？30.比例模型：小华通过比例尺绘制了一张图，比例尺是1:1000，她测量了图上两个点之间的距离为2厘米，实际的距离是多少米？31.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是10千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是15千米/小时，A点到B点的距离是50千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B 点相遇？32.暗盒模型：一个数的四分之一加上6等于18，求这个数是多少？33.几何模型：一个圆形花坛的直径是10米，求花坛的面积是多少平方米？34.张弛模型：一个数的三倍减去2等于16，求这个数是多少？35.几何模型：一个长方形花坛的周长是28米，如果宽是6米，求花坛的长度是多少米？36.比例模型：小明和小红一起种葡萄，小明种了10棵葡萄藤，小红种了15棵葡萄藤，他们两个人种了多少棵葡萄藤？37.函数模型：某商品的原价是x元，通过打折后销售价为原价的75%，如果现在的销售价是120元，那么原价x是多少元？38.利益模型：小明存入银行5000元，按年利率4%，存款一年后可以得到多少利息？39.速度模型：一个人以每小时6千米的速度骑自行车，另一个人以每小时9千米的速度骑自行车，如果他们分别从同一地点出发，两人相距30千米，他们相遇需要多少小时？40.比例模型：一个班级有36名男生和24名女生，男生和女生的比例是多少?41.图表模型：根据某市最近7天的气温数据，制作了一份线形图，可以看出气温的最高值是28摄氏度，最低值是18摄氏度，那么这7天内的平均温度是多少摄氏度？42.利益模型：小明借给小红1000元，小红答应每月还利息5%，每个月还300元，那么小红还完这笔借款需要多少个月？43.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是15千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是10千米/小时，A点到B点的距离是50千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B 点相遇？44.函数模型：某商品的售价与进价的关系是y = 0.9x + 10，如果进价是200元，那么售价是多少元？45.张弛模型：一个数的五倍减去4等于16，求这个数是多少？46.比例模型：一根绳子，一半的长度等于全长的四分之三，求这根绳子的长度是多少？47.几何模型：一个圆形花坛的直径是8米，求花坛的周长是多少米？48.综合模型：一个管道每分钟可以灌满1/6的水池，那么这个水池需要多少分钟才能被灌满？49.图表模型：某班级有40名学生，根据一份成绩单，平均成绩是80分，如果其中一名学生成绩被记为90分，那么新的平均分是多少？50.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 5x + 50，如果销售量是300，那么商品的销售价格是多少元？51.暗盒模型：一个数加上4的一半等于10，求这个数是多少？52.比例模型：一个三角形的顶角是60度，底边长度是8厘米，求三角形的高是多少厘米？53.几何模型：一个长方形花坛的周长是18米，如果长度为4米，求花坛的宽是多少米？54.张弛模型：一个数的五分之一加上6等于14，求这个数是多少？55.几何模型：一个长方形花坛的长是10米，宽是6米，如果要用正方形的花砖铺满整个花坛，每块花砖边长是0.5米，需要几块花砖？56.函数模型：某商品的原价是x元，通过打折后销售价为原价的70%，如果现在的销售价是168元，那么原价x是多少元？57.利益模型：小明存入银行3000元，按年利率3%，存款一年后可以得到多少利息？58.速度模型：一个小汽车以每小时50千米的速度行驶，行驶了4个小时后，它行驶的距离是多少千米？59.图表模型：某商店商品的售价打9折后是120元，原售价是多少元？60.比例模型：一次活动中，男生和女生的比例是2:3，如果男生有24人，那么女生有多少人？61.张弛模型：一个数的三分之一减去4等于8，求这个数是多少？62.应用模型：某超市购买3件衣服可以打7折，原价是200元的一件衣服，现在买3件需要支付多少元？63.函数模型：某商品的售价与进价的关系是y = 0.85x + 15，如果进价是400元，那么售价是多少元？64.平均数模型：某班级有40名学生，某次考试的平均成绩是85分，如果其中一名学生的成绩被记作100分，那么新的平均分是多少？65.几何模型：一个直径为12米的圆形花坛需要修建一条围墙，围墙的高度是1.5米，这个围墙的周长是多少米？66.暗盒模型：一个数的三倍减去5等于13，求这个数是多少？67.比例模型：小明准备用金字塔形的玻璃瓶摆放石头，每层石头的数量是前一层的2倍，如果金字塔共有4层，一共需要多少块石头？68.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 10x + 100，如果销售量是500，那么商品的销售价格是多少元？69.张弛模型：一个数的四倍加上3等于27，求这个数是多少？70.几何模型：一个长方形花坛的长是12米，宽是8米，求花坛的面积是多少平方米？71.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是12千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是18千米/小时，A点到B点的距离是60千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B 点相遇？请注意，这是一些常见的数学模型题的示例，具体的题目形式和难度可能会根据不同的考试和教材有所变化。
3.2 数学应用题的常见代数模型类型--代数式的应用--叶声扬
3.2 代数式的应用代数式是最基本的数学语言之一．它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维过程，也是描述和表达数学应用题的常见数学模型之一.例l 有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3；C 、D 的底面边长均为a;A 、C 的高均为3；B 、D 的高均为a ．在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．（2000年上海市初中数学竞赛试题）分析 分别算出四个容器的容积，然后逐一计算“两容器的容积之和”与“另外两容器的容积之和”的差，运用代数式运算的有关性质判断该差的正负，据此作出判定．解 .,3,9,2732a V a v a V V D C B A ====),3()3()3()3(9)()(22a a a a a v v V v D C B A -+=+-+=+-+-+)(C A V v 3)(=+D B V v),9)(3()9()9(222a a a a a +-=+-+=+-+)()(C B D A v V V V .)3)(3()3(3)27(23a a a a a -+=+-+因为,3=/a 所以0)3)(3(2>-+a a （显然a>0）． 故可断定A 和D 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和，例2 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有=T 2d kmn 的关系（k 为常数）．现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图3-1所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t 次．那么，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）．（2004年“TRUIY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）分析 根据A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t 次，利用关系式,,2dkmn T =求出k ，然后计算出 ,.,BC T解 根据题意，有,16080502k t ⋅⨯=故可得.532t k = 因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为：=⨯⨯=232010080k T BC 2645532t t =⨯（次）． 例3 容器A 中盛有浓度为a%的农药溶液m 升，容器B 中盛有浓度为b%的同类农药溶液m 升（a>b ），现将A 中药液的41倒入B 中，混合均匀后再由B 倒回溶液A ，使A 中的药液恢复为m 升，则互掺后A 、B 两容器中的药量差比互掺前A 、B 两容器中的药量差减少了 升．（1997年“希望杯”数学邀请赛初一试题）分析 根据“溶质”、“浓度”、“溶液”三者间的关系：溶质一溶液×浓度，正确运用代数式运算的性质进行计算．解 互掺后A 、B 两容器药液浓度：B 容器药液浓度)%,5()4(%)4%(m a mb =+÷+= A 容器药液浓度)%,54()%]54(4%43[b a m b a m ma +=÷++= 掺前A 、B 药量差)%,(%%b a m mb ma -=-=掺后A 、B 药量差)%.(53)%5454(b a m b a b a m -=+-+= 所以掺前A 、B 药量差减去掺后A 、B 药量差为---a m b a m （53)%()%.(52)%b a m b -= 例4 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了( )．（2001年全国初中数学竞赛山东省预赛试题）%2)(x A %21)(x B + %)1)((x xy c + %%)2)((x x D +解 设第一季度的产值为a ，则第二季度的产值为%),1(x a +第三季度的产值为,1(200x a +所以第三季度比第一季度增长了222%)(%21%)1(%)1(x x x aa x a +=-+=-+ %.%)2(x x +=所以选(D)．说明注意“增长了”与“增长”这两个词的区别，前者指的是产值的百分率， 后者指的是产值的绝对量．例4 在正常情况下，一个司机每天驾车行驶t 小时，且平均速度为v 千米／小时，若他一天内多行驶1小时，平均速度比平时快5千米／小时，则比平时多行驶70千米，若他一天内少行驶1小时，平均速度比平时慢5千米／小时，他将比平时少行驶()．（2001年“希望杯”数学邀请赛初二试题）(A) 60千米 (B) 70千米 (C) 75千米 (D) 80千米分析 本题中的未知量个数多于等量关系式的个数，因此要求得具体的数值，可考虑用“整体把握”的基本策略．解 由题意知：,70)5()1(=-+⋅+vt v t 即.7055=++v t所以.655=+v t若每天少行驶1小时，且速度比平时慢5 km/h ，则)5()1(-⋅--v t vt t vt vt 5+-=605=-+v km ． 例5 如图3-2，A 和B 是高度同为h 的圆柱形容器，底面半径分别为r 和R ，且r<R. -水龙头单独向A 注水，用T 分钟可以注满容器A.现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通（连通细管的容积忽略不记），仍用该水龙头向A 注水，问2T 分钟时，容器A 中水的高度是多少？（注：若圆柱体底面半径为R ，高为h ，体积为V ，则.)2h R V π=（2000年“希望杯”数学邀请赛初一试题）分析 由于R>r ，但R 与r 的具体倍数关系不明，于是容器A 、B 的体积间倍数关系不明，这样2T 分钟注入A 容器的水流到B 容器水的水面位置可能低于连接A 、B 的细管的高度，也可能高于这个高度．因此，必须分类讨论，才能正确回答，解 记A 、B 的容积分别为,B A v v 、则,,22h R V h r v B A ππ==所以2T 分钟共注入A V 2的水，其中A v 21 的水一定在A 容器中，还有A v 23的水． 当A B V v 3≥时，A V 23的水最多装满容器B 的一半，这些水都沿连通细管流入容器B 中，容器A 中水高保持在2h 的高度． 当A B V V 3<时，A V 23的水有B V 21的水装满容器B 的一半，剩下的)3(21B A v V -的水在容器A 和B 中，由于水往低处流，所以容器A 和B 中的水高应一样，设容器A 中水高为H ，则),(2222R r H h r +=ππ所以 ⋅+=2222R r h r H 答：当223r R ≥时，A 中水高为;2h 当223r R <时，A 中水高为⋅+222.2R r h r 例6 甲、乙两同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两人买糖的方式不同：甲每次总是买1千克白糖，乙每次总是买1元钱白糖．而白糖的价格是变动的，试问这两位同学买白糖的方式哪一种比较合算？先弄清楚什么叫“合算”．单看这个季度里谁买的白糖多或谁花的钱少都不对，应计算各人平均每千克白糖花多少钱（单价），单价低的就合算．按下列过程填空、回答：设两人相约买了n 次白糖（n>l ），各次白糖的价格分别为、、...21x x n x 元／千克． 甲共买白糖 千克，总计花去 元，平均每千克白糖的单价是a= ，乙共买白糖 千克，总计花去 元，平均每千克白糖的单价是b= ;试设计一组具体的数据，比较a 、b 的大小，再据此猜想在一般情况下，谁比较合算．（2002年广西初中数学竞赛试题）解 甲：n 千克，总计花去n x x x +++ 21（元），平均每千克单价=a n x x x n +++ 21（元／千克）． 乙：买n x x x 11121+++ （千克），总计花去n 元，平均每千克单价=b nx x x n 11121 ++（元／千克）． 取,2,1,221===x x n 得.,34,5.1b a b a >== 一般地，当n>l 且白糖价格不是常数时，乙买糖的方式比较合算，现对2=n 时作如下证明：此时,221x x a +=211.2,112212121x x x x b a x x b ++=+==++=422112x x x x .1444)(422112=≥-+x x x x 所以 .b a ≥当3≥n 时的证明因涉及到更多知识，故这里不作介绍，说明 本例揭示了由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维过程．习 题 3.21 某工厂到车站的路程为m 千米，现有一辆汽车从工厂到车站拉货，去时的速度为3a 千米／时，返回时的速度为2a 千米／时，那么这辆车往返一次的平均速度为( )．（1999年“希望杯”数学邀请赛初二试题）a A 25)(千米／时 ma B 52)(千米／时 a C 37)(千米／时 a D 512)(千米／时 2 夏季T 恤衫的售价比春季的售价上浮a%，年终又比夏季下调a%．若年终售价是春季售价的x 倍，则x 等于( )．（1998年山东省初中数学竞赛试题）1)(A 100001)(a B - 100001)(2a C + 100001)(2a D - 3 设轮船在静水中速度为口，该船在流水(速度为u<v)中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ；假设u=0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回A ，所用时间为t ，则( )．（2000年“五羊杯”数学竞赛初二试题）t T A =)( t T B <)( t T c >)( (D)不能确定T ，t 的大小关系4 如图，啤酒瓶高为h ，瓶内酒面高为a ，若将瓶盖盖好后倒置，酒面高为),(h b a a =+则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为( )．a b A +1)( b a B +1)( a b C +1)( ba D +⋅1)(5一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4h ，从乙地到甲地逆流行驶需6h ，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 h ．（第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）6 如图，用3根火柴可以摆出第(1)个正三角形，加上2根火柴可以摆出第(2)个正三角形，再加上2火柴就可以摆出第(3)个正三角形……这样继续摆下去，当摆出第（n ）个正三角’形时，共用了火 柴 根（用含有n的式子表示）．7 有男女两个运动队，男队有队员m 人，女队有队员n 人（m>10，n>10），先从男队中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的队员）去男队参加总结，这时，男队中有n 个女队员，女队中有6个男队员，那么a 、b 的大小关系是( )．（1997年“希望杯”数学邀请赛初二试题）b a A >)( b a B <)( b a C =)( (D)当n m ≥时，;b a ≥当n m <时，b a < 8 甲、乙两人相距k 公里，他们同时乘摩托车出发．若同向而行，则r 小时后并行；若相向而行，则t 小时后相遇，较快者的速度与较慢者速度之比是( )．（197年“五羊杯”数学竞赛初一试题）t r t r A -+)( t r r B -)( k r k r C -+)( kr k r D +-)( 9 甲杯中盛有m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯中（O<a<m ），搅匀后，又从乙杯倒出口毫升到甲杯中，则这时( )．（第一届“希望杯”数学邀请赛初一第二试试题）(A)甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少(B)甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多(C)甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同(D)甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定10 轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )．（第一届“希望杯”数学邀请赛初一第一试试题）(A)增多 (B)减少 (C)不变 (D)增多、减少都有可能参考答案。
浙江大学数学建模第四章基于线性代数与差分方程方法的模型
2.移位密码体制
移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本 身不变，只是位置改变了。 另一种移位 法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造 早在4000多年前，古希腊人就用一种名 叫“天书”的器械 密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的， 来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个 故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向 直径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带 右平移3位的方法来构造密文字母表，可 得： 时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消 明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 息时，要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC 看到正确的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。 “WKDQN BRX” 因此 “THANK YOU” 以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的顺序还可 采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排 在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密 文表。
§4.2 密码的设计，解码与破译
密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴 比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代隐藏信息的方法 主要有两大类： 其一为隐藏信息载体，采用隐写术 等； 其二为变换信息载体，使之无法为一般人所理解 。
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6.2 植物基因的分布
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘， 人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注 意。无论是人，还是动、植物都会将本身 的特征遗传给下一代，这主要是因为后代 继承了双亲的基因，形成自己的基因对， 由基因又确定了后代所表现的特征。
植物基因的分布的变化
问出生的兔子都成活,试问一年以后共 有多少对兔子,两年后有多少对兔子?
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2 月也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1 对小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又 生了1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月, 老兔子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔 也生育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6 个月,老兔子、在第3、第4月出生的小兔子 各生1对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推, 不难得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
并将所有方格按从左到右，从 上到下依次编号为
1, 2, ..., n2
最后的求解结果
该问题在理论状态下完全解决！
兔子能长生不老吗？
1） 兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化 的 规律。
2） 所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数 量 变化的规律。
3） 所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔 子 数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的 值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
后代具有三种基因型的概率
父体——母体的基因型
AA－
AA
Aa－Aa aa－aa
后
AA
代
Aa
基
1
1/4
0
0
1/2
0
因
aa
型
0模型为： x(n) Ln x(0)
1 1/ 4 0 L 0 1/ 2 0
0 1/ 4 1 n
x1(n) x1(0) x2 (0) / 2, x2 (n) 0, x3(n) x3(0) x2 (0) / 2
(1) 假定棋盘的初始状态为所有方格全部为白色，问游戏 者是否可以通过点击鼠标将棋盘的所有方格全部变为 黑色（称为一个可行策略）？若可以，如何进行游戏， 使点击鼠标的次数尽可能少（称为最优策略）. 你的方 法能否推广到棋盘有个方格的一般情形n×n
(2) 假定棋盘的初始状态为一个残局：部分方格为白色， 部分方格为黑色，假如你继续点击下去，你能否有一 个简明的方法判断，该残局能否最终使所有方格为黑 色， 或者变成给定的状态，例如是否可以通过有限次 的点击将左图变为右图？
6.4 森林管理问题
6.6 关灯游戏
题目 考虑下述定义的关灯游戏: 给定一个 5 × 5方格的棋
盘，每个方格有白色和黑色两种状态，当用鼠标点击 其中任何一个方格时，则使这个方格自身及与之相邻 的上、下、左、右四个方格都改变状态，即原来是白 色的则变为黑色，原来是黑色的则变为白色. 对处于棋 盘边缘的16 个方格，它们的这四个邻居可能不全存在， 那么我们只考虑那些存在的方格。
白鼠的数量
一种实验用白鼠出生后总共存活n个月9<n<13，n为 自然数)，从第7个月后就开始生小白鼠,在第7、8这两个月中 每月每一对白鼠恰好生1对小白鼠，从第9个月起的m个月内 每一对白鼠恰好生2对小白鼠0<m<３,m为自然数)，然后停 止生育，在第n月末死亡（第n个月这些白鼠的数量还计算在 内）。在这个实验室环境中可以舒适地生存100对白鼠。每 一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活 下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转 移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月 有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一对， 第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对，第8月 3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的一对， 第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8月生育 的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月相同， 第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
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关灯问题的数学建模
将此游戏转化成一个二元域 上的线性方程组的解的存在性 问题，并通过求解这个线性方 程组来得知我们最少需要多少 次的鼠标点击将棋盘全部变为 黑色.
此方法适用于一般n 个方格 的棋盘.为此下面讨论n × n 个
方格的棋盘. 用0 代表白色，1 代表黑色.
关灯游戏（1）的一个解
这里我们给出一个解，并说明问题解决得思路，有 兴趣的同学可以尝试不同的思路。
点击粉红色的方块各一次就会全部变黑（共15次）
原始图形
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6.3 常染色体隐性疾病模型(略)
遗传性疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子 代的疾病。常染色体遗传的正常基因记为A,不正常的 基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常人、隐性患 者、显性患者的基因型。若在开始时的一代人口中AA、 Aa、aa型基因的人所占百分比分别为a0、b0、c0,讨论 在下列两种情况下第n代中三类基因型人口所占的比例： (1) 控制结合: 显性患者不能生育后代,且为了使每个儿童 至少有一个正常的父亲或母亲,正常人、隐性患者必须 与一个正常人结合生育后代; (2) 自由结合: 这三种基因的人任意结合生育后代。
第6章 代数模型
应用线性代数解决一些实际问题 6.1 兔子数量增长 6.2 植物基因的分布 6.3 常染色体的隐性疾病 6.4 森林的管理 6.5 加密与解密 6.6 关灯游戏中代数问题
6.1 兔子数量增长
一地区开始时有10000对刚出生的小兔。 设兔子出生以后两个月就能生小兔,如果每 月每对兔子恰好生一对小兔。
考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的， （A、a为表示两类基因的符号）那么就有 三种基因对，记为AA，Aa，aa。
双亲体基因型的可能结合 及其后代形成每种基因型的概率
练习
若在上述问题中，不选用基 因AA型的
植物与每一植物结合，而是将具有相同基 因型植物相结合，那么后代具有三种基因 型的概率将如何变化？请给出相邻两代基 因转换的概率，建立数学模型分析各代之 间概率变化的规律和极限。
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规 律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化 的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个月 后就开始生小兔,在第7、8这两个月中每月 每一对兔子恰好生1对小兔，从9、10两个 月月内每一对兔子恰好生2对小兔，然后停 止生育，在第12月末死亡问第k月有多少对 兔子？
设一农业研究所植物园中某植物的基 AA、Aa 和 aa 研究所计划采用
AA型的植物与每一种基因型植物相结合 的方案培育植物后代。问经过若干年后, 这种植物的任意一代的三种基因型分布 如何?
基因的继承
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的 基因对中各继承一个基因，形成自己的基 因时，基因对也称为基因型。如果我们所