第二章控制系统的动态数学模型
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《控制工程基础》课程作业习题(含解答)
第一章概论本章要求学生了解控制系统的基本概念、研究对象及任务，了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类，开环控制与闭环控制的区别；闭环控制系统的基本原理和组成环节。
学会将简单系统原理图抽象成职能方块图。
例1 例图1-1a 为晶体管直流稳压电源电路图。
试画出其系统方块图。
例图1-1a 晶体管稳压电源电路图解：在抽象出闭环系统方块图时，首先要抓住比较点，搞清比较的是什么量；对于恒值系统，要明确基准是什么量；还应当清楚输入和输出量是什么。
对于本题，可画出方块图如例图1-1b。
例图1-1b 晶体管稳压电源方块图本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压，输出电压通过R和4R分压后与稳压管的电3压U比较，如果输出电压偏高，则经3R和4R分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极w电流增大，集电极电流随之增大，降在R两端的电压也相应增加，于是输出电压相应减小。
c反之，如果输出电压偏低，则通过类似的过程使输出电压增大，以达到稳压的作用。
例2 例图1-2a为一种简单液压系统工作原理图。
其中，X为输入位移，Y为输出位移，试画出该系统的职能方块图。
解：该系统是一种阀控液压油缸。
当阀向左移动时，高压油从左端进入动力油缸，推动动力活塞向右移动；当阀向右移动时，高压油则从右端进入动力油缸，推动动力活塞向左移动；当阀的位置居中时，动力活塞也就停止移动。
因此，阀的位移，即B点的位移是该系统的比较点。
当X向左时,B点亦向左，而高压油使Y向右，将B点拉回到原来的中点，堵住了高压油，Y的运动也随之停下；当X向右时,其运动完全类似，只是运动方向相反。
由此可画出如例图1-2b的职能方块图。
例图1-2a 简单液压系统例图1-2b 职能方块图1．在给出的几种答案里，选择出正确的答案。
（1）以同等精度元件组成的开环系统和闭环系统，其精度比较为_______ （A ）开环高； （B ）闭环高； （C ）相差不多； （D ）一样高。
（2）系统的输出信号对控制作用的影响 （A ）开环有； （B ）闭环有； (C ）都没有； （D ）都有。
第2章_控制系统的动态数学模型_2.4传递函数以及典型环节的传递函数
X o ( s) 1 G( s) Fi ( s ) Ms 2 Ds K
【例】R-L-C无源电路网络的传递函数
已知系统的微分方程为：
d2 d LC 2 uc (t ) RC uc (t ) uc (t ) ur (t ) dt dt
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
n
m n bm K =K * (-Zi ) / ( p j ) an i 1 j 1
为传递函数的增益
b0 K a0
*
为根轨迹增益
Ti和 i 为时间常数
零、极点分布图：
G ( s) b0 (s z1 )(s z2 )(s zm ) M (s) a0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) D(s)
r (t ) 1(t )
零状态响应分别为： c1 (t ) 1 2et 3e2t
c2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，
取决于零点相对于极点的距离。
j
z2
z1
0
（5）关于传递函数的几点说明
传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输 入量与输出量之间的关系式。传递函数的概念通常只 适用于线性定常系统。 传递函数是复数自变量s的复变函数。传递函数中 的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等， 完全取决于系统结构参数。
D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
D(s) 中s 的最高阶次等于系统的阶次。
将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得
【例】R-L-C无源电路网络的传递函数
已知系统的微分方程为：
d2 d LC 2 uc (t ) RC uc (t ) uc (t ) ur (t ) dt dt
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
n
m n bm K =K * (-Zi ) / ( p j ) an i 1 j 1
为传递函数的增益
b0 K a0
*
为根轨迹增益
Ti和 i 为时间常数
零、极点分布图：
G ( s) b0 (s z1 )(s z2 )(s zm ) M (s) a0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) D(s)
r (t ) 1(t )
零状态响应分别为： c1 (t ) 1 2et 3e2t
c2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，
取决于零点相对于极点的距离。
j
z2
z1
0
（5）关于传递函数的几点说明
传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输 入量与输出量之间的关系式。传递函数的概念通常只 适用于线性定常系统。 传递函数是复数自变量s的复变函数。传递函数中 的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等， 完全取决于系统结构参数。
D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
D(s) 中s 的最高阶次等于系统的阶次。
将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
第二章 自动控制系统原理的数学模型分析
c(t ) a n1
d n1
c(t ) ... a1
d c (t ) a 0 c (t ) dt d r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得
C ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 M ( s) G ( s) （2-25） n n 1 R( s ) N ( s) a n s a n 1 s a1 s a 0
一阶常系数线性微分方程
RC
duc uc ur dt
(2-4)
微分方程建立举例(2)
【例2-2】机械位移系统 （1）确定输入、输出量
设外作用力F (t ) 为输入量，质量 物体的位移 y (t )为输出量。
（2）建立微分方程组
根据牛顿第二定律可得:
F (t ) FB (t ) FK (t ) ma
初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才 作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤时的值也均为零。
传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为 r (t ) ，输出量为 c(t ) ，并 由下列微分方程描述
an
bm
dn dt n dm
dt m
dt n1 d m 1 r (t ) bm 1d m 1 dt
c (t ) 1
式中
<1时
(2-44)
1 2
e n t 1 2
4.应用实例 例2-2机械位 移系统等。
sin( d t )
，
arctan
d n 1 2
R 将 R1 1 K 、 2 1 K 代入上式得： 2 1
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微分方程 （时间域）
拉氏变换
拉氏反变换
代数方程 （复数域）
方块图 传递函数 信号流图
数学模型的形式 ➢ 时间域：微分方程（连续系统）
差分方程（离散系统） 状态方程
➢ 复数域：传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统）
➢ 频率域：频率特性
§2-1 基本环节数学模型
例1 质量-弹簧-阻尼系统
牛顿 yo(t) 第二定 F律 M： a工件
其 — 正 中实
则 可 定 xt的 义拉 氏 变 XS换
XSLxt
e xt stdt 0
象函数
原函数
复变量 量纲 t 1
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1t
1
1t
0 1
t0 t 0
0
t
L1t0 1tesd t t1 sest 01 s
动 力滑 台FitkyotfyotFM i(t) y ot
即： M y otfyotkyotFit
yo(t)
k
M
Fi(t)
f
例2 电路网络
ui
u C i1t
R1
i 2 t
it R 2
根 据 基 尔 霍 夫 定 律 和 欧姆 定 律 ， 有
o
i1t i2 t it
1
ui t uo t R1i2 t 2
对于一个控制系统，在一定的输 入作用下有些什么运动规律，我们不 仅希望了解其稳态情况，更重要的是 了解其动态过程。如果能将物理系统 在信号传递过程中的这一动态特性用 数学表达式描述出来，就得到了组成 物理系统的数学模型。
建立控制系统的数学模型，并
在此基础上对控制系统进行分析、 综合，是控制工程的基本方法。
当 o很小时，可忽略高阶小 量，则
sin o o 可近似为线性方程 :
m 2d l2 d o 2 tt m og t lT it
线性化步骤：
1. 找出静态工作点（工作点不同， 所得方程系数也不同）
2. 在工作点附近展开成台劳级数 3. 略去高阶项，得到关于增量的线
性化方程
§2-3 拉氏变换及反变换
机械控制工程基础
主讲教师：王国荣
第二章 控制系统的动态数学模型
2-1、基本环节数学模型 2-2、数学模型的线性化 2-3、拉氏变换和拉氏反变换 2-4、传递函数以及典型环节的传递函数 2-5、系统函数方框图及其简化 2-6、系统信号流图及梅逊公式 2-8、绘制实际物理系统的函数方框图
第二章 控制系统的数学模型
过切线法进行线性化，求其增量 方程
根据牛顿第： 二定律，有
Titmsginotlm2ld2do 2tt
这是一个非线性微分方 程，
o ( t ) 将 sin o在 o 0 附近用
l
台劳级数展开，得：
m T i( t )
P 1 5 单图 摆2 - 5 单 摆
sin o
o
o3
3!
o5
5!
—一种解线性微分方程的简便方法
是分析工程控制系统的基本数学方法
微分方程 （时间域）
拉氏变换 拉氏反变换
代数方程 （复数域）
传递函数
复习复变量和复变函数
复数有实部和虚部，两部分都是常数。
如： 2 j5 复变量指复数的实部或虚部中含有变量。
如： s j
复变函数 Fs 是 s 的函数，也有实部和虚 部。如：F s F x jF y F s F s
即：
RCduo(t) dt
ui(t)
例3 电枢控制式直流电动机
Ra
La
f
ei(t)
em
o (t)
T
J
ia if= 常 数
根据电磁感应定律，有
其中根 其 根，eKP中 据 据 m1e3e—TtK图根 i， 磁 — 2基 t-tT4— 电K反 据 场 枢— 尔 KR Te电 控d牛 制对 aTt电 势霍 idio直ata顿 常 载 tt流机 ft夫 电数d第 流 动力 Ld机o作 定 at二 t线 d矩 d用 a律 i定 圈 ttJ常 ， 定 d律 ， 的 2ed数 有 律 m to定 2有 tt， 律有
e it R a ia t L a d d a ti te m t T t K T ia t emtKeddott
Ttfdd ottJd2 d o 2 tt
将上面四个方程联立，可得
L a J d 3 d o 3 t tL a f R a J d 2 d o 2 t tR a f K T K e d d o t K tT e i t
1 c
i1 t
dt
R1i2
t
3
uo t R2it
4
将2、 3、 4分 别 代 1， 入并 整 理 得
R1CdduottR1R 2R2 uotR1Cdduittuit
i2(t)
ui(t) i1(t)
C
a
uo(t)
R
+
u i1
a (t (t)
)0 i2 (t
)
ui(t) Cduo(t)
R
dt
其中：Fs
F F 2 2
xyFs源自arctan FFxy例如：
G ss2 其:中 sjr s2r2 2
j
S平面
jGy G(s)平面
2
4
0
0
Gx
一、拉氏变换定义：
对于函数 xt ，满足下列条件
1、当 t 0时， xt0; 当t 0时， xt在每个有限区 续间
e 2、 xt td t ， 0
3. 将各环节方程式联立，消去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
单输入、单输出系统微分方程的
一般形式：
ax ax a a 0 ont 1 on1t n1x ot nxot
bx bx b b 0
imt 1
im1t m1x it mxit
其中n： m
§2-2 数学模型的线性化
若 忽 略 电化 枢为 电： 感 ， 可 简
RaJd2 do 2ttRafKTKeddottKTeit
若电枢电感、都 电忽 枢略 电， 阻可进为 一： 步简化
Keddotteit
列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入 及输出信号，每个环节列写一个方程；
2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化；
严格讲： 所有系统都是非线性的
尽管线性系统的理论已经相当 成熟，但非线性系统的理论还远不 完善。另外，迭加原理不适用于非 线性系统，这给解非线性系统带来 很大不便。故我们尽量对所研究的 系统进行线性化处理，然后用线性 理论进行分析。
线性化条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通