高考专题高三数学附加题答案

2014届高三数学《考前指导》理科附加题（一）矩阵与变换例1答案：2或－2．答案：α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2．例2答案：2．说明：也可以通过特殊点的变换得到a ，b 的方程组．例3答案：A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2 －3．例4答案：（1）λ1＝2，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；λ1＝3，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339．说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性． （二）坐标系与参数方程例1答案：a ＝2，或a ＝－8． 例2答案：3＋2．例3∵圆心为直线ρsin （θ-）=-与极轴的交点，∴在ρsin （θ-）=-中令θ=0，得ρ=1圆C 的圆心坐标为（1，0） ∴圆C 经过点P （，）， ∴圆C 的半径为PC=1圆的极坐标方程为ρ=2cos θ。

例4答案：3x 2－y ＋6＝0． 例5答案：2．（1）倾斜角为60°（2），∴10 （三）概率例1[解析]本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。

满分10分。

解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08，P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。

X 10 5 2 -3P0.720.180.080.02（2由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

例2答案：（1）2；（2）815；（3）ζ0 1 2 P25815115E(ζ)＝3．例3答案：（1）23；（2）ξ2 3 4 5 P130215310815E (ξ)＝133．（3）2930．（四）空间向量与立体几何1．建立合适坐标系（右手系）2．求平面的法向量是重要的基本功例1答案：（13，1）．例2答案：（1）515；（2）12．例3解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)． 设P (x ，y,2)，则1D P ＝(x ，y,0)，EP ＝(x －2，y －1,2)，EC ＝(－2,1,0)． 因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .D 1P ⊥EC .所以1D P ·EP ＝0，1D P ·EC ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2)＋y (y －1)＝0，－2x ＋y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝85.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85，2，所以1D P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455.(2)由(1)知，DE ＝(2,1,0)，1D P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85，0，1D P ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1D P ·DE | 1D P ||DE |＝1655·8025＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45.（五）圆锥曲线与方程例1本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

满分10分。

例2解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∵焦点F (0,1)，∴AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，1－x 214，FB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224－1.∵AF ＝λFB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2，1－x 214＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－1，消λ，得x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－1＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝0.化简整理得(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋1＝0.∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4.∴y 1y 2＝x 214·x 224＝1.∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 224，即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224. 联立解出两切线交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－1.∴FM ·AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1，x 22－x 214＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值).（六）数学归纳法例1[证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2A 也是有理数．②假设当n ＝k (k ≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，由cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA ) ＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，由①及归纳假设，知cos(k ＋1)A 与sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数．证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.五、热身冲刺3．[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱．因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξξ 0 1 2P(ξ)411611111则其数学期望E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.4．解：（Ⅰ）设点P的坐标为(,)x y，由FM MT=，得点M是线段FT的中点，则(0,)2tM，(,)2tPM x y=--，又(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y=-=-=---，由PM FT⊥，得2()02tx t y+-=，―――――――――――①由//PT OF，得(1)0()10,x t y--⨯+-⨯=∴t=y――――②由①②消去t，得24y x=即为所求点P的轨迹C的方程（Ⅱ）证明：设直线,,TA TF TB的斜率依次为12,,k k k，并记11(,)A x y，22(,)B x y，则2tk=-设直线AB方程为1x my=+241y xx my⎧=⎨=+⎩，得2440y my--=，∴12124,4y y my y+=⎧⎨⋅=-⎩∴2222121212()2168y y y y y y m+=+-=+，∴2221122212221212121222221212()(1)()(1)44(1)(1)444()4()16()3224()16y yy t y ty yy y y y t y y y y tt ky y y y-++-+=+++-+++-==-=+++∴12,,k k k成等差数列6．解：（1）当n=4时，符合条件的集合A为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，，∴(4)f=4。

(2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数．再除以2，···经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。

于是=2k x m ，其中m 为奇数*k N ∈。

由条件知．若m A ∈则x A k ∈⇔为偶数；若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数。

于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。

设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。

当n 为偶数〔或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n （12n +）。

∴()()2122()=2nn n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩为偶数为奇数。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。