湖南省邵东县第一中学2021届高三数学第五次月考试题2

湖南省邵东县第一中学2021届高三数学第五次月考试题考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项符合题目要求） 1. 复数113i-的虚部是（ ） A.310i B. 110-C.110D.3102．“3x >且3y >”是“6x y +>”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )4．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 55．已知非负数,x y 满足21xy y +=，则2x y +的最小值为 （ ）A 32B ．2C ．12D ．16． 已知平面向量,,a b c 是单位向量,且0a b =.则a b c +-的取值范围是（ ） A ．2-12+1⎡⎤⎣⎦， B ．21,1⎡⎤⎣⎦， C ．12+1⎡⎤⎣⎦， D ．23⎡⎤⎣⎦，7. 在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π310.A π340.B π11.C π7.D8. 函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同的零点12,x x ，函数2()2g x x ax =-+存在两个不同的零点34,x x ，且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,3 B ．()C ．144e -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．143,4e -⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 已知正项等比数列{}n a 满足14232,2a a a a ==+，若设其公比为q ，前项和为n S ，则（ ）A ．2q =B ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<10. 1()(sin cos )cos 2f x a x x x =+-的图像的一条对称轴为6x π=，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 是最小正周期为π的奇函数B ．点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图像上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图像再向左平移12π个单位长度，即可得到函数()f x 的图像 11. 点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面11ADD A 上的一个动点，则下面结论正确的是（ ）A ．满足1CM AD ⊥的点M 的轨迹为直线B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1BC MD -的体积的最大值为 13C ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等 D ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30o 12．关于函数()sin xf x e a x =+，(),x π∈-+∞下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且01()0f x -<<C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞上有且只有一个零点 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (－8)的值是____.14.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1DC 上的动点，则M 点到直线1AD 距离的最小值为15. 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 16.定义函数[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.31=，[]1.52-=-，[]22=，当[)0,x n ∈*n N ∈时，()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则234202111111111a a a a ++++----的值为 .四、解答题：（本大题共6小题，共70分。

要求有演算步骤）17.（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=. （1）已知_______________，计算ABC 的面积； 请在①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求cos cos B C +的最大值.18.（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意的*n N ∈，它的前n 项和n S 满足2111623n n n S a a =++，并且249,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11(1)n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .19. （12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ， AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，2SA AB BC ===，1AD =. （1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ；（2）当2SM MB =时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置.20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某学校为了解教职员工每日健步走的情况，从该学校正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；Nμσ，（2）由直方图可以认为该学校员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该学校被抽取的300名员工中日行步ξ∈的人数；数(14,18]（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该学校员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.21．（12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的离心率为，左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为椭圆C 1上任意一点，|PF 1|2+|PF 2|2的最小值为8． （1）求椭圆C 1的方程； （2）设椭圆C 2：为椭圆C 2上一点，过点Q 的直线交椭圆C 1于A ，B 两点，且Q 为线段AB 的中点，过O ，Q 两点的直线交椭圆C 1于E ，F 两点．当Q 在椭圆C 2上移动时，四边形AEBF 的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．22．（12分）已知函数21()1()ax f x x ea a R +=+-∈，1()x g x e x -=-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对(0,1)a ∀∈，是否存在实数λ，[]1,m a a ∀∈-,[]1,n a a ∃∈-使[]2()()0f n g m λ-<成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．答案1. D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7.B 8.D 9. ABD ；10.BD 11．BC ；12．ABD13. 4- 15. a ∈[－3,0)．16. 140402(1)20212021=-= 四、解答题：（本大题共6小题，共70分。

要求有演算步骤） 17.【解析】（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =．sin 2sin C B =，24c b ∴==， 222b c a bc +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==，又(0,)A π∈，3A π∴=．ABC ∆∴的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=．若选①a =2b =．由222b c a bc +=+可得3c =，222b c a bc +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==，又(0,)A π∈，3A π∴=．ABC ∆∴的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=．若选①a =sin 2sin C B =sin 2sin C B =，2c b ∴=，又222b c a bc +=+，222472b b b ∴+=+，可得b ，c =ABC ∆∴的面积11sin 223326MBC S bc A ==⨯⨯=． （2）3A π=13cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos sin 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-+13cos sin sin()26B B B π=+=+203B π<<，5366B πππ∴<+<∴当3B π=时，sin()cos cos 6B B C π+=+有最大值1．18.【答案】（1）*32,n a n n N =-∈；（2）2186n n --【解析】∵对任意*n N ∈，有2111623n n n S a a =++①∴当1a =时，有21111111623S a a a ==++，解得11a =或2.当2n ≥时，有2111111623n n n S a a ---=++②①②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=.而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=.当11a =时，13(1)32n a n n =+-=-，此时2429a a a =成立；当12a =时，23(1)31n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.∴*32,n a n n N =-∈.（2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a +=+++=-+-+⋯-.()()()21343522121242666n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=---⋯-()2426n a a a =-++⋯+2(462)61862n n n n +-=-⨯=--19.【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ． 在中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12ME BC =，∵//AD BC 且12AD BC =，∴//ME AD 且ME AD =，∴四边形AMED 为平行四边形．∴//AM DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ，∴//AM 平面SCD ．（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是2142(0,,)3333AM AB AC =+=，即42M 0,,33⎛⎫⎪⎝⎭， 设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--．另外易知平面SAB 的一个法向量为m ()1,0,0=， 所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m n m n⋅6=． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<．由于42M 0,,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以MN 102x,2x ,33⎛⎫=--⎪⎝⎭． 所以22sin 401041041401553993MN m MN mx x x xθ⋅===-+⋅-⋅+，可知当401153208x 269-=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时有最大值，此时，2622N ,,01515⎛⎫⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND 15=． 20．【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X【解析】（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦ ()10.99730.68270.15732≈-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯.(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯. 每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯= ()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯= ()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：X0 100 200 300 400 P0.00040.03520.77840.1760.01()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯ （元）21．（2）直线EF 的方程为y 0x ﹣x 0y=0，联立直线EF 与椭圆C 1的方程，解得E （，），F （﹣，﹣），联立直线AB 与椭圆C 1的方程，消去y ，得：，x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=2﹣4y 02，|AB|=•=•=，设点E （）、F （﹣）到直线AB 的距离分别为d 1，d 2，S AEBF =S △ABE +S △ABF =，==，==，∴S AEBF =•==4．故当Q 在椭圆C 2上移动时，四边形AEBF 的面积为定值4． 解：（1）21()1()ax f x x ea a R +=+-∈的定义域为R ，()1()2ax f x x ax e +'=+①当0a =时，0x >，()0f x '>；0x <，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，单调递减区间为(),0-∞．②当0a >时，2,x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，()0f x '>；2,0,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '<；()0,x ∈+∞，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞，单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，做题破万卷，下笔如有神天才出于勤奋③当0a <时，(),0x ∈-∞，()0f x '<；20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>；2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。