湖南省邵东县第一中学2021届高三数学第五次月考试题2

湖南省邵东县第一中学2021届高三数学第五次月考试题

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项符合题目要求） 1. 复数

1

13i

-的虚部是（ ） A.

310

i B. 110

-

C.

110

D.

310

2．“3x >且3y >”是“6x y +>”成立的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

3．函数y ＝x 2ln|x |

|x |

的图象大致是( )

4．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a +++++

+=-，则k =（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5．已知非负数,x y 满足2

1xy y +=，则2x y +的最小值为 （ ）

A 32

B ．2

C ．

12

D ．1

6． 已知平面向量,,a b c 是单位向量,且0a b =.则a b c +-的取值范围是（ ） A ．2-12+1????， B ．21,1????， C ．12+1????， D ．23????

，

7. 在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?

AB AC SA BAC 则该四面体的外

接球的表面积为（ ）

π310.

A π3

40

.B π11.C π7.D

8. 函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同的零点12,x x ，函数2

()2g x x ax =-+存在两个不

同的零

点34,x x ，且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．

()0,3 B ．()

C ．144e -?? ???

D ．143,4e -?

? ???

二、多择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选

对的

得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 已知正项等比数列{}n a 满足14232,2a a a a ==+，若设其公比为q ，前项和为n S ，则（ ）

A ．2q =

B ．2n

n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<

10. 1()(sin cos )cos 2f x a x x x =+-的图像的一条对称轴为6

x π

=，则下列结论中正确的是（ ）

A ．()f x 是最小正周期为π的奇函数

B ．点7,012π??

-

???

是()f x 图像的一个对称中心 C ．()f x 在,33ππ??

-

????

上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图像上各点的纵坐标缩短为原来的1

2

，然后把所得函数图像再向左平

移

12

π

个单位长度，即可得到函数()f x 的图像 11. 点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面11ADD A 上的一个动点，则下面结论正确的是（ ）

A ．满足1CM AD ⊥的点M 的轨迹为直线

B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1B

C M

D -的体积的最大值为 13

C ．点M 存在无数个位置满足到直线A

D 和直线11C D 的距离相等 D ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30o 12．关于函数()sin x

f x e a x =+，(),x π∈-+∞下列说法正确的是（ ）

A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=

B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且01()0f x -<<

C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点

D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞上有且只有一个零点 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2

3 f x x = ，则f (－8)的值是____.

14.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1DC 上的动点，则M 点到直线

1AD 距离的最小值为

15. 若函数f (x )＝13x 3＋x 2

－2

3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 16.定义函数[]()f x x x ??=??，

其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.31=，[]1.52-=-，[]22=，当[)0,x n ∈*n N ∈时，()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，

则

2342021111

1111

1

a a a a ++++

----的值为 .

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤）

17.（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +

-=. （1）已知_______________，计算ABC 的面积； 请在①a =

2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充

完整，并作答，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.

（2）求cos cos B C +的最大值.

18.（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意的*n N ∈，它的前n 项和n S 满足

2111623

n n n S a a =++，并且249,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1

1(1)n n n n b a a ++=-?，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .

19. （12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ， AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，2SA AB BC ===，1AD =. （1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ；

（2）当2SM MB =时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；

（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ

取最大值时点N的位置.

20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某学校为了解教职员工每日健步走的情况，从该学校正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.

（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；

Nμσ，（2）由直方图可以认为该学校员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该学校被抽取的300名员工中日行步ξ∈的人数；

数(14,18]

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该学校员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望.

附：若随机变量ξ服从正态分布(

)2

,N μσ

，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，

(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.

21．（12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：

的离心率为，左、右

焦点分别是F 1，F 2，P 为椭圆C 1上任意一点，|PF 1|2

+|PF 2|2

的最小值为8． （1）求椭圆C 1的方程； （2）设椭圆C 2：

为椭圆C 2上一点，过点Q 的直线交椭圆C 1

于A ，B 两点，且Q 为线段AB 的中点，过O ，Q 两点的直线交椭圆C 1于E ，F 两点．当Q 在椭圆C 2上移动时，四边形AEBF 的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数21

()1()ax f x x e

a a R +=+-∈，1()x g x e x -=-

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）对(0,1)a ?∈，是否存在实数λ，

[]1,m a a ?∈-,[]1,n a a ?∈-使[]2

()()0f n g m λ-<成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

1. D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7.B 8.D 9. ABD ；10.BD 11．BC ；12．ABD

13. 4- 15. a ∈[－3,0)．16. 140402(1)20212021=-= 四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤） 17.【解析】（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =．

sin 2sin C B =，24c b ∴==， 2

2

2

b c a bc +=+，2221

cos 22

b c a A bc +-∴=

=，又(0,)A π∈，3

A π

∴=

．

ABC ?∴的面积11sin 24222

S bc A ==???=．

若选①a =

2b =．由222b c a bc +=+可得3c =，222b c a bc +=+，

2221

cos 22

b c a A bc +-∴==，又

(0,)A π∈，3

A π

∴=

．

ABC ?∴的面积11sin 2322S bc A ==??=

．

若选①a =

sin 2sin C B =sin 2sin C B =，2c b ∴=，又222b c a bc +=+，

222472b b b ∴+=+，可得b ，c =

ABC ?∴的面积11sin 223326

MBC S bc A ==??=

． （2）

3

A π

=

13

cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos sin 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-+

13cos sin sin()

26

B B B π

=+=+203B π<<，5366

B πππ

∴<+<

∴当3

B π

=

时，sin()cos cos 6B B C π

+=+有最大值1．

18.【答案】（1）*

32,n a n n N =-∈；（2）2186n n --

【解析】∵对任意*n N ∈，有2111

623

n n n S a a =

++①∴当1a =时，有21111111623

S a a a ==++，解得11a =或2.当2n ≥时，有2111

111

623n n n S a a ---=++②①②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=.而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=.

当11a =时，13(1)32n a n n =+-=-，此时2

429a a a =成立；

当12a =时，23(1)31n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.∴*

32,n a n n N =-∈.

（2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a +=+++=-+-+?-.

()()()21343522121242666n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+?+-=---?-()2426n a a a =-++?+2(462)

61862

n n n n +-=-?

=--

19.【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ． 在

中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12

ME BC =

，∵//AD BC 且1

2AD BC =，

∴//ME AD 且ME AD =，∴四边形AMED 为平行四边形．∴//AM DE ．∵DE ?平面SCD ，

AM ?平面SCD ，

∴//AM 平面SCD ．

（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，

由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是2142

(0,,)3333

AM AB AC =

+=，即42M 0,,33??

???

， 设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00

AM n AC n ??=?

?=?，将坐标代入并取1y =，得

(1,1,2)n =--．

另外易知平面SAB 的一个法向量为m ()1,0,0=， 所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为

m n m n

?6=

． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<．由于42M 0,,33??

???

，所以MN 102x,2x ,33??=--

???． 所以

2

2sin 40104104140155

3993MN m MN m

x x x x

θ?==

=-+?-?+，可知当40

1153208x 269

-

=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时

有最大值，此时，2622N ,,01515??

???

，即点N 在线段CD 上且115

ND 15

=

． 20．【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，()=216E X

【解析】（1） 由题意有0.005250.005270.04290.29211x =??+??+??+??+

0.112130.032150.0152170.00521911.6812??+??+??+??=≈（千步）

（2）由()2,N ξ

μσ，由（1）得()212,2N ξ～

所以()()()()1

141812+2123261810142

P P P P ξξξξ<≤=<≤+?=

<≤-<≤???? ()1

0.99730.68270.15732

≈

-= 所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47?.

(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02??. 每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88?每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()2

00.02=0.0004P X ==

()121000.020.880.0352P X C ==??= ()1

222000.020.1+0.880.7784P X C ==??= ()123000.10.880.176P X C ==??=()24000.10.01P X ===

所以X 的分布列为：

X

0 100 200 300 400 P

0.0004

0.0352

0.7784

0.176

0.01

()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ????? （元）

21．

（2）直线EF 的方程为y 0x ﹣x 0y=0，联立直线EF 与椭圆C 1的方程，

解得E （，），F （﹣，﹣），联立直线AB 与椭圆C 1的方程，

消去y ，得：，x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=2﹣4y 02

，

|AB|=

?=?=

，

设点E （）、F （﹣

）到直线AB 的距离分别为d 1，d 2，

S AEBF =S △ABE +S △ABF =

，

==，

==，

∴S AEBF =?==4．

故当Q 在椭圆C 2上移动时，四边形AEBF 的面积为定值4． 解：（1）21

()1()ax f x x e

a a R +=+-∈的定义域为R ，()1

()2ax f x x ax e +'=+

①当0a =时，0x >，()0f x '>；0x <，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为

()0,+∞，单调递减区间为(),0-∞．

②当0a >时，2,x a ??∈-∞-

???，()0f x '>；2,0,x a ??

∈- ???

()0f x '<；()0,x ∈+∞，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为2,a ?

?-∞- ??

?，()0,+∞，单调递减区间为2,0a ??

- ???

，

③当0a <时，

(),0x ∈-∞，()0f x '<；20,x a ?

?∈- ???，()0f x '>；2,x a ??

∈-+∞ ???

，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为20,a ?

?- ???，单调递减区间为(),0-∞，2,a ??

-+∞ ???

。

（2）由1

()x g x e

x -=-，得1()1x g x e -'=-，当1x >时，()0g x '>；当1x <时，()0g x '<，

故()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，故当

[]1,m a a ∈-时，1min ()()0a g m g a e a -==->；当()0,1a ∈时，2

1a a

->-

，由（1）知，当[]1,n a a ∈-时，min ()(0)10f n f a ==->，所以[]()2

2

min ()1f n a =-，若

[]1,m a a ?∈-,[]1,n a a ?∈-使

[]

2

()()0f n g m λ-<成立，即[]2()()f n g m λ<，则0λ>，且[]2

min min ()()f n g m λ<，

所以

()

()2

1

1a a e

a λ--<-，即()

2

1

1a a e

a

λ-->-。设()2

11()x x h x e

x

--=

-，[)0,1x ∈，则

()()

()

112

1

131()x x x x e xe x h x e

x -------'=

-，令1

1()31x x r x e

xe x --=---，[)0,1x ∈，则

1()(2)(1)x r x x e -'=--，当[)0,1x ∈时，由11x e x ->+，故12x e x ->-，所以1(2)1x x e --<，故()0r x '<，所以()r x 在[)0,1上单调递减，所以[)0,1x ∈时，

()(1)0r x r >=，即()0r x >，又[)0,1x ∈时，10x -<，所以当[)0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当()0,1x ∈时，()(0)h x h e <=，即()0,1a ∈，()

2

1

1a a e e

a

--<-，故

e λ≥，所以当e λ≥时，()0,1a ?∈

[]1,m a a ?∈-,[]1,n a a ?∈-使[]2

()()0f n g m λ-<成立.即e λ≥。