断裂力学作业

研究生课程考试答题册学号056060343姓名徐红炉考试课目断裂力学考试日期2006.9西北工业大学研究生院1． 分析1型裂纹尖端附近的应力应变场。

考虑在无限远处受双向拉伸应力作用的Ⅰ型裂纹问题。

其Westergaard 应力函数的形式选为：)(~)(~~z Z yI z Z R I m I e I +=φ，该函数满足双协调方程，其相应的应力分量为)()(22z Z yI z Z R yI m I e Ix '-=∂∂=φσ （1a ）)()(22z Z yI z Z R xI m I e Iy '+=∂∂=φσ （1b ）)(2z Z yR yx I e I xy'-=∂∂∂=φτ （1c ） 相应的应变分量)]()1()()1[(1)(1z Z I y z Z R E E I m I e y x x ''+-'-'='-'=ννσνσε （2a ）)]()1()()1[(1)(1z Z I y z Z R E E I m I e x y y ''++'-'='-'=ννσνσε （2b ）Gz Z yR G I e xyxy)('-==τγ （2c ） 先确定一个解析函数)(1z Z ,使得到的应力分量应满足问题的全部边界条件。

将x 坐标轴取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则边界条件为： （1） y=0,x ∞→,σσσ==y x（2） y=0,a x <,的裂纹自由面上，0=y σ，0=xy τ；而当a x >，随着a x →，∞→σ。

因此选择函数222)/(1)(ax xx a x Z I -=-=σσ，用z=x+iy 代替上式中的x ，从而有22)(az zz Z I -=σ （3）满足上述边界条件。

为计算方便，将原点坐标从裂纹中心移至裂纹的右端点处，采用新坐标ξ，a z a iy x iy a x -=-+=+-=)()(ξ，或写成a z +=ξ。

（7）式用新坐标可写成 )2()()()()(22a a a a a Z I ++=-++=ξξξσξξσξ （4）令aa f I 2)()(++=ξξσξ （5）则)(1)(ξξξI I f Z ⋅=考虑裂纹尖端的附近的应力场，即在0→ξ时，)(ξI f 为一实常数。

令πξξ2)(lim 0I I K f =→，则πξξξξξ2)(lim )(lim 0I I I K f Z ==⋅→→)(2limξπξξI I Z K ⋅=→，其中I K 就是Ⅰ型裂纹的裂纹尖端应力强度因子。

因此，在裂纹尖端处，在0→ξ的很小的范围内，解析函数)(ξI Z 可以写成πξξξξξ2)(1lim)(0I I I K f Z =⋅=→ （6）采用极坐标，将)sin (cos θθξθi r e r i +=⋅=，从而式（10）变为)sin (cos 222)(2θθπππξθθi rK erK er K Z I iI i I I -==⋅=-即，θπξcos 2)(r K Z R I I e = （7a ）θπξsin 2)(rK Z I II m -=（7b ）由)23sin 23(cos 22)21(2)(2323θθπξπξi r K K Z I II --=-='--有，23cos22)(23θπξ--='rK Z R I I e （8a ） 23sin22)(23θπξ-='rK Z I I I m （8b ） 同理有2cos 22)(~21θπξr K Z R I I e = （9a ）23sin22)(23θπξ-='rK Z I I I m （9b ） 且2cos 2sin2sin θθθr r y == （10） 将公式（7），（8）和（10）代入式（1），并将公式（9）代入（2）式，得到各个应力分量和应变分量的表达式，即)23sin 2sin 1(2cos 2θθθπσ-=rK Ix （11a ）)23sin 2sin 1(2cos 2θθθπσ+=rK Iy （11b ）3sin cos 222xy θθθτ=（11c ）]23sinsin )1(cos )1[(2θθνθνπε'+-'-'=r E K I x （12a ） ]23sinsin )1(cos )1[(2θθνθνπε'++'-'=rE K I y （12b ） rK I xy πθθγ2223cossin =, （12c ）其中：平面应力情况：E E ='，νν='平面应变情况：)1/(2ν-='E E ，ννν-='12． 试求小范围屈服时塑性区的大小，并讨论在这种情况下如何对线弹性断裂力学准则进行修正。

对于平面问题，由材料力学知识知，2/1221]4)[(21)(21xy y x y x τσσσσσ+-++= (13a)2/1222]4)[(21)(21xy y x y x τσσσσσ+--+= (13b)03=σ（平面应力）；)(213σσνσ+=（平面应变） (13c)将公式（11）代入式（13）中，化简得到)2sin 1(cos 21θθπσ+=rK I（14a ）)2sin 1(cos 22θθπσ-=rK I(14b) 03=σ（平面应力）；2cos223θπνσrK I =（平面应变） (14c)利用Mises 屈服准则，22132322212)()()(s σσσσσσσ=-+-+- （15）式（15）中的s σ为材料在单向拉伸时的屈服极限。

对于平面应力情况：将式（14）代入式（15），得到)]2sin 31(2[cos )(21222θθσπ+=s I K r （16） 式（16）表示在平面应力状态下裂纹尖端塑性区的边界曲线方程，在裂纹延长线上（即在ο0=θ的x 轴上），塑性区边界到裂纹尖端的距离为 200)/(21s I K r r σπθ===ο （17）同样有，对于平面应变状态下，2200)/(21)21(s I K r r σπνθ-===ο （18）在这种情况下，当裂尖出现的是小范围屈服，则裂纹尖端附近的塑性区域被周围广大的弹性区所包围，此时只需对塑性区的影响作出考虑，而仍可用线弹性断裂理论来处理，因此可以采用“有效裂纹尺寸”法，用它对应力强度因子I K 进行修正，得到所谓“有效应力强度因子”，作为考虑塑性区影响的修正。

若欲使线弹性理论解rK I yπσθ20==ο仍然使用，则假想将裂纹尖端向右移动，把实际的弹塑性应力场，改用一个虚构的弹性应力场来代替。

可以计算出不论平面应力或是平面应变问题，裂纹长度的修正值为塑性区尺寸的一半，即修正后裂纹的裂尖正好处于x 轴塑性区的中心。

3． 图中受单向拉伸作用的“无限大”平板，板中有一条长度为2a 且与拉伸方向夹角为β的穿透斜裂纹。

设板材的断裂韧度IC K 为已知，按最大周向应力理论和应变能密度因子理论确定开裂角0θ和临界压应力c σ。

首先求出裂纹位置处的“当地应力”。

利用材料力学中求轴向拉压时斜截面上的公式有，ασσα2cos =αασταcos sin =注意到此处βπα-=2，可以得到βσσα2sin =ββσταcos sin =由此可以看出，这是Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹问题，其中βπσπσα2sin a a K I == ββπσπταcos sin a a K II ==最大周向应力理论：将I K 和II K 代入有最大周向应力理论确定的公式0)1cos 3(sin 00=-+θθII I K K 中，化简得 0)1cos 3(sin 00=-+βθθctg当给定裂纹角β时，可以由上式确定的开裂角0θ，确定开裂角0θ之后，将I K 和II K 一起代入公式Ic II I K K K =-]sin 232cos [2cos02θθθ，得到临界应力， ]cos sin sin 3sin )cos 1[(2cos20200ββθβθθπσ-+=a K Icc应变能密度因子理论：应变能密度因子为233222122112III II II I I K a K a K K a K a S +++= 将I K 和II K 一起代入上式，有),()cos sin cos sin 2(sin 222223121142θβπσβββββπσaf a a a a S =++=其中系数)]cos 1)(cos 43[(16111θθνπ+--=Ga )]21()[cos sin 2(16112νθθπ--=G a )]1cos 3)(cos 1()cos 1)(1(4[16112-++--=θθθνπG aGa π4133=根据0=∂∂θS，022>∂∂θS 的条件，确定开裂角οθ。

然后将开裂角οθ的代入应变能密度因子表达式中，便得到最小应变能密度因子min S ，当min S 达到材料对应的临界值时，裂纹开始扩展，此时对应的σ就是临界压应力c σ。

即22min 421),(Ic c cK GS af S πνθβπσ-===ο，由此可以得到临界压应力c σ即212]),()21([οθβπνσf a K Icc -=4． 用D-B 模型计算裂纹尖端塑性区的宽度及裂纹尖端张开位移。

首先确定裂纹尖端区的宽度R ，假想把塑性区挖去，则在弹性—塑性区的边界上应加上均匀拉力s σ，于是得到裂纹长度为2c ，外加应力是σ远场应力以及塑性区有应力s σ的线弹性问题。

此时裂纹尖端C 的应力强度因子cI K 应由两部分组成：一个是由远场均匀拉应力σ产生的)1(I K ，另一个是由塑性区部位的裂纹表面所受的均匀应力s σ所产生的)1(I K ，根据无限大板中心贯穿裂纹公式有，c K I πσ=)1()(cos 21)2(ca c K sI --=ππσ从而有)(cos 21)2()1(cac c K K K sII cI --=+=ππσπσ （19）由于C 点为塑性区的端点，应力无奇异，因此cI K =0，代入（19），得到)(cos 21cac c s-=ππσπσ即)2cos(sc a σπσ= （20） 由于塑性区宽度R=c-a ，，将式（20）代入并化简得到，)12(sec-=sa R σπσ，将上式按级数展开，且当s σσ/较小时，得到R 的近似表达式， 2)2(2sa R σπσ=考虑到无限大平板有中心贯穿裂纹时I K a =πσ，故有22)(39.0)(8sI S I K K R σσπ≈=下面计算裂纹尖端的张开位移：首先给出Paris 位移公式，⎰→∂∂'=ξδ00)(2da FK K E F IFc I （21）在初始裂纹（2a ）端点处各引入一对虚拉力F ，产生的I K 为)(222a c c FcK IF -=π （22）将公式（19）和（22）代入（21）式，注意到积分式表示从原点扩展到某裂纹长的过程，用变量ξ2代替2c ，表示裂纹在增长过程中的瞬时长度，于是有⎰→--∂∂-'=c F s d a F F a E 00221])(2[]cos 2[2ξξπξξξπξπσπξσδ注意到当a <ξ时，对力F 作用于韧带上的同一点而互相抵消，使0=IF K ，故只需从a 到c 积分，积分后有)2sec(ln 8ss E a σπσπσδ=（23） 当6.0/≤s σσ时，公式（23）是较合适的。