第7讲一元二次方程
第7讲 一元二次方程及其应用
第7讲 │ 归类示例
类型之四 (选讲)一元二次方程的根与系数的关系
命题角度： 1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积 2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值 3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值 [2011· 南充] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋k＋1＝0 的实数解是 x1 和 x2. (1)求 k 的取值范围； (2)如果 x1＋x2－x1x2＜－1 且 k 为整数，求 k 的值．
第7讲 │ 考点随堂练
考点4 一元二次方程的应用
第7讲 │ 考点随堂练
14.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽 比长短10 m，设游泳池的长为x m，则可得方程( A ) A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375 C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375
解： 因为(m－1)xm2＋1＋1＋mx＋2＝0是一元二次方 程，所以m－1≠0，m2＋1＝2，即m≠1，m＝± 1，故当 m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1＋mx＋2＝0是一元二次方 程．
第7讲 │ 考点随堂练
考点2 一元二次方程的解法
直接开平方法 (x＋a)2＝b(b≥0)
± b- a x＝_________.
[解析] 将方程变形，x2＋4x＝－1，方程的两边同时加上 4，x2＋4x＋4＝－1＋4，所以(x＋2)2＝3.
第7讲 │ 考点随堂练
2 x1＝0，x2＝3 6．一元二次方程3x ＝2x的根是_____________．
2
2 [解析] 3x2－2x＝0，x(3x－2)＝0，x1＝0，x2＝3.
7．解下列方程： (1)4(3x－2)2－32＝0；
解： (1)(3x－2)2＝8,3x－2＝± 2， 2 2＋2 2 2－2 2 2± 2 2 x＝ 3 ，即x1＝ 3 ，x2＝ 3 .
第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x x x ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。
2013届中考数学考前热点冲刺《第7讲 一元二次方程及其应用》课件 新人教版
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1) ＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根． (2)①把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2， ∴原方程为x2－4x＋3＝0，解这个方程得：x1＝1，x2＝3， ∴方程的另一个根为x＝3. ②当1、3为直角边时，斜边为 12＋32＝ 10， ∴周长为1＋3＋ 10＝4＋ 10. 当3为斜边时，另一直角边为 32－12＝2 2， ∴周长为1＋3＋2 2＝4＋2 2.
第7讲┃ 归类示例 ► 类型之二 一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法．
解方程：2 x－3＝3xx－3.
第7讲┃ 归类示例
解：解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0， x－3＝0或2－3x＝0， 2 所以x1＝3，x2＝ . 3 解法二(公式法)： 2x－6＝3x2－9x， 3x2－11x＋6＝0， a＝3，b＝－11，c＝6， b2－4ac＝121－72＝49， 11± 49 x＝ ， 2×3 2 ∴x1＝3，x2＝ . 3
第7讲┃ 考点聚焦
公 式 法
配 方 法
求根公式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0, 且b2－4ac≥0时，则 －b± b2－4ac x1， 2＝ 2a 公式法解 (1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2)确 方程的一 定a，b，c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公 般步骤 式，得x1，x2，若b2－4ac<0，则方程无实数根 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程 配方法解 ①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一 方程的步 边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平 骤 方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直 接开平方解方程
第07课 一元二次方程的应用(销售利润问题)(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润.
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键．
考法 04 销量为一次函数类型
【典例 7】在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价不低于 20 元/千克，且不 超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下 表所示的一次函数关系．
总利润=（x-进价）×（一次函数）
能力拓展
考法 01 问“降价多少元”
【典例 1】一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店 采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均 每天可多售出 2 件. （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 【详解】 分析：（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售出 2×3=6
解得 x1 10 ， x2 30 ．
经检验， x1 10 ， x2 30 都符合题意．
当 x 10 时， 50 x 60 ， 500 10x 400 ；
当 x 30 时， 50 x 80 ， 500 10x 200 ．
所以，要赚取 8000 元的利润，售价应定为 60 元或 80 元．售价定为 60 元时，应进货 400 件；售价定为 80
斤（用含 x 的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
八年级同步第7讲：因式分解法及配方法求解一元二次方程
第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．7.1 因式分解法解一元二次方程1.因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2.因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A时，必有0A或=⋅B==B时，必有0⋅BA）．=B；当0==A或0②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．3.因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】解下列方程：（1）23180-++=；（2）2x x-=．x x0.1 1.20.4【例2】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【例3】 解方程：()()25258x x +-+=．【例4】 解方程：052)210(2=++-x x ．【例5】 解方程：02)23()21(2=++-+x x ．【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【例7】 学生A 在解一元二次方程x x x =-)1(时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11=-x 解得2=x所以原方程的根为：2=x【例8】 解关于x 的方程：010324=--x x ．【例9】 解关于x 的方程：0245010)5(222=+-+-x x x x ．【例10】 若30)3)(2(2222-=---+b a b a ，求22b a +的值．【例11】 解关于x 的方程：01)12(2=++++m x m mx ．【例12】 解方程：2222y by a b -=-（a b 、为已知数）．【例13】 解关于x 的方程：022)13()1(2=++-+-k x k x k ．【例14】 解关于x 的方程：()()2222240a b x abx a b ab --=-≠．7.2 配方法解一元二次方程1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±． 3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成n m x =+2)(的形式； ③当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例15】 用配方法解方程：220130y --=．【例16】 用配方法解方程：020522=+--x x ．【例17】 用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【例18】 用配方法解方程：01)1(2)1(2=--+-x x （要求用整体法的思想求解）．【例19】 用配方法解关于x 的方程：042222=+--a b ax x ．【例20】 若把代数式322--x x 化为k m x --2)(的形式，其中m 、k 为常数，则=+k m．【例21】 已知方程062=+-q x x 可以配方成7)(2=-p x 的形式，则262=+-q x x 可以配方成下列的（）（A ）2()5x p -=； （B ）9)(2=-p x ；（C ）9)2(2=+-p x ；（D ）5)2(2=+-p x ．【例22】 用配方法解关于x 的方程：)0( 02≠=++a c bx ax ．【例23】 已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【例24】 求证：无论x 为何值，代数式5422-+-x x 的值总是小于2-．【例25】 结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：022285522=+-+++x y xy y x 的实数解．7.3 课堂检测1. 用适当的方法解下列方程： （1）2142-=-x x ；（2）)2(2)2)(2(-=+-x x x ；（3）0322=++x x ；（4）01832=--x x ；（5）0722=-+x x ；（6）0)2(25)3(422=--+x x ．2. 解方程：855454222+=--x x x ．3. 如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，求m 的值．4. 用配方法说明：不论x 为何值，代数式2265x x -+的值总大于0．5. 解关于x 的方程：0)()(222=----x n n mn x m mx ．6. 若实数x 、y 满足06)()(22222=-+++y x y x ，求22y x +的值．7.4 课后作业1. 用适当的方法解下列方程：（1）33)1(3+=+x x x ；（2）0202372=--x x ；（3）5)2(22+=-x x x ；（4）8)4)(3(=+-x x ；（5）0)23()12)(23(=--+-x x x x ；（6）04)1(5)1(222=+---x x ；（7）0235)57(22=++-y y ．2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是0672=+-x x 的解，求△ABC 的周长．3. 求证：无论x 为何值，代数式542+-x x 的值总是大于零．4. 若多项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，求a 的值．5. 解关于x 的方程：)04( 062)12()4(22222222≠-=+--+-n m mn m x n m x n m ．6. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求z y x ++的值．。
第7讲 一元二次方程
) B
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，
则2x2－4x的值是( B )
A．－6
C．－2或6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．6
D．－2或30
4．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15 的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A ) A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3 C．x1，x2在－1和3之间 D．x1，x2都小于3
0(a≠0)，此方程可变形为( A )
2 b 2 b －4ac A．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b 2 4ac－b B．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b －4a b 2 C．(x－2 ) ＝ 4 2 a a 2 4 b 2 ac－b D．(x－2 ) ＝ 4 2 a a
(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下
求实数m的值． 解：①由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0 ，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1 ②由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1· x2＝m2－1， (x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0， ∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0， 解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1
安 徽 省
数
学
第二章 方程与不等式
第7讲 一元二次方程
要点梳理 1．定义 只含有一个未知数 ，并且未知数的最高次数是__ 2 ，这 样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0， ) 其
第七讲--一元二次方程的性质
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
例2、填空
4(x 1 2 )(x 1 2 )
（1）分解因式4x2-4x-1=______2________2____
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
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文章要坚决抵制。 （2）立意：勤奋不一定能成功，但不勤奋就一定不能成功； 勤奋＋思考＝成功 2．阅读下面的材料，作文。 从前，有一对仙人夫妻常在山顶下围棋。旁边有一棵树，树上住了一只金丝猴。它长年累月地躲在树上观看这对仙人下围棋，终于练就了非凡的棋艺。不久 这只猴子下山了。它到处找人挑战，未逢敌手。最后，竟连一流的高手也成为他的手下败将。后来一位大臣自告奋勇要求应战，宣称自己有绝对的取胜把握。比赛那一天，大臣在桌子上放了一盘鲜艳的水蜜桃。比赛中猴子始终盯着桃子，结果它输了。 要求全面的理解材料，可以选择一 个侧面、一个角度构思作文。自主确定立意，确定标题，写一篇议；不要脱离材料的含义作文，不要套作，不得抄袭，不少于800字。 【写作指
第七讲：一元二次方程
2x 1 m 1 例2.若关于x的方程 有增根， 2 x x2 求m的值
2 m 变式：若关于 的方程 x 1 无解， x 3 x 3 求m的值
(3) x2-4x+2=0
(4) x2-5=4x
例2、关于x的一元二次方程 kx2+2x-1=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k＞-1 B k＞1 C k≠0 D k＞-1且k≠0
变式一、关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根， 则整数a的最大值是（ ） A6 B7 C8 D9
难点突破 1.三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，
则三角形的周长是
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个 不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A K>
1 4
B K>
1 4 且K≠0
C
1 K< 4
D K≥
1 4 且K≠0
3.已知关于x的方程 x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0) 则a-b的是
第7讲 一元二次方程
考点一、 一元二次方程的定义 考点二、 一元二次方程的常用解法 1.直接开平方法 2.因式分解法（十字相乘）
3.公式法 4.配方法
考点三、一元二次方程根的判别式
考点四、 列一元二次方程解应用题
例1、用恰当的方法解下列一元二次方程
（1）6(x-5)2=24
(2) 2(x-3)=3x(x-3)
A -1 B0 C1 D2
第八讲 分式方程
考点一：
分式方程及其解法
1、分式方程的概念 2、解分式方程的基本思想 3、解分式方程的步骤
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C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等
的实数根和有两个相等的实数根三种 【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．
【解答】(1)C 把(x－1)(x＋2)＝1 整理得 x2＋x－3＝0，是一元二
次方程．
(2)B
由一元二次方程根与系数的关系知
x1x2＝
c a＝
3.
(3)B ∵Δ ＝(2k)2－4(k－1)＝4k2－4k＋4＝4(k－12)2＋3
∴无论 k 取何值，均有 Δ ≥3，方程都有两个不相等的实数根．
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(2011·南京)解方程x2－4x＋1＝0.
【点拨】本题考查一元二次方程的解法． 【解答】解法一：移项，得 x2－)2＝3.
(2)(2011·武汉 )若 x1，x2 是一元二次方程 x2＋4x＋3＝0 的两个根，
则 x1x2 的值是 ( )
A．4
B．3
C．－ 4
D．－ 3
(3)(2011·潍坊 )关于 x 的方程 x2＋2kx＋k－1＝0 的根的情况描述正
确的是 ( )
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
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（2011·桂林）某市为争创全国文明卫生城， 2008年市政府对 市区绿化工程投入的资金是 2 000万元，2010年投入的资金是2 420万元， 且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
考点二 一元二次方程的常用解法
1. 直接开平方法 :如果 x2=a(a≥0) ,则 x= ± a，则 x1= a,x2=－ a.
2 ．配方法：如果
x2＋ px＋ q＝ 0
且
p2－ 4q≥0，则
??x
?
＋
p
2
??2＝－
?
q＋ ???p2???2.
p x1＝－ 2＋
－
q＋
???p2 ???2 ，
x2＝－
p
2－
－
q＋
?p
??2
??2 ?
.
3 ．公式法：如果方程
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 且 b2 － 4ac≥0 ，则 x ＝
－ b± b2－ 4ac
2a
.
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4．因式分解法：若 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax2＋bx＋c＝0
f
n
的根为 x1＝－e，x2＝－m.
由此可得 x－2＝± 3.
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3. 解法二： a＝1，b＝－4，c＝1. b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝ 12＞0.
x＝4±2
12 ＝2±
3，
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
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方法总结： 解一元二次方程有以下几种方法： (1)直接开平方法；(2)配方法； (3)公式法；(4)因式分解法. 解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解 . 一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式 ，应采用直接开平方法；若能因式分解就用因式分解法；当两种方法都行 不通时，可采用公式法或配方法 .
骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．
温馨提示：
在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根 .
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(1)(2011·兰州 )下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 ( )
A
．
x2＋
1
x2＝
0
B． ax2＋bx＋ c＝ 0
C ．(x－1)(x＋2)＝1 D ．3x2－2xy－5y2＝0
1．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、
x2，则
x1＋
x2＝－
ba，x1·x2＝
c a.
2．(简易形式 )若关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 有两个根分别
为 x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
考点五 列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组)解应用题步
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(2010·成都)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实 数根，求k的取值范围及k的非负整数值．
【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当 b2－4ac≥0时，方
程有两个实数根．
【解答】∵方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根， ∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0. 即16－8k≥0，解得k≤2. ∴k的非负整数值为k＝2,1,0.
目录
第7讲 一元二次方程
考点知识精讲 中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点一 一元二次方程的定义
在整式方程中，只含有___一__个未知数，并且含未知数项的最高次数 是__2__，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是
___a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_)___.
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数根，即 x1＝x2＝－2ba；
(3)b2－4ac＜0? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
温馨提示：
只有一元二次方程，才具有根的判别式 .因此在逆用判别式时，一定
要保证二次项系数不等于零 .
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考点四 一元二次方程根与系数之间的关系
考点三一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－
4ac，一般用符号 Δ 表示．
(1)b2－4ac＞0? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，则
x1,2＝－b±
b2－4ac
2a
；
(2)b2－4ac＝0? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实
(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在 2012年需投入多少 万元？
【点拨】求年平均增长率问题：一般列方程 a(1±x)n＝b.其中a为原 始数据，b为增长(减少)后数据，n为变化周期，x为增长(降低)率．
【解答】(1)设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 x，根 据题意得，2 000(1＋x)2＝2 420，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．