第二讲 参数方程知 识归纳 课件(人教A选修4-4)

[解]
x＝5cos θ， 参数方程 y＝5sin θ
π π (－ ≤θ≤ )表示的曲线是 2 2
π π 化为普通方程是：x ＋y ＝25，∵－ ≤θ≤ ， 2 2
2 2
∴0≤x≤5，－5≤y≤5. ∴表示以(0,0)为圆心，5 为半径的右半圆．
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ห้องสมุดไป่ตู้ [例 2]
3 x＝ t＋1， 将参数方程 5 (t 为参数)化为普通方程． y＝t2－1
(t 为 参 数 ) 与 曲 线
(α 为参数)的交点个数为________．
解析：直线的普通方程为 x＋y－1＝0，圆的普通方程为 2 x ＋y ＝3 ， 圆心到直线的距离 d＝ ＜3， 故直线与圆的 2
2 2 2
交点个数是 2.
答案：2
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2．(2012· 湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
x＝t＋1， 曲线 y＝t－12，
(t 为参数)相交于 A， 两点， B 则线段 AB
的中点的直角坐标为________．
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π 解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝ ，转化为直角坐标 4 方程为 y＝x(x≥0)，曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程 得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线段 AB 的中点坐标 5 5 为( ， )． 2 2
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考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对 本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与 圆或与圆锥曲线的有关的问题．
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真题体验
x＝2＋t， 1 ． (2012· 京 高 考 ) 直 线 北 y＝－1－t x＝3cos α， y＝3sin α
x＝1＋tcos α， 设直线方程为 y＝1＋tsin α
(t 为参数)，代
入椭圆方程得(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cos α＋8sin α)t＋1＝0. ∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0， 2 ∴tan α＜－ ，或 tan α＞0. 3
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4．(2012· 福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 上 2 3 π 两点 M，N 的极坐标分别为(2,0)，( ， )，圆 C 的参 3 2
x＝2＋2cos θ， 数方程为 y＝－ 3＋2sin θ
(θ 为参数)．
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y)可视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9 上的点， 于是可利用圆的参数 方程来求解．
x＝1＋3cos θ， 设 y＝1＋3sin θ
(θ 为参数)，
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则 x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ) π ＝11＋6 2sin(θ＋ )． 4 π 因为－1≤sin(θ＋ )≤1， 4 所以 11－6 2≤x2＋y2≤11＋6 2. 所以 x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
5 5 答案：( ， ) 2 2
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3．(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆
x＝5cos φ， y＝3sin φ x＝4－2t， y＝3－t
(φ 为 参 数 ) 的 右 焦 点 ， 且 与 直 线
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
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解：由题设知，椭圆的长半轴长 a＝5，短半轴长 b＝3，从 而 c＝ a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数 方程化为普通方程：x－2y＋2＝0. 1 故所求直线的斜率为 ， 2 1 因此其方程为 y＝ (x－4)，即 x－2y－4＝0. 2
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(2)因为直线 l 上两点 M， 的平面直角坐标分别为(2,0)， N (0， 2 3 )， 3 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x＋3y－2 3＝0. 又圆 C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径 r＝2， |2 3－3 3－2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d＝ ＝ <r，故直线 l 2 3＋9 与圆 C 相交．
[解]
3 5 由 x＝ t＋1 得 t＝ (x－1)，代入 y＝t2－1， 5 3
25 得 y＝ (x－1)2－1，即为所求普通方程. 9
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求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义， 求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的 位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数
方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
根据直线参数方程的几何意义，两交点间的距离为： 6 3 9 17 |t1－t2|＝| 17－ 17|＝ 7 2 14 9 17 即两交点间距离为 . 14
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[例4] 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9， 求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 因为实数 x， 满足(x－1)2＋(y－1)2＝9， y 所以点(x，
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[例6]
已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，
求弦AB的长．
[解] 设弦 AB 所在的直线方程为 (t 为参数)，
x＝3＋tcos α， y＝2＋tsin α
代入方程 y2＝4x 整理得： t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ①
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因为点 P(3,2)是弦 AB 的中点，由参数 t 的几何意义可 知，方程①的两个实根 t1、t2 满足关系 t1＋t2＝0. 即 sin α－cos α＝0. π 因为 0≤α＜π，所以 α＝ . 4 ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4· ＝8. π sin2 4 8
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[例3]
[解] x＝ y＝
求直线l：4x－y－4＝0与l1：x－2y－2＝0及l2：
在 l 上任取一点(0，－4)得 l 的参数方程为 1 t， 17 4 t－4. 17
4x＋3y－12＝0所得两交点间的距离．
将这一参数方程代入 l1 和 l2 即可求
6 3 17 出两交点的参数值分别为 t1＝ 17和 t2＝ . 7 2
(1)设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标 方程； (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系．
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解：(1)由题意知，M，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0， 2 3 )， 3 3 又 P 为线段 MN 的中点， 从而点 P 的平面直角坐标为(1， )， 3 3 故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y＝ x. 3
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1 |PP1|· 2|＝t1· ＝ 2 |PP t2 . cos α＋4sin2α sin2α＋cos2α ＝ 2 cos α＋4sin2α 1＋tan2α ＝ 1＋4tan2α 1 3 ＝ ＋ 4 4＋16tan2α 1 tan α→＋∞时，(|PP1|· 2|)min＝ |PP 4
2
π 此时 α＝ . 2 |PP1|· 2|无最大值． |PP
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在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通
方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式 法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的 参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一 致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它 们二者要表示同一曲线．
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[例 1] 什么？
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能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并
利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置 关系等问题．
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[例 5]
x2 一直线经过 P(1,1)点，倾斜角为 α，它与椭圆 4
＋y2＝1 相交于 P1、P2 两点．当 α 取何值时，|PP1|· 2|有最 |PP 值，并求出最值．
[解]