两角及及差、二倍角的三角函数公式重点学习的复习总结模板计划模板练练习习题.doc
最新高考第一轮复习数学：4.4两角和与差、二倍角的公式(三)教案(含习题及答案)
关系： 2α+β =（ α+β ） +α ，（ α +β ）－ α =β可证得结论 .
证明： sin（ 2α +β ）－ 2cos（ α +β） sinα
=sin［（ α +β） +α ］－ 2cos（ α +β） sinα
=sin（ α +β ）cosα +cos（ α +β ） sinα － 2cos（α +β ） sinα =sin（ α +β ）cosα － cos（ α+β ） sinα =sin［（ α +β ）－ α ］=sin β. 两边同除以 sinα 得
为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”
.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的 途径把条件用上去 .常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为 目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式） 、分析法等 .
4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）
●知识梳理
1.化简要求 （ 1）能求出值的应求出值 . （2）使三角函数种数、 项数尽量少； 分母尽量不含三角函数； 被开方式尽量不含三角函数 .
2.化简常用方法 （ 1）活用公式（包括正用、逆用、变形用） . （ 2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等 .
3.常用技巧
2 sin 20
sin 10
sin 10
cos（30 =
3 cos 20 20 ） 2 sin 20 = 2 sin 10
1 sin 20 2 sin 10
2 sin 20
3
3
cos 20 =2
高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题 文(含解析)
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。
两角和、差及倍角公式-高考数学复习
π
＋
4
sin β，则（
）
A. tan（α－β）＝1
B. tan（α＋β）＝1
C. tan（α－β）＝－1
D. tan（α＋β）＝－1
目录
高中总复习·数学
解析：由题意得 sin α cos β＋ sin β cos α＋ cos α cos β－ sin α sin β
＝2 2 ×
2
（
2
cos α－ sin α）·sin β，整理，得 sin α·cos β－ sin β
cos α＋ cos α·cos β＋ sin α sin β＝0，即 sin （α－β）＋ cos （α－
β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
目录
高中总复习·数学
2π
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝ ，则
两角和、差及倍角公式
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
公式的直接应用
【例1】 （1）（2021·全国乙卷6题） cos
解析：因为
cos
2 5π ＝
12
5π
cos ＝
12
cos
2 π
【例4】 （2024·舟山模拟）若 cos
＝（
解析：
π
4
（θ＋ ）＝ ，则
6
5
sin
π
（2θ－ ）
6
）
法一
π
（2θ＋ ）＝－
3
sin
两角及与差及二倍角公式讲义,例题含含答案
两角和与差及二倍角公式（答案）两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联.2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 可以利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回首】1．两角和与差的三角函数sin( ) ； sin( ) ；cos( ) ； cos( ) ；tan( ) ； tan( ) ；2．二倍角公式：在sin( ),cos( ), tan( ) 中令，可得相应的二倍角公式。
sin2 ；cos2 = =tan 2 。
3．降幂公式sin 2 ；cos2 .注意：二倍角公式拥有“升幂缩角“作用，降幂公式拥有“降幂扩角”作用4．协助角公式y a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) ，（此中a, b不可以同时为0）证明： y sin x cos x 2 2 ( a bcos x)a b sin xa2 b 2a2 b2a2 b2 (cos sin x sin cos x)a2 b2 sin( x )此中， cosa， sinb， tanb终边过点 ( a, b)2 2且角a2 2ab a b在使用时，不用死记结论，而重在这种缩短（合二为一）思想如： sin cos ； sin cos 。
5.公式的使用技巧（ 1）连续应用：sin( ) sin[( ) ] sin( )coscos()sin（ 2）“ 1”的代换：sin2 cos2 1， sin2 1,tan 14（ 3）缩短代换： y sin x cos x a 2 b 2 sin( x) ，（此中 a, b 不可以同时为0）（ 4）公式的变形：tan()tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tantan() tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tan如： tan95otan 35o3 tan 95o tan 35o。
两角和与差三角函数与二倍角公式习题课.ppt
22
sin sin(2g) 2sin cos
2
22
2sin cos
sin 2
2
2 cos2
2
2
2tan
1
tan
2 2
2
万能公式
2 1 2
4.
1 (1)2 5
2
2020年5月8日星期五
王山喜--和差倍角三角函数习题课
27
(2) Q 0 ,sin 4 ,cos 3.
2
5
5
又 Q 0 ,0 .
2
由 cos 可 知2
10
0 . 2
sin 98 7 2 ，
10 10
sin sin［ ］ sin cos cos sin
7 23 24 10 5 10 5
25 2 2 . 50 2
由 得 2
(或求 cos
得2 ,
24
4
由 2k 3x 5 2k (k Z)
2
4
2
解得 2 k x 2 k 7 k Z.
34
3 12
故g(x)的单调增区间为
［2 k , 2 k 7］k Z.
3 4 3 12
2020年5月8日星期五
王山喜--和差倍角三角函数习题课
35
【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三 角函数性质中.需要利用这些公式，先把函数解 析式化为y=Asin(ωx+ )的形式，再进一步讨 论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周 期性、对称性等性质.
∵cosx∈［-1,1］,∴cos2x∈［0,1］，………………10分
∴当cosx=±1时,f(x)max=2. 当cosx=0时，f(x)min=-1. …………………………… 12分
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
5.两角和与差、二倍角公式
5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。
第三节两角和与差及二倍角三角函数公式
，则tan α＝－
∴tan＝
.
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科） 点评： (1) 两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同
名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆
用”“变形用”； (2) 应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值，其关 键是熟练掌握公式的特点，准确使用公式； (3) 已知三角函数值求角，应根据条件确定角的范围，然
设条件先求这个角所对应的三角函数值，再根据所求角的所 在范围确定这个角的大小．解决这类问题，重点是三角函数
值的求解，难点是角的范围的确定．
高考总复习•数学（理科） 变式探究 3．已知cos α＝ 则β＝________. ，cos(α－β)＝ ，且0<β<α< ，
解析：∵0<β<α<
又∵cos(α－β)＝ ∴sin(α－β)＝
(3)注意二倍角的相对性；
(4)注意角的范围；
(5) 熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、
异角化同角等．
高考总复习•数学（理科） 变式探究 4．(2012· 南京二模)设向量a＝(2，sin θ)，b＝(1，cos θ)， θ为锐角． (1)若a· b＝ ，求sin θ＋cos θ的值； 的值．
.
作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已 知A、B的横坐标分别为
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）
答案：(1)C (2)
再求2α－β的正切值)
(也可先求2α－β的正弦、余弦值，
高考总复习•数学（理科）
点评： 三角函数的“给值求角”问题，一般是根据题
两角和差公式及二倍角公式课件-2024届高三数学一轮复习
;
cos2 2cos2α-1
;
;
cos2 1-2sin2α
;
;
tan 2
2tan 1-tan2
.
;
; 升幂公式：
cos2
1＋cos 2α
2;
sin 2
1－cos 2
2α;
; 降幂公式：
1 cos2 2cos2α ;1 cos2 2sin2α ;
; 1 sin 2 (sin α+cosα)2;1sin 2 (sin α-cosα)2 ;
4
5 4 25
4
突破4---给值求角
例4.已知，都是锐角，且 cos 1 , cos 1 ，则 ( )
10
5
A.
B. 3
C. 或 3
4
4
44
D. 或 2
33
tan1200 400
.
突破3：---给值求值
例3.(1)若 3 sin x cosx 2 ,则tan x 7
.
3
6
(2)已知
tan tan
2 3
, 则 s in
2
4
.
4
(3)若sin 1 ,则sin 2 4
.
8 3
8
突破3：---给值求值
例3(4).已知， 3 ， ，sin 3 ,sin 24 ，则cos .
高中人教A版（2019）高三一轮复习--三角函数复习专题3
两角和差公式及二倍角公式
一、知识梳理(背诵、默写、提问)
1.两角和与差的正弦余弦正切公式
cos cos αcos β-sin αsin β cos cos αcos β+ sin αsin β sin sin αcos β+cos αsin β sin sin αcos β-cos αsin β
《两角和与差的三角函数》《倍角、半角的三角函数》复习[1]
两角和与差的三角函数三角函数基本公式总结1．和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=±．2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；ααα2122tg tg tg -=．3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=．4．半角公式 2cos 12sinαα-±=；2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg．5．万能公式2122sin 2αααtgtg+=；2121cos 22αααtgtg+-=；21222αααtgtg tg -=．6．积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=．7．和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-； 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+；2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-．例. 求下列各式的值①sin15°②sin24°cos36°+cos24°cos54°③④tan20°+tan40°+tan20°tan40°分析与解答:①可将15°改写成60°-45°，再利用两角差的正弦公式sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=.②若将式中的cos54°改写为sin36°则恰为两角和的正弦:原式=sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°).③将1+tan15°视为tan45°+tan15°,将1-tan15°视为1-tan45°tan15°，即利用tan45°=1，则式子恰为两角和的正切:原式.④由于20°+40°=60°，又，将其变形tan20°+tan40°(1-tan20°tan40°)tan20°tan40°将移到左边得.[例题选讲]例1．求下列各式的值①tan15°+tan30°+tan15°tan30°②(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan44°)③分析与解答:①解法一:∵,∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°∴原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1解法二:原式=tan15°(1+tan30°)+tan30°②∵(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1+tan(1°+44°)(1-tan1°tan44°)+tan1°tan44°=2.∴同理(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+tan42°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2故原式.③原式例2．解下列各题（1）已知:，求cos(α-β)的值.（2）已知:，，0°<α<90°, 0°<β<90°，求cosβ的值. （3）已知:tanα和tanβ是方程2x2+x-6=0的两个根，求tan(α+β)的值.分析与解答:（1）由已知可求得.当α在第一象限而β在第二象限时，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.当α在第一象限而β在第三象限时，cos(α-β).当α在第二象限而β在第二象限时，cos(α-β).当α在第二象限而β在第三象限时，cos(α-β).（2）∵0°<α<90°, ∴,又∵0°<α<90°,0°<β<90°，∴0°<α+β<180°, ∴,∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.说明:解题中应用了β=(α+β)-α式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α-β), 2α+β=(α+β)+α等.（3）由韦达定理，得，，∴.例3．求证下列恒等式①cos(150°-β)=-②③分析与解答:①左边=cos150°·cosβ+sin150°·sinβ∴原式成立.②左边=∴原式成立.③证法一:左式=∴原式成立.证法二:∵(tanα+sinα)(tanα-sinα)=tan2α-tanαsinα+sinαtanα-sin2α =tan2α-sin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2αsin2α=tanα·sinα·tanα·sinα由比例的性质有.证法三:左式右式∴左式=右式.课外练习：1．不查表求下列各式的值.①cos(33°-x)cos(27°+x)-sin(33°-x)sin(27°+x)②cos(80°+2α)cos(35°+2α)+sin(80°+2α)cos(55°-2α)③sin68°·sin22°+cos112°·sin428°④cos275°-sin275°⑤csc60°·2．设，则cosαcosβ=（）.A、B、C、D、3．已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=, 且β为第三象限角，则cosβ等于（）.A、B、C、D、[参考答案]1．①原式=cos[(33°-x)+(27°+x)]=cos60°=.②原式=sin[(80°+2α)+(55°-2α)]=sin135°=.③原式=sin68°·sin22°-cos68°·cos22°=-cos(68°+22°)=-cos90°=0.④原式=cos(75°+75°)=cos150°=⑤原式=2. ∴，∴.选B.3．由已知,∴,∵β为第三象限角，∴cosβ<0，,选B.倍角、半角的三角函数二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:，，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.例1．推导三倍角的正弦、余弦公式解:sin3α=sin(2α+α)cos3α=cos(2α+α)例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.解:∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴2sin18°=4-4sin218°-3∴4sin218°+2sin18°-1=0∴. 本题还可根据二倍角公式推出cos36°.即.例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°解:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°例5．已知:.求: cos4θ+sin4θ的值.解:∵,∴, 即，即，∴cos4θ+sin4θ例6．求cos36°·cos72°的值.解:cos36°·cos72°例7．求:的值.解:例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴∴或，∴,∴,∴或=2.方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,∴,∴或,∴或=2.例9．已知:，求:tanα的值.解:∵，∴，∵0≤α≤π,∴,∴(1)当时,，则有,∴，∴，∴，∴.(2)当，则有，∴，∴，∴.注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.证明:∵，∴∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.课后练习:1．若，则（）.A、P QB、P QC、P=QD、P∩Q=2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.A、B、C、D、3．若，则sin2θ=（）.A、B、C、D、4．若，则sinθ=（）.A、B、C、D、-5．若，则=（）.A、B、C、1D、-16．若，则cosα=________.7. 若θ为第二象限角，且，则=_____. 8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.参考答案:1.C2.B3.C4.C5.B6.7. 6。
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两角和与差、二倍角的三角函数公式
课时作业
题号 1
2
3
4
5
6
答案
1.若 tan α＝ 3， tan β＝ 4
，则 tan(α－β)等于 ( )
3
A ．－ 3
1
C ． 3
D.
1
B ．－ 3
3
2．求值： cos π－ sin π cos π
＋ sin π ＝ (
)
12 12 12 12 3
B ．－
1
A ．－ 2 2
1
3
C.2
D. 2
π
3
π
， π
， sin
α＝ 5 ，则 tan α＋ 4 等于 (
)
3．已知 α∈ 2
1
A. 7
B ． 7
1
C ．－ 7
D ．－ 7
4．已知 sin(α－β)cos α－cos(α－ β)sin α＝ 3
，那么 cos 2β的值为 ()
5
7 18
A. 25
B.25
7
18
C ．－ 25
D ．－ 25
5．已知 0<α<π， sin α＋ cos α＝1
，则 cos 2α的值为 (
)
2
7
7
A. 4
B ．－ 4
7
3 C ． ±4
D ．－ 4
6．已知 α， β为锐角且 cos α＝
1
， cos β＝ 1
，则 α＋ β的值等于 ________．
10
5
3π
3 π 12 π
7 已知 α， β∈ 4 ， π，sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝ 13 ，则 cos α＋ 4 ＝________. 8 已知 α，β均为锐角，且 sin α－ sin β＝－ 1， cos α－ cos β＝ 1
，则 cos(α－β)＝ ________.
2 3
9.2002 年在北京召开的国际数学家大会，
会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一
个小正方形拼成的一个大正方形(如右图 )．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么 cos 2θ的值等于 ________．
( ) 4 α－β 4 3 π
10 已知 cos α＋β＝，cos(
<α－β<π，分别求 cos 2α
和
)＝－，且π<α＋β<2π，
cos 2β的值．
π
11 已知函数f(x)＝ sin x＋ sin(x＋2)， x∈R .
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2) 求 f(x)的最大值和最小值，并求出取得最值时的x 的值；
3
(3) 若 f(α)＝4，求 sin 2α的值．
12 设 f( x)＝6cos2x－3sin 2x.
(1)求 f(x)的最大值及最小正周期；
4
(2) 若锐角α满足 f(α)＝ 3－ 23，求 tan5α的值．
参考答案
3π56
1． D 2.D 3.A 4.A 5.B 6. 4 7，－65
59
,8..72
9．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为 25，
∴ 每一个直角三角形的面积是 6 ，设直角三角形的两条直角边长分别为a， b ，则
a2＋ b2＝ 25
4
1 ，∴两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ， cos θ＝5，
2ab＝ 6
7
2
cos 2θ＝2cos θ－ 1＝.
7
答案：25
7
10． cos 2α＝－25， cos 2β＝－ 1
π
11． (1)2π(2) 当 x＝4＋ 2kπ， k∈ Z 时， f(x)max＝ 2
3π
当 x＝－＋2kπ，k∈Z时，f(x)min＝－ 2
4
7
(3) －16
12． (1)f(x)的最大值为 2 3＋ 3；最小正周期为T＝π.(2) 3。