高中数学极限

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高中数学-公式-极限与导数

极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

高中数学解极限问题的技巧

高中数学解极限问题的技巧在高中数学学习中，极限是一个重要的概念，也是数学分析的基础。

解决极限问题需要一定的技巧和方法，下面我将介绍一些常见的解极限问题的技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。

一、利用代数运算法简化式子在解极限问题中，有时候我们会遇到复杂的式子，难以直接求解。

这时，可以尝试利用代数运算法简化式子，使其更容易处理。

例如，对于形如$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用泰勒展开公式将$\sin x$展开成$x$的幂级数，然后化简式子，得到$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。

二、利用等价无穷小替换在解极限问题时，有时候我们可以利用等价无穷小替换来简化计算。

等价无穷小是指当$x$趋于某个特定值时，与之相比的无穷小量。

例如，对于形如$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用等价无穷小替换$\sin x \approx x$，将原式化简为$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。

三、利用夹逼定理求解夹逼定理是解极限问题中常用的方法之一。

当我们遇到一个难以直接求解的极限问题时，可以尝试利用夹逼定理来求解。

夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得这两个函数的极限都等于要求的极限，从而确定极限的值。

例如，对于形如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用夹逼定理，构造两个函数$f(x)=x$和$g(x)=\sin x$，显然有$f(x) \leq\frac{\sin x}{x} \leq g(x)$。

当$x$趋于0时，$f(x)$和$g(x)$的极限都等于1，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$。

四、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决极限问题中常用的方法之一。

高中数学中的极限运算知识点总结

高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。

本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。

一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。

即极限是函数在某一点附近的局部性质。

2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。

3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。

二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。

2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。

3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。

4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。

三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。

2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。

四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。

2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。

3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。

五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。

高中数学-极限与导数

1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限，（2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则（1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±；（2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅；（3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限（1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限（1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。

高中数学极限与连续性

高中数学极限与连续性极限和连续性是高中数学中重要的概念，它们在微积分和数学分析等领域有广泛的应用。

本文将系统介绍高中数学中的极限和连续性，并探讨它们的意义和性质。

一、极限的概念与性质极限是数学中研究函数变化趋势的重要工具，可以用于描述函数在某一点的取值特性。

在高中数学中，我们主要关注函数在自变量趋于某一特定值时的极限。

1.1 极限的定义设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，常数$L$是给定的，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$是函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时的极限，记作$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$。

1.2 极限的性质极限具有以下性质：（1）唯一性：若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则极限唯一；（2）局部有界性：若$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，并且$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$存在，则存在正数$M$和$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|<M$；（3）四则运算：设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，并且$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=B$存在，则有：a) $\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$；b) $\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$；c) $\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{A}{B}$，其中$B\neq 0$；（4）复合函数：若$\lim_{x\to x_0}g(x)=A$存在，且在$x_0$的某一去心邻域内，有$f(g(x))$有定义，则有$\lim_{x\to x_0}f(g(x))=\lim_{t\to A}f(t)$。

高中数学极限的计算与应用技巧解析

高中数学极限的计算与应用技巧解析一、引言数学极限作为高中数学中的重要内容，是数学分析的基础，也是其他数学学科的重要工具之一。

本文将深入探讨高中数学极限的计算与应用技巧，帮助同学们更好地理解与掌握该知识点。

二、基本概念回顾在正式讲解计算与应用技巧之前，我们先回顾一下高中数学极限的基本概念：当自变量趋近于某一特定值时，函数的极限表示函数值的变化趋势。

具体而言，对于函数f(x)，当x趋近于特定值a时，如果存在一个常数L，使得对于任意给定的正实数ε，都存在对应的正实数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么L就是函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

三、计算技巧1. 代入法当函数在某一点存在极限时，可以通过直接将该点的坐标代入函数求解来计算。

例如，计算函数f(x) = 2x + 1在x = 3处的极限，可以直接将x = 3代入函数得到f(3) = 2(3) + 1 = 7。

2. 分子有理化对于一些涉及根式的极限计算，可以使用分子有理化的方法，将具有根式的表达式转化为有理数形式以便计算。

例如，计算函数g(x) =(sqrt(x) - 1) / (x - 1)在x = 1处的极限，可以将分子进行有理化，化简为g(x) = (sqrt(x) - 1) * (sqrt(x) + 1) / ((x - 1) * (sqrt(x) + 1)) = (x - 1) / (x - 1) * (sqrt(x) + 1) = sqrt(x) + 1。

3. 极限的四则运算法则当已知函数f(x)与g(x)分别在x = a处存在极限时，可以采用以下四则运算法则计算复合函数的极限：- 两函数之和的极限等于各个函数的极限之和，即lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)；- 两函数之差的极限等于各个函数的极限之差，即lim(x→a) (f(x) - g(x)) = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)；- 两函数之积的极限等于各个函数的极限之积，即lim(x→a) (f(x) * g(x)) = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)；- 两函数之商的极限等于各个函数的极限之商，即lim(x→a) (f(x) / g(x)) = l im(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。

高中数学极限试题及答案

高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数$ f(x) $在点$ x_0 $的某个去心邻域内有定义，且存在常数$ A $，使得当$ x $在$ x_0 $的去心邻域内且$ x \neq x_0 $时，都有$ |f(x) - A| < \epsilon $，则称$ A $是函数$ f(x) $在点$ x_0 $处的极限，记作$ \lim_{x \to x_0}f(x) = A $。

（2）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，则称$ f(x) $在$ x_0 $处的极限存在，否则称为极限不存在。

2. 极限的运算法则（1）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则$ \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B $。

（2）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则$ \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B $。

（3）若$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则$ \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B $（前提是$ B \neq 0 $）。

3. 极限的计算（1）计算极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $。

答案：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $。

（2）计算极限$ \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) $。

高中数学极限公式

高中数学极限公式高中数学中，极限是一个重要的概念。

它在各种数学分支中都有重要的应用，并且是理解和掌握高中数学的基础。

为帮助读者更好地理解和应用极限，下面将介绍一些常用的极限公式和性质。

1.基本极限公式：(1)极限的四则运算法则：a) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = L \pm M$。

b) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x)\cdot g(x)) = L \cdot M$。

c) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，且$M \neq 0$，那么$\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$。

(2)常数极限公式：a) $\lim_{x \rightarrow a} k = k$（常数的极限等于它本身）。

b) $\lim_{x \rightarrow a} x = a$（自变量的极限等于它的取值点）。

c) $\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$（幂函数的极限等于各次幂的极限）。

2.无穷大与无穷小：(1) 无穷大的定义：如果对于任意的正数$M$，都存在正数$\delta$，使得当$0 < ，x-a， < \delta$时，有$，f(x)， > M$，那么我们称函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限为无穷大，记为$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$。

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高中数学极限、数学归纳法一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·江西高考) lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n)＝( ) A.53 B.32 C ．2 D ．不存在解析：lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n )＝11－13＝32.答案：B2．设函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，则lim x →－1 f ′(x )x ＋1等于( ) A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6解析：∵f ′(x )x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)(x －2)x ＋1＝3x －3，∴lim x →－1f ′(x )x ＋1＝－6. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3x －1(x ＞1)ax ＋1 (x ≤1)在x ＝1处连续，则f －1(3)等于( )A ．0B ．1C ．－23D.23解析：∵函数f (x )在x ＝1处连续，∴f (1)＝lim x →1x 2＋2x －3x －1＝4.又当x ＝1时，f (1)＝a ＋1，∴a ＝3.当x ＞1时，令x 2＋2x －3x －1＝3，得x＝0或1，不满足题设．当x ≤1时，令3x ＋1＝3，得x ＝23，满足题设．∴f －1(3)＝23. 答案：D4．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1134时，由n ＝k 到n＝k ＋1，不等式左边的变化是( )A ．增加12(k ＋1)一项B ．增加12k ＋1和12k ＋2两项C ．增加12k ＋1，12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项D ．以上结论均错解析：n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故增加12k ＋1，12k ＋2两项，减少1k ＋1一项．答案：C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝( ) A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1) C.22n －1D.22n －1解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2， ∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n (n ＋1).答案：B6．设a ，b 满足lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝－1，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n 等于( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：依题意得a ＝2，lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝lim x →2(x －b )(x －2)x －2＝lim x →2 (x －b )＝2－b ＝－1，因此b ＝3.故lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n ＝lim n →∞ 2n ＋1＋2×3n －12n －1＋2×3n ＝lim n →∞ 4×(23)n －1＋2(23)n －1＋2×3＝13. 答案：C二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．设a ＝lim x →1 x 3－xx 4－1，则1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝________. 解析：∵a ＝lim x →1 x 3－x x 4－1＝lim x →1 x (x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋1)(x 2＋1) ＝lim x →1 xx 2＋1＝12， ∴1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a cos x (x ≥0)x 2－1 (x ＜0)在点x ＝0处连续，则a ＝________.解析：由题意得lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x 2－1)＝－1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋a cos x ＝a ，由于f (x )在x ＝0处连续，因此a ＝－1.答案：－19．已知log a b ＞1(0＜a ＜1)，则lim n →∞ b n ＋a nb n －a n ＝________. 解析：log a b ＞1,0＜a ＜1得0＜b ＜a ， ∴lim n →∞ b n ＋a nb n －a n ＝lim n →∞ (b a )n＋1(b a )n －1＝－1. 答案：－1三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n . (1)求lim n →∞ a n Sn； (2)证明：a 112＋a 222＋…＋a nn 2＞3n .解：(1)因为lim n →∞ a nS n ＝lim n →∞ S n －S n －1S n ＝lim n →∞ (1－S n －1S n )＝1－lim n →∞ S n －1S n ， lim n →∞ S n －1S n ＝13lim n →∞ n －1n ＋1＝13，所以lim n →∞ a n S n ＝23. (2)证明：当n ＝1时，a 112＝S 1＝6＞3；当n ＞1时，a 112＋a 222＋…＋a n n 2＝S 112＋S 2－S 122＋…＋S n －S n －1n 2＝(112－122)·S 1＋(122－132)·S 2＋…＋[1(n －1)2－1n 2]S n －1＋1n 2·S n ＞S nn 2＝n 2＋nn2·3n ＞3n . 综上知，当n ≥1时，a 112＋a 222＋…＋a nn2＞3n .11．(本小题满分15分)已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，….试用数学归纳法证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…；证明：①当n ＝3时，a 3＝2＝a 1＋2，所以等式成立； ②假设当n ＝k ≥3时等式成立，即a k ＝a k －2＋2. 而由题设有a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2)．由a k －2是非负整数，得a k ＝a k －2＋2≠0， ∴a k ＋1＝a k －1＋2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①②得：对任意正整数n ≥3，都有a n ＝a n －2＋2.12．(本小题满分16分)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ，S n ，S n －12成等比数列．(1)求a 2，a 3，a 4并推出a n 的表达式， (2)用数学归纳法证明所得的结论．解：∵a n ，S n ，S n －12成等比数列，∴S 2n ＝a n (S n －12)(n ≥2)①(1)由a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2代入①得a 2＝－23，由a 1＝1，a 2＝－23，S 3＝13＋a 3代入①得a 3＝－215.同理可得a 4＝－235，由此可推出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1)(n ≥2).(2)证明：①当n ＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立， ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时， a k ＝－2(2k －3)(2k －1)成立．故S 2k ＝－2(2k －3)(2k －1)·(S k －12)，∴(2k －3)(2k －1)S 2k ＋2S k －1＝0， ∴S k ＝12k －1，S k ＝－12k －3(舍)．由S 2k ＋1＝a k ＋1·(S k ＋1－12)得 (S k ＋a k ＋1)2＝a k ＋1(a k ＋1＋S k －12)，∴1(2k －1)2＋a 2k ＋1＋2a k ＋12k －1＝a 2k ＋1＋a k ＋12k －1－12a k ＋1， ∴a k ＋1＝－2[2(k ＋1)－3]·[2(k ＋1)－1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1) (n ≥2)对一切n ∈N *成立．1．1lim x → (xx －1＋x －3x 2－1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵x x －1＋x －3x 2－1＝x (x ＋1)＋x －3x 2－1 ＝x 2＋2x －3x 2－1＝(x －1)(x ＋3)(x ＋1)(x －1)＝x ＋3x ＋1，∴1lim x → (x x －1＋x －3x 2－1)＝1lim x → x ＋3x ＋1＝1＋31＋1＝2. 答案：B2．函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )x －c 在点x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，而在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x )＞0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1,2) 解析：由已知得：f (x )＝(x －1)(x －2)x ＋2，则f (x )＞0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．答案：C3．设常数a ＞0，(ax 2＋1x)4的展开式中x 3的系数为32，则li m n →∞ (a ＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 4a 4－r x 8－5r 2，令8－5r 2＝3，得r ＝2，∴x 3的系数为C 24a 2＝6a 2＝32，则a ＝12， ∴li m n →∞(a ＋a 2＋a 3＋…＋a n)＝121－12＝1.答案：14．(精选考题·上海高考)将直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：nx ＋y －n ＝0，l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________.解析：如图所示，由⎩⎨⎧nx ＋y －n ＝0，x ＋ny －n ＝0得错误!则直线l 2、l 3交于点A (n n ＋1，nn ＋1)．S n ＝12×1×n n ＋1＋12×1×n n ＋1－12×1×1＝n n ＋1－12，lim n →∞S n ＝lim n →∞ (nn ＋1－12)＝lim n →∞ 11＋1n －12＝1－12＝12. 答案：125．对于数列{x n }，满足x 1＝43，x n ＋1＝3x n1＋x 3n；函数f (x )在(－2,2)上有意义，f (－12)＝2，且满足x ，y ，z ∈(－2,2)时，有f (x )＋f (y )＋f (z )＝f (x ＋y ＋z1＋xyz)成立．(1)求f (43)的值；(2)求证：{f (x n )}是等比数列；(3)设{f (x n )}的前n 项和为S n ，求li m n →∞3n －2S n. 解：(1)由x ＝y ＝z ＝0⇒3f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，令z ＝0，得f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，再令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，则f (－x )＝－f (x )．所以f (43)＝f (12)＋f (12)＋f (12)＝3f (12)＝－3f (－12)＝－6.(2)证明：由x 1＝43，结合已知可得0＜x n ＋1＝3x n 1＋x 3n ＝31x n＋x 2n ≤34＜2；11 / 11 由f (x n ＋1)＝f (3x n 1＋x 3n )＝f (x n ＋x n ＋x n 1＋x 3n)＝f (x n )＋f (x n )＋f (x n )＝3f (x n )，得f (x n ＋1)f (x n )＝3，即{f (x n )}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，且f (x n )＝－2×3n .(3)由S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－6×(1－3n )1－3＝3×(1－3n )，得lim n →∞ 3n －2S n ＝lim n →∞ 3n －23×(1－3n )＝lim n →∞ 1－23n 3×(13n －1)＝－13.。