概率论和数理统计[西安电子科技大学大作业]
陕科大概率论与数理统计试卷及其解答(修正)
陕西科技大学概率论与数理统计试题及其解答一、填空题（共 10 小题，每题 2 分，共计 20 分）1. A ,B 是两个随机事件,且P (A )=0.4，P (A +B )=0.7，若A 与B 互不相容，则P (B )= ；若A 与B 相互独立，则P (B )= .解答：0.3；0.3.A ,B 是两个随机事件,且P (A )=0.4，P (A +B )=P(A)+P(B)-P(AB), A 与B 互不相容,A 与相互独立，都可以得到P(AB)=0.2. 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P (X =2)=P (X =4)，则λ= .解答：随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P (X =2)=P (X =4)，那么有2424!e e λλλλ--=！，解得λ=3. 设二维随机向量(X ,Y )的联合概率密度函数为,11,02(,)0c x y f x y else-≤≤≤≤⎧=⎨⎩则c = ；Y 的边缘密度函数)(y f Y = .解答：有密度函数的性质得，12101cdydx -=⎰⎰，解得14c =.再由边缘分布的定义1111,02,()(,)420,Y dx y f y f x y dx else ++∞--∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰4. 已知随机变量X 服从B (n ,p )，EX =2, DX =1.6 ，则此二项分布参数n ,p 的值分别是 .解答：因为随机变量X 服从B (n ,p )，EX =2, DX =1.6；易得2, EX np DX npq p q n p q ====+====解得：，，，5. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数为 . 解答：x y n +=6. 设随机向量(X ,Y )的联合概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=elsey x xy y x f 010,20,23),(2,则EY = . 解答：1230033(,)24EY yf x y dxdy xy dxdy ∞∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰7. 设n X X ,,1 为总体),(2σμN 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，若2σ未知，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 .解答：在2σ未知的条件下，求μ的置信水平为α-1的置信区间， 显然是用到t 检验.(1)x t n - ，12tα-<，1122ttx x ssααμ---<<+8. 设n X X ,,1 为总体X 的样本，若统计量∑=∧=ni i iX a1μ是总体均值μ的无偏估计量，则∑=ni i a 1= .解答：统计量∑=∧=ni i iX a1μ是总体均值μ的无偏估计量.则有11111n n nnni i iiiiii i i i i i E E a X Ea Xa EXa a μμμμ∧===========∑∑∑∑∑显然,11nii a==∑9. 设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}a T P =>λ，则{}λ<T P = . 解答：设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}a T P =>λ，由t 分布的对称性知道，{}2a P T λ>=，则{}{}112a P TP T λλ<=->=-10. 设n X X ,,1 为总体),(2σμN 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则22)1(σSn -～ .解答：课本上的定理，22(1)(1)n St n σ--二、单项选择题（共 5 小题，每题 2 分，共计 10 分）1. 设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，满足条件{}{}P Xc P X c ≤=>，则其中常数c 为 ( ) A .3 B .2 C .0 D .4 解答：机变量X 服从正态分布N (3,4)，满足条件，由正态分布的对称性有，{}{}{}1P X c P X c P X c ≤=>=-≤，so {}21,3P X c c ≤==2. 设随机变量X 和Y 有相同的概率分布：1010.250.50.25-⎛⎫⎪⎝⎭，并且满足条件{}10==XY P ，则{}P X Y =等于 ( )A .0B .0.25C .0.5D .1解答：{}10==XY P ，则有显然，{}0P X Y ==3. 对任意随机变量X 和Y ，以下选项正确的是 ( )A .EY EX YX E +=+)( B .DY DX Y X D +=+)( C .EXEY XY E =)( D .DXDY XY D =)(解答：由方差和期望的性质，简单的到A.4. 设n X X ,,1 为总体),(2σμN 的样本，令 212)(1X XY n i i-=∑=σ，则Y ～ ( ) A.)(2n χ B .2(,)N μσ C .)1(2-n χ D .),(2nN σμ同填空10，选c.5. 在假设检验中，设0H 为原假设，犯第一类错误的情况为 ( )A . 0H 为真，接受0HB . 0H 不真，接受0HC . 0H 为真，拒绝0HD . 0H 不真，拒绝0H 解答：记忆类型题，选择B.三、计算题（共 5 小题，每题 8 分，共计 40 分）1. 设A ,B 两厂产品次品率分别为1％和2％，若已知两厂产品分别占总数的60％和40％,现从中任取一件,发现是次品，求此次品是A 厂生产的概率. 解答：设C 表示在产品中任取一件发现次品的概率，由叶贝斯公式得：(/)()3(/)(/)()(/)()7P C A P A P A C P C A P A P C B P B ==+答：略.2. 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，求对X 进行三次独立观测中，至少两次的观测值大于3的概率. 解答：b(3,)X p ，531233p dx ==⎰.(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=2234(2)p -p 9P X C ==（1）=33038(3)(1)27P X C p p ==-=20(2)27P X ≥= 答:略3．设随机向量),(Y X 的联合概率密度2,01,0(,)0y Axe x y f x y else-⎧≤≤≤≤+∞=⎨⎩求：（1）A ；（2）{}Y X P ≤；（3）),(Y X 的联合分布函数. 解答：（1）由(,)1f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰，得4A =(2){}126(,)1X P X Y f x y dydx e≤==-⎰⎰（3）0;0,0(,)x y F X Y <<⎧⎪=⎨⎪⎩4. 已知),(Y X 的联合分布列X Y 0 1/3 1-1 0 1/12 1/3 求（1）EX ；(2)DY ；（3）EXY . 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0解答：5=()12i i E X x p x =∑13()36i i D Y y p y ==∑13 (36)E X Y ==-5. 设总体X 的概率密度⎩⎨⎧<<+=elsex x x f 0,10,)1()(θθ其中1->θ为未知参数，n x x ,,1 为总体的一个样本，求θ的最大似然估计值. 解答：第一步：构造似然函数， i i (1),01(,)(,)0,n x x L x f x else θθθθ⎧+<<⎪==⎨⎪⎩∏∏第二步：对数似然函数为i ln(1)ln ,01ln (,)ln (,)0,n x x L x f x else θθθθ⎧++<<==⎨⎩∑∏ 第三步：对对数似然函数求导，并都只为0，求解得到估计值inˆ1ln x θ=--∑答：略四、应用题（共 3 小题，每题 8 分，共计 24 分）1. 假设生产线上组装每件成品的时间服从指数分布；统计资料表明该生产线每件成品的组装时间平均为10分钟；各件产品的组装时间互相独立.试利用中心极限定理求组装100件成品需要15到20小时的概率.)9987.0)3(;9772.0)2(;8413.0)1(;5.0)0((=Φ=Φ=Φ=Φ解答：生产线上组装每件成品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间平均为10分钟，得到10,100.EX DX ==求组装100件成品需要15到20小时的概率,由中心及限定理有，(9001001200)(1()2)P X P x <<=-<Φ<(1)(2)1=Φ+Φ-0.8185=答：略2. 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包装的袋装糖重量为随机变量，它服从正态分布.当机器正常时，其均值为0.5千克，标准差为0.015千克.某日开工后为检查包装机是否正常，随机抽取它包装的糖9袋，称得其平均重量为0.511千克，问：能否认为葡萄糖平均每袋净重与额度标准0.5千克无显著变化)05.0(=α.)3060.2)8(;96.1(025.0025.0==t z 解答： 设0:H X μ=,1:H X μ≠.由于知道方差和期望，所以用U 检验，构造检验统计量2/X U nμσ-=用两边检验有：当22()/X x nαμσ-<Φ时，取0:H X μ=，反之取1:H X μ≠经计算可以知道取0:H X μ=.概率论与数理统计 B 卷 第 11 页 共 11 页3. 假设关于某设备的使用年限X 和所支出的维修费用Y ，有如下统计资料：(1)求Y 对X 的线性回归方程; (2)检验回归方程的显著性（)05.0=α.（44.17)3,1(;13.10)3,1(025.005.0==F F ;811.0)4(;8783.0)3(05.005.0==r r ；)182.3)3(025.0=t五、证明题（共 1小题，每题 6 分，共计 6 分）X 为随机变量，服从参数为λ的泊松分布.已知在进店的顾客中，每人购物的概率为p ，且每人购物与否互相独立.证明：每天购物人数Y 服从参数为p λ的泊松分布.。
2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100分考试所需数据： 0.05(19)1,7291t = 0.05(20)1,7247t = 一、填空题： （4小题,每空2分，共10分）1、袋中有20个球，其中12只红球，8只黑球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回。
则第2人取得红球的概率为 。
2、若1，2，3，4，5号运动员随机的排成一排，则1号运动员站在中间的概率为 .3、 设随机变量X 与Y 互相独立，且()()2~,2/1~Exp Y Exp X 则随机变量Y 的概率密度函数为()f x = ；(232)E X Y --= .4、设随机变量()()22~,~m n Y X χχ，且X ，Y 相互独立，则随机变量mY nX F //=服从 分布.二、单项选择题：（5小题，每题2分，共10分）1、同时抛掷2枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率( ). A 0.5 B 0.25 C 0.125 D 0.3752、任何一个连续型的随机变量的概率密度()x ϕ一定满足 ( ). A 0()1x ϕ≤≤ B 在定义域内单调不减 C ()0x dx ϕ+∞-∞=⎰ D ()0x ϕ≥3、 已知~()X x ϕ,21x x ϕπ-（）=[(1+)],则2Y X = 概率密度为( ). A 21(1)y π+ B 22(4)y π+ C 21(1/4)y π+ D 21(14)y π+ 4、随机变量X 与Y 满足()()()D X Y D X D Y +=-,则必有( ) .A X 与Y 独立B X 与Y 不相关C DX=0D DX DY 0⋅=5、在假设检验问题中，检验水平α的意义是 （ ）. A 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 原假设0H 成立，经检验不能被拒绝的概率C 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率D 原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率.三、（14分）20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为多少？四、（14分）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 与Y 的分布律为试求：（1）二维随机变量(,)X Y 的分布律；（2）随机变量Y X Z +=的分布律.专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（14分）设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为21,01,0(,)20ye x yf x y -⎧≤≤>⎪=⎨⎪⎩，其它 （1）求(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘概率密度；（2）问X 是Y 否相互独立，为什么？六、（14分）设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它试求：（1）E(X)，D(2X-3) ；（3）P{0<X<1.5}七、（14分）设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得样本值1231,2,1x x x ===，试求θ的矩估计值和最大似然估计值.八、（10分）下面列出的是某工厂随便选取的20只部件的装配时间（min ）：9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7设装配时间的总体服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ均未知，是否可以认为装配时间的均值显著大于10（取0.05α=）？0.5099s =2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2答案一、填空题1)3/5; 2)1/5; 3)()()21,020,xe xf xelse-⎧≥⎪=⎨⎪⎩;-7; 4)自由度为m,n的F分布.二、选择题1)B; 2)C; 3)D; 4)B; 5)A.三解、18171829142019201910p=⨯+⨯=分五、解()()1211,01,0;720,0,xX Yxe xf x f yelseelse-⎧<<⎧≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩分独立,因为()()(),14X Yf x f y f x y=分六、解()()()4294;2310;0 1.5143916E X D X P x=-=<<=分分分七解、22122131322E X分；所以()332分，E Xθ-=又()^453分；E X X==所以的矩估计为566＝分θ.由521L，则ln5ln ln2ln17L分；令lnd Ld，得596分θ=，所以的最大似然估计为5106＝分θ八解、由题可得0010:10;:102H H分；0.05,20,119,10.24n n x分；；原假设的拒绝域为016/xt nn分；0 1.7541/0.5099/20n0.05(19)1,7291t=，所以在显著性水平为0.05的情况下拒绝原假设10分.。
概率论与数理统计作业及解答
概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABACBC =或;ABACBC =或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i ij ij k i i i i ji j kP A P A P A A P AA A P A -===<<<=-+++-∑∑∑☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+ 当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+==当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯= (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -===☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X0,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇 解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2= 402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭0.1262.=其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.523200111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee -⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0,0.Y y y f y y ->=≤⎩ 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y =''21122()(())|()|(())|()|,0.yY X X f y f x y x y f x y x y y -=+=>6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X xf x dy x x ==-<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y yy Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min(X , Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1xx x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩. min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-(3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.min{,1}111,0,,01x x e e x e---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩. 1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π).(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y ey f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-=(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为0.45由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为j (,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥3P ⎛=≥==-⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<(20)(19.520.5)P X P X =<<0.16P ⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32)的一个样本, 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑.标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iXN i =由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量t 分布, 并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义,22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.由t 分布的定义,(3),T t ===因此c =自由度为3.★3. 设112,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本, 212,,,nY Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本相互独立, 2212,S S 分别为两个样本方差, 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-. 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得()2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭221.ES σ= 类似地222.ES σ=222112212(1)(1)2pn S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n n ES ES n n n n σ--=+=+-+-。
北交《概率论与数理统计》在线作业二【标准答案】
北交《概率论与数理统计》在线作业二-0005试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 30 道试题,共 75 分)1.设X与Y是相互独立的两个随机变量，X的分布律为：X=0时，P=0.4；X=1时，P=0.6。
Y的分布律为：Y=0时，P=0.4，Y=1时，P=0.6。
则必有（）A.X=YB.P{X=Y}=0.52C.P{X=Y}=1D.P{X#Y}=0答案:B2.对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=EX*EY,则（）。
A.D(XY)=DX*DYB.D(X+Y)=DX+DYC.X和Y相互独立D.X和Y互不相容答案:B3.若随机变量X与Y不独立,则下面式子一定正确的是（）A.E(XY)＝EX*EYB.D(X＋Y)＝DX＋DYC.Cov(X,Y)＝0D.E(X＋Y)=EX＋EY答案:D4.一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上，试求其恰好按先后顺序排放的概率( )．A.2/10!B.1/10!C.4/10!D.2/9!答案:A5.相继掷硬币两次，则样本空间为A.Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）,（正面,正面）,（反面,反面）}B.Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）}C.{（正面,反面）,（反面,正面）,（正面,正面）}D.{（反面,正面）,（正面,正面）}答案:A6.相继掷硬币两次，则事件A＝{两次出现同一面}应该是A.Ω＝{（正面,反面）,（正面,正面）}B.Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）}C.{（反面,反面）,（正面,正面）}D.{（反面,正面）,（正面,正面）}答案:C7.甲乙两人投篮，命中率分别为0.7，0.6，每人投三次，则甲比乙进球数多的概率是A.0.569B.0.856C.0.436D.0.683答案:C8.在1，2，3，4，5这5个数码中，每次取一个数码，不放回，连续取两次，求第1次取到偶数的概率（）A.3/5B.2/5C.3/4D.1/4答案:B9.炮弹爆炸时产生大、中、小三块弹片。
概率论与数理统计 作业
10、设甲船在 24 小时内随机到达码头，并停留 2 小时；乙船也在 24 小时内独立地随机到达，并停 留 1 小时，试求：（1）甲船先到达的概率 p1;（2）两船相遇的概率 P2. 解：（1）
p1 = P {X < Y } = 0.5
（2）阴影部分的面积除以总面积
p2 = P {X < Y < X + 2} ∪ P {Y < X < Y + 1} = P {X − 1 < Y < X + 2}
f (X, Y ) = 0, 其他
试求：（1）常数 C ;（2）P {0 < x ≤ 1/2} ; （3）P {X = Y 2};
解：（1）
（2）
1
=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
f (X, Y
)dxdy
=
∫1
−1
∫ 1−x2 dx
0
C (x2
+
y)dy
=
∫1
−1
C [x2 y
+
y2 2
]10−x2
dx
=
解：（1）p1
=
4 16
=
1 4
（2）p2
=
10 16
=
5 8
12、设二维随机变量 (X, Y ) ∼ N (0, 1; 0, 1; 0),，计算概率 P {X2 + Y 2 < r}, r > 0
解：
φ(x, y) =
1 e , −
x2
+y2 2
2π
∫ 2π
∫
√ r
P {X2 + Y 2 < r} =
2015年XD-概率论与数理统计及答案
西安电子科技大学网络与继续教育学院2015学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2015年4月3日公布，2015年5月9日前在线提交；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同、拷贝均按零分计。
一、选择题（每小题2.5分，共25分） 1、设A 、B 、C 是随机事件，则（ A ）。
A ．()A B B A B ?=- B ．()A B B A -?C ．()()A B C A B C -=-D ．A B AB AB =-2、设甲、乙两人进行象棋比赛，A 表示事件“甲胜乙负”，则A 表示事件（ D ）。
A ．“甲负乙胜” B ．“甲乙平局” C ．“甲负” D ．“甲负或平局”3、设事件A 与事件B 互不相容，则（ D ）。
A ．()0P AB = B ．()()()P AB P A P B =C ．()1()P A P B =-D ．()1P A B = 4、设A B 、互不相容，且()0,()0P A P B >>，则（ A ）。
A ．()0P BA >B ．()()P A B P A =C ．()0P A B =D ．()()()P AB P A P B =5、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ B ）。
A ．21(), 1F x x x =-∞<<+∞+ B ．11()arctan , 2F x x x π=+-∞<<+∞C ．1(1), 0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩D ．()() ()xF x f x dx x -∞=-∞<<+∞⎰，其中()1f x dx +∞-∞=⎰6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ A ）。
A ．2(2)1Φ- B ．(4)(2)ΦΦ- C ．(4)(2)ΦΦ--- D ．(2)(4)ΦΦ-7、设随机变量~(1,1)X N ，其分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，则（ C ）。
概率论与数理统计_西安科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率论与数理统计_西安科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一次抽样中，如果小概率事件发生了，则认为抽样过程不正常.（）参考答案:错误2.假设检验方法中所提出的两个假设，必须都是不可证明的.（）参考答案:正确3.随机试验不属于统计推断方法. （）参考答案:正确4.设总体的一个样本观察值为0, 0,1,1, 0,1，则总体均值的矩估计值为（）参考答案:0.55.对于同一个参数，最大似然估计和矩估计的结果总是相同的.（）参考答案:错误6.在假设检验中，一般情况下两类错误都可能发生.（）参考答案:正确7.随机变量的方差是它的二阶中心矩.（）参考答案:正确8.下列关于F分布的描述，正确的是（）参考答案:F分布可由两个相互独立的卡方随机变量构造而成9.简单随机样本除了要求与总体具有相同的分布之外，样品之间还要线性无关.（）参考答案:错误10.关于单侧检验，下列说法正确的是（）参考答案:随意调换原假设和备择假设，可能会导致相互矛盾的检验结果11.研究小学五年级男生身高发育情况，其总体为全国所有小学五年级的男生.（）参考答案:错误12.某人连续五天在同一时间同一地点记录通过的公交车数量，记录结果分别为{15,17,14,18,20}，这些数值被称为样本观测值.（）参考答案:正确13.当样本容量不变时，犯第一类错误的概率减小，犯第二类错误的概率将（）参考答案:增大14.假设检验方法与下列哪个方法的思想是类似的（）参考答案:反证法15.用矩估计方法估计参数时，无论选择几阶矩进行估计，同一个参数的估计结果都是一样的.（）参考答案:错误16.关于t 分布的描述，下列说法错误的是（）.参考答案:t 分布的曲线形状与卡方分布曲线很相似17.使用卡方拟合检验法对总体分布是否为标准正态分布进行检验时，若最终的分组数为10，则检验统计量对应的自由度为（）参考答案:918.使用卡方拟合检验法对总体分布进行检验时，若假设的总体分布中含有未知参数，则应先使用（）对参数进行估计。
成人教育 《概率论与数理统计》期末考试复习题及参考答案
概率论与数理统计练习题A一、填空题1、已知事件A 与B 相互独立，并且3.0)(,4.0)(==B P A P ，则=)(B A P ．2．在书架上任意放上20本不同的书，其中指定的两本书放在首未的概率是 ．3．设随机变量X ～),2(2σN ，且{}3.042=<<X P ，则{}=<0X P ．4．若二维随机变量（X , Y ）的区域{}222|),(R y x y x ≤+上服从均匀分布，则（X ，Y ）的密度函数为 。
5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则)(2X E = 。
6．设1X ，2X ，…，n X 为总体),0(~2σN X 的一个样本，则2σ 极大似然估计量为 ．二、单选题1．已知====)(,8.0)|(,6.0)(,5.0)(B A P A B P B P A P （ ）．A 0.5；B 0.6；C 0.7；D 0.8． 2．对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．A ．)()(B P A P - ； B ．)()()(AB P B P A P +-；C ．)()(AB P A P -；D ．)()()(B A P A P A P -+.3．设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张，设事件A 为取到1或2，事件B 为取到1或3，则事件A 与B 是（ ）．A 互不相容；B 互为对立；C 相互独立；D 互相包含．4．设X 的为随机变量，则=-)32(X E （ ）．A )(2X E ；B 3)(4-X E ；C 3)(2+X E ；D 3)(2-XE ． 5.设X ，Y 是两个随机变量，则下列命题正确的是（ ）．A ．X ，Y 不相关⇒X ，Y 不相互独立；B ． X ，Y 相关⇒X ，Y 相互独立；C ．X ，Y 不相关⇒X ，Y 相互独立；D ．X ，Y 相互独立⇒X ，Y 不相关6．设1X ，2X ，…，n X 是总体),(2σμN 的样本，2S 是样本方差，则（ ）．A ．)1(~)1(222--n S n χσ； B ．)(~)1(222n S n χσ-； C ．)1(~)1(22--n t S n σ ；D ．)(~)1(22n t S n σ-.三、计算题1．已知40件产品中有3件次品，现从中随机地取出2件，求其中只有1件次品的概率和至少有1件次品的概率．2．在4重伯努力试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，求在一次试验中事件A 出的概率．3．设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数。
大学概率论与数理统计习题及参考答案
P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是 新球的概率。 解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
10
三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 （1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间： （1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色； （2） 从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色； （3） 从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数； （4） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 （１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间
西工大2020年4月《概率论与数理统计》作业机考参考答案
西工大2020年4月《概率论与数理统计》作业机考试卷总分：100得分:96要答案：wangjiaofudao一、单选题(共35道试题，共70分).{正确答案:C2.{A.{<imgB.(<imgC.(<img /z>D.(<img ，z>正确答案:A3.{正确答案:D4.{正确答案:B5.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有()(X)单调不减(-00)*(+oo)F(x)dx=l(-00)=0(x)=int_(-oo)*(+oo)f(x)dx正确答案：6.考题为选择类试题，每题有四个选择，已知考生知道正确答案的概率为，不知道正确答案的概率为：不知道正确答案时而猜对的概率为1/4,则在他答对时，他确实知道正确答案的概率为()61718正确答案：7.在书架上任意放宜10本不同的书，其中指左的四本书放在一起的概率为()301555正确答案：8.{A・(<imgB.{<img g">C.{<img ">D.{<img g">正确答案：、B中有一个发生：、B都不发生：、B中恰好有两个发生:、B中不多于一个发生正确答案：10.对于任意两个事件A与B,必有P(A-B)=()正确答案：11.在书架上任意放置10本不同的书，其中指左的四本书放在一起的概率为()。
305正确答案:512.{正确答案：13.{A.(<img >B.(<img /z>C・(<img g/z>D. (<img正确答案：・一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为()。
正确答案:•设随机变量X的数学期望存在,则E(E(E(X)))=()(X)(X)(x)"2正确答案:16. {正确答案:・投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）1832D.以上都不对正确答案：18. {A.（＜imgB.（＜img g/?＞C.（＜imgD.{＜img g〃＞正确答案：19•某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是8,其余各位可以是0到9中的任意一个. 则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（）正确答案:A.(<img /z>B.{<img g/z>C.(<img /z>D.{<img /z> 正确答案：21•甲.乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的槪率是()正确答案：.{A.(<imgB.{<img g/z>C.(<img /z>D.{<img g/z>23.{A.(<img pg/?>正确答案:B.(<img g/?>C・{<img pg〃>D. (<img g，z>正确答案：24.{A.{<img pg，?>B.(<img g〃>C・(<img g〃>D・(<img pg，?>正确答案：25•从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字，则这两个数字不相同的概率为（）22525D.以上都不对正确答案:A.(<img pg/?>B.(<img g/?>C・{<img pg〃>D・(<img pg，?>正确答案：.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y),则F(X,+8)=()O (x)(y)正确答案：28.{正确答案：29.{A.{<img g〃>B.(<img g〃>C・(<img g/z>D. {<img g〃>30.{A.{<img g">B.(<img ">C.(<img g">D.{<img g"> 正确答案：31.{A. {<img g">B・(<img jpg"〉C.(<img g">D.(<img g"> 正确答案：32.{A・{<img pg"> B・{<img pg">C.{<img ">D.(<img g〃>33.{A.(<img 〃>B.{<img g/z>C.(<img /z>D.{<img ，z>正确答案：.一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸岀一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为()以上都不对正确答案：35. {A.(<img /z>B.{<img /z>C.(<img /z>D.{<img g〃>正确答案：二、判断题(共15道试题，共30分)1. {A.错误B.正确正确答案：2.{A.错误B.正确正确答案：3.{A.错误B.正确正确答案：4.{A.错误B.正确正确答案:5.(A.错误5.(B.正确正确答案：6.{A.错误B.正确正确答案：7.{A.错误B.正确正确答案：8.{扎错误B.正确正确答案:9.{A.错误B.正确正确答案:10.某人投篮，命中率为，现独立投五次，则最多命中两次的概率为。
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学习中心/函授站_姓 名 学 号西安电子科技大学网络与继续教育学院2018学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计；3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。
一、选择题（每题3分，共30分）1．设A 、B 、C 是随机事件，且AB C ⊂，则（ ）。
A ．C AB ⊂ B ．AC ⊂且B C ⊂C ．C AB ⊂D ．A C ⊂或B C ⊂2．设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。
从盒子中任取2件，则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为（ ）。
A ．310 B ．510 C ．710 D ．153．设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（ ）。
A ．()F x 一定连续B ．()F x 一定右连续C ．()F x 是单调不增的D ．()F x 一定左连续4．设连续型随机变量X 的概率密度为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任何的实数a ，有（ ）。
A ．0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰ B ．01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C ．()()F a F a -=D ．()2()1F a F a -=- 5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为226(,), , x y f x y Aex y +-=-∞<<+∞-∞<<+∞则常数A =（ ）。
A ．12π B ．112π C ．124πD ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则()P X Y <=（ ）。
A.15 B.13 C.25 D.457．有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人从中随机地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）。
A ．6B ．12C ．7.8D ．9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为, 01()0,a bx x f x +<<⎧=⎨⎩其他 又0.5EX =，则DX =（ ）。
A.12 B. 13 C. 14 D. 1129．设随机变量X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则（ ）。
A.X 与Y 相互独立 B. cov(,)0X Y = C.0 DY = D.0DX DY ⋅=10．设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX ，11ni i X X n ==∑，则下列估计量是2σ的无偏估计的是（ ）。
A.∑-=-112)(1n i i X X n B.∑=--n i i X X n 12)(11 C.∑-=--112)(11n i i X X n D.∑=-n i i X X n 12)(1 二、填空题（每题3分共30分）1．设()0.5,()0.6,()0.8P A P B P B A ===，则()P A B = 。
2．设A 、B 相互独立，且A 、B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与 B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = 。
3. 设离散型随机变量X 的分布律为1()(1), 1,2,k P X k k θθ-==-=,其中01θ<<。
若5(2)9P X ≤=，则(3)P X == 。
4. 设随机变量X 的概率密度为2() ()x xf x Ce x -+=-∞<<+∞，则C = 。
5. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为6, 01(,)0, x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他 则(1)P X Y +≤= 。
6. 设X 、Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则 (max{,}0)P X Y ≥= 。
7. 设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，则2()XE Xe = 。
8．设随机变量(2)X P ，若随机变量32Z X =-，则EZ = 。
9．设126,,,X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，设2123()Y X X X =++2456()X X X +++，若随机变量cY 服从2χ分布，则常数c = 。
10．设12,,,m X X X 为来自二项分布总体~(,)X B n p 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，若统计量2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = 。
三、解答题（每题10分共40分）1．某工厂有4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，各车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂产品中任取一件，求 （1）取出的产品是次品的概率；（2）若取出的产品是次品，它是一车间生产的概率。
2．设连续型随机变量X 的分布函数为0, 1 ()ln , 11, x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求(2)P X <，(03)P X <≤和5(2)2P X <<； （2）求X 的概率密度()f x 。
3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1, , 01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其他 试求：（1）条件概率密度()X Y f x y ，()Y X f y x ；（2）1(0)2P X Y >> 。
4．设二维连续型随机变量(,)X Y 在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U X Y =+的方差。
西安电子科技大学网络与继续教育学院2018学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）一、选择题（5/6/8/9/10题无答案，请自行答题，请勿空题） 1 A 2 C 3 B 4 B 7 C5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为226(,), , x y f x y Aex y +-=-∞<<+∞-∞<<+∞则常数A =（ ）。
A ．12π B ．112π C ．124πD ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则()P X Y <=（ ）。
A.15 B.13 C.25 D.458. 设连续型随机变量X 的概率密度为, 01()0,a bx x f x +<<⎧=⎨⎩其他 又0.5EX =，则DX =（ ）。
A.12 B. 13 C. 14 D. 1129．设随机变量X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则（ ）。
A.X 与Y 相互独立 B. cov(,)0X Y = C.0 DY = D.0DX DY ⋅=10．设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX ，11ni i X X n ==∑，则下列估计量是2σ的无偏估计的是（ ）。
A.∑-=-112)(1n i i X X n B.∑=--n i i X X n 12)(11C.∑-=--112)(11n i i X X n D.∑=-n i i X X n 12)(1 二、填空题（3/4/7/8/9/10题无答案，请自行答题，请勿空题）1、0.92、235、 146、573. 设离散型随机变量X 的分布律为1()(1), 1,2,k P X k k θθ-==-=,其中01θ<<。
若5(2)9P X ≤=，则(3)P X == 。
4. 设随机变量X 的概率密度为2() ()xxf x Ce x -+=-∞<<+∞，则C = 。
7. 设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，则2()X E Xe = 。
8．设随机变量(2)X P ，若随机变量32Z X =-，则EZ = 。
9．设126,,,X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，设2123()Y X X X =++2456()X X X +++，若随机变量cY 服从2χ分布，则常数c = 。
10．设12,,,m X X X 为来自二项分布总体~(,)X B n p 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，若统计量2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = 。
三、解答题1、解 设,1,2,3,4i B i =表示“取出的产品是第i 车间生产的”，A 表示“取出的产品是次品”，则115()100P B =，220()100P B =，330()100P B =，435()100P B = 1()0.05P A B =，2()0.04P A B =，3()0.03P A B =，4()0.02P A B =（1）由全概率公式，得41()()()i i i P A P B P A B ==∑152030350.050.040.030.02100100100100=⨯+⨯+⨯+⨯ 0.0315=（2）由Bayes 公式，得15111001()()0.05()0.238()0.0315P B P A B P B A P A ⨯===2、3、4、解：。