西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案
试 题 二 （考试时间：120分钟）一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则31−A= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，Tb )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2340A A E −+=，则1)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=5．若二次型31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。
8．设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1201A 则=kA 。
（k 为正整数）。
二、（10分）计算行列式：11223000000000000011111n n a a a a a D a a −−−=−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=+−+=+−+32343242432143214321x x x x x x x x x x x x λ讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T)2,0,4,1(1=α，T)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，Tb )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。
西科大网络教育线性代数指导书练习题参考答案
西科大网络教育《线性代数》指导书练习题参考答案1、计算排列3，2，1，4，5和3，4，1，2，5的逆序数，并说明奇偶性。
答：3＞2，3＞1，2＞1，所以3，2，1，4，5逆序数为3，是奇数；同理，3＞1，3＞2，4＞1，4＞2，所以3，4，1，2，5逆序数为4 ，是偶数。
2、由行列式性质2（P26）知a 11 a12 a13 a11 a12 a1310a21 10a2210a23＝10a21a22a23＝10×2＝20a31 a32a33a31a32a333、答： 1 -2 5 0 1 -2 5 0 1 -2 5 0 1 -2 5 0D= -2 3 -8 -1 = 0 -1 2 -1 = 0 -1 2 -1 = 0 -1 2 -13 1 -24 0 7 -17 4 0 0 -3 -3 0 0 -3 -31 42 -5 0 6 -3 -5 0 0 9 -11 0 0 0 -20=1×(-1)×(-3)×(-20)=60（用行列式性质化上三角行列式）4、答： 1 0 -1 2 0 1 0 1 2D= 1 2 0 ,M11= 3 2 =4,M12= -1 2 =2,M13= -1 3 =5-1 3 2 1A11=（-1）1+1M11=4，A12=（-1）1+2M12=-2，A13=（-1）1+3M13=51 1 1 1 1 4 16 645、答：D4= 4 3 7 -5 1 3 9 2716 9 49 25 = 1 7 49 343 =（-5-4）（-5-3）（-5-7）（7-4）64 27 343 -125 1 -5 25 -125 （7-3）（3-4）=10368P426、答： 1 2 -1 2 1 2 -1 2 1 2 -1 -8 1 2 -8D= 3 0 1 5 = 3 0 1 5 =3 0 1 15 =（-1）4+3（-1） 3 0 15 1-2 0 3 0 -4 1 1 0 -4 1 11 0–4 11-2 -4 1 6 0 0 –1 10 0 0 -1 01 2 -13 2 -13 2 -13= 3 0 0 =3×（-1）2+1 =-3 =3×2×（-15）=900 -4 11 -4 11 0 -15（尽可能出现较多0，注意行列变换时，要在前自加“-”号）7、答：0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0D= 1 0 1 1 = 3 0 1 1 =3 1 0 1 1 =3 1 -1 0 01 1 0 1 3 1 0 1 1 1 0 1 1 0 -1 01 1 1 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 -1=3×1×（-1）×（-1）×（-1）=-38、答：x+y-2z=-4 1 1 -2 1 0 0 -7 –31 -7 -31 5x-2y-7z=-7 A= 5 -2 -7 = 5 -7 –31 = = =14 2x-5y-3z=1 2 -5 -3 2 -7 -13 -7 –13 0 -2-4 1 -2 0 -19 -14 -19 -14 19 14 19 14A 1 = -7 -2 -7 = 0 -37 -28 = = = =14 1 -5 -3 1 -5 -3 -37 -28 37 28 -1 01 -4 -2 1 -2 -2 1 -2 -2 5 -7 5 -7A 2 = 5 -7 -7 = 5 0 -7 = 5 0 -7 =(-2)(-1)1+2=2 =-14 2 1 -3 2 4 -3 4 0 -7 4 -7 -1 01 1 -4 1 0 -4 1 0 -4 1 -4 1 -4A 3 = 5 -2 -7 = 5 -7 -7 = 5 -7 -7 =(-7)(-1)2+2=-7 =28 2 -5 1 2 -7 1 -3 0 8 -3 8 -3 0 由克莱姆法则x =A A 1 =1, y =A A 2 =-1, z = AA1 =2x=1∴线性方程组解为 y=-1 z=29、答：设f(x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠0),由f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=4,f(-1)=1 0+0+0+d=0 d=0得： a+b+c+d=-1 a+b+c=-1 ① 8a+4b+2c+d=4 ∴ 8a+4b+2c=4 ② ①+③得2b=0∴b=0 -a+b-c+d=1 -a+b-c=1 ③a+c=-1 a=1∴ 8a+2c=4 ∴ c=-2 ∴f(x)=x 3-2x10、答： 1 a 1 a 12…a 1n-11 a2 a 22…a 2n-1范得蒙行列式 ∏(a i -a j )≠0系数行列式A= …………… 1≤j ≤i ≤n1 a n a n 2…a n n-1∵ a i ≠a j (i ≠j;i,j=1,2,…,n)1 a 1 … a 1n-1 1 1 a 12 … a 1n-1A 1= 1 a 2 … a 2n-1 =A, A 2= 1 1 a 22 … a 2n-1=0, 同理，A 3=A 4=…=A n =0…………… ………………1 a n … a n n-1 1 1 a n2 … a n n-1∴由克莱姆法则x 1=A A 1=AA =1,x 2 =A A 2= 0=x 3=…=x n =0 ∴线性性方程组解为 x 1=1x 2=0 … x n =02 1 -1 -43 3 2 1 -1 -4 3 -311、答：由 -3 1 1 -2x= 1 -1 -3 得 -3 -1 1 - 1 -1 -3 =2x 6 –2 2 3 -1 1∴2x= -4 0 4 ∴x= -2 0 2 1 2 3 1 2 0 1×1+2×0+3×3 4 -1 10 4 -1 12 、答：AB= -2 1 2 0 1 1 = 4 -3 -1 = 4 –3 -1 3 0 -11 -1 3 -1 123 2 7 6 8 13、答：AB= 1 -2 1 3 0 -1 1 = -5 3 5 3 2 2 1 2 2 -5 2 -5(AB)T = 7 3 B T A T =(AB)T= 7 3 6 5 6 5 8 3 8 3 a b 2 -1 0 1 1 2 a=1,b=2 14、答：由 = = 得 c d b -c 1 0 -c b c=-c,d=b∴a=1,b=2,c=0,d=215、答：∵A 为任一方阵 ∴（A+A T ）T =A T +（A T ）T =A T +A=A+A T（AA T ）T =（A T ）T A T =AA T （矩阵性质）∴A+A T ，AA T均为对称阵16、答：∵n 阶方阵可逆∴ A ≠0，且AA -1=I n =1 ∴ A -1A = n I ∴A *AA=I n∴（A *）-1=A A[同时可证明（A *）-1=（A -1）*]17、答： 3 -2 | 0 05 -3 | 0 0 A 1 03 -2A= --------|-------- =A1=0 0 |3 4 0 A 25 -30 0 | 1 2A 1*=-3 2 A 1 =1∴A 1 = 11A A*=A 1*= -3 2-5 3, -5 33 42 -42 -4 1 -2A 2 = 1 2 A 2*= -1 3 A 2 =2, A 2-1=21 -1 3 = 21-23A 1-10 -3 2 0 0∴A -1= P 90 –5 3 0 00 A 20 0 1 -20 0 21-2318、答：方法1：P80方法方法2： 1 –4 -3|1 0 0 1 -4 -3 1 0 0 1 –5 -3|0 1 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 6 4|0 0 1 0 0 1 -1 2 11 -4 0 -2 63 1 0 0|2 2 3 0 1 0 1 -1 0 0 1 0|1 –1 0 0 0 1 -1 2 1 0 0 1|-1 2 1 2 2 3∴A -1= 1 -1 0-1 2 1P107-108，注意：用初等变换方法求逆矩阵时只用行初等或只用列初等变换，不能行列初等变换混用，即一直用行初等或列初等变换使（A ，I ） （I ，A -1）19、答：AX=B ，若A -1存在，则A -1AX=A -1B 即X=A -1B 1 1 -1 1 1 -1|1 0 0 1 1 -1 1 0 0A= 0 2 2 0 2 2 |0 1 0 0 2 2 0 1 0 1 -1 0 , 1 -1 0|0 0 1 0 –2 1 -1 0 11 1 -1 1 0 0 1 1 0 32 31 31 0 2 2 0 1 0 0 2 0 32 31 32-0 0 3 -1 1 1 0 0 3 -1 1 11 1 0 32 31 31 1 0 0|31 61 321 0 0 31 61 31- 0 1 1 |31 6131-0 0 1 31- 31 31 0 0 1|31- 31 3131 61 32 31 61 321 -1 ∴A -1= 31 61 31- ∴X=A -1B= 31 61 31- 1 1 3131- 31- 31- 31 312 1=35 21 61- 21-3211 0 2|1 0 0 1 02 1 0 020、答：（A ，I ）= 0 3 4|0 1 0 0 3 4 0 1 0 -1 1 0|0 0 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 12321- 23 1 0 0| -2 1 -3 -2 1 -30 1 0| -2 1 -2 ∴A -1= -2 1 -20 0 1|23 21- 23 2321- 23此题也可只用么列初等变换使 A II A -1用A -1=A1 A *求也方便。
线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大
线性代数期末试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）设12243311t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________.解：3-.若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾， 故 有||0=A . 122||0811(8)77117(3)077t t t -==-=-⋅+⋅=+-A 行，所以 3t =-.二、选择题（每小题3分）（4）设111122232333,,a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，则三条直线1110a x b y c ++=2220a x b y c ++= （其中220,1,2,3i i a b i +≠=）3330a x b y c ++=交于一点的充要条件是（A ）123,,ααα线性相关； （B ）123,,ααα线性无关；（C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα； （D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确.11221233(,)a b a b a b ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A αα，111222123333(,,)a b c a b c a b c -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关，12,αα线性无关，故选（D ）.仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对.当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对.七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）（1）设B 是秩为2的54⨯的矩阵，T T12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.解：因秩()2r =B ，故解空间的维数为422-=. 又 12,αα线性无关，故12,αα是解空间的基. 取 T11(1,1,2,3)==βα，2122111(,)(,)=-αββαβββT T 1(1,1,4,1)(1,1,2,3)3=---T 4210(,,,2)333=--，故T T 122,3),2,1,5,3)==--εε 即是所求的一个标准正交基.（2）已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量.（i ）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值；（ii ）问A 是否相似于对角阵？说明理由. 解：（i ）由2121()5310.121a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=---= ⎪⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭I A ξλλλλ即 2120,530,120,a b -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪---=⎩λλλ解得 3,0,1a b =-==-λ.（ii ）由3212212533,||533(1),102102---⎛⎫⎪=--=-+-=+ ⎪ ⎪--+⎝⎭A I A λλλλλ 知1=-λ是A 的三重特征值.但 秩312()5232101r r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭I A ，从而1=-λ对应的线性无关特征向量只有一个，故A 不能相似于对角阵.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆； （2）求1-AB .解 （1）因||0≠A 及||||0=-≠B A ，故B 可逆.（2）记ij E 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 行对换后所得到的初等矩阵，则ij =B E A . 因而 11111()ij ij ij ij -----====ABA E A AA E E E .线性代数期末试卷（二）试卷（二）一、填空题（每小题3分）（5）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t =-==-ααα的秩为2，则t =__________. 解： 3 .13212111211045204522000422t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭行ααα121104520030t -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭行 由向量组123,,ααα秩为2，知3t =.三、（6）（本题满分5分）已知111011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2-=A AB I ，其中I 是三阶单位矩阵，求矩阵B .解：由2()-=-=A AB A A B I ，及||10=-≠A ，知1--=A B A ，即 1-=-B A A ，又 1112011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .从而 111112021011011000001001000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .四、（本题满分8分）λ取可值时，方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪=-=-⎩λλ无解，有唯一解或有无究多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.解法1 原方程组的系数行列式2211154(1)(54),455-∆=-=--=-+-λλλλλλ 故当1≠λ，且45≠-λ时，方程组有唯一解. 当1=λ原方程组为12312312321,2,455 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：211103331112111245510999---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111201110000-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].当45=-λ时，原方程组的同解方程组为 12312312310455,45510,4551,x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：1045510455455104551045510009----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 由此可知当45=-λ时，原方程组无解.解法2 对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：2112111122103455165506--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭λλλλλλ211210354009-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ.于是，当45=-λ时，原方程组无解，当1≠λ且45≠-λ时，原方程组有唯一解，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].线性代数期末试卷（三）一、填空题（每小题3分）（4）若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是__________.二次型的矩阵为210112012t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1阶顺序主子式为1, 2阶顺序主子式为2110,311=>阶顺序主子式为21021111022201122tt tt =2202t -=>，故220t ->，即t <<二、选择题（每小题3分）（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A ）122331,,++-αααααα （B ）1223123,,2++++ααααααα （C ）1223212,2,3+++αααααα（D ）123123123,2322,355++-++-ααααααααα解：（C ）正确对于（A ）向量组：考虑线性式112223331()()()k k k ++++-=αααααα0即 112233123(,,)k k k ⎛⎫ ⎪++-= ⎪ ⎪⎝⎭αααααα0112323101()110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ααα0因为123,,ααα线性无关，所以123101110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0.因为101110011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故上式有非零解，故（A ）向量组线性相关，故（A ）不正确. 因此向量组是否线性无关由对应的矩阵是否可逆而定，对于（B ）有1223123(,,2)++++=ααααααα123101(,,)112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααα，因为101112011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故（B ）向量组线性相关. 对于（C ）有122321(2,2,3)+++=αααααα 123101(,,)220033⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ααα，对于（D ）有123123123(,2322,355)++-++-=ααααααααα 123123(,,)1351225⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ααα. 因为（D ）中矩阵1231351225⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，而（C ）中矩阵101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是可逆阵，故（C ）正确. （4）设,A B 为同阶可逆矩阵，则（A ）=AB BA ；（B ）存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ； （C ）存在可逆矩阵C ，使T=C AC B ； （D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使=PAQ B . 解：（D ）正确因为,A B 是同阶可逆矩阵，不妨设阶数为n ，于是它们都与n 阶单位阵E 等价，故A 与B 等价. （A ）说的是,A B 可交换； （B ）说的是,A B 相似 （C ）说的是,A B 合同显然,A B 同阶且可逆不能保证上述三种结论成立. （D ）说的恰是,A B 等价，故选（D ）.九、（本题满分6分）设A 为n 除非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 T *T 0,,||b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭IA P Q AA ααα 其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题3
习题三（递推关系）1．解下列递推关系：（1）120171000,1n n n a a a a a ---+=⎧⎨==⎩ （2）12016900,1n n n a a a a a --++=⎧⎨==⎩ （3）20100,2n n a a a a -+=⎧⎨==⎩ （4）120121n n n a a a a a --=-⎧⎨==⎩ （5）123012990,1,2n n n n a a a a a a a ---=+-⎧⎨===⎩ 解：（1）对应的特征方程为：27100x x -+=，解得122,5x x ==。
所以齐次递推方程的通解为：25n n n a A B =+，代入初始条件，得：00a A B =+=，1251a A B =+=，解得：11,33A B =-=， 故 112533n n n a =-+。
（2）对应的特征方程为：2690x x ++=，解得：123x x ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()(3)n n a A Bn =+-，代入初始条件，00a A ==，1()(3)1a A B =+-=，解得：10,3A B ==-，故1(3)3n n a n =--。
（3）对应的特征方程为：210x +=，解得：12,x i x i ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()()n n n a A i B i =+-，代入初始条件，00a A B =+=，12a A i B i =-=，解得：,A i B i =-=，故 11()()n n n a i i --=+-。
（4）对应的特征方程为：2210x x -+=，解得：121x x ==，所以，齐次递推方程的通解为：n a A Bn =+，代入初始条件，01a A ==，11a A B =+=，解得：1,0A B ==，故 1n a =。
（5）对应的特征方程为：32990x x x --+=，解得：1231,3,3x x x ===-，所以，齐次递推方程的通解为：3(3)n n n a A B C =++-，代入初始条件，00a A B C =++=，1331a A B C =+-=，2992a A B C =++=， 解得，111,,4312A B C =-==-，故 1113(3)412n n n a -=-+--2．求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。
西安电子科技大学硕士研究生入学考试试题(含答案)
也可利用不进位乘法或列表法计算。 11、已知 H ( s ) 的零极点分布图如下图所示，单位冲激响应 h(t ) 的初始值 h(0 ) = 2 ，则该 系统的系统函数 H (s) = 。
+
jω
×
j2
2 σ
−j2
−2 ×
解：由零极点分布图可写出
s →∞
H ( s) =
H 0 ( s − 2) ( s + 2) 2 + 4
对应原函数为
−3 1 −1 1 × = + ， − 1 < Re[ s ] < 2 s − 2 s +1 s − 2 s +1
e2 t ε (−t ) + e − t ε (t )
3 1 1 1 × = ， Re[ s ] > 2 s − 2 s +1 s − 2 s +1
−t
3e 2t ε (t ) ∗ e − t ε (t ) ↔
5
π
H ( jω )
ϕ (ω )
5
−10
0 (a)
10ω
−5 0 −5
5
ω
(b)
A C
、 f (t ) = cos t + cos(8t )
B
、 f (t ) = sin(2t ) + sin(4t )
2
、 f (t ) = sin(2t ) sin(4t ) D、 f (t ) = cos (4t ) 解：选 B。由系统的幅频特性和相频特性可知：若输入信号的频率均处于 ω = −5 ∼ 5 之间， 既不产生幅度失真又不产生相位失真。只有 B 满足这一条件。 d 6、信号 f (t ) = [e ε (t )] 的傅里叶变换 F ( jω ) 等于 dt
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案1
{
x1 + x2 + x3 = 0, 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0, xi ∈ R} ，则 dim V =
3．已知向量组 α1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，而向量组 β 1 = 4α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ，
β 3 = α 3 + α 4 ， β 4 = α 4 + 2λα 1 线性相关，则 λ =
经正交变换化为标准形
2
2
2
f ( y1 , y 2 , y3 ) = 2 y1 + 5 y 2 + 5 y3
2
2
2
， 求参数 a ，b 及用的正交变换。
⎛2 ⎜ ⎜1 六、 （6 分） 已知四阶方阵 A ，X 满足关系式 AXA − 2 A = XA ， 且A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2
5 3 0 0
0 0 4 7
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解 （2） a = −2 时，因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。 （3） a = 1 时，因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
3n + 1 3 L 3 3 3n + 1 3 L 3 3 c1 + c 2 3n + 1 4 L 3 3 r2 − r1 0 1 L 0 0 c1 + c3 L L L L L r3 − r1 L L L L L = 3n + 1 二 解： Dn 3n + 1 3 L 4 3 0 0 L 1 0 M M 0 L 0 1 c1 + c n 3n + 1 3 L 3 4 rn − r1 0
2016年电子科技大学835线性代数真题
1 2 22 四(20分) 设 A , 规定2阶实矩阵线性空间 R 上的线性变换 A 为: 3 4
A : R 22 R 22 , B AB BA, B R 22 .
1 0 0 1 0 0 0 0 (1) 试计算线性变换 A 在 R 22 的标准基 , , , 下的矩阵. 0 0 0 0 1 0 0 1
T T
用写求解过程).
(2) 设非零向量 , R n . 证明: 存在正交矩阵 A 使得 A 当且仅当 T T 0 .
八(20 分). 设 A 是 3 阶实对称矩阵, 各行元素之和均为 0, 且 R 2 I A 2 , A 3I 不可逆.
电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：835 线性代数
注意事项：所有答案必须写在答卷纸上，否则答案无效。 符号说明: I 表示单位矩阵, A* 表示伴随矩阵, R 表示实数域.
一(15 分) 已知 3 阶矩阵 A 1 , 2 , 1 , B 2 , 1 , 2 , 其中 1 , 2 , 1 , 2 都是 3 维列向量. 若 A 4, B 5 , 求 3 A 2 B . 二(20 分) 是否存在满足如下条件的矩阵? 如果有, 请写出一个或一对这样的矩阵(不必说明 理由). 如果没有, 请说明理由. (1) 两个秩为 2 的矩阵 A43 与 B34 使得 AB O . (2) 3 阶矩阵 C 使得 C 3 O , 但是 C 4 O . (3) 2 阶正交矩阵 F 和 G 使得 F G 也是正交矩阵. (4) 2 阶矩阵 U, W 使得 UW WU I . 三(20 分) 设 2 阶矩阵 A, B 满足 AB 3 A 2 B . (1) 证明: AB BA .
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试 题 二 （考试时间：120分钟）
一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则3
1−A
= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，T
b )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2
340A A E −+=，则1
)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=
5．若二次型
31212
322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则
t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。
8．设⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝⎛=1201A 则=k
A 。
（k 为正整数）。
二、（10分）计算行列式：112230000000
00000011
1
1
1
n n a a a a a D a a −−−=
−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+−+=+−+=+−+3
23432424321
43214321x x x x x x x x x x x x λ
讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=
（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T
=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T
)2,0,4,1(1=α，T
)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，
T
b )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；
（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。
此时写出具体的表达式。
六、（10分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值，
()T
0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T 3,2,13−−=α都是A 的属于特征值6的特征向量。
（1）求A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A 。
七、（12分）已知R 3
中两组基T
)
0,0,1(1=εT )0,1,0(2=ε，T )1,0,0(3=ε；及()T 0,0,11=α，
()T 0,1,12=α，T )1,1,1(3=α。
（1） 求由基321,,εεε到基331,,ααα的过渡矩阵A ；
（2） 设由基331,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=100001111B ，求321,,βββ；
（3） 已知向量ξ在基321,,βββ的坐标为()T
3,2,1，求ξ在基331,,ααα的坐标。
八、设T uu E A −=，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零向量，T u 为u 的转置，
证明: （1）A A =2
的充要条件是1=u u T ；
（2）当1=u u T
时，A 是不可逆的。
试题二参考答案
一、填空
1、 – 1/8 2 、(1,0,0)T
3、 –( A-7E)/31
4、0
5、22<<−t
6、192
7、4
8、⎟
⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛1201k 二 解：提示，第i 列加至第i+1列，i=1,…,n,则D=
1
21000
021+−−n a a L M M M M L L =(-1)n
(n+1)∏=n
i i a 1. 三 解：增广矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡−−→⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡−−−110 404 000010101332 44 121131121λλ (1) 当λ=4时，R(B)=3,R(A)=2,所以无解。
(2) 当4≠λ时，R(B)=R(A)=3<4,方程组有无穷解。
令03=x , 得一特解T
),0,1,(41440−−−=λλη；易得方程组的基础解系 T
)0,1,0,1(=η。
所以方程组的通解为0ηη+=k x 。
四 解：(1)⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛==321321*********),,(x x x x x x Ax x f T
.
(2) 由03
2
23
00
02
=−−−−−=
−λλλλA E ，得5,2,1321===λλλ。
当11=λ 时，得对应的特征向量T
)110(1−=α； 当22=λ时，得对应的特征向量T )00
1(2=α；
当53=λ时，得对应的特征向量T
)110(3=α；
(3) 将321,,ααα正交化后得正交阵Q=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−2121212100
010，相应的正交变换为X=QY,使得 2
3
222152y y y f ++=。
五 解：令 A=(321,,ααα),X=),,(321x x x T
,B=β,既讨论方程组AX=B 是否有解。
由 ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡−=200001002110302143211010174
3021)(b a a b AB
(1) 当≠b 2时，方程组无解，故β不能由321,,ααα线形表出。
(2) 当b=2时且1≠a 时方程组有唯一解，且β=212αα+−， 当b=2时且1=a 时方程组有无穷解，由⎩⎨⎧+=−−= 221 32
3
1x x x x ，R x ∈3
得β=321)2()21(αααk k k +++−−。
六 解：(1) 由621==λλ是A 的2重特征值，所以A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，由题设可得的一个极大无关组是,,21αα故21,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量。
由Ｒ(A)=2可得|A|=0.所以03=λ。
设03=λ所对应的特征向量为α=),,(321x x x T
,则0,021==ααααT
T ，即
⎩⎨
⎧=++=+
0 2032121x x x x x 得基础解系α=(-1,1,1)T
,所以属于03=λ的特征向量为c α. (2) 令),,(321ααα=P ，则⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎜⎝
⎛=−06
61
AP P ，所以
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−4222422240661P P A 。
七 解： (1) (321,,ααα)=),,(321εεεA=),,(321εεε⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛10011
0111. (2) ),,(321βββ=(321,,ααα)B=),,(321εεε A B
=),,(321εεε⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100110111⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛−−100001111=)
,,(321εεε⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛100101010。
所以1β=(0,1,0)T
, 2β=(1,0,0)T
,3β=(0,1,1)T。
(3) ξ= ),,(321βββ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321= (321,,ααα)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−100001111⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛321=(321,,ααα)⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−312
所以ξ在321,,ααα下的坐标为(-2,1,3)T。
八 证明：当ξ是n 维列向量时，ξ
ξT 是n 阶方阵，ξT ξ是数。
(1) 因为 T T T T T
T
T
T
I I I I A ξξξξξξξξξξξξξξξξ)(22))((2
+−=+−=−−=
=T T
T I ξξξξ
ξξ)(2+−。
从而 由A 2
=A 可写为：T T T
T
I I ξξξξξξξξ−=+−)(2，化简得：
(1−ξξ
T
)T ξξ=0.
因为 ξ是非零向量所以T
ξξ0≠,故A 2
=A 当且仅当ξξT
=1。
(2) 用反证法：ξξ
T
=1时，由(1)知A 2=A。
如果A 可逆，则有A A A A 121−−=，从而有A=I，
这与已知矛盾。
从而A 不可逆。