福建省莆田市仙游县度尾中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案

数学 (文科)试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合{}1,3,5A =-, {}13B x x x =≤->或，则A B =（ ） A. {}1,5- B. {}1,3,5- C. {}15x x x ≤-≥或 D. {}13x x x ≤-≥或2. 若复数11i z a i-=++的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2 3. 已知函数()f x 满足()()3f x f x -=，当03x <≤时，()1f x x =+ 则()8f =（ ）A 2．3．2 D ．3 4. 已知452a =，1525b =，274c =，则( )A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 在等差数列{}n a 中，若2201496a a +=，则20152015S 的值是（ ） A.24 B .48 C.96 D.106 7. 已知平面向量a ，b 满足1a =，2b a -=，且2a b ⋅=，则a 与()b a -的夹角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π8．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，12a =，则4a =（ ）A ．16B ．54-C ． 16-或54D ．16或54-9．若a 、b 表示直线，α表示平面，则以下命题为正确命题的个数是（ ）①若//,a b b α⊂，则//a α； ②若//,//a b αα，则//a b ； ③若//,//a b b α，则//a α； ④若//,a b αα⊂，则//a b ； A ．0B ．1C ．2D ．30. 已知函数()21cos21xxf x x +=⋅-，则函数()y f x =的图象大致是( )A. B. C. D.11. 已知一次函数21y x =+的图象过点(,)P a b （其中0,0a b >>），则2ba的最小值是（ ）A. 1B. 8C. 9D. 1612. 函数()3sin cos f x a x a x ωω=+（0a >，0ωπ<<）的部分图象如下图所示，则ω的值为（ ）A. 1ω=B.2πω=C. 2ω=D.3ω=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13. 曲线2xy e x =+在点(0,1)处的切线方程是 ________________．14.已知,x y 满足约束条件1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且45316a a -=，则数列{}n a 的公差是________．16. 若向量(1,4)AC =,(,1)BC a =，且AC AB ⊥，则实数a 的值是_____．三、解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34a =，33S =. （Ⅰ）求1a ，2a ;（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和. 判断n S ,n a ,1n S +-是否为等差数列，并说明理由.18. （本小题满分12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）求点C 到平面AC 1D 的距离．19. （本小题满分12分）在钝角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长为,,a b c 已知角C 为最大内角，且32sin a c A =（1）求角C ；（2）若32c =,且△ABC 的面积为，求,a b 的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9=⋅,求点P 的坐标.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈.（Ⅰ）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 表达式, 并求出()f x 的单调区间；（Ⅱ）若(0,1]x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，本小题满分10分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I ）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（II ）设直线l 的极坐标方程为sin()23ρθπ+=，射线:6OM θπ=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知不等式2321x x a ++-<的解集为M . （I ）若6a =，求集合M ；（II ）若M ≠∅，求实数a 的取值范围.答案一．选择题：（各5分, 共60分）二. 填空题（各5分, 共20分）13． 310x y -+= ； 13.3 14． 4； 15. 13； . 三、解答题：共70分17. 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则21214(1)3a q a q q ⎧=⎨++=⎩ …………………………………3分 解得2q =-， ……………………………………4分 11a = ……………………………………5分 212a a q ∴==- ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2q =-，11a =则1(1)1(2)11(2)1333n n n n a q S q ---===--- ………………………9分数列n S ,n a ,1n S +-是等差数列，证明如下： ………………………10分 n S 11()(2)2n n n n n S a a q a a +++-=-=-=-⋅-=，n S ∴,n a ,1n S +-成等差数列 ……………………………………12分 18.分19． 1）证明：证：（1）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ； ∴BB 1⊥AD ，又∵AB=AC ， D 是BC 的中点； ∴AD ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ； ∴AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）连接C 1D ，由（1）AD ⊥平面BCC 1B 1，AD ⊥DC 1 ∴，AC 1=，∴．==，设点C 到平面AC 1D 的距离为d ．则•d=•CC 1答题 D A B D C B A D A C B C解得d=，∴点C 到平面AC 1D 的距离 为．…（12分）19. 20． 解：（1）因为， 由正弦定理可得．因为sinA ≠0， 所以．…（3分）因为△ABC 为钝角三角形，且角C 为最大内角， 所以．故．…（5分）（2）因为△ABC 的面积为，所以ab=6．…（7分）由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab=（a+b ）2﹣ab ， 所以（a+b ）2=c 2+ab=18+6=24， 即．…（10分）所以a ，b 是方程的两解，解得．…（12分）……12分2020．（本小题满分12分）解：（I ）∵椭圆的左焦点(,0)F c -，上顶点(0,)A b ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直∴直线AF 的斜率1bk c==，即b c = ①又点A 是线段BF 的中点 ∴点B 的坐标为(,2)B c b……2分又点B 在直线023=-+y x 上∴20c b +-= ②∴由①②得：b c ==……3分 ∴24a =……4分∴椭圆C 的方程为22142x y +=．……5分（II ）设0000(,),(0,0)P x y x y >>由（I ）易得顶点M 、N 的坐标为(2,0),(2,0)M N -∴直线MP 的方程是：00(2)2y y x x =++……6分由00(2)24y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩ 得：006(4,)2y Q x +……7分又点P 在椭圆上，故2200142x y += ∴220022x y =-∴22000000000066820(2,)(2,)2(2)9222y y x x MP NQ x y x x x x -++⋅=+⋅=++==+++∴01x =或2-（舍）……10分∴000)2y y =>……11分∴点P的坐标为P ．……12分．21. 分21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，， ………………1分 ()1af x x'=-． ………………2分 由题设知，()30f '=，所以3a =． ………………3分经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-． ()331x f x x x-'=-= ………………4分当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 单调递增区间是(03)，，递减区间是(3)+∞，． …………6分 （Ⅱ）设()()11ln g x f x a x x x x=+=-+，(0,1]x ∈ 则()222111a x ax g x x x x -+'=--=- ……………7分⑴当0a ≤时，(0,1]x ∈，1ln 0,0x x x∴≤-≥()0g x ∴≥，即()10f x x+≥ ……………9分 ⑵当02a <≤时，2104a -≥ ()222()1240a a x g x x -+-'∴=-≤ ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥ ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ……………12分（Ⅱ）解法二：⑴若1x =，则()1f x =- ()1110f x x∴+=-+= ……………7分 ⑵若01x <<，则ln 0x <当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+ ……………9分 设()12ln g x x x x=-+，(0,1)x ∈()22221(1)10x g x x x x-'∴=--=-< ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴>=，则()10f x x+> ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ………………12分22．选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）∵圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数)∴消去参数α得普通方程为：22(1)1x y +-=……2分又cos ,sin x ρθy ρθ==∴22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=.……5分（II ）∵射线:6OM θπ=与圆C 的交点为P ∴把6θπ=代入圆的极坐标方程可得：2sin 16P ρπ== ……6分 又射线:6OM θπ=与直线l 的交点为Q ∴把6θπ=代入直线l 极坐标方程可得：sin()263ρππ+= ∴2Q ρ=……8分 ∴线段PQ 的长||||1P Q PQ ρρ=-=.……10分23．选修4-5：不等式选讲 解：（I ）当6a =时，不等式为23216x x ++-<……1分 当32x ≤-时，不等式化为：23126x x --+-<，解得：2x >- ∴322x -<≤-……2分 当3122x <<-时，不等式化为：23126x x ++-<，解得：46< ∴3122x <<- ……3分 当12x ≥时，不等式化为：23216x x ++-<，解得：1x < ∴112x <≤ ……4分综上述：集合{|21}M x x =-<<.……5分（II ）∵M ≠∅ ∴不等式2321x x a ++-<恒有解 ……6分 令()2321f x x x =++-，则31()2()22f x x x =++- 由绝对值几何意义有：()4f x ≥ ……8分∴4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞. (10)。