现代设计方法计算题

1.试用进退法确定函数f（x）=x2−3x+5的一维优化初始区间[a,b],给定初始点x0=-1，初始步长h=1。

解：x1=x0=-1，f1=f（x1）=9x2=x0+h=-1+1=0，f2=f（x2）=5比较f1，f2，由于f1>f2，作前进计算：x3=x0+2h=-1+2=1，f3=f（x3）=3比较f2，f3，由于f2>f3，再作前进计算：x1=x2=0，f1=f2=5x2=x3=1，f2=f3=3x3=x0+4h=-1+4=3，f3=f（x3）=5由于f2<f3，可知初始区间已经找到，即[a,b]=[0,3]。

2.设某种单元的可靠度R0(t)=e−λt，其中λ=0.001/h，试求出：（1）由这种单元组成的二单元串联系统，二单元并联系统及2/3（G）表决系统的平均寿命；（2）当t=100h、500h、1000h时，一单元、二单元串联、二单元并联及2/3(G)表决系统的可靠度，并加以比较。

解：（1）一个单元与系统的平均寿命分别为：θ单=1/λ =1000hθ2串=1/2λ=500hθ2并=3/2λ=1500hθ2/3（G）=5/6λ=833.3h（2）当t=100h时，一个单元与系统的可靠度分别为：R 单=e−0.001×100=0.905R2串=R单2=e−0.2=0.819R2并=1−（1−R单）2=1-（1−e−0.1）2=0.991R2/3(G)=3R单2-2R单3=0.975当t=500h时，一个单元与系统的可靠度分别为：R 单=e−0.001×500=0.6065R2串=R单2=e−0.5×2=0.3678R2并=1-（1−R单）2=1-（1−0.6065）2=0.8452R2/3（G）=3R单2-2R单3=0.6575当t=1000h时，一个单元与系统的可靠度分别为：R 单=e−0.001×1000=0.368R2串=R单2=e−2=0.135R2并=1-（1−R单）2=1-（1−e−1）2=0.600R2/3(G)=3R单2−2R单3=0.306从计算结果可以看出：（1）一个单元的可靠度高于二单元串联系统的可靠度，但低于二单元并联系统的可靠度；（2）2/3（G）系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的5/6 倍，明显低于一个单元的平均寿命。

3.已知约束优化问题：minf（x）=x12+3x22S．t．x1+x2-1≥0试写出内点罚函数与外点罚函数的表示式。

解：内点罚函数：Φ（X,r k）=x12+3x22+r k1X1+X2−1外点罚函数：当-x1−x2+1≤0，Φ（x，r k）=x12+3x22当-x1-x2+1＞0，Φ（x，r k）=x12+3x22+r k（−x1−x2+1）24.现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20厘米，且长度为宽度的2倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表面积不超过400平方厘米。

解：（1）建立数学模型用复合形法迭代3次。

取储水箱长和高为设计变量x1，x2，则其宽0.5x1，数学模型为maxF（X）=0.5x12x2s．t．x21+3x1x2≤4000≤x1≤20 0≤x2≤20（2）用复合形法求解求得的近似结果为X∗={x1,x2}T={11.5.7.7}T F(X*)=5091已知右上图所示等腰直角三角形的单元刚度矩阵为：[K]（e）=Et4[313对−22称−1−11−1−111−22]右图所示薄板结构中节点2处所受载荷以及材料的弹性模量和板厚分别为：F2=100KN，E=2×107N/cm，t=0.1cm求节点2处的各位移分量。

解得F2x=−70.7×103N,F2Y=-70.7×103NEt t [2001]{u2v2}={−70.7×103−70.7×103}u2=-7.07×10−2cm，v2=−0.1414cm5.用梯度法求下列无约束优化问题：MinF（X）=x12+4x22，设初始点取为X（0）={2,2}T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5.（1）求初始点梯度▽F（X）▽F（X）={2X1,8X2}T▽F(X(0))={4.16}T(2)第一次搜索丨▽F（X（0））丨=16.5，s（0）=-▽F（X（0））/16.5=-{0.243,0.97}Tα(0)=2.157X（1）=X（0）+α（0）S（0）={1.476,−0.923}T▽F(x(1))= {2.952,−0.738}T丨▽F(X(1))丨=3.043＜5.0故满足要求，停止迭代。

最优点X*={1.476，−0.0923}T最优值F（X∗）=2.216.节点和单元划分如图示的由两根杆组成的平面刚架结构，在节点3处作用大小为F的集中载荷，两单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即[k](1)=[k](2)=a[2−211−1−111−1−12−2−2−1−131−1−1−213]其中，a为常数。

试引人支承条件写出总体平衡方程。

解：先求单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵。

单元（2）在总体坐标系下的单元刚度矩阵与在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即[K](2)=[k](2)=a[2−211−1−111−1−12−2−2−1−131−1−1−213]单元（1）的坐标转换矩阵中的β=-90°，单元（1）的坐标转换矩阵为[T]=[cos(−90°）sin（−90°）0−sin（−90°）cos（−90°）01000000cos（−90°）−sin（−90°）sin（−90°）cos（−90°）1]=[01−111−11]所以单元（1）在总体坐标系下的单元刚度矩阵为：[K](1)=[T]T[K](1)[T]=[0−1 0 0 0 011−111]a[2−211−1−111−1−12−2−2−1−131−1−1−213][1−111−11]= [1 0 1−1 0−102211−1−1−12−13122−1−1123]单元局部编码和总体编码的对应关系为：单元（1） i j→1 2单元（2） i j→2 3单元刚度矩阵中子块对应关系为；[K]（1）=[k11k12k21k22]（1），[k]（2）=[k22k23k32k33]（2）所以总体刚度矩阵为：[K]=[ k 11（1）k 12（1）0k 21（1）k 22（1）+k 22（2）k 23（2）0k 32（2）k 33（2）]=a[ 1010201−10−100001000001−10−1000 −10−1200−15010−2000330−1−1−11340−1−1 000000000020−20−2−1−103100−1−1−213]节点的位移矢量为：{u 1v 1θ1u 2v 2θ2u 3v 3θ3}T 约束条件为：u 1=0，v 1=0，θ1=0 作用到结构上的外力为：F 3y =_F所以引入支承条件的平衡方程为：a [ 100010000000000000001000000 0000000510−2000330−1−101340−1−1 000000000020−20−2−1−103100−1−1−213] { u 1v 1θ1u 2v 2θ2u 3v 3θ3} ={ 0000000_F 0}7一组实验数据如下，试用抛物线插值方法计算X=92和X=198处的Y 值。

X i 90 100 110 120 130 140 150Y i 0.68 0.74 0.79 0.83 0.86 0.89 0.92 【参考答案】抛物线插值公式为：Y （x ）=（x−x 2）（x−x 3）（x 1−x 2）（x 1−x 3）y 1+（x−x 1）（x −x 3)(x 2−x 1)(x 2−x 3)y 2+(x−x 1)(x−x 2)(x 3−x 1)(x 3−x 2)y 3 当x=136时∵ x ∈（130,140），|136-130|＞|136-140| ∴选择插值节点：（x 1，y 1）=（130,0.86），（x 2，y 2）=（140,0.89），（x 3，y 3）=（150,0.92） 将以上数据和x=136代入抛物线插值公式，得x-136时y 值为： Y （136）=（136−140）（136−150）（130−140）（130−150）×0.86+（136−130）（136−150）（140−130）（140−150）×0.89+（136−130）（136−140）（150−130）（150−140）×0.92=0.8788如图所示的平面刚架，由两个单元（1）和（2）组成，两单元的长度和载面尺寸及材料特性相同，单元（1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点1指向节点2，单元（2）的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点3指向节点1，在局部坐标系下每个单元的刚度矩阵为[k](1)=[k]（2）=A 2[ 10001260−10060−12640−62−1000−1260100−601262064]（1） 求刚架总体刚度矩阵[K]。

（2） 引入支撑条件，写出平衡方程。

平面刚架的坐标转换矩阵为。

T [e]=[ cos a sina 0−sina cosa 00000000010000000000cosa −sina 00sina cosa 00001]- 由局部坐标系与总体坐标系的关系知：单元（1）a=0，单元（2）a=所以T (1)=[1] T （2）=[ 010−10000000000100000000000−1001000001]在整体坐标系下，单元的刚度矩阵为：[k](e )=[T (e ）][K](e)[T (e)] ∴[K ](1)=[T (1)]e[K](1)[T (1)]-[K](1)[K](2)-[T (2)]T [K](2)[T (2)]-[K](2)-A 2[ 1206010−6−120−600−10460212060−106120−600102−604]单元（1）局部码对应的总码为，2，单元（2）局部码对应的总码为3.19.已知某零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，且强度和应力的均值分别为µr =210Mpa 和µs =160Mpa ，试确定零件的可靠度。

零件的工作应力和材料强度均服从指数分布， 且µr =210MPA ；µs =160Mpa ∴λs =1µs，λr =1µrR=λsλs +λr=µrµr +µs=210210+160=0.5675676该零件的可靠度为：R=0.5675676将下列实验测试数据拟合成y=ax b 形式的经验公式。