高中数学课件：212《求曲线的方程》(新人教A选修2-1)
高二数学：《求曲线的方程》课件（新人教A版选修2-1）
(1)曲线上的点的坐标都是这个方 程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
引入
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题． 对于一个几何问题，在建立坐标系的基
础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质， 这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门 科学称为解析几何．
变式：若上题中条件改为到点 A(0,2)的距离和它到x轴的距离之 和是2，则应如何求？
练习：已知定线段AB，且 |AB|=4，动点C满足ACBC0， 求动点C的轨迹方程。
变式：若为直角△ABC中， 斜边AB=4，求直角顶点C的 轨迹？
例3：已知O为直角坐标系原点， M为圆(x-2)2+y2=3上的动点,试 求MO中点的轨迹方程。
求解曲线方程的大体步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例 如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合：
PMpM;
（3）用坐标表示条件P(M)列出方程
fx，y0；
（4）化方程 fx， y0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标 的点都是曲线上的点．
例2：已知一条直线L和它上方的一 个点F，点F到L的距离是2，一条 曲线在L的上方，它上面的每一点 到F的距离减去到L的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲 线的方程。
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制作 06
2009年下学期
解析几何的两大基本问题就是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程． （2）通过方程，研究平面曲线的性质．
高中数学 2.1.2求曲线的方程(二)课件 新人教A版选修2-1
y
( x, y )
B
∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 − 4) 2 + y12 = 9
化简整理得 ( x − 8) 2 + y 2 = 36 x 0 M C 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x − 8) + y = 36 . ( y ≠ 0 ) 这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法 相关点坐标分析法( 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 巧用图形性质, 法二 添辅助线 MA,巧用图形性质 妙极了 巧用图形性质 妙极了!
2 2
3 + 2k x = 1+ k 2 消去参数 k 得 x 2 + y 2 − 3x − 2 y = 0 ∴ y = k ⋅ 3 + 2k 1+ k 2
y = kx 由方程组 2 x + y 2 − 6 x − 4 y + 10 = 0 0 2 2 消去 y 得 (1 + k ) x − (6 + 4 k ) x + 9 = 0 6 + 4k 9 , x1 ⋅ x2 = x1 + x2 = 2 1+ k 1+ k2
2.1曲线和方程 曲线和方程
— 2.1.2
学习目标： 学习目标：
1、理解解析几何的定义；解析几何研究的主要问题。 、理解解析几何的定义；解析几何研究的主要问题。 2、通过例题2，理解求曲线方程的一般步骤； 、通过例题 ，理解求曲线方程的一般步骤； 3、初步了解求动点轨迹方程的常用方法——直接法、 、初步了解求动点轨迹方程的常用方法 直接法、 直接法 相关点法（代入法）、消参法。 相关点法（代入法）、消参法。 ）、消参法
高中数学课件：2.1.2《求曲线的方程》(新人教A选修2-1)
教师用书配套课性24 2求曲线的方程一、坐标法和解析几何1.__________________________ 坐标法:坐标法是指借助于_________________________________ ,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.2.解析几何:解析几何是指数鬱臓的知识形成的研究几何图形学科.坐标法3.解析几何研究的主要问题：⑴曲线研究方程:根据已知条件,求出—(2)方程研究曲线:通过曲线的方程，研究思考:用坐标法研究解析几何问题的前提示:用坐标法研究解析几何面直问题时首先角坐标系，这样，点有了坐标，曲线也就有了宿覊胸艳费判断：(正确的打“V”，错误的打“X")⑴在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系.( )⑵化简方程“ IX冃y I"为“尸X”是恒等变形.()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.()提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志.⑵错误・|x| = |y|化简的形式为y二士X・(3)错误•一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求解.化简过程中极易产生増解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确. 答案:⑴“ (2)x (3)x【知识点拨】1 •平面直角坐标系的选取原则(1) 以已知走点为原点.(2) 以已知走直线为坐标轴(x轴或y轴)•(3) 以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点・⑸如果曲线（或轨迹）有对称中心通常以对称中心为原点.（6）如果曲线（或轨迹）有对称轴,通常以对称轴为坐标轴（x轴或y轴）.（7）号可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在坐标轴上.2•对求曲线方程的五个步骤的(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单• ⑵第二步是求方程的重要一环•要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M 有关的等量关系，列出几何等式•此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标⑶在化简的过程电注意运算的合理性与准确性，尽量避免"失解〃或"增解〃•⑷第五步的说明可以省略不写如有特殊情况，可以适当说明. 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上，可以通过限走方程中X（或y）的取值予以剔除3•对求曲线方程的三点说明(1) 求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同•(2) —般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(X"),而不设成(Xo"o)或(X]M).⑶化简方程眩一般将方程f(x,y)二0化成关于x"的整式形式, 并且要保证化简过程的恒等性.类型-・直接法求曲线方程【典型例题】1.已知动点M到A(2, 0)的距离等于它到直线x=-l的距离的2倍, 则点M的轨迹方程为________ •2.(2013•珠海高二检测)已知点A(-2, 0),B(2, 0),直线AP与直线BP相交于点P,它们的斜率之积为-，求点P的轨迹方程.【解题探究】1•从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系?2•在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示：1•因题1中已知A(2,0)f故不需要建立平面直角坐标系. 2•—般地,当动点满足的条件非常明显，可以很容易地建立条件等式，这时一般可采用直接法求曲线的方程.【解析】1•设M(x,y)•由题鳶得花简得■ 3x2 ■ 12x+y2 二O f0Jy2 二3 答案:y2=3x2+12x2•设点P(x f y)f直线AP的斜率％二直线BP的斜率咯二(XH2),根据已知"有：y (x^±2)f化简得：+y2=l()cr^).yx-2x + 2 x-2 442•“轨迹方程"与〃轨迹"的辨析【变式训练】已知点M到X轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程.【解析】设动点M的坐标为（X f y）,则点M到X轴.y轴的距离分别为|y|」x|•由题意知|y| = 2|x|f^®gy=±2x.•点M的轨迹方程为y=±2x.类型二代入法求曲线的方程【典型例题】1. 设圆c： (x-l)2+y2=l,过原点0作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程是__________2•设定点M(-3, 4),动点N在x2+y2=4上运动，以OM, ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.【孵題球兖】丄•有匕知D（X1"1）十2（X2“2人则我段卩十2甲庶卩的坐标是什么？2•题2哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方徨，借助什么方法可用这些点表示点P的坐标？探究提示：1•据中鉅标公式知中点P的坐标为（）•2•从题目的已知条件可知，点M与点O的坐标已知，点N满足已知曲线的方程，可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同表示出点P的坐标•22X1+X2 yi+y222 【解析】1•设OQ 为过O 的一条弦,P (x,y)为其中点,Q(X V Y I )>X ］二 2x ，又J(x 1-S)2+y^2=l -(2x-l)2+4y 2=l(0<x<l).答料列曲書(。
高中数学 2.1.2求曲线的方程(一)课件 新人教A版选修2-1
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
例3、求抛物线 y = x 2 + (2m + 1) x + m 2 − 1(m ∈ R ) 的顶 、 点的轨迹方程。 点的轨迹方程。
解：设顶点坐标为 (x, y)
2
y = x 2 + ( 2 m + 1) x 5 = (x + ) − (m + ) 2 4 2m + 1 5 顶点坐标（ ,−m + ） ——消参法：分析动点的变化 消参法： 消参法 2 4 规律及其特点，选取一个（几个） 2m + 1 5 规律及其特点，选取一个（几个） 设x = , y =− m+ ） （ 与动点变化相关的量作为参数， 2 4 与动点变化相关的量作为参数，用 消去m, 得： 参数表示动点的坐标（ ），然 参数表示动点的坐标（x , y），然 ）， 4x − 4 y − 3 = 0 后消去参数，得到关于x 的关系 后消去参数，得到关于 , y的关系
y
M
N 0 Q
x
思考:( 思考 P 练习第 3 题)
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如图,已知点 的坐标是(2 如图 已知点 C 的坐标是 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 过点 的中点,求点 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点 求点 M 的 设点 轨迹方程. 轨迹方程
√
3.用坐标表示条件 3. √用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) = 0 ; 4.化简方程 为最简形式; ) 4. √化简方程 f ( x, y).= 0 为最简形式; 5.证明 查漏除杂). 证明( 5.证明(查漏除杂 √
高中数学(人教A)选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修2-1
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类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为
.
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐 标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件 等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点
的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作
平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
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二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
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判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已 经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
【人教A版】高中选修2-1数学：2.1.2-求曲线的方程-教学课件
第二章 §2.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学思考1 知识点一 坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.答案梳理(1)坐标法：借助于，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .曲线的性质坐标系表示曲线的方程知识点二 求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解题型探究类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解答设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解答据题设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.解答类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.解答反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解答类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1，2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解答结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.反思与感悟跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答当堂训练1.曲线y＝与xy＝2的交点是A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在联立方程组无解.答案解析√234512.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析√答案解析x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______.答案解析5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.因为点M(x0，y)在直线2x－y＋3＝0上，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.解析规律与方法求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.。
高二数学人教A版选修2-1课件：2.1.2 求曲线的方程(共25张ppt)
超级记忆法-记忆 规律 第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4
天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆 呢？
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点 A(-2,0)，B(-4,0),则圆C的方程为_______. 答案：(x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0）， （3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是_______________________________.
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的 坐标系，求这条曲线的方程. 分析：在建立坐标系时，一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的 表示，从而使曲线方程的形式简单一些.