直角三角形的边角关系讲义
直角三角形的边角关系PPT课件
{tanA= 1
cot A
或 tanA•cotA=
sin A
1}
3、tanA= cos A
cos A 3、cotA= sin A
互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系
sinA=cosB, cosA=sinB
tanA=cotB， cotA- =tanB
条件：∠A+∠B=900 34
观察一副三角板,其中有几个锐角,他们分别等于多少度?
-
28
3.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC上，
∠CBD=30°，则AD/DC的值为(
)C
A. 2
B. 3 2
C. 3 1
D.不能确定
4.在△ABC中，∠C=90°，若BC=4cm，sinＡ=2 ，
则AC的长是
()
B
5
A.6cm B. 2 2c1m
C. 3 5 cm D. 2 13cm
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
正弦 余弦 正切
∠A的对边
sinA=
斜边
=
a c
∠A的邻边
cosA=
斜边
=
b c
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a b
B
c
a
┌
A
b
C
余切
∠A的邻边 cotA= ∠A的对边
=
b a
-
25
1、在Rt△ABC中，∠B=900，AC=200，sinA=0.6。求BC的长.
-A
D8
下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
B
E
13m
5m 6m
A
直角三角形的边角关系讲义
直角三角形的边角关系（讲义）一、知识点睛1． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3． 特殊角的三角函数值：60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α 4． 计算三角函数值，关键在于_______或______直角三角形．二、精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 35=B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.23 2. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 34=，则AC 的长是_______． 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空： （1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a，则sin A =__________．4. 在锐角三角形ABC|tan 0B =，则∠C =_______． 5. △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan B+(2sin A -20=，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形6. 已知∠A为锐角，且cos 2A >，则∠A 的值（ ） A ．小于45° B ．小于30°C ．大于45°D ．大于30°ACB7. 当45°<∠A <90°时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>8. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C ，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ）A ．12B ．1 C．12+ D．1+C D BA第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，cosB =sinC 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D ．2110. 计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒20sin30(cos60)(sin 45tan30)2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒AB C11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠PAB 的值是（ ） A．B．2CDPD CB A第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，sin ∠CBD 34=，则AE 的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格 线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆 时针旋转得到△AC′B′，若A ，C ，B′ 三点共线，则tan ∠B ′CB =________．14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26°30′，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）DCBA15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）BCA67.5°37°图EDCB AC'B'BCA16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD的长．DCBA三、回顾与思考 知识点睛1．斜边的对边A ∠、斜边的邻边A ∠，的邻边的对边A A ∠∠．2．越大，越小，越大． 3．4精讲精练1．C2．63．（1）552； （2）38； （3）21． 4．75° 5．D 6．A7．D8．B9．A10．2；35+11．A12．913．214．AD =45；CD =75；AB =120． 15．10.516．7212直角三角形的边角关系（随堂测试）1. 在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且21|sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形2. 如图，在△ABC 中，AB =AC =1，∠A =36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是_____________，cos A 的值是_____________．（结果保留根号）D CB AFEDCBA第2题图 第3题图3. 小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，展开后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（ ） ABC ．2.5 D【参考答案】1．D23．B直角三角形的边角关系（作业）1. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．没有变化D ．不确定2. 在Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =1，BC =2，则下列结论中正确的是（ ）A．sin B =B ．2cos 5B =C ．tan 2B =D ．1cos 5B =3. 在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且21|sin |cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形4. 若∠A 为锐角，且cos A 的值大于12，则∠A （ ）A ．大于30°B ．小于30°C ．大于60°D ．小于60°5. 已知β为锐角，且tan 3β<≤β的取值范围是（ ） A ．3060β︒︒≤≤ B ．3060β︒<︒≤ C ．3060β︒<︒≤ D ．30β<︒6. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若3cos 5α=，AB =4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165 ED C BA E DB A第6题图 第7题图7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，若3cos 5A =，BE =2，则tan ∠DBE =_________．8. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若AB =6，BC =2，则cos A =______．9. 在△ABC 中，∠A =120°，若AB =4，AC =2，则sin B =______．10.如图，在△ABC中，AB=A C，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接C D．如果A D=1，那么tan∠BCD=______．EDCBA第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，若∠C=90°，3sin5B=，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．12.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．12B．C．10D．513.计算：（1）26tan30602tan45︒︒+︒；（2）cos30sin45sin60cos45︒-︒︒-︒；（3）)206011tan453-︒⎛⎫-+ ⎪︒⎝⎭；（4tan60︒．B CADCB A14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若12sin13C=，BC=12，求AD的长．15.如图，在△ABC中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC=52，求AB的长.（参考数据：tan26.6°≈0.50）16.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2 yx =点B在反比例函数kyx=的图象上，且OA⊥OB，tan A=（）A．-3 B．-6 C．D．-17.若(-3，1y)，(1，2y)，(2，3y)三点均在反比例函数||2kyx--=则下列结论中正确的是（）A．123y y y>>B．132y y y>>C．312y y y>>D．231y y y>>CBA45°26.6°D CBA【参考答案】1．C 2．A 3．D 4．D 5．C6．B7．28．3229101 11．5512．B13．（1）25； （2）1； （3）7； （4）-1．14．（1）证明略； （2）8． 15．616．B17．B测量类应用题（讲义）一、知识点睛1.正切常用来描述山坡的坡度．坡度也叫_________，指的是坡面的___________与____________的比．2.测量类应用题常见类型有：测量物体的高度、船是否会触礁，侧重于_____________和_____________．①解直角三角形，需要在________和________集中处，寻找或构造_________，利用三角函数，表达线段长、建等式；②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围，计算结果与标准对比来确定符合题意的结果．二、精讲精练1.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）DFAB CE22°45°2.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数≈1.414，3≈1.732）BCDE60°45°3.如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿A D C B→→→到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B 地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km1.41，sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80）4.如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°的方向上，如果海轮不改变方向继续前进，有没有触礁的危险？PA B东北5.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（说明：两问的计算结果均精确到0.1米，参考数据：.24≈2.45）（1）求新传送带AC的长度；（2）若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．6.如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C处折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数≈1.4≈1.7≈2.4）D23°60°CB38°A7.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min后到达C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长．（精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41）东观测点港口CABD三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．坡比，铅直高度，水平宽度．2．解直角三角形，结果判断．①线段，角度，直角三角形．精讲精练1．（1）教学楼AB的高度为12m；（2）A，E之间的距离为27m．2．这块宣传牌CD的高度为2.7米．3．比原来少走4.9km．4．没有触礁的危险．5．（1）新传送带AC的长度为5.7米；（2）需要挪走，理由略．6．（1）75°；（2）这棵大树折断前的高度为10米．7．13.4km．测量类应用题（随堂测试）1.如图，某海滨浴场东西走向的海岸线可近似地看作直线l．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD=40米，B在C北偏东35°的方向上，甲、乙的游泳速度均为2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【参考答案】1．乙先到达B处，理由略．测量类应用题（作业）1.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C位于北偏西30°的方向上，轮船继续航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C位于北偏西60°的方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向上的D求轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）解：由题意得∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴______________，∴BC=AB=__________．在__________中，∠CBD=60°，BC=40，______________________，∴CD=BC·sin∠CBD=_______________．因此，当轮船到达D处时，与灯塔C的距离为__________．2. 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P 的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P 南偏西30°方向上的B 处，A 与B 相距150m ，且B 在A 的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m 以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m 商业街到C 处，则对于从B 到C 的商业街改造是否违反有关规定？3. 三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区，它的主峰海拔约为600米．如图，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中3tan 5α=，5tan 8β=，求发射架BC 的高度．4. 如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡度为1的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．（结果精确到0.1≈1.73）45°DCBA30°5.小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米，当吊臂顶端由A′点降落至A点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（大小忽略不计）从B′处恰好放到地面上的B处，紧绷着的吊缆AB=A′面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=201sin2A'=．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）6.如图，直线122y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形C D A B，点A在x轴上．若双曲线kyx=（0k<，0x>）经过点B，与直线C D交于点E，EM⊥x轴于点M，则S四边形BEMC=__________．7. 如图所示，R t △A B O 的顶点A 是双曲线1ky x =与直线 2(1)y x k =--+在第二象限内的交点，AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO 32=．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是 __________________；（3）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标以及△AOC 的面积．【参考答案】1．解：由题意得∠CAD =30°，∠CBD =60°， ∴∠ACB =30°， ∴BC =AB =20×2=40．在Rt △CBD 中，∠CBD =60°，BC =40，sin CDCBD BC ∠=， ∴CD =BC ·sin ∠CBD=40=． 因此，当轮船到达D 处时，与灯塔C的距离为． 2．不违反有关规定．3．发射架BC 的高度为25米． 4．山AB 的高度为236.5米． 5．（1）6米；（2）(12310-)米．6．277．（1）13y x=-，22y x =-+；（2）10x -<<或3x >；（3）A (-1，3)，C (3，-1)，△AOC 的面积为4．。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。
即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。
三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。
四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。
五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。
2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。
3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。
4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。
5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。
六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。
2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。
3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。
以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。
通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。
同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角是90度，另外两个角是锐角。
直角三角形的边角关系是指三条边和三个角之间的关系。
边角定义在直角三角形中，我们通常将底边称为底边，直角所对的边称为斜边，另外一个边称为高。
以直角三角形ABC为例，边AB为底边，边AC为高，边BC为斜边。
直角三角形中的两个锐角分别称为锐角A和锐角B。
锐角A位于底边AB的顶点A，锐角B位于直角C的顶点B。
边角关系直角三角形的边角关系非常重要，它们之间存在着多个重要的数学关系。
下面是直角三角形的边角关系的详细介绍：边与角的关系1. 底边与斜边的关系：根据勾股定理，底边的平方加上高的平方等于斜边的平方。
用公式表示为：AB² + AC² = BC²2. 斜边与锐角的关系：在直角三角形中，斜边与锐角的关系可以用三角函数来表示。
以锐角A为例，斜边BC与锐角A的正弦比等于底边AB 与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AB / BC角与角的关系1. 直角和锐角的关系：直角是直角三角形的特殊角，它的度数为90度。
而锐角是小于90度的角。
2. 锐角之间的关系：直角三角形中的两个锐角之和等于90度。
用公式表示为：A +B = 90°边与角之间的关系1. 高与锐角的关系：直角三角形中的高与锐角之间存在正弦和余弦的关系。
以锐角A为例，高AC与锐角A的正弦比等于底边AB与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AC / BC2. 底边与锐角的关系：直角三角形中的底边与锐角之间存在正切关系。
以锐角A 为例，底边AB与锐角A的正切比等于高AC与底边AB的比值，用公式表示为：tan(A) = AC / AB总结直角三角形的边角关系是数学中一种重要的关系，它涉及到边与角之间的联系。
通过掌握这些关系，我们可以在解决三角形相关问题时更加方便和高效。
一个直角三角形中，底边与斜边的关系可以由勾股定理给出，斜边与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，高与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，底边与锐角的关系可以用正切比来表示。
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
初中数学直角三角形边角关系讲义初稿
直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部份 一、大体概念 正弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记为A sin ，caA A =∠=斜边的对边sin 。
余弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A的余弦，记为A cos ，cbA A =∠=斜边的邻边cos 。
正切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记为A tan ，baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。
余切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记为A cot ，abA A A =∠∠=的对边的邻边cot 。
二、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。
3、依照正弦、余弦、正切、余切的概念，在Rt ∆ABC 中， 90=∠C ，有sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。
4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡； tanA 的值越大，梯子越陡。
五、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 别离是A ∠、B ∠、C ∠的对边，那么caA =sin ， c b A =cos ， b a A =tan ， abA =cot 能够变形为A c a sin •=，A c b cos •=，A b a tan •=或A a c sin =，Abc cos =等等，在解题中能够依照条件正确选用。
六、注意：①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的概念都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用概念。
②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 别离表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能明白得为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。
③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号，它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切，记号里适应省去角的符号“∠”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略。
直角三角形边角关系辅导讲义
直角三角形边角关系辅导讲义年 级: 九年级下 第 课时学生姓名: 辅导科目: 数学 教师: 课 题 第一章：直角三角形边角关系授课时间：备课时间：教学目标1、理解锐角三角的概念，熟练掌握直角三角形的边角关系，及会计算特殊角的 三角函数的问题2、能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题重点、难点重点：1、会计算含特殊角的三角函数值的问题2、能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题考点及考试要求1、会计算含特殊角的三角函数值的问题2、灵活运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 辅助资料中考数学资料教学内容※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦．．： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;图1※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒= ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
第六节：直角三角形的边角关系讲义
1直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD •的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD 的长为多少？CBA3、正弦、余弦的定义例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边） 练习1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边。
解下列直角三角形(1)已知a=3 b=3 (2)已知c=6 b=3 (3)已知c=6 ∠A=600练习2 ．（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5。
解这个直角三角形 .（2）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3, b= 。
解这个直角三角形33ABD练习3、拓展提高已知：如图（1）在△ABC 中, ∠B=450，∠C=300，AD ⊥BC,垂足为D, AB=32，求CD 长。
变式1：已知：如图（1）在△ABC 中, ∠B=450，∠C=300，BC=3+3 , AD ⊥BC,垂足为D,求AD 长。
变式2：已知：如图（2）在△ABC 中,∠ABC=1350，∠C=300， BC=3 -3变式3：已知：在△ABC 中, ∠C=300， AB=32， AD ⊥BC,垂足为D,且AD=3，求BC 长。
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直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示（难点 D C B A例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD•的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD的长为多少？例4在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
例1 求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
本节作业：1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°(4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o oo -+-++----2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。
3、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________。
4、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒。
5、（2009深圳）（6分）计算：202( 3.14)π---︒6、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π －3.14)0＋ 12 8＋(－1)3．第3节 三角函数的有关计算本节内容：利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）锐角三角函数计算的实际应用（难点）1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。
例1小刚面对黑板坐在椅子上。
若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。
现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行,视线AB与AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°，求AC与AE的长（精确到0.1米）。
例2 某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。
BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（精确到0.1m ）（2） 为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（精确到0.1m ）（,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）第4节 船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义 解直角三角形（重点） 解直角三角形的实际应用（难点）方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。
如图，目标方向线0A 、0B 、0C 的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。
其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。
如OE 的方向角为南偏东45°，OG 的方向角为南偏西45°，那么，G 、E 可以说在O 的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G 在O 的西南方向，E 在O 的东南方向。
例1如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西︒60，航行20海里后到C 处，在岛A 在北偏西︒30，货轮继续向西航行，有无触礁危险？2、解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为c b a 、、。
A3060例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。
滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。
（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用（难点） 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下几个步骤： 1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知； 2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角； 3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决； 4.确定合适的边角关系，细心推理计算。
典型例题： 例1某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上。
前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13 ） 第5节 测量物体的高度 本节内容：测量底部可以到达的物体的高度（重点）测量底部不可以到达的物体的高度（难点）1、测量底部可以到达的物体的高度（重点）例1 升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）2、测量底部不可以到达的物体的高度（难点）例2：如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得150米，求山高AB。
（精确到0.1米，3≈1.732）CD=3测试题一、选择题1．等腰三角形的底角为30°，底边长为 ）A ．4B ．C ．2D ．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ）A ．B ．C ．D ．8(1) (2) (3)3．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）A ．sin a cB = B ．cos a b B =C ．tan c a B =D ．tan a b A =4．△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 3|2sin 0B A -+=（，则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形5．已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos αααα-+的值等于（ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．166．如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米7．如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=35，AB =4， 则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．1658．如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）A ．1BC ．2 D(4) (5) (6)二、填空题（每小题3分，共24分）9．在△ABC 中，∠C =90°，sin 2A =，则cos B 的值为 ．10= ．11．如图5，∠DBC =30°，AB =DB ，利用此图求tan75°= ．12．如图6，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α= ．13．若某人沿坡度i =3∶4的斜坡前进10m ，则他比原来的位置升高了 m ．(7) (8)15．如图7所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h =6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 _____秒．16．如图8，一人乘雪撬沿坡比1s （米）与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+．若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 ．三、解答题（本大题共52分） 18. (1)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°； (2)(23tan30°)2007·(22sin45°)200619．（本题10分）如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高AB =CD =30m ，两楼间的距离AC =24m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1m 1.41 1.73）20．（本题12分）为了测量一棵大树的高度AB，在离树25米的C处，用高1.4米的测角仪CD测得树的顶端B的仰角 ＝21°，求树AB的高．(用21°角的三角函数值表示即可)21.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°。