复变函数基本定义(2020年10月整理).pdf

定义

邻域－定义1.1点的邻域指：

聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。

开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。

有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。

区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。

闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。

约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程

所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。

单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。

复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。

复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。若存在一复数，使，，只要，就有

则称沿于有极限，并记为。

连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。若

即对任给的，，只要，，就有

则称沿于连续。

复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。

无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。

主要定理

约当定理－定理 1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足

（1）彼此不交

（2）是一个有界区域（称为的内部）

（3）是一个无界区域（称为的外部）

（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。

极限的计算定理－定理 1.2设函数于点集上有定义，，则

的充要条件是

连续函数定理－定理 1.3设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。

一致连续定理－定理1.4设函数在有界闭集上连续，则

（1）在上有界，即，使。

（2）在上有最大值与最小值。

（3）在上一致连续。即，使对上满足的任意两点及，均有

定义

复变函数的导数－定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，考虑比值

若当（或）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的导数，记为。即

。（2.1）

此时称在点可导。

解析函数－定义2.2如果函数在区域内可微，则称微区域内的解析函数，或称在区域内解析。

奇点－定义2.3若在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析点，则称为的奇点。

复指数函数－定义2.4对于任何复数规定复指数函数为

。

易知，复指数函数有下列性质：

（1）它是实指数函数的自然推广

（2）。

（3）在平面上处处解析，且。

（4）加法定理成立，即。

（5）是以为基本周期的周期函数。

（6）极限不存在。

三角函数－定义2.5称

分别为复数的正弦函数和余弦函数。

复正弦函数和余弦函数有以下性质：

（1）它们是实函数情形的推广

（2）均处处解析，且

。

事实上，

同理，可证另一个。

（3）是奇函数，是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如

（4）均以为周期

（5）的零点为

的零点为

（6）不再是有界函数。

正切、余切－定义2.6称

分别为的正切、余切、正割与余割函数。

这四个函数在其分母不为零的点处解析且

双曲函数－定义2.7规定

并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。根式函数－定义2.8规定根式函数为幂函数的反函数。

对数函数－定义2.9规定对数函数是指数函数的反函数。即若

则复数称为复数的对数，记为。

主要定理

可微的必要条件－定理 2.1（可微的必要条件）设是定义在

区域上的函数；且在内一点可微，则必有：偏导数在点

存在；且满足柯西-黎曼条件，即

可微的充要条件－定理2.2（可微的充要条件）设是定义在区域上的函数。则在内一点可微的充要条件是：（1）在点可微；

（2）在点满足柯西-黎曼条件。

此时，有：

（2.7）

定义

复积分－定义3.1设有向曲线：

以为起点，为终点，沿有定义，顺着从到的方向在上取分点：

把曲线分成若干个弧段（图3.1*9）。在从到的每一弧段上任意取一点。作成和数

其中当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿（从到）的可积，而称为沿（从到）的积分，并以记号表示

称为积分路径。表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分。

不定积分－定义3.2在区域内，如果连续，则称合条件

的函数的一个不定积分或原函数。

复围线－定义3.3考虑条围线其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部。在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的多连通区域，以为它的边界。在这种情况下，我们称区域的边界是一条复围线，它包括取正方向的，以及取负方向的换句话说，假如观察者沿复围线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边（图3.10是的情形）。

调和函数－定义3.5如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。

共轭调和函数－定义3.6在区域内满足条件

，

的两个调和函数中，称为在区域内的共轭调和函数。（虚部是实部）

主要定理

积分估值定理－定理3.2（积分估值）若沿曲线，连续，且有正数使,为之长，则

证由不等式

，

取极限即得证。

柯西积分定理－定理3.3设在平面上的单连通区域内解析，为内任一条围线，则

要证明这个定理是比较困难的。

牛顿－莱布尼兹公式－定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下，如果是在单连通区域内的任意一个原函数，则

。

复围线的柯西积分定理－定理3.10设是由复围线所围

成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则

或写成（等号是加号），或写成。

柯西积分公式－定理3.11设区域的边界是围线（或复围线），在内解析，在上连续，

则有

(3.2)

这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。

平均值定理－定理3.12如果函数内解析，在闭圆上连续，则

即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。

证设表圆周，则

或

由此，

根据柯西积分公式

。

无穷可微性定理－定理3.13在定理3.11的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有

(3.5)

解析函数的第二判据－定理3.15函数在区域内解析的充分必要条件是

（1）在内连续；

（2）在内满足条件。

刘维尔定理－定理3.16刘维尔定理有界整函数必为常数。

摩勒拉定理－定理3.17若函数在单连通区域内连续，且对内的任一围线，有

，

则在内解析，

解析函数的第三判据－定理3.18在区域内解析的充要条件是：（1）在内连续；

（2）对任一围线，只要及其内部全含于内，就有

。

定义

复数及级数－定义4.1 对于复数项的无穷级数

，（4.1）

命（部分和）。若复数列以有限复数为极限，即若

，

则称复数项无穷级数（4.1）收敛于，且称为级数（4.1）的和，写成

；

若复数列无有限极限，则称级数（4.1）为发散。

绝对收敛、条件收敛－定义4.2若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。

复函数项级数－定义4.3设复变函数项级数

（4.2）

的各项均在点集上有定义，且在上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为

。

一致收敛－定义4.4对于级数（4.2），如果在点集上有一个函数，使对任意给定的，存在正整数，当时，对一切的均有

，

则称级数（4.2）在上一致收敛于。

内闭一致收敛－定义4.5设函数定义于区域内，若级数（4.2）在内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在内内闭一致收敛。

泰勒级数－定义4.6定理中的级数称为在点的泰勒展式，（4.4）称为其泰勒系数。

零点－定义4.7设在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。

主要定理

复级数收敛的判据－定理4.1设，及为实数，则复数级（4.1）收敛于的充要条件为：实级数及分别收敛于及。

柯西收敛准则－定理4.2（柯西收敛准则）复数级（4.1）收敛的充要条件为：对任给，存在正整数，当且为任何正整数时

。

收敛的充分条件－定理4.3复数级（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛。

柯西一致收敛准则－定理 4.4（柯西一致收敛准则）级数（4.2）在点集上一致收敛于某函数的充要条件是：任给，存在正整数，使当时，对一切，均有

。

优级数准则－定理4.5（优级数准则）若存在正数列，使对一切，有

，

而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。

级数连续定理－定理4.6设级数的各项在点集上连续，且一致收敛于，则和函数

也在上连续。

逐项积分定理－定理4.7设级数的各项在曲线上连续，并且在上一致收敛于，则沿可以逐项积分：

内闭一致收敛判据－定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件为：对任意正数，只要,级数（4.2）在闭圆上一致收敛。

维尔斯特拉斯定理－定理4.9设（1）在区域内解析，

（2）在内内闭一致收敛于函数：

，

则（1）在区域内解析。

（2）。

阿贝尔（Abel)定理－定理4.10如果幂级数（4.3）在某点收敛，则它必在圆（即以为心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。

收敛半径的计算公式－定理4.12如果幂级数的系数合于

，（达朗贝尔（D’Alembert）

或，（柯西）

或，（柯西－阿达玛）

则幂级数的收敛半径

幂级数和的解析性－定理4.13（1）幂级数

的和函数在起收敛圆内解析。

（2）在内，幂级数（4.4）可以逐项求导至任意阶，即

。

(3)

泰勒公式－定理4.14（泰勒定理）设在区域内解析，，只要含于,则在内能展成幂级数

，

其中系数

。（4.4）

且展式是唯一的。

解析函数的第四判据－定理4.15在区域内解析的充要条件为：在内任一点的邻域内可展成的幂级数，即泰勒级数。

收敛圆周上的性质－定理4.16如果幂级数的收敛半径,且

则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。

m级零点的判据－定理4.17不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为：

，

其中在点的邻域内解析，且。

零点的孤立性－定理4.18如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）

唯一性定理－定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内有一个收敛于的点列，在其上和等值，则

和在内恒等。

最大模原理－定理4.23（最大模原理）设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。

定义

罗朗级数－定义5.1（5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。

孤立奇点－定义5.2若在奇点的某一去心邻域内解析，则称为的一个孤立奇点。

若为的一个孤立奇点，则必存在函数，使在的去心邻域

内可展成罗朗级数。

可去奇点、极点、本性奇点－定义5.3设是的孤立奇点，

（1）若主要部分为0，则称是的可去奇点。

（2）若主要部分为有限多项，则称是的极点，此时主要部分的系数必满足，，此处称为极点的级，亦称为级极点。

（3）若主要部分有无限多项，则称是的本性奇点。

无穷远点的孤立奇点性－定义5.4设函数在无穷远点（去心）邻域

内解析，则称为的一个孤立奇点。

主要定理

双边幂级数的解析性－定理5.1设双边幂级数

的收敛圆环为

则（1）（5.1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于

（2）在内解析