复变函数基本定义(2020年10月整理).pdf
复变函数笔记—（1）基本概念
复变函数笔记—（1）基本概念复变函数笔记—(1)基本概念复数 复数的⼤部分基础知识在中学阶段就已涉及，这⾥只是简单复述和⼀点拓展。
定义 形如z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，满⾜i2=−1，且x,y∈R。
x称为复数z的实部，记作x=Re(z)；同理，y称为复数z的虚部，记作y=Im(z)。
若两个复数实部虚部均相同，就说这两个复数相等。
众所周知，实数可以在⼀条直线——数轴 R 上表⽰，复数也可以在⼀个平⾯——复平⾯ C 上表⽰。
复数的加减乘除和实数有着⼀样的定义，同样也满⾜交换律、结合律......等⼀系列性质，在运算时只是需注意下i2=−1 即可。
对于复数的整数次幂，有着和实数⼀样的定义：z n=z·z·...·zn个z 若w n=z，则w称为z的n次⽅根，记作w=n√z。
不难看出，对于复数z≠0 的n次⽅根有n个不同的值。
表⽰ 复数除了在笛卡尔坐标中的表⽰⽅法z=x+iy以外，还可以把复平⾯放⼊极坐标中表⽰为：z=r(cosφ+i sinφ) 其中r为z的模（即复平⾯中z到原点的距离，记作r=|z|），φ为z的辐⾓（记作φ=Arg(z)）。
不难看出，⼀个复数的模是唯⼀的，但是辐⾓并不唯⼀，相互可以相差 2kπ，所以通常⽤arg表⽰辐⾓中的⼀个，并通常会给出其范围。
本⽂约定arg范围为 [0,2π]。
在极坐标中对复数的表⽰感觉略显复杂，还包括三⾓函数，但其实可以通过有名的欧拉公式（之⼀）对其化简，变为：z=re iφ 通过这个可以得到，两个复数相乘等于其模相乘、辐⾓相加。
复变函数区域 在复平⾯中的点集D满⾜：1.开集性：对于任意z∈D，都存在z的邻域U(z)⊂D。
2.连通性：对于任意z1,z2∈D，都可以⽤包含于D的折线相连。
那么称D为复平⾯上的⼀个区域。
对于区域D，如果点z的任意邻域都有属于D，也有不属于D的点，则称z为区域D的边界点。
由所有边界点组成的点集称为边界，记作 ∂D。
第一章 复变函数和解析函数解析
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
数学复变函数的基本概念
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
复变函数
25
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
对复平面内的所有点z 都是连续的 ;
(2) 有理分式函数
P(z) w , 其中 P ( z ) 和 Q( z ) 都是多项式, Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
26
例3 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那末 f ( z ) 在 z0
也连续.
证
设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ),
3
4. 复变函数与自变量之间的关系:
复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w f ( z ) 相当于两个关系式:
u u ( x , y ), v v ( x , y ),
它们确定了自变量为x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 函数 w z 2 , 令 z x iy, w u iv ,
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似.
2 2
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 , 处连续, v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数的概念
一、复变函数的概念
2. 复变函数与实值函数的关系
设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作 w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y)
其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部 和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。
一、复变函数的概念
1.复变函数的定义
设D为给定的平面点集，若对于D中每一个复数 z=x+yi ，按照某一确定的法则 f ，总有确定的一个或 几个复数w=u+vi与之对应，则称f 是定义在D上的复变 函数（复变数w是复变数 z的函数），简称复变函数， 记作 w=f(z) 。
其中 z 称为自变量， w 称为因变量，点集D 称为函 数的定义域。
v0
.
三、复变函数的连续性
1. 复变函数连续的定义
设 f (z) 在点 z0 的某邻域内有定义 ，若
lim
zz0
f (z)
f (z0)
则称 f (z) 在 z0 处连续。
若 f (z)在区域D 内每一个点都连续，则称函数 f (z) 在区域D内连续。
三、复变函数的连续性
2. 连续的复变函数的性质
x2
y
y2
二、复变函数的极限
1. 复变函数的极限的定义
设 f (z) 在点 z0 的某去心邻域内有定义，若对任
意给定的正数ε（无论它多么小）总存在正数δ，
当复数 z 满足 0 | z z0 | 时，对应的函数值
f (z) 都有
| f (z) A |
则称复常数 A 为函数 f (z) 在当 zz0 时的极限。 记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 )
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对复变函数的一些重要知识点进行总结，以便读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
首先，我们来看一下复数的定义和性质。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。
复数可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
此外，复数还可以表示为极坐标形式z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
接下来，我们介绍复变函数的概念和性质。
复变函数是将复数域上的一个集合映射到另一个复数域上的函数，通常表示为f(z)。
复变函数可以进行加减乘除、求导、积分等运算，并且满足柯西—黎曼方程等一些重要的性质。
复变函数的导数也具有柯西—黎曼方程的性质，这是复变函数理论中的一个重要定理。
在复变函数中，解析函数是一个重要的概念。
解析函数是指在某个区域内可导的函数，并且在该区域内具有泰勒级数展开式。
解析函数具有许多重要的性质，比如在其定义域内是无穷次可微的，且导数也是解析函数。
解析函数在物理学、工程学、金融学等领域都有着广泛的应用。
复变函数中的积分也是一个重要的概念。
复变函数的积分可以分为定积分和不定积分两种。
定积分在复变函数中的计算通常采用路径积分的方法，而不定积分则可以通过换元法、分部积分法等方法进行计算。
复变函数的积分在物理学中有着重要的应用，比如在电磁学中的麦克斯韦方程中就包含了路径积分的概念。
最后，我们来看一下复变函数在实际应用中的一些例子。
复变函数在电路分析、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
比如在电路分析中，复变函数可以用来描述电路中的电压、电流等信号，从而进行电路的分析和设计。
在信号处理中，复变函数可以用来描述信号的频谱、相位等特性，从而进行信号的处理和分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义邻域－定义1.1点的邻域指：聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。
称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。
若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。
若有一邻域全含于内，则称为的内点。
若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。
边界点的全体称为的边界。
记作。
开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。
有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。
区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。
闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。
约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。
上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。
单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。
若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。
复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。
若存在一复数，使，，只要，就有则称沿于有极限，并记为。
连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。
若即对任给的，，只要，，就有则称沿于连续。
复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。
无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。
当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。
北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。
主要定理约当定理－定理 1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足（1）彼此不交（2）是一个有界区域（称为的内部）（3）是一个无界区域（称为的外部）（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。
极限的计算定理－定理 1.2设函数于点集上有定义，，则的充要条件是连续函数定理－定理 1.3设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。
一致连续定理－定理1.4设函数在有界闭集上连续，则（1）在上有界，即，使。
（2）在上有最大值与最小值。
（3）在上一致连续。
即，使对上满足的任意两点及，均有定义复变函数的导数－定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，考虑比值若当（或）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的导数，记为。
即。
（2.1）此时称在点可导。
解析函数－定义2.2如果函数在区域内可微，则称微区域内的解析函数，或称在区域内解析。
奇点－定义2.3若在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析点，则称为的奇点。
复指数函数－定义2.4对于任何复数规定复指数函数为。
易知，复指数函数有下列性质：（1）它是实指数函数的自然推广（2）。
（3）在平面上处处解析，且。
（4）加法定理成立，即。
（5）是以为基本周期的周期函数。
（6）极限不存在。
三角函数－定义2.5称分别为复数的正弦函数和余弦函数。
复正弦函数和余弦函数有以下性质：（1）它们是实函数情形的推广（2）均处处解析，且。
事实上，同理，可证另一个。
（3）是奇函数，是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如（4）均以为周期（5）的零点为的零点为（6）不再是有界函数。
正切、余切－定义2.6称分别为的正切、余切、正割与余割函数。
这四个函数在其分母不为零的点处解析且双曲函数－定义2.7规定并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。
根式函数－定义2.8规定根式函数为幂函数的反函数。
对数函数－定义2.9规定对数函数是指数函数的反函数。
即若则复数称为复数的对数，记为。
主要定理可微的必要条件－定理 2.1（可微的必要条件）设是定义在区域上的函数；且在内一点可微，则必有：偏导数在点存在；且满足柯西-黎曼条件，即可微的充要条件－定理2.2（可微的充要条件）设是定义在区域上的函数。
则在内一点可微的充要条件是：（1）在点可微；（2）在点满足柯西-黎曼条件。
此时，有：（2.7）定义复积分－定义3.1设有向曲线：以为起点，为终点，沿有定义，顺着从到的方向在上取分点：把曲线分成若干个弧段（图3.1*9）。
在从到的每一弧段上任意取一点。
作成和数其中当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿（从到）的可积，而称为沿（从到）的积分，并以记号表示称为积分路径。
表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分。
不定积分－定义3.2在区域内，如果连续，则称合条件的函数的一个不定积分或原函数。
复围线－定义3.3考虑条围线其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部。
在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的多连通区域，以为它的边界。
在这种情况下，我们称区域的边界是一条复围线，它包括取正方向的，以及取负方向的换句话说，假如观察者沿复围线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边（图3.10是的情形）。
调和函数－定义3.5如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。
共轭调和函数－定义3.6在区域内满足条件，的两个调和函数中，称为在区域内的共轭调和函数。
（虚部是实部）主要定理积分估值定理－定理3.2（积分估值）若沿曲线，连续，且有正数使,为之长，则证由不等式，取极限即得证。
柯西积分定理－定理3.3设在平面上的单连通区域内解析，为内任一条围线，则要证明这个定理是比较困难的。
牛顿－莱布尼兹公式－定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下，如果是在单连通区域内的任意一个原函数，则。
复围线的柯西积分定理－定理3.10设是由复围线所围成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则或写成（等号是加号），或写成。
柯西积分公式－定理3.11设区域的边界是围线（或复围线），在内解析，在上连续，则有(3.2)这就是柯西积分公式。
它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。
平均值定理－定理3.12如果函数内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。
证设表圆周，则或由此，根据柯西积分公式。
无穷可微性定理－定理3.13在定理3.11的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有(3.5)解析函数的第二判据－定理3.15函数在区域内解析的充分必要条件是（1）在内连续；（2）在内满足条件。
刘维尔定理－定理3.16刘维尔定理有界整函数必为常数。
摩勒拉定理－定理3.17若函数在单连通区域内连续，且对内的任一围线，有，则在内解析，解析函数的第三判据－定理3.18在区域内解析的充要条件是：（1）在内连续；（2）对任一围线，只要及其内部全含于内，就有。
定义复数及级数－定义4.1 对于复数项的无穷级数，（4.1）命（部分和）。
若复数列以有限复数为极限，即若，则称复数项无穷级数（4.1）收敛于，且称为级数（4.1）的和，写成；若复数列无有限极限，则称级数（4.1）为发散。
绝对收敛、条件收敛－定义4.2若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。
复函数项级数－定义4.3设复变函数项级数（4.2）的各项均在点集上有定义，且在上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为。
一致收敛－定义4.4对于级数（4.2），如果在点集上有一个函数，使对任意给定的，存在正整数，当时，对一切的均有，则称级数（4.2）在上一致收敛于。
内闭一致收敛－定义4.5设函数定义于区域内，若级数（4.2）在内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在内内闭一致收敛。
泰勒级数－定义4.6定理中的级数称为在点的泰勒展式，（4.4）称为其泰勒系数。
零点－定义4.7设在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。
主要定理复级数收敛的判据－定理4.1设，及为实数，则复数级（4.1）收敛于的充要条件为：实级数及分别收敛于及。
柯西收敛准则－定理4.2（柯西收敛准则）复数级（4.1）收敛的充要条件为：对任给，存在正整数，当且为任何正整数时。
收敛的充分条件－定理4.3复数级（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛。
柯西一致收敛准则－定理 4.4（柯西一致收敛准则）级数（4.2）在点集上一致收敛于某函数的充要条件是：任给，存在正整数，使当时，对一切，均有。
优级数准则－定理4.5（优级数准则）若存在正数列，使对一切，有，而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。
级数连续定理－定理4.6设级数的各项在点集上连续，且一致收敛于，则和函数也在上连续。
逐项积分定理－定理4.7设级数的各项在曲线上连续，并且在上一致收敛于，则沿可以逐项积分：内闭一致收敛判据－定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件为：对任意正数，只要,级数（4.2）在闭圆上一致收敛。
维尔斯特拉斯定理－定理4.9设（1）在区域内解析，（2）在内内闭一致收敛于函数：，则（1）在区域内解析。
（2）。
阿贝尔（Abel)定理－定理4.10如果幂级数（4.3）在某点收敛，则它必在圆（即以为心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
收敛半径的计算公式－定理4.12如果幂级数的系数合于，（达朗贝尔（D’Alembert）或，（柯西）或，（柯西－阿达玛）则幂级数的收敛半径幂级数和的解析性－定理4.13（1）幂级数的和函数在起收敛圆内解析。
（2）在内，幂级数（4.4）可以逐项求导至任意阶，即。
(3)泰勒公式－定理4.14（泰勒定理）设在区域内解析，，只要含于,则在内能展成幂级数，其中系数。
（4.4）且展式是唯一的。
解析函数的第四判据－定理4.15在区域内解析的充要条件为：在内任一点的邻域内可展成的幂级数，即泰勒级数。
收敛圆周上的性质－定理4.16如果幂级数的收敛半径,且则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。
m级零点的判据－定理4.17不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为：，其中在点的邻域内解析，且。
零点的孤立性－定理4.18如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。
（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
）唯一性定理－定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内有一个收敛于的点列，在其上和等值，则和在内恒等。
最大模原理－定理4.23（最大模原理）设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。
定义罗朗级数－定义5.1（5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。