陕西省商洛市2018-2019学年高一下学期期末教学质量检测 数学 含答案
商洛市2018～2019学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试卷
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：北师大版必修3，必修4。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.360°化为弧度是 A.
2
π
B.π
C.32π
D.2π
2.现有60瓶矿泉水，编号从1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为 A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，42，56 C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，30
3.sin300°的值为
B.3-
C.12-
D.1
2
4.已知向量a ＝(2，0)，b ＝1，a ∙b ＝－1，则a 与b 的夹角为 A.
6π B.4π C.3
π
D.23π
5.如图，在一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙形图案的面积约为
A.5.6
B.3.56
C.1.4
D.0.35 6.已知α是第三象限的角，若1
tan 2
α=
，则cos α＝
A. D. 7.已知2()sin(
)36
f x x ππ
=+，x N ∈，则f(x)的值域为 A.11{,}22- B.11{,,1}22-- C.1{,1}2- D.1{,1}2
8.如图，在△ABC 中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是
A.1144AD a b =
+ B.5144AD a b =+ C.3144AD a b =+ D.51
44
AD a b =- 9.已知7cos(2)625πα-=-，02πα<<，则cos()12
π
α-=
A.35-
B.35
C.45
D.45
-
10.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图。
又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为
A.2800
B.3000
C.3200
D.3400 11.某程序框图如图所示，若输出的S ＝26，则判断框内应填
A.k>3？
B.k>4？
C.k>5？
D.k>6？ 12.
已知2
)2
2
2a α
α
=-
，(cos ,)2b m α=，若对任意的[11]m ∈-， ，12
a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是
A.713(2,2)()1212k k k Z ππππ+
+∈ B.57(2,2)()1212k k k Z ππ
ππ++∈ C.5(2,2)()1212k k k Z ππππ-+∈ D.7(2,2)()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.若数据2，3，5，7，x ，10的平均数为6，则x ＝ ▲ 。
14.已知函数2
()(4)cos f x x x x =-，[,]22
x ππ
∈-
，该函数零点的个数为 ▲ 。
15.已知向量a ，b 满足a ＝(m ，m+1)，b ＝(3，－4)且a 在b 方向上的投影是－1，则实数m ＝ ▲ 。
16.已知函数()5sin(2)()4
f x x x R π
=-
∈，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将
()f x 的图象向左平移
4
π
个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线38x π=对称；③()y f x =在
[,]ππ-内的单调递减区间为37[,]88ππ；④5()8y f x π
=+为奇函数。
则上述说法正确的是 ▲
(填入所有正确说法的序号)。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知53
sin()cos()cos(3)
22()3
cos()sin()
22
f θππθθπθπθπθ+-+=----
(1)化简()f θ； (2)若3sin 5θ=，且[,]2
π
θπ∈，求()f θ的值。
18.(12分)
已知(11)OA
＝，，(31)OB ＝，-，OC =(a,b)。
(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系； (2)若2AC AB =，求点C 的坐标。
19.(12分)
假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料。
(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系。
(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的回归系数ˆˆ,a b ； (3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
（参考公式及相关数据：1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，21
90n i i x ==∑，1
112.3n
i i
i x y ==∑。
）
20.(12分)
某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示(试卷满分为100分)。
(1)试计算这12份成绩的中位数；
(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？ 21.(12分)
为了了解当下高二男生的身高状况，某地区对高二年级男生的身高(单位：cm)进行了抽样调查，得到的频率分布直方图如图所示，已知身高在(185，190]之间的男生人数比身高在(150，155]之间的人数少1人。
(1)若身高在(160，175]以内的定义为身高正常，而该地区共有高二男生18000人，则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人？
(2)从所抽取的样本中身高在(150，155]和(185，190]的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响，则所选出的2人中至少有一人身高大于185cm 的概率是多少？ 22.(12分)
已知1a ≥，函数()sin()4
f x x π
=+
，()sin cos 12()g x x x af x =--+。
(1)若()f x 在[,]b b -上单调递增，求正数b 的最大值； (2)若函数()g x 在3[0,]4
π
内恰有一个零点，求a 的取值范围。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_30
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分）1.函数的最小正周期是________.【答案】【解析】【分析】根据函数的周期公式计算即可.【详解】函数的最小正周期是.故答案为：【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．2.计算：________.【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】.故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．3.设函数，则________.【答案】【解析】【分析】利用反三角函数的定义，解方程即可．【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．4.已知数列是等差数列，若，，则公差________.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．5.已知数列等比数列，若，，则公比________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．6.计算：________.【答案】【解析】【分析】由等比数列前n项和公式，得=[1﹣]，从而求极限即可．【详解】∵＝＝[1﹣]，∴[1﹣]=．故答案为：【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题．7.方程的解集为________.【答案】【解析】【分析】由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.【详解】因为方程，由诱导公式得，所以，故答案为：．【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．8.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.【答案】3【解析】【分析】由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.故答案为：3．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米【答案】2000【解析】【分析】由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.10.若，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．【详解】由，得所以，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．11.若函数，的最大值为，则的值是________.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为，由的范围可得的范围，根据最大值可得的值.【详解】∵函数＝2（）＝，∵，∴∈[，]，又∵的最大值为，所以的最大值为，即=，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题．12.已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.【答案】5【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.考点：等差，等比数列的性质13.已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.【答案】7500【解析】【分析】讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，＝1，由，得，所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，则，所以.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．14.已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2018位于第________组.【答案】32【解析】【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；…∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，∴当n＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组．故答案为：32．【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）15.“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若数列是等比数列，则，∴，∴数列是等比数列，若数列是等比数列，则，∴，∴数列不是等比数列，∴数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．16.设，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，再计算即可.【详解】，，所以故选：D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．17.已知等差数列公差d＞0，则下列四个命题：①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列；其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【详解】设等差数列，d＞0∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题．对于②，数列，得，，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题．故选：B．【点睛】本题考查用定义判断数列单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．18.已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【详解】由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确；对于B：由，，得不成立，所以B不正确；对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确；对于D：由，，得，∴不成立，所以D不正确；故选：C．【点睛】本题考查新定义理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4题，共42分）19.解关于的方程：【答案】【解析】【分析】根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由，得，所以或，所以或，所以的解集为：.【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】当时，，当时，，即可得出．【详解】∵已知数列的前项和为，且，当时，，当时，，检验：当时，不符合上式，【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.已知等比数列是递增数列，且满足：，.（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．【详解】（1）由题意，得，又，所以，，或，，由是递增的等比数列，得，所以，，且，∴，即；（2）由（1）得，得，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．【答案】（1）见解析，；（2）【解析】【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜对一切恒成立，则．∴的范围为:．【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．23.己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和.（1）若＝1，＞1，求的值；（2）若首项，，是正整数，满足不等式|﹣63|＜62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？【答案】（1）；（2）114【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；（2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解．【详解】（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1，，，则；（2）满足不等式|﹣63|＜62，．，，且，，得随着的增大而增大，得，又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数，满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列．【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分）1.函数的最小正周期是________.【答案】【解析】【分析】根据函数的周期公式计算即可.【详解】函数的最小正周期是.故答案为：【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．2.计算：________.【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】.故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．3.设函数，则________.【答案】【解析】【分析】利用反三角函数的定义，解方程即可．【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．4.已知数列是等差数列，若，，则公差________.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．5.已知数列等比数列，若，，则公比________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．6.计算：________.【答案】【解析】【分析】由等比数列前n项和公式，得=[1﹣]，从而求极限即可．【详解】∵＝＝[1﹣]，∴[1﹣]=．故答案为：【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题．7.方程的解集为________.【答案】【解析】【分析】由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.【详解】因为方程，由诱导公式得，所以，故答案为：．【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．8.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.【答案】3【解析】【分析】由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.故答案为：3．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米【答案】2000【解析】【分析】由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.10.若，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．【详解】由，得所以，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．11.若函数，的最大值为，则的值是________.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为，由的范围可得的范围，根据最大值可得的值.【详解】∵函数＝2（）＝，∵，∴∈[，]，又∵的最大值为，所以的最大值为，即=，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题．12.已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.【答案】5【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.考点：等差，等比数列的性质13.已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.【答案】7500【解析】【分析】讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，＝1，由，得，所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，则，所以.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．14.已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2018位于第________组.【答案】32【解析】【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；…∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，∴当n＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组．故答案为：32．【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）15.“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若数列是等比数列，则，∴，∴数列是等比数列，若数列是等比数列，则，∴，∴数列不是等比数列，∴数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．16.设，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，再计算即可.【详解】，，所以故选：D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．17.已知等差数列公差d＞0，则下列四个命题：①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列；其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【详解】设等差数列，d＞0∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题．对于②，数列，得，，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题．故选：B．【点睛】本题考查用定义判断数列单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．18.已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【详解】由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确；对于B：由，，得不成立，所以B不正确；对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确；对于D：由，，得，∴不成立，所以D不正确；故选：C．【点睛】本题考查新定义理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4题，共42分）19.解关于的方程：【答案】【解析】【分析】根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由，得，所以或，所以或，所以的解集为：.【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】当时，，当时，，即可得出．【详解】∵已知数列的前项和为，且，当时，，当时，，检验：当时，不符合上式，【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.已知等比数列是递增数列，且满足：，.（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．【详解】（1）由题意，得，又，所以，，或，，由是递增的等比数列，得，所以，，且，∴，即；（2）由（1）得，得，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．【答案】（1）见解析，；（2）【解析】【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜对一切恒成立，则．∴的范围为:．【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．23.己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和.（1）若＝1，＞1，求的值；（2）若首项，，是正整数，满足不等式|﹣63|＜62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？【答案】（1）；（2）114【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；（2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解．【详解】（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1，，，则；（2）满足不等式|﹣63|＜62，．，，且，，得随着的增大而增大，得，又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数，满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列．【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_31
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.函数的值域是______.【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数定义得结果【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题2.在等差数列中，，当最大时，的值是________.【答案】6或7【解析】分析】利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.【详解】设等差数列的公差为，，，所以，因为，，所以当或时，有最大值，因此当的值是6或7.【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.3.若，则______.【答案】，【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解三角方程【详解】因为【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.【答案】1【解析】【分析】根据弧长公式求解【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.【答案】464【解析】【分析】根据等比数列求和公式求解【详解】由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题6.设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______.【答案】180【解析】【分析】根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为，，所以，【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题8.（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.9.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．【答案】100【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．【答案】【解析】试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.“”是“”成立的（）A. 充分非必要条件.B. 必要非充分条件.C. 充要条件.D. 既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题12.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A. 8B. 2C. 4D. 1【答案】D【解析】【分析】根据条件解得首项，再求【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题13.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题14.如图，函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值，即可进行比较判断选择【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C.【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）【答案】【解析】【分析】过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，过作的垂线，垂足为，则，，，，所以，答：电视塔的高为约.【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题16.已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.【答案】（1）（2）只有一项【解析】【分析】（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果【详解】解：（1）；（2）解不等式得，因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题17.已知函数（其中，）的最小正周期为.（1）求的值；（2）如果，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得，再根据两角差余弦公式求解【详解】解：（1）因为.所以，因为，所以.（2）由（1）可知，所以，因为，所以，所以.因为.所以.【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题18.已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.【答案】（1），，（2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【详解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.证明：当时，结论显然成立；假设时结论成立，即，则时，，即时结论成立.综上，对时结论成立.【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题19.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．20.已知数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中，所以，当时，②②式两边同时乘以得，③①式减去③得，，所以，因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.函数的值域是______.【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数定义得结果【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题2.在等差数列中，，当最大时，的值是________.【答案】6或7分析】利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.【详解】设等差数列的公差为，，，所以，因为，，所以当或时，有最大值，因此当的值是6或7.【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.3.若，则______.【答案】，【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解三角方程【详解】因为【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.【答案】1【解析】根据弧长公式求解【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.【答案】464【解析】【分析】根据等比数列求和公式求解【详解】由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题6.设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______.【答案】180【解析】【分析】根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为，，所以，【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.【答案】【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题8.（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.9.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．【答案】100【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．【答案】【解析】试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.“”是“”成立的（）A. 充分非必要条件.B. 必要非充分条件.C. 充要条件.D. 既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题12.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A. 8B. 2C. 4D. 1【答案】D【解析】【分析】根据条件解得首项，再求【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题13.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题14.如图，函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值，即可进行比较判断选择【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C.【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）【答案】【解析】【分析】过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，过作的垂线，垂足为，则，，，，所以，答：电视塔的高为约.【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题16.已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.【答案】（1）（2）只有一项【解析】【分析】（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果【详解】解：（1）；（2）解不等式得，因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题17.已知函数（其中，）的最小正周期为.（1）求的值；（2）如果，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得，再根据两角差余弦公式求解【详解】解：（1）因为.所以，因为，所以.（2）由（1）可知，所以，因为，所以，所以.因为.所以.【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题18.已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.【答案】（1），，（2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【详解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.证明：当时，结论显然成立；假设时结论成立，即，则时，，即时结论成立.综上，对时结论成立.【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题19.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．20.已知数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中，所以，当时，②②式两边同时乘以得，③①式减去③得，，所以，因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题。
2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2019年下学期教学质量检测试卷高一 数学一、选择题1.若集合{}{}|21,|02A x x B x x =-<<=<<, 则集合A B ⋂=( ) A. {}|11x x -<< B. {}|21x x -<<C. {}|22x x -<<D. {}|01x x <<【答案】D 【解析】试题分析：作数轴观察易得A B ⋂={}|01x x <<. 考点：集合的基本运算.2.空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A. ()2,3,5--- B. ()2,3,5 C. ()2,3,5-- D. ()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ．【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称问题．属于基础题． 3.过两点(2,)A m -，(),4B m 的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A. 1- B. 3C. 1D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式计算即可.【详解】根据直线斜率的计算公式有4tan 451(2)mm ︒-==--,解得1m =．【点睛】本题考查直线斜率的计算，属于基础题． 4.若偶函数()af x x =在(),0-∞上是增函数，则（ ）A. 0a >B. 0a <C. 0a =D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质与幂函数性质可得．【详解】偶函数()af x x =在(),0-∞上是增函数，则它在(0,)+∞上是减函数，所以0a <．故选：B ．【点睛】本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题． 5.下列说法不正确的．．．．是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B. 同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D 【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 6.已知函数()f x 是定义在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则()2f -=（ ）A.14B. 114-C. 1D. 1-【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 是定义在上的奇函数，，故答案为D ．考点：奇函数的应用．7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，则异面直线11A C 与MN 所成的角等于（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】 【分析】连接11,,AB AC B C ，可证1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，求出此角即可．【详解】连接11,,AB AC B C ，因为M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，所以1//MN AB ，又正方体中11//A C AC ，所以1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，1AB C ∆是等边三角形，1B AC ∠＝60°．所以异面直线11A C 与MN 所成的角为60°．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．8.圆()2221x y -+=与直线y x =的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 直线过圆心【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较．【详解】圆()2221x y -+=的圆心是(2,0)C ，半径为1，圆心到直线3y x =即0x -=的距离为1d r ===，直线与圆相切．故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆人位置关系，判断方法是：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断．9.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．10.经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆方程为（ ） A. ()()22122x y +++= B. ()()22122x y -+=+ C. ()()22122x y ++-= D. ()()22122x y -+-=【答案】B 【解析】 【分析】设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点A 的距离都是半径可求解． 【详解】由题意设圆心为(,2)C a a -2221(2)(21)2a a a a --=-+-+1a =，即圆心为(1,2)C -，半径为12122r --==。
陕西省商洛市2018-2019学年度第二学期高一期末教学质量检测数学试题配参考答案
商洛市2018～2019学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：北师大版必修3，必修4。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 360°化为弧度是 A.2π B.π C.32π D.2π 2. 现有60瓶矿泉水，编号从1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为A.3，13，23，33，43，53B.2，14，26，38，42，56C.5，8，31，36，48，54D.5，10，15，20，25，303. sin300°的值为 A.32 B.32- C.12- D.124. 已知向量a ＝(2，0)，b ＝1，a ∙b ＝－1，则a 与b 的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.23π5. 如图，在一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙形图案的面积约为A.5.6B.3.56C.1.4D.0.356. 已知α是第三象限的角，若1tan 2α=，则cos α＝ A.5 5 25 D.25 7. 已知2()sin()36f x x ππ=+，x N ∈，则f(x)的值域为 A.11{,}22- B.11{,,1}22-- C.1{,1}2- D.1{,1}28. 如图，在△ABC 中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b表示AD ，正确的是A. 1144AD a b =+B.5144AD a b =+ C.3144AD a b =+ D.5144AD a b =- 9. 已知7cos(2)625πα-=-，02πα<<，则cos()12πα-= A.35- B.35 C.45 D.45-10. 某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图。
【全国百强校】陕西省-2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题+答案
高一期末考试题数学第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（12*5=60分）1. 在“世界读书日”前夕，为了了解某大学5000名学生某天的阅读时间，从中抽取了200名学生的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名学生的阅读时间的全体是A. 个体B. 总体C. 样本的容量D. 从总体中抽取的一个样本2. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是A. S＝1＋2＋3＋4B. S＝1＋2＋3＋4＋…C.D. S＝12＋22＋32＋…＋10023. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据，该数据应为A. 2B. 3C. 4D. 54. 直线被圆截得的弦长为A. B. C. D.5. 若三个正数，，成等比数列，其中，，则A. B. C. D.6. 已知直线：，则直线的倾斜角是A. B. C. D.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.8. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有一个白球D. 恰有一个红球与恰有二个红球9. 函数的部分图像如图所示，则（）A. B.C. D.10. 下列命题中正确的是A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点;B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行;C. 若直线上有无数个点不在平面内，则;D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.11. 海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是A. B. C. D.12. 关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③点关于轴对称的点的坐标为；④点关于坐标原点对称的点的坐标为；⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.其中正确的个数是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（4*5=20分）13. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______．14. 已知函数则不等式f（x）＞1的解集为______．15. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为_________．16. 等差数列前项和为，已知为________时，最大．三、解答题（共70分，其中17，18，19，20，21各12分，22题10分）17. 已知变量，满足约束条件.（1）求上述不等式组表示的平面区域的面积；（2）求的最大值和最小值.18. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.19. 在锐角⊿中，角的对边分别为若.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求.20. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．21. ．已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：．22. 将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？一、选择题（12*5=60分）1. 在“世界读书日”前夕，为了了解某大学5000名学生某天的阅读时间，从中抽取了200名学生的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名学生的阅读时间的全体是A. 个体B. 总体C. 样本的容量D. 从总体中抽取的一个样本【答案】B【解析】由统计相关概念的定义可知：5000名学生的阅读时间的全体是总体.本题选择B选项.2. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是A. S＝1＋2＋3＋4B. S＝1＋2＋3＋4＋…C.D. S＝12＋22＋32＋…＋1002【答案】B【解析】算法重要的特征之一是有穷性，选项B中计算的是无穷级数，无法用算法实现.本题选择B选项.3. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据，该数据应为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由题意可得：，回归方程过样本中心点，则：，设缺失的数据为，则：，解得： .本题选择C选项.4. 直线被圆截得的弦长为B. C. D.A.【答案】D【解析】圆心过直线，则解得的弦为直径，则弦长为 . 本题选择D选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|5. 若三个正数，，成等比数列，其中，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合等比中项的定义可得： .本题选择B选项.6. 已知直线：，则直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】C【解析】直线方程即：，直线的斜率，则直线的倾斜角为 .本题选择C选项.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】B考点：几何概型.8. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有一个白球D. 恰有一个红球与恰有二个红球【答案】D【解析】试题分析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立考点：互斥事件与对立事件9. 函数的部分图像如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为−2，故A=2，，故T=π，ω=2，故y=2sin(2x+φ)，将(,2)代入可得：2sin(+φ)=2，则φ=−满足要求，故y=2sin(2x−)，故选：A.10. 下列命题中正确的是A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点;B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行;C. 若直线上有无数个点不在平面内，则;D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.【答案】A【解析】对于A，用反证法易知，直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，命题正确；对于B，若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线无公共点，所以l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行或异面，B错误；对于C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以命题错误；对于D，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在平面内，所以命题错误．故选：A．11. 海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意画出图形，得出∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，AC=BC=10km，则AB==10km．故选：C．点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．12. 关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③点关于轴对称的点的坐标为；④点关于坐标原点对称的点的坐标为；⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.其中正确的个数是A. B. C. D.【答案】A【解析】由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），知：在①中，点P到坐标原点的距离为d=，故①错误；在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为，故②正确；在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确．故选：A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（4*5=20分）13. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______．【答案】【解析】左视图为一矩形,高为3,宽为正三角形的高 ,所以面积为14. 已知函数则不等式f（x）＞1的解集为______．【答案】【解析】当时,;当时,;综上解集为15. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为_________．【答案】【解析】试题分析：由B＝135°，C＝15°得A=30°，由正弦定理得，最大边为考点：正弦定理解三角形16. 等差数列前项和为，已知为________时，最大．【答案】7【解析】试题分析：因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由知，该二次函数的对称轴为=7，所以n=7时，最大.考点：等差数列的前n项和；二次函数最值三、解答题（共70分，其中17，18，19，20，21各12分，22题10分）17. 已知变量，满足约束条件.（1）求上述不等式组表示的平面区域的面积；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为4，最小值为．【解析】试题分析：(1)绘制出不等式组表示的可行域，结合三角形的顶点坐标可得三角形的面积为4；(2)结合目标函数的几何意义可得目标函数的最大值为4，最小值为．试题解析：（1）如图，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形，容易求三角形的三个顶点坐标为，，，三角形面积；（2）可求得的最大值为4，最小值为．点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.18. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.19. 在锐角⊿中，角的对边分别为若.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知及正弦定理可得2sinAsinB=sinB，结合B为锐角可求，结合A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．（2）由三角形面积公式可求c，利用余弦定理即可求a的值．试题解析:（1）（2）由，得由余弦定理得：20. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据余弦定理得 ,再利用正弦定理得 ,（2）由等腰三角形性质得底边上的高为，所以三角形面积为试题解析：解：（Ⅰ）=．（Ⅱ）△BCD的面积．21. ．已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知等差数列的首项，公差，由等差数列的前项和公式即可求得数列前项和为，再由，进而求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项求和法，即可求得，最后放缩即可得证．试题解析：（Ⅰ）因为数列是首项，公差的等差数列所以由等差数列的前项和公式得，数列前项和为由，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以又，所以考点：1．等差数列的求和公式；2．数列的求和方法．22. 将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？【答案】（I） 36种；（II）12种；（III）．【解析】试题分析：（I）共有种结果4分（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种．8分（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝．12分考点：随机事件的概率；古典概型。
2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题 1．360︒化为弧度是 A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】D【解析】由于180π=，则3602π︒=. 【详解】因为180π=，所以2360π=，故选D. 【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化.2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ） A ．3，13，23，33，43，53 B ．2，14，26，38，42，56 C ．5，8，31，36，48，54 D ．5，10，15，20，25，30【答案】A【解析】根据系统抽样原则，可知编号成公差为10的等差数列，观察选项得到结果. 【详解】根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列B 选项编号公差为12；C 选项编号不成等差；D 选项编号公差为5；可知,,B C D 错误A 选项编号满足公差为10的等差数列，正确本题正确选项：A 【点睛】本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题. 3．sin300°的值为A B ． C ．12-D ．12【答案】B【解析】利用诱导公式化简sin300sin(60)sin 60=-=-，再求出值为. 【详解】因为3sin 300sin(60)sin 602=-=-=-，故选B. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及sin()sin x x -=-. 4．已知向量()2,0,1,1a b a b =⋅=-=，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.π3D.2π3【答案】D【解析】先求出a 的模长，然后由cos ,a b a b a b⋅=可求出答案.【详解】由题意，2a =，1cos ,2a ba b a b ⋅==-，所以a 与b 的夹角为2π3.故选D. 【点睛】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题. 5．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.35【答案】A【解析】根据几何概型直接进行计算即可. 【详解】月牙形图案的面积约为：35044 5.61000⨯⨯= 本题正确选项：A【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 6．已知α是第三象限的角，若1tan 2α=，则cos α= A．5-BCD． 【答案】D【解析】根据α是第三象限的角得cos 0α<，利用同角三角函数的基本关系，求得cos α的值.【详解】因为α是第三象限的角，所以cos 0α<，因为1tan 2α=，所以22sin cos 1,sin 1,cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得：cos α= D. 【点睛】本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知tan α值，求cos α的值.7．已知2()sin(),36f x x x N ππ=+∈，则()f x 的值域为 A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】利用2||T πω=求函数()f x 的周期为3，计算(0),(1),(2)f f f 即可得到函数的值域. 【详解】因为1(0)sin62f π==，51(1)sin62f π==，43(2)sin()sin 1362f πππ=+==-， 因为函数()f x 的周期2323T ππ==，(0)(3),(1)(4),(2)(5),f f f f f f === 所以函数的值域为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故选C. 【点睛】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.8．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是A ．1144AD a b =+ B ．5414AD a b =+ C ．3414AD a b =+ D ．5414AD a b =- 【答案】C【解析】由4BC BD =得14BD BC =，再由向量的加法得14AD AB BD AB BC =+=+，最后把,AB a AC b ==代入，求得答案. 【详解】因为111()44344AD AB BD AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量的加法和数乘运算的几何意义，考查平面向量基本定理在图形中的应用. 9．已知π7cos 2625α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π02α<<，则πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.35C.45D.45-【答案】B【解析】由二倍角公式可得2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合π02α<<，可求出πcos 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】 因为2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3cos 125α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，又因为π02α<<，所以3cos 125πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.10．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A.2800B.3000C.3200D.3400【答案】D【解析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比，所以总交稿数为，高二年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数为．故选：D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.11．某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填()A．k>3? B．k>4?C．k>5? D．k>6?【解析】程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：可得,当4k = 时，26S = 此时应该结束循环体，并输出S 为26 ，所以判断框应该填入的条件为3k > ，故选A .【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12．已知2(2)222a sinαα=-，(cos ,)2b m α=，若对任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是 A ．713(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ B ．57(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ C ．5(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ D ．7(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ 【答案】B【解析】由向量的数量积得2sin cos 22a b m αα⋅=+，对任任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，转化成关于m 的一次函数，保证在1m =和1m =-的函数值同时小于0即可. 【详解】212sincoscos 2222222a b m m ααααα⋅=⋅+⋅-=+>，因为12a b ⋅>对任意的[1,1]m ∈-恒成立，则1212αααα+>->，1sin(),421sin(),42παπα⎧->⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩522,646522,646k k k k ππππαπππππαπ⎧+<-<+⎪⎪⇒⎨⎪+<+<+⎪⎩k Z ∈， 解得：5722,1212k k k Z πππαπ+<<+∈，故选B. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、三角恒等变换及不等式恒成立问题，求解的关键是变换主元的思想，即把不等式12a b ⋅>看成是关于变量m 的一次函数，问题则变得简单.二、填空题13．若数据2,3,5,7,,10x 的平均数为6，则x =____________. 【答案】9【解析】根据求平均数的公式，得到关于x 的方程23571066x +++++=，求得9x =.【详解】 由题意得：23571066x +++++=，解得：9x =，故填：9.【点睛】本题考查求一组数据的平均数，考查基本数据处理能力. 14．已知函数()2()4cos 22f x x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，，，该函数零点的个数为_____________ 【答案】3【解析】令()0f x =，可得240x x -=或cos 0x =；当240x x -=时，可解得0x =为函数一个零点；当cos 0x =时，可知2x k ππ=-+，根据x 的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数. 【详解】令()24cos 0x x x -=，可得：240x x -=或cos 0x =当240x x -=时，0x =或4x =（舍） 0x ∴=为函数的一个零点 当cos 0x =时，2x k ππ=-+，k Z ∈,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2x π∴=-，2x π=为函数的零点综上所述，该函数的零点个数为：3个 本题正确结果：3 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解.15．已知向量a ，b 满足(,1),(3,4)a m m b =+=-，且a 在b 方向上的投影是1-，则实数m =_______. 【答案】1【解析】a 在b 方向上的投影为||cos ||a ba b θ⋅=，把向量坐标代入公式，构造出关于m 的方程，求得1m =. 【详解】因为||||cos a b a b θ⋅=，所以4||cos 15||a b m a b θ⋅--===-，解得：1m =，故填：1. 【点睛】本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.16．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.【答案】②④【解析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.三、解答题17．已知53sin cos cos(3)22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）化简()fθ；（2）若3sin 5θ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值．【答案】（1）()cos f θθ=-；（2）4()5f θ=. 【解析】（1）利用诱导公式化简即得()f θ；（2）利用同角的平方关系求出4cos 5θ=-的值，即得解. 【详解】解：（1）53sin cos cos(3)22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos (sin )(cos )(sin )cos θθθθθ--=-cos θ=-．（2）因为3sin 5θ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5θ=-，所以4()5f θ=． 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.18．已知()()()1,1,3,1,,OA OB OC a b ==-=. （1）若,,A B C 三点共线，求,a b 的关系； （2）若2AC AB =,求点C 的坐标. 【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】（1）求出AB 和AC 的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出,AC AB 的坐标，根据2AC AB =得到关于,a b 的方程组，解方程组可得所求点的坐标． 【详解】由题意知，()2,2AB OB OA =-=-，()1,1AC OC OA a b =-=--． （1）∵,,A B C 三点共线， ∴AB ∥AC ，∴()()()21210b a ---⨯-=， ∴2a b +=． (2)∵2AC AB =，∴()()()1,122,24,4a b --=-=-，∴1414a b -=⎧⎨-=-⎩，解得53a b =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标为()5,3-． 【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．19．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧=+的回归系数a ∧，b ∧(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:2122111ˆ,,90,112.3ni in ni i i i ni i ii x y nxyb ay bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】（1）在坐标系中画出5个离散的点；（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】（1）散点图如下：所以从散点图年，它们具有线性相关关系.（2）2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==，于是有2112.354512.31.23905410b -⨯⨯===-⨯， 51,2340.08a y bx =-=-⨯=.（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. 【点睛】本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.20．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示(试卷满分为100分)(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平,哪个班更稳定一些? 【答案】(1)80；(2) （1）班.【解析】（1）从茎叶图可直接得到答案；（2）通过方差公式计算出两个半的方差，方差更小的更稳定. 【详解】（1）从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为7882802+=. （2）由表中数据，易得（1）班的6份成绩的平均数180x =，（2）班的6份成绩的平均数280x =，所以（1）班的6份成绩的方差为()2222222111811342251263s =+++++=；（2）班的6份成绩的方差为()2222222212661287591363s =+++++=.所以有2212s s <，说明（1）班成绩波动较小，（2）班两极分化较严重些，所以（1）班成绩更稳定. 【点睛】本题主要考查中位数，平均数，方差的相关计算和性质，意在考查学生的计算能力及分析能力，难度不大.21．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人? (2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?【答案】(1)12600；(2) .【解析】（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案； （2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人，共有，，，，，，，，，10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185的概率.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.22．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()sin cos 1g x x x x =--. （1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值；（2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）4π（2）4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在⎡⎣的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增， 令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增， 所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π.（2）()()sin cos 1g x x x x =--()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-，设πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣.它的图形如图所示.又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，t ⎡∈⎣，令()21122h t t at =-+-，则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②()h t302-=，得a =a =211022t at -+-=中，得211022t -+-=，解得1t =，2t =，不符合题意. ③当零点在区间(时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意；若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在)+∞内，所以()()10000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得4a >综上，a的取值范围为4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。
2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学试题参考答案
2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学试题参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.B6. D7.C8.C9.A 10.C 11.BC 12.ABD 13.ACD二、填空题14. 89- 15. 16. 6π- 17., 1 三、解答题18.解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ， ……………3分所以2+==a b ……………6分（2）(1,2)m -=--a b ， ……………9分因为与-a b 共线，所以1212m --=，解得4m =. ……………13分 19.解：（1）原式 2sin 3cos 3sin cos αααα+=+………………………………4分 2tan 3183tan 113αα+==+； ……………………………6分（2）因为(0,)2πα∈，3sin 5α=，所以4cos 5α==. ………8分 又因为(0,),(,)22ππαβπ∈∈，所以(,0)αβπ-∈-，所以12sin()13αβ-==-. ……………10分于是sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=--- ……12分3541263()51351365=⨯-⨯-=. ……………13分 20.解：（1）因为A c C a A b cos cos cos 2+=，所以由正弦定理可得 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,……2分即2sin cos sin()sin B A A C B =+=, ……………………………4分因为sin 0B ≠,所以1cos 2=A ，21cos =A ， ……………5分 ),0(π∈A Θ,故3π=A . ……………6分（2）由已知得1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ……………9分 所以222144+999AD AB AB AC AC =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g……………11分 164443cos 99939π=+⨯⨯+⨯769=, 所以219AD =u u u r . ……………13分 21.解：（1）31()cos 2sin 2sin(2)223f x x x x πωωω=+=+， ………………2分 由πωπ=22,得1=ω. ……………3分 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.……………6分 （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 得 ……………8分 54433k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 所以函数)(x g 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………10分 由ππk x =+32，解得22()3x k k ππ=-∈Z . ……………12分 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . ……………13分 22.解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin(2)x A =-. ……………3分 因为()f x 在512x π=时取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k ∈Z , ………………………4分即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=， 所以()sin(2)3f x x π=-. ………………………………………5分 因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)123x π-<-≤， ……………7分 因为关于的方程()=f x t有解，所以的取值范围为(,1]2-．………8分 （2）因为5=a ，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin ()10+=+B C b c ．又sin sin +=B C ，所以8+=b c . ……………11分 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ， ……………14分所以1sin 2ABC S bc A ∆== ……………15分 23. 解：（1）因为点为靠近点的三等分点，13BP =，1tan 3PAB ∠=. ①又因为60PAQ ∠=o ，所以16tan tan(30)13DAQ PAB -∠=-∠==o ； ………3分 ②（法1）122()()339PA PQ DA BA DA CQ CQ =+-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g , ………5分而11CQ DQ =-==u u u r u u u r ,所以219145913117PA PQ --=-+=u u u r u u u r g ； ……………7分（法2）以为坐标原点，分别以,AB AD u u u r u u u r 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ，则()0,0A ,1(1,)3P，6(,1)13Q ， ……………5分 所以1(1,)3PA =--u u u r，2)3PQ =u u u r ， ……………6分所以192145139117PA PQ --=-=u u u r u u u r g ； ……………7分（2）（法1）由题意[0,]6πθ∈，1cos AP θ=， 1cos()6AQ πθ=-， …………9分 所以11sin 602cos cos()6APQ S πθθ∆=⋅⋅⋅-o 1cos cos()6πθθ=⋅-.………10分而1cos cos()cos (sin )622πθθθθθ⋅-=+21sin cos 2θθθ=+112sin 2)22θθ=++1sin(2)23πθ=+, ……………12分[0,]6πθ∈Q ，22[,]333πππθ∴+∈， 当232ππθ+=，即12πθ=时cos cos()6πθθ⋅-取最大值为4，……14分此时APQ ∆的面积最小值为34. ……………15分注：θ的取值范围[0,]6πθ∈，学生写为开区间或半开半闭区间不扣分.（法2）以为坐标原点，分别以,AB AD u u u r u u u r 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ， 则(0,0)A ,(1,tan )P θ，(tan(),1)6Q πθ-，[0,]6πθ∈. ……………8分所以1sin 23APQ S AP AQ π∆=⋅=14cos cos()6πθθ==-，……10分 以下同解法1.。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_5
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知点，向量＝( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接运用向量的坐标表示，求出.【详解】，故本题选A.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，准确记忆向量的坐标公式是解题的关键.2.若a＜b＜c，则下列结论中正确的是（）A. a|c|＜b|c|B. ab＜bcC. a﹣c＜b﹣cD.【答案】C【解析】∵a<b<c，当c=0时，a|c|<b|c|不成立，故A错误；当b=0时，ab<bc不成立，故B错误；a−c<b−c一定成立，故C正确；当a,b,c异号时,>>不成立，故D错误；故选：C3.在等差数列{an}中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．A. 60B. 61C. 62D. 63【答案】B【解析】试题分析：，选B.考点：等差数列通项公式4.已知中，，，则角等于（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接运用正弦定理，可以求出角的大小.【详解】由正弦定理可知：，因为角是的内角，所以，因此角等于，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了数学运算能力.5.等比数列中，那么为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质得：，所以=4.考点：本题考查等比数列的性质。
点评：直接考查等比数列的性质，属于基础题型。
6.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7.已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为( )A. πB.C. 2πD. 3π【答案】C【解析】【分析】设内切球的半径为，利用轴截面，根据三角形等面积公式，可以求出，进而可以求出该圆锥内切球的表面积.【详解】设内切球的半径为，利用轴截面，根据三角形等面积公式，可得，解得，圆锥内切球的表面积为，故本题选C.【点睛】本题考查了圆锥内切球的表面积，考查了数学运算能力.8.已知，为单位向量，设与的夹角为，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，，∴，故选B．9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A. 8B.C.D. 4【答案】B【解析】试题分析：该几何体是一正三棱柱，底面边长为2，高为4，所以，底面三角形的高为，其侧视图面积为4×=，故选B。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_24
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A. B=A∩CB. B∪C=CC. A CD. A=B=C【答案】B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．【详解】因为，，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．考点：诱导公式4.已知中，，，为边上的中点，则( )A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】A【解析】【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，即可判断．【详解】因为，所以三点一定共线．故选：B．【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.【详解】由已知则故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A. 5B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a ，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.14.已知，，，若，则__________．【答案】-3【解析】由可知，解得，15.若为锐角，，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，所以，.16.函数的定义域为__________；【答案】【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．17.已知，则 __________．【答案】【解析】18.有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为21.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求值；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.22.已知函数f(x)＝sin ωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.【答案】（1）f(x)＝sin.（2）【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.试题解析：(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的单调减区间为2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A. B=A∩CB. B∪C=CC. A CD. A=B=C【答案】B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．【详解】因为，，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．考点：诱导公式4.已知中，，，为边上的中点，则( )A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】A【解析】【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，即可判断．【详解】因为，所以三点一定共线．故选：B．【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.【详解】由已知则故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A. 5B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. 2B. 0C. -2D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.14.已知，，，若，则__________．【答案】-3【解析】由可知，解得，15.若为锐角，，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，所以，.16.函数的定义域为__________；【答案】【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．17.已知，则 __________．【答案】【解析】18.有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为21.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求值；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.22.已知函数f(x)＝sin ωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.【答案】（1）f(x)＝sin.（2）【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.试题解析：(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的单调减区间为。