第一章晶体结构(离子晶体课件4-2)
（5）在[SiO4]四面体中，3个氧是桥氧（非活必性氧），1个是非桥 氧（活性氧），活性氧的电价未饱和，必须与其它金属离子连接，用 以饱和O。
结构中O2-离子作变形的六方最紧密堆积，正离子占据一半的八
面体空隙位，并且交替占据，有一半是空的。八面体单元TiO6共边连接
成平行于C轴的链。 这种结构属于四方晶系，简单四方点阵。就一个晶胞而言，Ti4+ 占
据简单四方点阵的顶点和体心位置，O2-则处于上、下底面一组相互平行
对角线上和通过体心并平行于上下底截面上另外方向的一条对角线上， 这三条面对角线上各有两个O2-,它们距离所在面对角线端点的距离同为对
3、A2B3型化合物结构:
其中O 离子近似作六方最紧密堆积（HCP），Al
2-
2-
3+
离子填充在6个O 离子形成有八面体空隙中。 由于 3+ Al/O=2/3，所以Al 占据八面体空隙的2/3，其余1/3的空 隙均匀分布，这样13层构成一个完整周期。刚玉结构 中 正负离子的配位数分别为6和4。
依照Pauling第一规则，钛、氧离子半径比r /r 3+ =0.43>0.414, Al 的C.N.=6,处于八面体空隙位置；依照 3+ 2Pauling第二规则， Al －O 静电强度Si=3/6=1/2。氧离子 为负二价，因此它的配位数为4.
尖晶石的单位细胞
[反尖晶石结构]
在面心立方体点阵中，占Ｔ位和Ｏ位的正离子必须满足：Ａ离子 （占Ｔ位）的半径必须小于Ｂ离子（占Ｏ位）的半径。如果Ａ离子半径 大于Ｂ离子，则Ａ离子占据Ｏ位，Ｂ离子占据Ｔ位。这种结构称作反尖 晶石结构。正离子占据孔隙的情况如下： 32个O2-离子 64个四面体空隙 32个八面体空隙 16个A3+离子 ８个A3+离子 ８个A3+离子
五、硅酸盐的晶体结构
硅酸盐的结构组成：硅氧骨干一硅和氧按不同比例组成的负离子团、 硅氧骨干以外的正离子和负离子。
硅酸盐晶体的结构特点：
(1)构成的基本结构单元是由Si和O组成的[SiO4]4-四面体。 (2)每个O最多只能为两个[SiO4]4-四面体所共用。
(3)[SiO4]四面体中未饱和的O和金属正离子结合后，可以独立地在结 构中存在，也可以通过[SiO4]4-共用四面体顶点连接成单链、双链或 成层状、网状等复杂结构,但不能共棱和共面。同一类硅酸盐中, [SiO4]4-四面体连接方式只有一种。 (4)[SiO4]4-中Si－O－Si结合键不是一条直线,呈145º 夹角。
助熔剂和晶核剂，在水泥工业中常用作矿化剂。TiO2为集 成光学棱镜材料，SiO2为光学材料和压电材料。AX2型结构 中还有一种层型的CdI2和CdCl2型结构，这种材料可作固体 润滑剂。AX2型晶体也具有按r+/r-选取结构类型的倾向， 见表1-2-。
表1-2- AX2型结构类型与r+/r-的关系
金 红 石 （TiO 2）型
0.414~0.732
-方石英型
0.225~0.414
1.萤石（CaF2）型结构及反萤石型结构
立方晶系，点群m3m，空间群Fm3m，如图1-2所示。 Ca2+位于立方晶胞的顶点及面心位置，形成面心立方堆积，F
－填充在八个小立方体的体心。
Ca2+的配位数是8，形成立方配位多面体[CaF8]。F－的配位数
ZnS 型ห้องสมุดไป่ตู้
0.414~0.225
MgTe 0.37 BeTe 0.17
1.NaCl型结构
NaCl属于立方晶系，结
构中Cl－离子作面心立方最
紧密堆积，Na+填充八面体空
隙的100%；两种离子的配位
数均为6；配位多面体为钠氯 八面体[NaCl6]或氯钠八面体 [ClNa6]；八面体之间共棱连 接（共用两个顶点）；一个 晶胞中含有4个NaCl“分子”。
氧离子电价=2/12 ×4+4/6 ×2=2
四、AB2O4型化合物结构
AB2O4型晶体以尖晶石为代表， 式中A为2+价，B为3+价正离子。尖 晶石（MgAl2O4）结构属于立方晶系。 结构中O2-作面心立方最紧密堆 积，Mg2+填充在四面体空隙，Al3+离 子占据八面体空隙。晶胞中含有8 个尖晶石“分子”，即8MgAl2O4， 因此，晶胞中有64个四面体空隙和 32个八面体空隙，其中Mg2+离子占 据四面体空隙的1/8，Al3+离子占据 八面体空隙的1/2。 CN(O2-)={4×1+6 ×2}/4=4 氧离子电价=2/4 ×1+3/6 ×3=2
CaTiQ3（钙钛矿）型结构
结构中Ca2+和O2- 离子一起构成FCC堆积， Ca2+位于顶角， O2-位于 面心，Ti4+位于体心。 Ca2+、Ti4+和O2-的配位数分别为12、6和6。Ti4+占 据八面体空隙的1/4。[TiO6]八面体共顶连接形成三维结构。
多元离子晶体中，正离子配位数与原子数的乘积之和等于负离子配位 数与原子数乘积之和。CN(O2-)={12×1+6 ×1}/3=6
是4，形成[FCa4]四面体，F－占据Ca2+离子堆积形成的四面体
空隙的100%。 晶胞分子数为4。 由一套Ca2+离子的面心立方格子和2套F－离子的面心立方格子 相互穿插而成。
（a）晶胞结构图
（b）[CaF8]立方体 及其连接
（c）[FCa4]四面体及 其连接
图1-2- 萤石型结构
2.金红石（TiO2）型结构
r+/r1.000~0.732 0.732~0.414 CsCl 0.91 KF RbCl PbBr SrS SrSe MgO NaBr LiCl 1.00 0.82 0.76 0.73 0.66 0.59 0.50 0.43 实例（右边数据为 r+/r-比值） CsBr 0.84 CsI 0.75 BaO 0.96 RbF 0.89 CaO 0.80 CsF 0.80 NaF 0.74 KCl 0.73 KBr 0.68 BaTe 0.68 KI 0.61 SrTe 0.60 CaSe 0.56 NaCl 0.54 MgS 0.49 NaI 0.44 LiBr 0.40 LiF 0.35 BeS 0.20 BeSe 0.18 SrO 0.96 BaS 0.82 BaSe 0.75 RbI 0.68 CaS 0.62 LiF 0.59 CaTe 0.50 MgSe 0.41 BeO 0.26
+ -
-Al2O3的结构
三、ABO3型化合物结构
ABO3型结构中，如果A离子与氧离子尺寸相差较大，则形成钛铁 矿型结构，如果A离子与氧离子尺寸大小相同或相近，则形成钙钛矿 型结构，其中A离子与氧离子一起构成FCC面心立方结构。 FeTiO3 ： 结构可以通过刚玉结构衍生而来。将刚玉结构中的2个三价阳离子用二 价和四价或一价和五价的两种阳离子置换便形成钛铁矿结构。 铝离子用两种阳离子置换有两种方式。（1）置换后Fe层和Ti层交替排 列构成钛铁矿结构，属于这种结构的化合物有MgTiO3、MnTiO3、 FeTiO3、CoTiO3、LiTaO3等。（2）置换后在同一层内一价和五价离 子共存，形成LiNbO3或LiSbO3结构，
（1）结构解析
纤锌矿属于六方晶系，点群6mm，空间群P63mc，晶胞结构
如图1-2所示。 结构中S2-作六方最紧密堆积，Zn2+占据四面体空隙的 1/2，Zn2+和S2-离子的配位数均为4。六方柱晶胞中ZnS的“分子 数”为6，平行六面体晶胞中，晶胞分子数为2。结构由Zn2+和
S2-离子各一套六方格子穿插而成 。
3.CsCl型结构
CsCl属于立方晶系，结构中 正负离子作简单立方堆积，配位 数均为8，晶胞分子数为1，键性 为离子键。CsCl晶体结构也可以 看作正负离子各一套简单立方格
子沿晶胞的体对角线位移1/2体对
角线长度穿插而成。
CsCl晶胞图
4.六方ZnS（纤锌矿，wurtzite ）型结构及热释电性
常见纤锌矿结构的晶体有BeO、ZnO、CdS、GaAs等晶体。
图1-2- 纤锌矿结构六方柱晶胞
二、AX2型结构
AX2型结构主要有萤石（CaF2，fluorite）型，金红石
（TiO2，rutile）型和方石英（SiO2，-cristobalite）
型结构。其中CaF2为激光基质材料，在玻璃工业中常作为
结构类型 r+/r实例（右边数据为 r+/r-比值） BaF 2 PbF 2 CaF 2 CdF 2 HfF 2 TeO 2 CoF 2 SnO 2 OsO 2 VO 2 MnO 2 SiO 2 1.05 0.99 SrF 2 0.95 HgF 2 0.84 ThO 2 0.84 0.80 UO 2 0.79 CeO 2 0.77 PrO 2 0.76 0.74 ZrO 2 0.71 0.67 ZrF 2 0.67 0.67 0.62 0.56 0.51 0.46 0.39 0.29 MnF 2 0.66 PbO 2 0.64 FeF 2 0.62 ZnF 2 0.62 NiF 2 0.59 MgF 2 0.58 NbO 2 0.52 MoO 2 0.52 WO 2 0.52 IrO 2 0.50 RuO 2 0.49 TiO 2 0.48 GeO 2 BeF 2 0.36 0.27 萤石（CaF 2） 0.732 型
角线长的1/4，
Ti4+离子的配位数是6，形成[TiO6]八面体。O2-离子的配位数是3，形 成[OTi3]平面三角单元。Ti4+填充八面体空隙的1/2。晶胞中TiO2的分子 数为2。
（a）负离子多面体图
（b） 晶胞结构图
图1-2- 金红石（TiO2）型结构
依照Pauling第一规则，钛、氧离子半径比r+/r-=0.48>0.414, Ti4+的C.N.=6,处于 八面体空隙位置；依照Pauling第二规则，Ti4+－O2-静电强度Si=4/6=2/3。氧离子 为负二价，因此它的配位数为３，即每个钛离子同时与３个氧离子形成静电键， 也就是说，氧离子八面体的顶点氧离子同时与３个氧离子八面体所共用。
结构中O2-离子作变形的六方最紧密堆积，正离子占据一半的八
面体空隙位，并且交替占据，有一半是空的。八面体单元TiO6共边连接
成平行于C轴的链。 这种结构属于四方晶系，简单四方点阵。就一个晶胞而言，Ti4+ 占
据简单四方点阵的顶点和体心位置，O2-则处于上、下底面一组相互平行
对角线上和通过体心并平行于上下底截面上另外方向的一条对角线上， 这三条面对角线上各有两个O2-,它们距离所在面对角线端点的距离同为对
3、A2B3型化合物结构:
其中O 离子近似作六方最紧密堆积（HCP），Al
2-
2-
3+
离子填充在6个O 离子形成有八面体空隙中。 由于 3+ Al/O=2/3，所以Al 占据八面体空隙的2/3，其余1/3的空 隙均匀分布，这样13层构成一个完整周期。刚玉结构 中 正负离子的配位数分别为6和4。
依照Pauling第一规则，钛、氧离子半径比r /r 3+ =0.43>0.414, Al 的C.N.=6,处于八面体空隙位置；依照 3+ 2Pauling第二规则， Al －O 静电强度Si=3/6=1/2。氧离子 为负二价，因此它的配位数为4.
尖晶石的单位细胞
[反尖晶石结构]
在面心立方体点阵中，占Ｔ位和Ｏ位的正离子必须满足：Ａ离子 （占Ｔ位）的半径必须小于Ｂ离子（占Ｏ位）的半径。如果Ａ离子半径 大于Ｂ离子，则Ａ离子占据Ｏ位，Ｂ离子占据Ｔ位。这种结构称作反尖 晶石结构。正离子占据孔隙的情况如下： 32个O2-离子 64个四面体空隙 32个八面体空隙 16个A3+离子 ８个A3+离子 ８个A3+离子
五、硅酸盐的晶体结构
硅酸盐的结构组成：硅氧骨干一硅和氧按不同比例组成的负离子团、 硅氧骨干以外的正离子和负离子。
硅酸盐晶体的结构特点：
(1)构成的基本结构单元是由Si和O组成的[SiO4]4-四面体。 (2)每个O最多只能为两个[SiO4]4-四面体所共用。
(3)[SiO4]四面体中未饱和的O和金属正离子结合后，可以独立地在结 构中存在，也可以通过[SiO4]4-共用四面体顶点连接成单链、双链或 成层状、网状等复杂结构,但不能共棱和共面。同一类硅酸盐中, [SiO4]4-四面体连接方式只有一种。 (4)[SiO4]4-中Si－O－Si结合键不是一条直线,呈145º 夹角。
助熔剂和晶核剂，在水泥工业中常用作矿化剂。TiO2为集 成光学棱镜材料，SiO2为光学材料和压电材料。AX2型结构 中还有一种层型的CdI2和CdCl2型结构，这种材料可作固体 润滑剂。AX2型晶体也具有按r+/r-选取结构类型的倾向， 见表1-2-。
表1-2- AX2型结构类型与r+/r-的关系
金 红 石 （TiO 2）型
0.414~0.732
-方石英型
0.225~0.414
1.萤石（CaF2）型结构及反萤石型结构
立方晶系，点群m3m，空间群Fm3m，如图1-2所示。 Ca2+位于立方晶胞的顶点及面心位置，形成面心立方堆积，F
－填充在八个小立方体的体心。
Ca2+的配位数是8，形成立方配位多面体[CaF8]。F－的配位数
ZnS 型ห้องสมุดไป่ตู้
0.414~0.225
MgTe 0.37 BeTe 0.17
1.NaCl型结构
NaCl属于立方晶系，结
构中Cl－离子作面心立方最
紧密堆积，Na+填充八面体空
隙的100%；两种离子的配位
数均为6；配位多面体为钠氯 八面体[NaCl6]或氯钠八面体 [ClNa6]；八面体之间共棱连 接（共用两个顶点）；一个 晶胞中含有4个NaCl“分子”。
氧离子电价=2/12 ×4+4/6 ×2=2
四、AB2O4型化合物结构
AB2O4型晶体以尖晶石为代表， 式中A为2+价，B为3+价正离子。尖 晶石（MgAl2O4）结构属于立方晶系。 结构中O2-作面心立方最紧密堆 积，Mg2+填充在四面体空隙，Al3+离 子占据八面体空隙。晶胞中含有8 个尖晶石“分子”，即8MgAl2O4， 因此，晶胞中有64个四面体空隙和 32个八面体空隙，其中Mg2+离子占 据四面体空隙的1/8，Al3+离子占据 八面体空隙的1/2。 CN(O2-)={4×1+6 ×2}/4=4 氧离子电价=2/4 ×1+3/6 ×3=2
CaTiQ3（钙钛矿）型结构
结构中Ca2+和O2- 离子一起构成FCC堆积， Ca2+位于顶角， O2-位于 面心，Ti4+位于体心。 Ca2+、Ti4+和O2-的配位数分别为12、6和6。Ti4+占 据八面体空隙的1/4。[TiO6]八面体共顶连接形成三维结构。
多元离子晶体中，正离子配位数与原子数的乘积之和等于负离子配位 数与原子数乘积之和。CN(O2-)={12×1+6 ×1}/3=6
是4，形成[FCa4]四面体，F－占据Ca2+离子堆积形成的四面体
空隙的100%。 晶胞分子数为4。 由一套Ca2+离子的面心立方格子和2套F－离子的面心立方格子 相互穿插而成。
（a）晶胞结构图
（b）[CaF8]立方体 及其连接
（c）[FCa4]四面体及 其连接
图1-2- 萤石型结构
2.金红石（TiO2）型结构
r+/r1.000~0.732 0.732~0.414 CsCl 0.91 KF RbCl PbBr SrS SrSe MgO NaBr LiCl 1.00 0.82 0.76 0.73 0.66 0.59 0.50 0.43 实例（右边数据为 r+/r-比值） CsBr 0.84 CsI 0.75 BaO 0.96 RbF 0.89 CaO 0.80 CsF 0.80 NaF 0.74 KCl 0.73 KBr 0.68 BaTe 0.68 KI 0.61 SrTe 0.60 CaSe 0.56 NaCl 0.54 MgS 0.49 NaI 0.44 LiBr 0.40 LiF 0.35 BeS 0.20 BeSe 0.18 SrO 0.96 BaS 0.82 BaSe 0.75 RbI 0.68 CaS 0.62 LiF 0.59 CaTe 0.50 MgSe 0.41 BeO 0.26
+ -
-Al2O3的结构
三、ABO3型化合物结构
ABO3型结构中，如果A离子与氧离子尺寸相差较大，则形成钛铁 矿型结构，如果A离子与氧离子尺寸大小相同或相近，则形成钙钛矿 型结构，其中A离子与氧离子一起构成FCC面心立方结构。 FeTiO3 ： 结构可以通过刚玉结构衍生而来。将刚玉结构中的2个三价阳离子用二 价和四价或一价和五价的两种阳离子置换便形成钛铁矿结构。 铝离子用两种阳离子置换有两种方式。（1）置换后Fe层和Ti层交替排 列构成钛铁矿结构，属于这种结构的化合物有MgTiO3、MnTiO3、 FeTiO3、CoTiO3、LiTaO3等。（2）置换后在同一层内一价和五价离 子共存，形成LiNbO3或LiSbO3结构，
（1）结构解析
纤锌矿属于六方晶系，点群6mm，空间群P63mc，晶胞结构
如图1-2所示。 结构中S2-作六方最紧密堆积，Zn2+占据四面体空隙的 1/2，Zn2+和S2-离子的配位数均为4。六方柱晶胞中ZnS的“分子 数”为6，平行六面体晶胞中，晶胞分子数为2。结构由Zn2+和
S2-离子各一套六方格子穿插而成 。
3.CsCl型结构
CsCl属于立方晶系，结构中 正负离子作简单立方堆积，配位 数均为8，晶胞分子数为1，键性 为离子键。CsCl晶体结构也可以 看作正负离子各一套简单立方格
子沿晶胞的体对角线位移1/2体对
角线长度穿插而成。
CsCl晶胞图
4.六方ZnS（纤锌矿，wurtzite ）型结构及热释电性
常见纤锌矿结构的晶体有BeO、ZnO、CdS、GaAs等晶体。
图1-2- 纤锌矿结构六方柱晶胞
二、AX2型结构
AX2型结构主要有萤石（CaF2，fluorite）型，金红石
（TiO2，rutile）型和方石英（SiO2，-cristobalite）
型结构。其中CaF2为激光基质材料，在玻璃工业中常作为
结构类型 r+/r实例（右边数据为 r+/r-比值） BaF 2 PbF 2 CaF 2 CdF 2 HfF 2 TeO 2 CoF 2 SnO 2 OsO 2 VO 2 MnO 2 SiO 2 1.05 0.99 SrF 2 0.95 HgF 2 0.84 ThO 2 0.84 0.80 UO 2 0.79 CeO 2 0.77 PrO 2 0.76 0.74 ZrO 2 0.71 0.67 ZrF 2 0.67 0.67 0.62 0.56 0.51 0.46 0.39 0.29 MnF 2 0.66 PbO 2 0.64 FeF 2 0.62 ZnF 2 0.62 NiF 2 0.59 MgF 2 0.58 NbO 2 0.52 MoO 2 0.52 WO 2 0.52 IrO 2 0.50 RuO 2 0.49 TiO 2 0.48 GeO 2 BeF 2 0.36 0.27 萤石（CaF 2） 0.732 型
角线长的1/4，
Ti4+离子的配位数是6，形成[TiO6]八面体。O2-离子的配位数是3，形 成[OTi3]平面三角单元。Ti4+填充八面体空隙的1/2。晶胞中TiO2的分子 数为2。
（a）负离子多面体图
（b） 晶胞结构图
图1-2- 金红石（TiO2）型结构
依照Pauling第一规则，钛、氧离子半径比r+/r-=0.48>0.414, Ti4+的C.N.=6,处于 八面体空隙位置；依照Pauling第二规则，Ti4+－O2-静电强度Si=4/6=2/3。氧离子 为负二价，因此它的配位数为３，即每个钛离子同时与３个氧离子形成静电键， 也就是说，氧离子八面体的顶点氧离子同时与３个氧离子八面体所共用。
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第一章 晶体结构
1.点对称操作
点对称操作：对称操作前后空间中至少保持一个不动的点的操作.
（1）n度旋转对称 2 n度旋转对称轴：晶体绕旋转 后仍能复原的轴. n 晶体只具有1、2、3、4、6度对称轴. （2）中心反演 中心反演的对称元素是一个点，中心反演操作用i表示. i操作作用 于（x，y，z）使之变换为（-x，-y，-z）. 目录
（3）镜像(m，对称素为面) 镜像操作常用m表示，镜像的操作的对称元素是平面. 若选z＝0为对称面，该操作使点（x，y，z）变换为（x，y，-z） （4）n度旋转反演对称 该操作由n度旋转对称和中心反演两个操作组成.晶体先绕一固定轴 旋转 2 n后，再经过中心反演，晶体能与自身重合.该轴称为n度旋 转反演轴. 晶体n度旋转反演对称中n只能取1，2，3，4，6中的数值，通常用 n 表示n度旋转反演轴. 注： a.1度旋转反演对称与中心反演i实质是同一操作. b. 2度旋转反演对称与镜像m实质是同一操作.
a
ak
a1 a 2 a j
a3
目录
ai
a-Fe的晶体结构
固体物理学原胞的体积: 3.面心立方（fcc）结构
Ω a1 (a2 a3 ) a
3
2
每个晶胞包含4个 格点.基矢为：
a a1 ( j k ) 2 a a2 ( k i ) 2 a a3 (i j ) 2
abc
900
5.四角系： a b c 900 (正方晶系) 6.六角晶系： 900 1200
abc
7.立方晶系： 900
abc
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14) 目录
第一章 晶体结构基础
第一章晶体结构基础1-1 NaCl晶体结构中的每个Na+离子周围与它最接近的且距离相等的Na+离子共有多少个？1-2 天然或绝大部分人工制备的晶体都存在各种缺陷，例如，在某种NiO晶体中就存在如下图所示的缺陷：一个Ni+空缺，另有两个Ni2+被两个Ni3+所取代。
其结果晶体仍然呈电中性，但化合物中Ni∶O的个数比发生了变化。
某种NiO样品组O，试计算该晶体中Ni3+与Ni2+的离子数之比。
成为Ni0.971-3 Ni单晶属立方最紧密堆积结构，其晶胞的一面如下图所示：A：一个晶胞中有几个Ni原子？B：已知Ni原子的半径为125pm，其晶胞的边长是多少？1-4 铜单晶属立方最紧密堆积结构，其晶胞的边长为361pm。
计算Cu原子的半径及其密度（Cu的原子量为63.55）。
1-5金属铝属立方晶系，其边长为405pm。
假定它的密度是 2.70g/cm3，原子量为26.98，确定晶胞的类型（简单立方、体心立方或面心立方）。
1-6 某金属单质具有体心立方结构，晶胞的边长为286pm，密度是7.92g/cm3，计算该金属的原子量。
1-7 定义下述术语，并注意它们之间的联系和区别：晶系；点群；空间群；平移群；空间点阵1-8 四方晶系晶体a＝b，c＝1/2a。
一晶面在X、Y．Z轴上的截距分别为2a, 3b 和6c。
给出该晶面的密勒指数。
1-9 在立方晶系中画出下列晶面：a）（001）b）（110）c）（111）1-10 在上题所画的晶面上分别标明下列晶向：a(210) b(111) c(101)1-11 立方晶系组成{111}单形的各晶面构成一个八面体，请给出所有这些晶面的密勒指数。
1-12 a≠b≠c α=β=γ=90℃的晶体属什么晶系？a≠b≠c α≠β≠γ≠90℃的晶体属什么晶系？你能否据此确定这二种晶体的布拉维点阵？1 –11 图示单斜格子的(010)面上的结点排布。
试从中选出单位平行六面体中的a和c。
1 –12 为什么等轴晶系有原始、面心、体心而无底心格子？1 –13 为什么在单斜晶系的布拉维格子中有底心C格子而无底心B格子？1-14 试从立方面心格子中划分出一三方菱面体格子，并给出其晶格常数。
固体物理课件
e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
§1.3 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。 定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重 复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 R n a n a n a n 1 n 2 n 3 、 、 a1 a2 。其中， 、 、 取整数， n 1 1 2 2 3 3 a Rn 为基矢， 为布拉菲格子的格矢，或称 正格矢。 3 能用上式表示的空间点阵称为布拉菲点阵，相应的 空间格子称为布拉菲格子．
§1.2 空间点阵
空间点阵定义： 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这 些点子的总体称为点阵。 X射线衍射技术从实验上证明。
1、格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成 的，则格点代表原子或原子周围相应点的位置, 如铜的晶体结构。 点阵（lattice） 在空间任何方向 上均为周期排列的无 限个全同点的集合。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原 子。显然,每一种等价原子各构成与晶体基元代表 点的空间格子相同的网格 , 称为晶体的 子晶格 . 每 一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构，整 个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该晶 体晶格称为复式晶格． 例如：氯化钠晶体
晶体结构(结构 晶面指数)ppt课件
School of Physics and Information
SchToeoclhonfoloPghyy,sSiNcsNUand Information Technology, SNNU
CsCl 结构式
2. CsCl 结构——由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2
的长度套构而成
Cs+（0,0,0），Cl-（0.5,0.5,0.5）， Cs+ 平移（0.5,0.5,0.5）即可变为Cl-， Cs+和Cl离子各自构成简单立方结构
晶 体：是指其内部的原子、分子、离子或其集团在三维空间呈周期 排列的固体，表现为长程有序（在微米量级范围是有序的）
非晶体：无规则的，无序的或短程有序的。
在X射线中出现明显衍射峰的称为晶体 （微米量级甚至纳米量级）
晶体分为： 单晶体 多晶体；有机晶体 无机晶体 完整晶体 非完整晶体
Pb(Zr,Ti)O 3
金刚石晶格碳1位置碳2位置其中informationtechnologysnnuwignerseitz原胞定义以任意一个格点为中心以此格点与一切相邻格点连线的中垂面为界面围成的最小多面体特点总是代表其点阵的点群对称性总是原胞最自然最漂亮的原胞能反映晶体对称性的最小重复单元平面六角bccfcc正十二面体schoolinformationtechnologysnnubravais格子的特点所有格点周围的环境都是一样的但沿不同方向上的物理性质不同的各向异性bravais格子的格点可以看成分布在一系列平行的直线上晶列晶列的指向晶向crystaldirection晶向指数的确定步骤晶向指数的确定步骤11以晶胞中的某一阵点为原点以三条棱边为以晶胞中的某一阵点为原点以三条棱边为轴并以晶胞棱边的长度为单位长度
SchToeoclhonfoloPghyy,sSiNcsNUand Information Technology, SNNU
CsCl 结构式
2. CsCl 结构——由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2
的长度套构而成
Cs+（0,0,0），Cl-（0.5,0.5,0.5）， Cs+ 平移（0.5,0.5,0.5）即可变为Cl-， Cs+和Cl离子各自构成简单立方结构
晶 体：是指其内部的原子、分子、离子或其集团在三维空间呈周期 排列的固体，表现为长程有序（在微米量级范围是有序的）
非晶体：无规则的，无序的或短程有序的。
在X射线中出现明显衍射峰的称为晶体 （微米量级甚至纳米量级）
晶体分为： 单晶体 多晶体；有机晶体 无机晶体 完整晶体 非完整晶体
Pb(Zr,Ti)O 3
金刚石晶格碳1位置碳2位置其中informationtechnologysnnuwignerseitz原胞定义以任意一个格点为中心以此格点与一切相邻格点连线的中垂面为界面围成的最小多面体特点总是代表其点阵的点群对称性总是原胞最自然最漂亮的原胞能反映晶体对称性的最小重复单元平面六角bccfcc正十二面体schoolinformationtechnologysnnubravais格子的特点所有格点周围的环境都是一样的但沿不同方向上的物理性质不同的各向异性bravais格子的格点可以看成分布在一系列平行的直线上晶列晶列的指向晶向crystaldirection晶向指数的确定步骤晶向指数的确定步骤11以晶胞中的某一阵点为原点以三条棱边为以晶胞中的某一阵点为原点以三条棱边为轴并以晶胞棱边的长度为单位长度
第一章 晶体结构
σ (m)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
(完整版)固体物理课件ppt完全版
布拉伐格子 + 基元 = 晶体结构
③ 格矢量：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其
他格点的矢量 Rl 称为格矢量。可表示为
Rl
l1a1
l2a2
l3a3
，
a1,
a2 ,
a3为
一组基矢
注意事项：
1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的
2
4x
·
1
3
二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法 2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子
2·堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A
层，中间的三个原子为 B 层
3·原胞：
a, 1
a 2
在密排面内，互成1200角，a3
沿垂直
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
B A
六角密排晶格的堆积方式
A
a
B c
六角密排晶格结构的典型单元
a3
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
4·注意: A 层中的原子≠ B 层中的原子 → 复式晶格
bγ a
b a
b a
b a
简六体心底正简单三面心正单方底心单心交 立斜交斜 方 简单立方体心正交面立方简四体心四方简单正交简单菱方简单单斜单方
二 、原胞
所有晶格的共同特点 — 具有周期性（平移对称性）
描
用原胞和基矢来描述
述
方
位置坐标描述
式
1、 定义：
原胞：一个晶格最小的周期性单元，也称为固体物理 学原胞
a1, a2 , a3 为晶格基矢
复式晶格：
l1, l2 , l3 为一组整数
每个原子的位置坐标：r l1a1 l2a2 l3a3
鲍林规则.离子晶体结构ppt课件
3
2．电价规则（鲍林第二规则）
在一个稳定的离子型晶体结构中，每一个负离子的电价
Z-应该等于（或近似等于）其邻近的正离子到该负离子
的各静电键强度 S 的总和 Z
Si
(
Z n
)i
。
其中Si为第i种正离子静电键强度，Z+为正离子的电荷， n为其配位数。
静电键强度实际是离子键强度，也是晶体结构稳定性 的标志。
(3)属于CsCl结构:CsBr，CsI
9
２、NaCl型结构
11））鲍鲍林林规规则则：： ①第一规则： ①第一规则：
rNa rNa
0.095nm, r 0.095nm,Crl
Cl
0.181nm, r 0.181nm,r
r r
0.502.552，5 ，0.401.44-104.7-03.27，32C，NC+=N6=，6，
四个[CaF8] 共顶相连
③[CaF8]立方体可以共棱和共面相连，实际上共棱相连
12
(2）结构特点 立方晶系,面心立方点阵，把Ca2+作立方堆积，F占据全部四面体空隙，若F-作立方堆积，Ca2+只 占据一半的立方体空隙。 • 从空间格子观点看，一套Ca2+面心立方格子与两 套F-面心立方格子穿插而成。 晶胞内有4个CaF2分子。
正离子之间，有尽量互不结合的趋势（特别倾向于共顶相连）。 如硅酸盐晶体M2S，存在[MgO6]八面体，[SiO4]四面体，∵Si4+Si4+斥力＞Mg2+- Mg2+∴[SiO4]孤立存在，[SiO4]与 [MgO6]共顶， 共棱相连，结构才稳定。 5．节约规则（鲍林第五规则） 在同一晶体中，同种正离子与同种负离子的结合方式应最大限 度地趋于一致。
2．电价规则（鲍林第二规则）
在一个稳定的离子型晶体结构中，每一个负离子的电价
Z-应该等于（或近似等于）其邻近的正离子到该负离子
的各静电键强度 S 的总和 Z
Si
(
Z n
)i
。
其中Si为第i种正离子静电键强度，Z+为正离子的电荷， n为其配位数。
静电键强度实际是离子键强度，也是晶体结构稳定性 的标志。
(3)属于CsCl结构:CsBr，CsI
9
２、NaCl型结构
11））鲍鲍林林规规则则：： ①第一规则： ①第一规则：
rNa rNa
0.095nm, r 0.095nm,Crl
Cl
0.181nm, r 0.181nm,r
r r
0.502.552，5 ，0.401.44-104.7-03.27，32C，NC+=N6=，6，
四个[CaF8] 共顶相连
③[CaF8]立方体可以共棱和共面相连，实际上共棱相连
12
(2）结构特点 立方晶系,面心立方点阵，把Ca2+作立方堆积，F占据全部四面体空隙，若F-作立方堆积，Ca2+只 占据一半的立方体空隙。 • 从空间格子观点看，一套Ca2+面心立方格子与两 套F-面心立方格子穿插而成。 晶胞内有4个CaF2分子。
正离子之间，有尽量互不结合的趋势（特别倾向于共顶相连）。 如硅酸盐晶体M2S，存在[MgO6]八面体，[SiO4]四面体，∵Si4+Si4+斥力＞Mg2+- Mg2+∴[SiO4]孤立存在，[SiO4]与 [MgO6]共顶， 共棱相连，结构才稳定。 5．节约规则（鲍林第五规则） 在同一晶体中，同种正离子与同种负离子的结合方式应最大限 度地趋于一致。
材料科学基础第一章晶体结构(二决定离子晶体结构的基本因素)
图1-5 球体在平面上的最紧密堆积
面心立方最紧密堆积和六方最紧密堆积
球体在空间的堆积是按照ABAB……的层序来堆积。 这样的堆积中可以取出一个六方晶胞，称为六方最紧密堆 积，见图1-6 （a） 。
另一种堆积方式是按照ABCABC……的堆积方式。 这样的堆积中可以取出一个面心立方晶胞，称为面心立方 最紧密堆积。面心立方堆积中，ABCABC……重复层面 平行于（111）晶面，见图1-6（b）。
两种最紧密堆积中，每个球体周围同种球体的个数均 为12。
图1-6 (a)ABCABC…层序堆积 (b)ABAB……的层序堆积
—面心立方密堆积
—六方密堆积
两种三层堆叠方式
ABA: 第三层位于第一层 正上方
ABC: 第三层位于一二层间隙
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
晶体结构中正、负离子的配位数的大小由结构中正、 负离子半径的比值来决定，根据几何关系可以计算出正 离子配位数与正、负离子半径比之间的关系，其值列于 表1-3。因此，如果知道了晶体结构是由何种离子构成的， 则从r＋/r－比值就可以确定正离子的配位数及其配位多面 体的结构。
anion polyhedron
自身被极化和极化周围其它离子两个作用同时存在，一般只 考虑正离子对负离子的极化作用。
（1）正离子半径较小，电价较高，极化力表现明显，不易 被极化。
（2）负离子则相反，经常表现出被极化的现象，电价小而 半径较大的负离子（如I－，Br－等）尤为显著。
（3）当正离子为18电子构型时，如 Cu＋、Ag＋，必须考虑 负离子对正离子的极化作用，以及由此产生的诱导偶极矩所引起的 附加极化效应。
极化上升
材料科学基础第一章晶体结构(一结晶学基础知识)
说明： a 指数意义：代表一组平行的晶面； b 0的意义：面与对应的轴平行； c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相
同），空间位向不同的各组晶面。用{hkl}表示。 e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0; f 立方晶系若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
（2）晶面指数的标定 a 建立坐标系：确定原点（非阵点）、坐标轴和度量单位。 b 量截距：x,y,z。 c 取倒数：h’,k’,l’。 d 化整数：h,k,k。 e 加圆括号：(hkl)。 （最小整数？）
（2）晶面指数的标定
例：标定下列A,B,C面的指数。
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
平移坐标原点：为了标定方便。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图1-4所示，是边长为a，高为c的 六方棱柱体。
四轴定向：晶面符号一般写为（hkil），指数的排 列顺序依次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d 三轴间夹角为120o，c轴与它1们垂直。它们之间的关系为： i=－（h＋k）。
晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶 面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上截距的倒数的互 质整数比。
晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结点 等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶 向。 同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何 一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点 分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点 也可以处于所有晶向上。