一次函数与一元一次方程及一元一次不等式
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系随着数学的学习深入，我们会发现一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系。
在本文中，我将对这三者之间的关系进行探讨。
一元一次方程一元一次方程是数学中非常基础的概念，它表达的是一个未知数的值需要满足的条件。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0（其中a和b为已知数，x为未知数）。
它有且只有一个解，解为x=-b/a。
我们可以通过将未知数表示出来，来解决各种各样的问题。
比如：“丽丽现在的年龄是小明的三倍，而小明现在的年龄是5岁，那么请问丽丽现在的年龄是多少岁？”这个问题可以表示成x=3*5，即x=15岁。
一元一次不等式一元一次不等式也可以表示为类似于ax+b≥0或者ax+b＜0的形式，它要求未知数满足一定的条件。
比如：“一个小卖部卖饮料，每一瓶饮料的成本是1元，销售价格是3元，如果要利润不少于4元，那么至少需要卖出几瓶饮料？”这个问题可以表示成x*2≥4，即x≥2瓶。
一次函数一次函数是以一次方程（即y=kx+b）为基础，表示为y=f(x)的函数。
事实上，一次函数可以通过一元一次方程的解析式来表示出来。
（y-y1）=k(x-x1)对应解析式为y=kx+(y1-kx1)。
因为一次函数中的k的值表示的是斜率，所以通过一次函数可以得到许多信息。
比如：两点之间的距离公式（d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²）就可以表示为一次函数的形式。
如果我们要获得两个点的连线的斜率，那么只需要除以偏移量（即两个点在x轴上的距离）即可。
三者之间的关系可以看到，这三个数学概念之间有着紧密的联系。
具体而言，一元一次不等式可以看成在直线上面的点构成的区域，这个区域里面的点都是满足不等式的，而不在这个区域内的点则不满足这个不等式。
一元一次方程和一次函数则可以在二维坐标系上表示。
其中，一元一次方程对应的是一条直线，而一次函数则对应的是一条斜率为k，截距为b的直线。
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学设计
5.拓展延伸，提升能力
-设计富有挑战性的拓展题目，激发学生的求知欲，提升学生的数学思维能力。
-结合现实问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识。
6.关注情感，营造氛围
-关注学生的情感需求，营造轻松、愉快的学习氛围，降低学生对数学的恐惧感。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习阶段，我将设计不同难度的习题，帮助学生巩固所学知识，形成技能。
首先，我设计一些基础题，让学生独立完成，检验学生对一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的基本概念和性质的掌握程度。然后，我逐步提高题目难度，让学生在练习中提高解题能力。
在练习过程中，我关注学生的解题方法，引导学生总结解题策略。对于学生在解题过程中遇到的问题，我及时给予解答，帮助学生突破难点。
（2）在实际问题中，如何将一元一次方程和一元一次不等式应用于求解？
5.思考题：请同学们思考以下问题，下节课分享自己的观点：
（1）一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在实际生活中的应用有哪些？
（2）如何运用所学知识解决现实生活中的问题？
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，书写工整，保持卷面整洁。
2.对于拓展题和小组合作探究题，同学们可以互相讨论、交流，但需独立完成作业。
-掌握一元一次不等式的符号规则，如不等式两边加减、乘除同一正数时不等号方向的变化。
-学会使用数轴、区间表示不等式的解集，并能够通过图像直观理解不等式的解。
-能够将现实生活中的不等关系抽象为一元一次不等式，并求解。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重以下方法与过程：
1.通过情境导入、问题引导的方式，激发学生对一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的探究兴趣。
一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系
１、一元一次方程于一元一次不等式的关系： 当 函数值确定 时，求 与之对应的自变量
的值，就是解一元一次方程。从图象上看，这 相当于已知 横坐标 ，确定 纵坐标 的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系： （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0） 是一次函数y=ax+b（a≠0）• 的函数值 y 不等于０ 的情形． （2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的 图像）的x的取值范围是ax+b ＞ 0的解集；使 函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是 ax+b ＜ 0的解集．
一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端 挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过 30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹 簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏， 弹簧的长度是ycm。 （1）、求y与x之间的函数关系式， 并画出函数的图象。
（2）、求弹簧所挂物体的最大质量是 多少？ （3）、能否用不等式求解问题（2）？
例1 如图是一个一次函数的图像，请根据图像回 答问题： （1）求出直线对应的一次函数的表达式 ； （2）当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝ ； 当y=4时,x= .
1 （3）一元一次方程 x 2 0 2 1 和一次函数 y x 2 2
有什么联系？
例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求： （1）不等式-3x+12>0的解集． （2）不等式-3x+12≤0的解集． （3）当2<y<16时,x的取值范围.收获和体会Fra bibliotek随堂演练
1、p32页练习。 2、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ； 3、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 4、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，
17.5.2 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
17.5 实践与探索第2课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系【教学目标】知识目标：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.过程与方法：通过观察，分析一次函数与一元一次不等式（或方程）的内在联系. 情感与态度：在探索新知的过程中体会数形结合的思想.【重点】利用图象解一元一方程、一元一次不等式.【难点】一次函数与一元一次不等式的关系.【教学方法】探究式教学法【教学过程】情境导入：通过上节课的学习我们知道，两个一次函数图象的交点坐标就是函数关系式所组成的二元一次方程组的解。
据此，我们可以利用图象法来求二元一次方程组的解。
能否利用图象来解一元一次方程、一元一次不等式？探究活动一1、一次函数 y= -x-2的图象与x轴的交点坐标为（，），与y轴的交点坐标为（，）2、在平面直角坐标系中画出该函数的图象3、观察图象，指出：(1)x 取什么值时，函数值y = 0？ (2)x 取什么值时，函数值y > 0？ (3)x 取什么值时，函数值y < 0？结论:1、求一元一次方程ax+b=0的解，就是求一次函数y=ax+b 的图象与x 轴交点的横坐标的值.2、求不等式ax+b>0（或<0）的解集，就是求一次函数y=ax+b 的图象在x 轴上方（或下方）时对应横坐标的取值范围. 跟踪训练1、根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集。
(1)3x+6>0 (2)3x+6 ≤0(3) –x+3 ≥0 (4) –x+3<0x2、根据函数y= 的图像，直接写出：3.如右图, 一次函数 的图象经过点 ,则关于x 的不等式的解集为________________.探究活动二做一做：请在同一坐标系中画出函数 y ＝2x －5和y ＝－x ＋1的图象的解方程0525)1(=+-x 的解集不等式0525)2(>+-x ()的解集不等式552504<+-<x ()的解集不等式55253<+-x55+-x )0(≠+=k b kx y )2,3(--P 2->+b kx利用图象解不等式：(1)2x－5＞－x＋1 (2) 2x－5＜－x＋1 (3) 2x－5=－x＋1．跟踪训练能力跃升5.6.7超越自我7. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？ ◆一次函数与一元一次方程、不等式的关系 ◆数形结合的思想在解决问题中的直观性x my。
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 苏科版数学八年级上册课件(共20张PPT)
示例：如图6.6－2 所示，
方程k1x+b1=k2x+b2 的解为x=a； 不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集为x ＞ a； 不等式k1x+b1<k2x+b2 的解集为x ＜ a.
感悟新知
知2－讲
特别提醒 利用图像解法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为kx+b ＞ 0 或kx+b ＜ 0(k ≠ 0)的形式； 2. 画出函数图像，并确定函数图像与x 轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集.
y=kx+b 当y=4 时对应的自变量的值.
知1－练
感悟新知
解：把点(4，0)和(3，2)的坐标分别代入y=kx+b，
得 4k+b=0，解得 k=－2，
3k+b=2，
b=8， 即y= － 2x+8．
当y=4 时，－ 2x+8=4，解得x=2．
∴方程kx+b=4 的解为x=2．
知1－练
答案：B
感悟新知
感悟新知
知2－练
例 3 [三模·杭州] 如图6.6－3，已知函数y1=3x+b 和y2=ax
－3的图像交于点P(－ 2， － 5)，则根据图像可得不
等式3x+b ＞ ax－3 的解集是( )
A. x ＞ －2
B. x ＜ －2
C. －2 ＜ x ＜ 0
D. x ＞ 0
感悟新知
知2－练
解题秘方：求不等式3x+b ＞ax－3 的解集，就是看 当x 在什么范围时， 函数y1=3x+b 的图像在函 数y2=ax － 3 的图像上面.
答案：A
11.7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数
例
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然 后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m， 哥哥每秒跑4m。 • （1）何时哥哥追上弟弟？ • （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ • （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ • （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ • (5) 你是怎样求解的？与同伴交流。
解:设兄弟俩赛跑的时间为x秒
随堂练习： 已知 y1=-x+3， y2=3x-4， 当x取何值时， y1＞y2 ？ 你打算怎样做?
3 答：当x3 0 时, x 1 4
解不等式组
y y1=-x+3
6
5 4 3 2
y2=3x-4
1
-1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3
4
5
x
y2
y1
y4 0 3x 1＞y2.
① 当x = 2.5时 y=0 ， ② 当x＞2.5时 y＞0 ， ③ 当x＜2.5时 y<0 ， ④ 当x＞ 4 时 y＞3 。
y
4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6
y=2x-5
x
画出函数y＝－3x＋12的图像，你能利 用图像解决这两个问题吗？
⑴求方程－3x＋12＝0的解． (2)求不等式－3x＋12＞0的解集． (3)如果y的值在y≤3的范围内，那么相应 的x的值在什么范围内？ (4)如果y的值在－6≤y≤6的范围内，那 么相应的x的值在什么范围内？
(1)求y与x之间的函数关系式; (2)几小时以后,蜡烛的长度不足10cm?
思考:能否用一元一次方程和一次函数的性 质求解呢?
做一做 已知4x+y=1,y取何值时,-1<x≤2?
作出函数y=2x-5 的图象, 观察图象回答下列 问题:当x取何值时 (1)y= 0？ (2)y＞0？ (3)y＜ 0? (4)y＞3? 解：观察图象可得
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式课件苏科版八年级数学上册
6.6 一次函数、一元一次方程和一
元一次不等式
素养目标
1.知道一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的内在
联系.
2.会用图像法求一元一次方程的解、一元一次不等式的解
集，会利用函数图像解决与不等式有关的问题.
素养目标
◎重点:利用一次函数的图像求一元一次方程的解、一元一
次不等式的解集.
◎难点:利用数形结合说明一次函数与一元一次方程、一元
一次不等式的关系.
预习导学
在一根长25 cm的弹簧上，一端固定，另一端挂物体，在弹
簧伸长后的长度不超过35 cm的限度内，每挂1 kg质量的物体，
弹簧伸长0.5 cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm，
你能求出这根弹簧在所允许的限度内挂物体的最大质量吗？这
物体后该弹簧的长度不能超过35 m，所以当y＝35时，该弹簧
所挂物体的质量最大，解一元一次方程0.5x＋25＝35
＝
20 .
所以该弹簧所挂物体的最大质量是20 kg.
，得x
预习导学
·导学建议·
让学生从实际问题出发，得出一次函数与一元一次方程的
关系，加深理解.
预习导学
一次函数与一元一次不等式的关系
(2)解方程kx＋b＝1.5.
解:(2)x＝1；
(3)解不等式kx＋b＜0.
解:(3)x＜－0.5；
合作探究
(4)解不等式0.5＜kx＋b＜2.5.
解:(4)0＜x＜2.
合作探究
3.若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求
k的值.
解:设直线y＝kx＋6与x轴和y轴分别交于点A、B.
y＞
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
课题：6．6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式主备：吴敏 课型：新授 编号：1680610班级 姓名 备课组长签名【学习目标】1、通过具体实例，初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系2、了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系【课前预习】（1）方程2x ＋4＝0解是_______ ；（2）不等式2x ＋4＞0的解集为________；不等式2x ＋4＜0的解集为________【学习过程】探索活动：1．一次函数y ＝2x ＋4的图像是一条经过点（____，0），点（0，____）的直线。
2．试根据一次函数y ＝2x ＋4的图像说出方程2x ＋4＝0的解和不等式 2x ＋4＞0 、2x ＋4＜0的解归纳总结一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次 方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个 变量的取值范围.例1.一根长20cm 的弹簧，一端固定，另一端挂物体。
在弹簧伸长后的长度不超过30cm 的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm ，如果所挂物体 的质量为x ㎏，弹簧的长度是ycm 。
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并画出函数的图象。
（2）求弹簧所挂物体的最大质量是多少？你还能用什么方法解决这个问题？例2.x 取什么值时，函数2(1)4y x =-++的值是正数？负数？非负数？例3．声音在空气中的传播速度（简称音速）y （m/s ）与气温x （℃）之间的函数表达式为y ＝x ＋331.求：（1）音速为340m/s 时的气温；（2）音速超过340m/s 时的气温范围.例4.请画出函数y=-3x+15的图象，你能利用图象解决下列问题吗？试一试：（1）求出方程-3x+15=0的解（2）求出不等式-3x+15＞0的解集（3）求出不等式-3x+15≤0的解集（4）求出不等式-3x+15＜3的解集（5）如果y 的值在-6≤y ≤6的范围内，那么相应的x 的值在什么范围内？（6）你能用其它方法解决这个问题吗？【当堂训练】1.用画函数图象的方法解不等式：－x ＋3＞3x －5．2.如图是一次函数的y kx b =+图象，则关于x 的不等式0kx b +>的解集为 ．3.如图，函数y=2x 和y=ax+5的图象相交于A （m ，3），则不等式2x ＜ax+5的解集为 ．4.已知一次函数y=－2x －3,(1)若函数值为－1≤y ≤3，求x 的取值范围；(2)若自变量的值为－1≤x ≤3，求y 的取值范围；【课后提升】1.当自变量x 时，函数32y x =+的值大于0；当x 时，函数32y x =+的值小于0。
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相应点的下方，这时
_____<______，所以不等式的解集
为：______．
总结：以上两种方法其实都是把 解不等式转化为比较直线上点的位
置的高低．
四．巩固训练 1.利用图象求方程6x-3=x+2的解．
２．利用图象解出x： 6x4<3x+2．
六：小结： 七：教学反思：
[活动二]
我们来看下面两个问题有什么关系？ １．解不等式5x+6>3x+10． ２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的
值大于0？ 在问题１中，不等式5x+6>3x+10可以
转化为________，解这个不等式得 _______. 解问题２就是要解不等式2x-4>0，得出 _____时函数y=2x-4的值大于___．因此这 两个问题实际上是同一个问题． 那么，是不是所有的一元一次不等式都可 转化为一次函数的相关问题呢？它在函数 图象上的 表现是什么？如何通过函数图象来求解一 元一次不等式？下面我们就来学习这些问 题。
图象，可以看______<0，所以不等式的解集
为x<_____.
方法二：将原不等式的两边分别看
作两个一次函数，画出直线
y=______与直线y=______可以看
出，它们交点的横坐标为___．当
x>2时，对于同一个x，直线
y=______上的点在直线y=_____上的
我们这节课就来研 究这个问题，并学习 利用这种关系解决相
关问题的方法． 二．导入新课：
我们首先来思考上面 提出的两个问题．在 问题１中，解方程
2x+20=0，得
x=_____．解
我们先观察函数y=2x-4的图 象．可以看出：当x>2时，直线 y=2x-4上的点全在___上方，即这 时_________． 由此可知，通过函数图象也可求 得不等式的解为________.
课 §14.3.1 课 决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为
题 一次
函数
型
新 课
0时，所对应的自变量x为何值．这可以通 过解方程____________，得出x=_____．因
此这两个问题实际上是一个问题．
与一
元一
次方
程及
一元
一次
不等
式
从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交
点的坐标（__，__），这也说明函数
从图象上看，直线y=2x-12与x轴
的交点为（__，___）．得
x=_____．
总结：这个题我们通过三式及图
象三个不同方面进行解答．它是
数与形的完合，结果是相同的，
这就是特途同归。
例2： 用画函数图象的方法解不
等式5x+4<2x+10．
方法一：原不等式可以化为
_______，画出直线y=________的
一、导入（2分钟）
二、学习目标（1分 钟） 1.理解一次函数与 一元一次方程的关 系，会用函数的思
想处理一元一次方 程的问题
2.认识一元一次不
等式与一次函数问 题的转化关系，及 学会用图象法求解 不等式． 3.激情投入，阳光 展示，大胆质疑， 提升自我。
三、导学流程： （40分钟） 1.独学（课前完 成）检查点评学习 效果，达标率60%. 2.对学（2分钟） 了 解学习效果，解决 独学时存在的问 题，达标率70%. 3.组学（7分钟）了 解学习效果，解决 对学时存在的问 题，达标率90%. 4.教师理清非大展 示的内容（１分 钟），达标率90%. 5.展示（30 分钟） 点评学习效果，解 决共性问题.
而一次函数解析式形式正是
___________（k、b为常数，k≠0）．当函
数值为0时，即__________就与一元一次方 程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转
化为__________（k、b为常数，k≠0）的 形式．所以解一元一次方程可以转化为： 当一次函数值为____时，求相应的 _________的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确 定它与____轴交点的____坐标值．
四、学法指导： 1.阅读教材P123 一
P 126，进行知识梳 理，归纳本课的重 点内容. 2.将预习中生成的 问题记录下来.
五．学习内容： 自学部分
一．提出问题，创设 情境
我们来看下面两 个问题：
１．解方程 2x+20=0
２．当自变量x为 何值时，函数y=2x+20 的值为0？
这两个问题之间 有什么联系吗？
规律：由上面两个问题的关 系，我们能得到“解不等式 ax+b>0”与“求自变量x在什么范 围内，一次函数y=ax+b的值大于 0”之间的关系，实质上是同一个 问题．
结论： 由于任何一元一次不 等式都可以转化的____或 _______（a、b为常数，a≠0）的 形式，所以解一元一次不等式可 以看作：当一次函数值___（或 ___）0时，求______相应的取值 范围． 三、精讲精练 例1：一个物体现在的速度是 5m/s，其速度每秒增加2m/s，再 过几秒它的速度为17m/s？ 解：方法一：设再过x秒物体速度为
y=2x+20值为0对应的自变量x为__，即方程
2x+20=0的解是x=______．
[活动一]
由上面两个问题的关系，大家来讨论
思考，归纳概括出解一元一次方程与求自
变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0
有什么关系？
规律：任何一个一元一次方程都可
转化为：
_________（k、b为常数，
k≠0）的形式．
17m/s．由题意可 知：___________________ 解得：x=_______ 方法二：速度y（m/s）是时 间x（s）的函数，关系式为： y=______． 当函数值为17时，对应的自
变量x值可通过解方程
____________得到x=_____．
方法三：由2x+5=17可变形得
到：_________ =0．