初三中考数学 一元一次不等式组及应用
2022年中考数学复习：一元一次不等式(组)及一元一次不等式的应用
17．(2021·长沙)为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红 色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的 党史知识竞赛，一共有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分， 不答得 0 分． (1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86 分，则该参赛同学 一共答对了多少道题？ 解：设该参赛同学一共答对了 x 道题，则答错了(25－1－x)道题．
解：圆圆的解答过程有错误． 正确过程如下：由①，得 2＋2x＞－1. 所以 2x＞－3.所以 x＞－32. 由②，得 1－x＜2.所以－x＜1.所以 x＞－1. 所以原不等式组的解集是 x＞－1.
3（x－1）>x， ①
15．(2021·湘西州)解不等式组1－2x≥x－2 3，
并在数轴上表示它的解集． ②
解：解不等式①，得 x＞32. 解不等式②，得 x≤1. 在数轴上表示不等式①和②的解集为
∴不等式组无解．
3（x－1）≥2x－5，①
16．(2021·济南)解不等式组：2x<x＋2 3， ②
并写出它的所有整数解．
解：解不等式①，得 x≥－2. 解不等式②，得 x＜1. ∴不等式组的解集为－2≤x＜1， ∴它的整数解是－2，－1，0.
11．(2021·眉山)若关于 x 的不等式 x＋m<1 只有 3 个正整数解，则 m 的取
值范围是 －3≤m<－2
.
12．(2021·通辽)若关于 x 的不等式组32xx－ －2a≥ <51，有且只有 2 个整数解，则
a 的取值范围是 －1<a≤1
.
13．(2021·乐山)当 x 取何正整数时，代数式x＋2 3与2x3－1的值的差大于 1? 解：根据题意，得x＋2 3－2x－ 3 1>1，解得 x<5. ∵x 为正整数， ∴当 x 为 1，2，3，4 时，代数式x＋2 3与2x3－1的值的差大于 1.
初三中考数学 一元一次不等式(组)及其应用
课时6． 一元一次不等式(组)及其应用班级______ 姓名______ 【学习目标】１．熟练掌握一元一次不等式（组）的性质及其解法. ２．能运用一元一次不等式（组）解决实际问题. 【考点链接】1、用不等号表示 关系的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的 ，叫做不等式的解；不等式的 的集合，叫做不等式的解集.2、不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb）.3、一元一次不等式：只含有 未知数，未知数的最高次数是 的不等式，称为一元一次不等式；其解法与一元一次方程的解法类似.4、由几个一元一次不等式合在一起就组成了 ，5、不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做不等式组的解集. 解一个一元一次不等式组可以分为两个步骤（1） （2）6、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是______； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是_____；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是______； x ax b <⎧⎨>⎩的解集是_____.【典例精析】【例1】（1）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组, 的整数解63432x x +-≤+3(2)41213x x x x --≤⎧⎪+⎨>-⎪⎩【例2】根据对话内容,求出饼干和牛奶的标价各是多少?孩子:阿姨,我要买一盒饼干和一袋牛奶(递上10元钱)阿姨:小朋友,本来你用10元买一盒饼干有剩余的钱,但要再买一袋牛奶就不够了!今天是儿童节,我给你买的饼干打9折,两样东西请拿好!还有找你的8角钱. 话外音:一盒饼干的价钱可以整数元哦!~【例3】已知点P(m,n)在一次函数y=－2x+3的图象上，设m=1－a,如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）仅存在一个整数，求实数a 的取值范围;【当堂反馈】1.设a ＜b ，用不等号连接下列各题中的两式。
中考数学复习：专题2-11 用一元一次不等式(组)解决生活中的实际问题
专题11 用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题【专题综述】一元一次不等式组是在学习了一元一次不等式组的概念和解法之后，进一步探索现实世界数量关系的重要内容，是继学习了一元一次方程和二元一次方程组之后，又一次数学建模思想的学习，也是后续学习二元一次方程等内容的重要基础，有着承前启后的作用。
用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。
【方法解读】一、打折问题：例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？【举一反三】(湖南省娄底市)某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最多可打（）．A、6折B、7折C、8折D、9折二、赛球问题：例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？【举一反三】(江西省崇仁一中)在崇仁一中中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？三、购买问题：例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。
第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。
在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？【举一反三】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠.（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？（3）购买商品的价格______元时，采用方案一更合算．四、分苹果问题：例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。
九年级数学一元一次不等式(组)及应用北师大版
初三数学一元一次不等式（组）及应用北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：一元一次不等式（组）及应用［教材分析］一元一次不等式（组）的应用，为教材新编内容，《数学课程标准》要求：能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。
［题目类型］（1）同时具备最高限和最低限问题（不满不空问题）。
（2）最高限（最低限问题）问题。
（3）不定限问题。
（4）综合分析问题。
［应对策略］（1）同时具备最高限和最低限问题（不满不空问题）两条思路：①先抓最高限最低限的量的函数关系式，满则超，空则少；②先抓最后一个量的函数关系式，不满：小于最大量；不空：大于最小量。
（2）最高限（最低限问题）问题：先抓最高限（最低限）量的函数关系式，再根据限量列不等式（组）。
（3）不定限问题：先抓不定限量的函数关系式，再根据好、中、差列不等式。
（4）综合分析问题：一般思路，一个限制为一个不等关系，最优化条件最后单列。
【典型例题】例1. 一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，又一间宿舍住不满，问：可能有几间宿舍，多少女学生？分析：这个问题有一定的困难，同学们要分析问题中哪些是已知条件，哪些是未知条件。
它们之间有哪些关系，我们可以从最后一间入手，应是学生总数减去除去最后一间的人数，这个数值应大于0，小于6。
解：设有x间宿舍()0419616<+--<x x解得：192252<<x∵x是正整数∴x应为10，11，12当x＝10时，4x＋19＝59当x＝11时，4x＋19＝63当x＝12时，4x＋19＝67答：可能有10，11，12间宿舍，女生数可能是59，63，67人。
例2. 某校组织师生春游，若单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座客车，则可以少租1辆，且余30个空座位。
（1）求该校参加春游的人数；（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样要比单独租用一种车辆节省租金，已知45座客车的租金为每辆250元，60座的客车租金为每辆300元，请你帮助计算本次春游所需车辆的租金？分析：（1）可设春游人数为x 人，根据单独租用45座客车若干辆，可知租车数应为 x x 45601451，再根据若单独租用座客车，则可少租辆，可知租车数应为，“”-⎛⎝ ⎫⎭⎪由此可列方程求出春游人数。
中考数专题13 一元一次不等式(组)及其应用(练透)-【讲通练透】中考数学一轮(全国通用)(学生版)
专题13 一元一次不等式（组）及其应用一、单选题1．（2022·珠海市九洲中学九年级三模）若x y >，则（ ） A ．22x y +<+B ．22x y -<-C ．22x y <D ．22x y -<-2．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级二模）下列说法正确的是（ ） A ．若a b =，则ac bc = B ．若a b =，则a b c c= C ．若a b >，则11a b ->+D ．若1xy>，则x y >3．（2022·深圳市南山区荔香学校九年级开学考试）关于x 的不等式()122m x m +>+的解集为2x <，则m 的取值范围是（ ） A ．1m ≠-B ．1m =-C ．1m >-D ．1m <-4．（2022·重庆市天星桥中学九年级开学考试）已知关于x 的不等式组5720x a x -<⎧⎨--<⎩有且只有3个非负整数解，且关于x 的分式方程61a x --+a =2有整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）不等式组2030x x -≤⎧⎨->⎩的整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2022·山东日照·）若不等式组643x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，则m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ≥C ．3m ≤D ．3m <7．（2022·珠海市紫荆中学九年级一模）不等式组20321x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是（ ）A ．﹣1＜x ≤2B ．﹣2≤x ＜1C ．x ＜﹣1或x ≥2D ．2≤x ＜﹣18．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）若关于x 的不等式3x +m ≥0有且仅有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．6≤m ≤9B ．6＜m ＜9C ．6＜m ≤9D ．6≤m ＜99．（2020·重庆梁平·）若数a 使关于x 的不等式组347x a x ≤⎧⎪+⎨>-⎪⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2233a y y +=--有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．110．（2022·北京市第十二中学九年级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a ，b ，c （a ＞b ＞c 且a ，b ，c 均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A ．每场比赛的第一名得分a 为4 B ．甲至少有一场比赛获得第二名 C ．乙在四场比赛中没有获得过第二名 D ．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题11．（2022·湖北黄石八中九年级模拟预测）不等式组3712261x x ⎧->⎪⎨⎪-≥-⎩的整数解为______________．12．（2022·全国九年级课时练习）高速公路某收费站出城方向有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每30分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口30分钟内一共通过的小客车数量记录如下：在A ，B ，C ，D ，E 五个收费出口中，每30分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是________．13．（2022·辽宁沈阳·中考真题）不等式组51350x x -<⎧⎨-≥⎩的解集是__________．14．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）不等式组：515264253(5)x x x x -+⎧+>⎪⎨⎪+≤-⎩的解集为______． 15．（2022·临沂第九中学九年级月考）不等式222x x ->- 的解集为_____． 三、解答题16．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）解不等式组：31320x xx+>+⎧⎨->⎩17．（2022·山东济南·中考真题）解不等式组：3(1)25,32,2x xxx-≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②并写出它的所有整数解．18．（2022·福建省福州第十九中学九年级月考）解不等式组()311922x xxx⎧+>-⎪⎨+<⎪⎩19．（2022·全国九年级课时练习）某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如表：（单位：分）（1）求甲的平均成绩；（2）若公司将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按3:5:2的比确定每人的总成绩．①计算甲的总成绩；②若乙的总成绩超过甲的总成绩，则乙的表达能力成绩x超过多少分？20．（2022·福建省福州延安中学九年级月考）解不等式组3534(1)2x xx x-<-⎧⎨+≥-⎩，并把解集在数轴上表示．21．（2022·四川绵阳·中考真题）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？22．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级二模）毕业考试结束后，班主任罗老师预购进甲乙两种奖品奖励学生，若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元．（1）求购进甲、乙两种奖品每件分别需要多少元？（2）班主任罗老师决定购进甲、乙两种奖品共20件，且用于购买这20件奖品的资金不超过160元，则最多能购进乙种奖品多少件？23．（2022·日照港中学九年级一模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场．某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：。
中考数学复习 一元一次不等式(组)及应用
“≠”连接而成的式子．
2．解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有
的解，组成这个不等式的解集．
如果a>b，那么a±c>b±c
3．性质如果a>b，c>0，那么ac>bc或ac>bc
如果a>b，c<0，那么ac
①_<_bc或ac
②_<_bc
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
二、一元一次不等式 一元一次不等式
第二单元 方程(组)与不等式(组)
课时 8 一元一次不等式(组)及应用
CONTENTS
目 录
课前自测 知识梳理 知识过关
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
课前自测
1．已知a＞b，则下列不等式中不正确的是( C )
A．4a＞4b
B．a＋4＞b＋4
C．－4a＞－4b
D．a－4＞b－4
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
广东中考
1．(2013广东)已知实数a，b，若a>b，则下列结论 正确的是( D )
A．a－5<b－5 B．2＋a<2＋b C．a3<b3 D．3a>3b
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
2．(2018广东)不等式3x－1≥x＋3的解集是( D )
(1)求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别 是多少元？(利润＝销售价格－进货价格)
(2)商场准备用不多于2 500元的资金购进A，B两种 型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多 少台？
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
解：(1)设 A 种型号计算器的销售价格是 x 元，B 种
考点07 一元一次不等式(组)及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点07 一元一次不等式（组）及其应用中考数学中，一元一次不等式（组）的解法及应用时有考察，其中，不等式基本性质和一元一次不等式（组）解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题，还通常难度不大。
而对其简单应用，常会和其他考点（如二元一次方程组、二次函数等）结合考察，此时难度上升，需要小心应对。
对于一元一次不等式中含参数问题，虽然难度系数上升，但是考察几率并不大，复习的时候只需要兼顾即可！一、不等式的基本性质二、一元一次不等式（组）的解法三、求不等式（组）中参数的值或范围四、不等式（组）的应用考向一：不等式的基本性质【易错警示】1．若a ＞b ，则下列不等式中，错误的是（ ）A ．3a ＞3bB ．﹣＜﹣C ．4a ﹣3＞4b ﹣3D ．ac 2＞bc 2【分析】根据不等式的性质进行一一判断．【解答】解：A 、在不等式a ＞b 的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a ＞3b ，故本选项正确；B 、在不等式a ＞b 的两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即﹣＜﹣，故本选项正确；C 、在不等式a ＞b 的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4a ﹣3＞4b ﹣3，故本选项正确；D 、当c ＝0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：D ．2．已知x ＜y ，下列式子不成立的是（ ）A ．x +1＜y +1B ．x ＜y +100C ．﹣2022x ＜﹣2022yD ．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：A 、在不等式x ＝y 的两边同时加上1得x +1＜y +1，原变形成立，故此选项不符合题意；B 、在不等式x ＜y 的两边同时加上100得x +100＜y +100，原变形成立，故此选项不符合题意；C 、在不等式x ＜y的两边同时乘以﹣2022得﹣2022x ＞﹣2022y ，原变形不成立，故此选项符合题意；D 、在不等式x ＜y 的两边同时除以2022得x ＜y ，原变形成立，故此选项不符合题意；故选：C ．3．若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围 a＜﹣3 ．【分析】根据题意，在不等式x＞y的两边同时乘以（a+3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3＜0，解此不等式即可求解．【解答】解：∵x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，∴a+3＜0，则a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．4．已知3x﹣y＝1，且x≤3，则y的取值范围是 y≤8 ．【分析】根据3x﹣y＝1求出x＝，根据x≤3得出≤3，再根据不等式的性质求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3x﹣y＝1，∴3x＝1+y，∴x＝，∵x≤3，∴≤3，∴1+y≤9，∴y≤8，即y的取值范围是y≤8，故答案为：y≤8．5．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 130 ．【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．【解答】解：，①+②，得3a+4b+5c＝130，可得出a＝10﹣，c＝20﹣，∵a，b，c为三个非负实数，∴a ＝10﹣≥0，c ＝20﹣≥0，∴0≤b ≤20，∴W ＝3a +2b +5c ＝2b +130﹣4b ＝130﹣2b ，∴当b ＝0时，W ＝130﹣2b 的最大值为130，故答案为：130．考向二：一元一次不等式（组）的解法1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式（组）的解法①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集②依据数轴取各不等式解集的公共部分一元一次不等式组解法及解集的四种情况无解大大小小则无解1．不等式3（2﹣x）＞x+2的解在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵3（2﹣x）＞x+2，∴6﹣3x＞x+2，﹣3x﹣x＞2﹣6，﹣4x＞﹣4，x＜1，故选：C．2．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（ ）A．1B．﹣C．0D．4或﹣4【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．3．关于x的方程ax＝2x﹣7的解为负数，则a的取值范围是 a＞2 ．【分析】先解方程得到x＝，根据题意得到＜0，所以2﹣a＜0，然后解不等式即可．【解答】解：解方程ax＝2x﹣7的得x＝，∵方程ax＝2x﹣7的解为负数，∴＜0，∴2﹣a＜0，解得a＞2，即a的取值范围为a＞2．故答案为：a＞2．4．已知x＞2是关于x的不等式x﹣3m+1＞0的解集，那么m的值为 1 ．【分析】先把m看作常数，求出不等式的解集，再根据不等式解集为x＞2，建立关于m的方程，求解即可．【解答】解：x﹣3m+1＞0x＞3m﹣1，∵x＞2 是关于x的不等式x﹣3m+1＞0 的解集，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1，故答案为：1．5．若关于的不等式﹣ax＞bx﹣b（ab≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b的解集是 x＞﹣1 ．【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及a+b的符号，进而求得a＝2b，进一步求得b＜0，从而解不等式即可．【解答】解：移项，得：（a+b）x＜b，根据题意得：a+b＜0且＝，即3b＝a+b，则a＝2b，又a+b＜0，即3b＜0，则b＜0，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b化为：3bx＜2bx﹣b，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．（1）﹣x+19≥2（x+5）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（2）不等式两边都乘12去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）﹣x+19≥2（x+5），去括号，得）﹣x+19≥2x+10，移项，得﹣x﹣2x≥10﹣19，合并同类项，得﹣3x≥﹣9，系数化为1，得x≤3．将解集在数轴上表示为：（2），去分母，得3（x+4）﹣12＜4（4x﹣13），去括号，得3x+12﹣12＜16x﹣52，移项，得3x﹣16x＜﹣52﹣12+12，合并同类项，得﹣13x＜﹣52，系数化为1，得x＞4．解集在数轴上表示为：7．关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的值．【分析】解方程得出x＝k+1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．【解答】解：解方程5x﹣2k＝6+4k﹣x得x＝k+1，∵方程的解是负数，∴k+1＜0，∴k＜﹣1．8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x≥2，故原不等式组的解集是x≥2，其解集在数轴上表示如下：，故选：C．9．对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}＝3，{2022}＝2022，{﹣3.14}＝﹣3，若{2x+3}＝﹣2，则x的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，可得﹣3＜2x+3≤﹣2，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵{2x+3}＝﹣2，∴﹣3＜2x+3≤﹣2，∴﹣6＜2x≤﹣5，∴﹣3＜x≤﹣，故选：D．10．不等式组的解集是 x＜3 ．【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤8，解②得：x＜3，∴不等式组的解集为x＜3．故答案为：x＜3．11．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）2（x﹣1）+2＜3x；（2）．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）+2＜3x，∴2x﹣2+2＜3x，∴2x﹣3x＜2﹣2，∴﹣x＜0，则x＞0，将解集表示在数轴上如下：（2）解不等式3x﹣（x﹣2）≥6，得：x≥2，解不等式x+1＞，得：x＜4，则不等式组的解集为2≤x＜4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考向三：求不等式组中参数的值或范围方法步骤总结：①解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；②根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；③由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。
中考数学 专题10 一元一次不等式(组)(解析版)
第二篇方程与不等式专题10一元一次不等式（组）知 识 点名师点晴1． 不等式的概念会识不等式．2． 不等式的解（集）会识别一个数是不是不等式的的解（集）并会在数轴上表示．不等式（组）有关 的概念3． 一元一次不等式（组）会识别一元一次不等式（组）．4． 不等式基本性质会应用性质进行恒等变形．不等式（组）的解法步骤会解不等式（组），并会表示解集．不等式（组）的应用由实际问题抽象出不等式（组）要不等式（组），首先要根据题意找出存在的不等式关系．最后要检验结果是不是合理．归纳 1：有关概念基础知识归纳：1．不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜．【分析】由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．【详解】如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．考点：不等式的定义．归纳2：不等式基本性质基础知识归纳：1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2019上海，第2题，4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（ ）A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n【答案】D．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n．故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．考点：不等式的性质．归纳3：一元一次不等式（组）的解法基础知识归纳：1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2019北京，第18题，5分）解不等式组：．()41273x x x x ⎧-+⎪⎨+⎪⎩＜＞【答案】x ＜2．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】，解①得：x ＜2，解②得x ，则不等式组的解集为x ＜2．()41273x x x x ⎧-+⎪⎨+⎪⎩＜①＞②72＜【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．考点：解一元一次不等式组．【例4】（2019重庆A ，第11题，4分）若关于x 的一元一次不等式组的解集是x ≤a ，()1142423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪+⎪⎩＜且关于y 的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）2411y a y y y---=--A ．0 B ．1 C ．4 D ．6【答案】B ．【分析】先解关于x 的一元一次不等式组，再根据其解集是x ≤a ，得a 小于5；再解分()1142423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪+⎪⎩＜式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a 的值，再求和即可．【详解】由不等式组得：()1142423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪+⎪⎩＜5x a x ≤⎧⎨⎩＜∵解集是x ≤a ，∴a ＜5；由关于y 的分式方程1得2y ﹣a +y ﹣4=y ﹣12411y a y y y---=--∴y ．32a+=∵有非负整数解，∴0，∴a ≥﹣3，且a =﹣3，a =﹣1（舍，此时分式方程为增根），a =1，a=332a+≥它们的和为1．故选B ．【点睛】本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，属于易错题．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式组．归纳 4：一元一次不等式（组）的应用 基础知识归纳：1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）． （5）检验，看解集是否符合题意． （6）写出答案．2．解应用题的书写格式： 设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．【例5】（2019四川省绵阳市，第9题，3分）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种【答案】C ．【分析】设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（50﹣x ）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值即可得出答案．【详解】设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（50﹣x ）件，根据题意，得：，解得：20≤x ＜25．()()60100504200102050750x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-⎪⎩＞∵x 为整数，∴x =20、21、22、23、24，∴该店进货方案有5种．故选C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．考点：1．一元一次不等式组的应用；2．方案型．【例6】（2019莱芜区，第22题，10分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？【答案】（1）改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元；（2）有三种方案，方案：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x 万元，改造1个乙种型号大棚需要y 万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m 个甲种型号大棚，则改造（8﹣m ）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数即可得出各改造方案，再利用总价=单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x 万元，改造1个乙种型号大棚需要y 万元，依题意，得：，解得：．26248x y x y -=⎧⎨+=⎩1218x y =⎧⎨=⎩答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m 个甲种型号大棚，则改造（8﹣m ）个乙种型号大棚，依题意，得：()()5383512188128m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≤⎪⎩解得：m ．83≤112≤∵m 为整数，∴m =3，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用12×3+18×5=126（万元）；方案2所需费用12×4+18×4=120（万元）；方案3所需费用12×5+18×3=114（万元）．∵114＜120＜126，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．考点：1．二元一次方程组的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．最值问题；4．方案型．【2019年题组】一、选择题1．（2019广西桂林市，第9题，3分）如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a +c ＞b B ．a +c ＞b ﹣cC ．ac ﹣1＞bc ﹣1D ．a （c ﹣1）＜b （c ﹣1）【答案】D ．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】∵c ＜0，∴c ﹣1＜﹣1．∵a ＞b ，∴a （c ﹣1）＜b （c ﹣1）．故选D ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．考点：不等式的性质．2．（2019河北，第4题，3分）语句“x 的与x 的和不超过5”可以表示为（ ）18A ．x ≤5B ．x ≥5C ．5D ．x =58x +8x +85x ≤+8x +【答案】A ．【分析】x 的即x ，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．1818【详解】“x 的与x 的和不超过5”用不等式表示为x +x ≤5．1818故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．考点：由实际问题抽象出一元一次不等式．3．（2019内蒙古赤峰市，第6题，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）1292x x x +≥⎧⎨-⎩＜A ． B ．C ．D ．【答案】C ．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】1292x x x +≥⎧⎨-⎩①＜②解不等式①得：x ≥1，解不等式②得：x ＞3，∴不等式组的解集为x ＞3，在数轴上表示为：．故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组．4．（2019德州，第6题，4分）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）()5231131722x x x x ⎧+-⎪⎨-≤-⎪⎩＞A ．10 B ．7 C ．6 D ．0【答案】A ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．【详解】，解不等式①得：x ＞﹣2.5，解不等式②得：x ≤4，∴不等式组的解集为：()5231131722x x x x ⎧+-⎪⎨-≤-⎪⎩＞①②﹣2.5＜x ≤4，∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10．故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．考点：一元一次不等式组的整数解．5．（2019云南，第14题，4分）若关于x 的不等式组的解集是x ＞a ，则a 的取值范围是()2120x a x ⎧-⎨-⎩＞＜（ ）A ．a ＜2B ．a ≤2C ．a ＞2D ．a ≥2【答案】D ．【分析】根据不等式组的解集的概念即可求出a 的范围．【详解】解关于x 的不等式组，得，∴a ≥2．()2120x a x ⎧-⎨-⎩＞＜2x x a⎧⎨⎩＞＞故选D ．【点睛】本题考查了不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解集，本题属于基础题型．考点：1．解一元一次不等式组；2．含待定字母的不等式（组）．6．（2019内蒙古呼和浩特市，第6题，3分）若不等式1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使253x +-关于x 的不等式3（x ﹣1）+5＞5x +2（m +x ）成立，则m 的取值范围是（ ）A ．m B ．m C ．m D ．m 35-＞15-＜35-＜15-＞【答案】C ．【分析】求出不等式1≤2﹣x 的解，求出不等式3（x ﹣1）+5＞5x +2（m +x ）的解集，得出关于253x +-m 的不等式，求出m 即可．【详解】解不等式1≤2﹣x 得：x ．253x +-45≤∵不等式1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3（x ﹣1）+5＞5x +2（m +x ）成253x +-立，∴x ，∴，解得：m ．12m -＜1425m -35-＜故选C ．【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m 的不等式是解答此题的关键．考点：解一元一次不等式．7．（2019台湾，第12题，3分）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）A ．2150B ．2250C ．2300D ．2450【答案】D ．【分析】可设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x ）盒金爽蛋糕，根据不等关系：①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．【详解】设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x ）盒金爽蛋糕，依题意有，解得：2x ≤3．()()3502001025001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩12≤13∵x 是整数，∴x =3，350×3+200×（10﹣3）=1050+1400=2450（元）．答：阿慧花2450元购买蛋糕．故选D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式组，注意要与实际相联系．考点：一元一次不等式组的应用．8．（2019四川省乐山市，第3题，3分）小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x +1＜2的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．15141312【答案】C ．【分析】找到满足不等式x +1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x +1＜2的有﹣1、0这两个，所以满足不等式x +1＜2的概率是．2163=故选C ．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．考点：1．解一元一次不等式；2．概率公式．9．（2019四川省内江市，第11题，3分）若关于x 的不等式组恰有三个整数()1023354413x x x a x a +⎧+⎪⎨⎪++++⎩＞解，则a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．1＜aC ．1＜aD ．a ≤1或a 32＜32≤32＜32＞【答案】B ．【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a 的取值范围．【详解】解不等式0，得：x ，解不等式3x +5a +4＞4（x +1）+3a ，得：x ＜2a ．123x x ++＞25-＞∵不等式组恰有三个整数解，∴这三个整数解为0、1、2，∴2＜2a ≤3，解得1＜a ．32≤故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．含待定字母的不等式（组）．10．（2019四川省南充市，第8题，3分）关于x 的不等式2x +a ≤1只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．﹣5＜a ＜﹣3B ．﹣5≤a ＜﹣3C ．﹣5＜a ≤﹣3D ．﹣5≤a ≤﹣3【答案】C ．【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a 的不等式，求得a 的值．【详解】解不等式2x +a ≤1得：x ，不等式有两个正整数解，一定是1和2，根据题意得：212a-≤3，解得：﹣5＜a ≤﹣3．12a-≤＜故选C ．【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．考点：一元一次不等式的整数解．11．（2019四川省遂宁市，第8题，4分）关于x 的方程1的解为正数，则k 的取值范围24k x --2xx =-是（ ）A ．k ＞﹣4B ．k ＜4C ．k ＞﹣4且k ≠4D ．k ＜4且k ≠﹣4【答案】C ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到x 的值，根据分式方程解是正数，即可确定出k 的范围．【详解】分式方程去分母得：k ﹣（2x ﹣4）=2x ，解得：x ，根据题意得：0，且44k +=44k +44k +≠2，解得：k ＞﹣4，且k ≠4．故选C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式．12．（2019安徽省，第9题，4分）已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c =0，a +2b +c ＜0，则（ ）A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0 B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0 D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0【答案】D ．【分析】根据a ﹣2b +c =0，a +2b +c ＜0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况，本题得以解决．【详解】∵a ﹣2b +c =0，a +2b +c ＜0，∴a +c =2b ，b ，∴a +2b +c =（a +c ）+2b =4b ＜0，∴b ＜0，∴b 22a c+=﹣ac ac 0，即b ＜0，b 2﹣ac ≥0．2222()24a c a ac c ac +++=-=-2222()42a ac c a c -+-==≥故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b 和b 2﹣ac 的正负情况．考点：1．因式分解的应用；2．不等式的性质．13．（2019滨州，第9题，3分）已知点P （a ﹣3，2﹣a ）关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a 的不等式组进而求出答案．【详解】∵点P （a ﹣3，2﹣a ）关于原点对称的点在第四象限，∴点P （a ﹣3，2﹣a ）在第二象限，∴，解得：a ＜2．3020a a -⎧⎨-⎩＜＞则a 的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选C ．【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题的关键．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．14．（2019聊城，第7题，3分）若不等式组无解，则m 的取值范围为（ ）11324x xx m+⎧-⎪⎨⎪⎩＜＜A ．m ≤2 B ．m ＜2 C ．m ≥2 D ．m ＞2【答案】A ．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．【详解】解不等式1，得：x ＞8．132x x+-＜∵不等式组无解，∴4m ≤8，解得：m ≤2．故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．考点：1．解一元一次不等式组；2．含待定字母的不等式（组）．15．（2019江苏省无锡市，第10题，3分）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a 为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a 的值至少为（ ）A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】B ．【分析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．【详解】设原计划n 天完成，开工x 天后3人外出培训，则15an =2160，得到：an =144．所以15ax +12（a +2）（n ﹣x ）＜2160．整理，得：ax +4an +8n ﹣8x ＜720．∵an =144，∴将其代入化简，得：ax +8n ﹣8x ＜144，即ax +8n ﹣8x ＜an ，整理，得：8（n ﹣x ）＜a （n ﹣x ）．∵n ＞x ，∴n ﹣x ＞0，∴a ＞8，∴a 至少为9．故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的技巧性在于设而不求，难度较大．考点：1．一元一次不等式的应用；2．最值问题．16．（2019江苏省镇江市，第16题，3分）下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组的解集的是（ ）()22160x aa x +⎧⎨--⎩＞＜A． B ．C ． D．【答案】B ．【分析】由数轴上解集左端点得出a 的值，代入第二个不等式，解之求出x 的另外一个范围，结合数轴即可判断．【详解】由x +2＞a 得x ＞a ﹣2，A ．由数轴知x ＞﹣3，则a =﹣1，∴﹣3x ﹣6＜0，解得：x ＞﹣2，与数轴不符；B ．由数轴知x ＞0，则a =2，∴3x ﹣6＜0，解得：x ＜2，与数轴相符合；C ．由数轴知x ＞2，则a =4，∴7x ﹣6＜0，解得：x ，与数轴不符；67＜D ．由数轴知x ＞﹣2，则a =0，∴﹣x ﹣6＜0，解得：x ＞﹣6，与数轴不符．故选B ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组．17．（2019湖北省恩施州，第10题，3分）已知关于x 的不等式组恰有3个整数解，321123x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-⎩＜则a 的取值范围为（ ）A ．1＜a ≤2B ．1＜a ＜2C ．1≤a ＜2D ．1≤a ≤2【答案】A ．【分析】先求出不等式组的解集（含字母a ），因为不等式组有3个整数解，可推出a 的值．【详解】3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-⎩①＜②解①得：x ≥﹣1，解②得：x ＜a ．∵不等式组的整数解有3个，∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，则1＜a ≤2．故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解答此题的关键是能根据题意求出关于a 的不等式组．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．含待定字母的不等式（组）．18．（2019湖北省荆州市，第9题，3分）已知关于x 的分式方程2的解为正数，则k 的取1x x --1kx=-值范围为（ ）A ．﹣2＜k ＜0B ．k ＞﹣2且k ≠﹣1C ．k ＞﹣2D ．k ＜2且k ≠1【答案】B ．【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．【详解】∵2，∴2，∴x =2+k ．11x k x x -=--1x kx +=-∵该分式方程有解，∴2+k ≠1，∴k ≠﹣1．∵x ＞0，∴2+k ＞0，∴k ＞﹣2，∴k ＞﹣2且k ≠﹣1．故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式．19．（2019湖南省常德市，第6题，3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为（ ）A ．10＜x ＜12B ．12＜x ＜15C ．10＜x ＜15D ．11＜x ＜14【答案】B ．【分析】根据题意得出不等式组解答即可．【详解】根据题意可得：，可得：12＜x ＜15，∴12＜x ＜15．151210x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞＞【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．考点：一元一次不等式组的应用．20．（2019湖南省永州市，第10题，4分）若关于x 的不等式组有解，则在其解集中，整26040x m x m -+⎧⎨-⎩＜＞数的个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ．【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m ＜4，然后分别取m =2，0，﹣1，得出整数解的个数，即可求解．【详解】解不等式2x ﹣6+m ＜0，得：x ，解不等式4x ﹣m ＞0，得：x ．62m -＜4m＞∵不等式组有解，∴，解得m ＜4，如果m =2，则不等式组的解集为m ＜2，整数解为642m m -＜12＜x =1，有1个；如果m =0，则不等式组的解集为0＜m ＜3，整数解为x =1，2，有2个；如果m =﹣1，则不等式组的解集为m ，整数解为x =0，1，2，3，有4个．14-＜72＜故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．考点：1．解一元一次不等式组；2．一元一次不等式组的整数解；3．含待定字母的不等式（组）．21．（2019重庆，第6题，4分）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】C ．【分析】根据竞赛得分=10×答对的题数+（﹣5）×未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】设要答对x 道．10x +（﹣5）×（20﹣x ）＞120，10x ﹣100+5x ＞120，15x ＞220，解得：x ，根据x 必须为整数，故x 取443＞最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．考点：一元一次不等式的应用．22．（2019重庆，第11题，4分）若数a 使关于x 的不等式组有且仅有三个整数解，()()127346251xx x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪--⎩＞且使关于y 的分式方程3的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）1211y ay y--=---A ．﹣3 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1【答案】A ．【分析】先解不等式组根据其有三个整数解，得a 的一个范围；再解关于y 的分式方()()127346251x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪--⎩，＞程3，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a 的一个范围，两个范围综合考虑，1211y ay y--=---则所有满足条件的整数a 的值可求，从而得其和．【详解】由关于x 的不等式组，得．()()127346251x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪--⎩＞32511x a x ≤⎧⎪⎨+⎪⎩＞∵有且仅有三个整数解，∴x ≤3，x =1，2，或3，∴，∴a ＜3；2511a +＜250111a +≤＜52-≤由关于y 的分式方程3得1﹣2y +a =﹣3（y ﹣1），∴y =2﹣a ．1211y a y y--=---∵解为正数，且y =1为增根，∴a ＜2，且a ≠1，∴a ＜2，且a ≠1，∴所有满足条件的整数a 的值为：52-≤﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选A ．【点睛】本题属于含参一元一次不等式组和含参分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式；3．一元一次不等式组的整数解；4．含待定字母的不等式（组）；5．压轴题．23．（2019黑龙江省鸡西市，第17题，3分）已知关于x 的分式方程1的解是非正数，则m 的取23x mx -=-值范围是（ ）A ．m ≤3B ．m ＜3C ．m ＞﹣3D ．m ≥﹣3【答案】A ．【分析】根据解分式方程的方法可以求得m 的取值范围，本题得以解决．【详解】方程两边同乘以x ﹣3，得：2x ﹣m =x ﹣3移项及合并同类项，得：x =m ﹣3．∵分式方程1的解是非正数，x ﹣3≠0，∴，解得：m ≤3．23x mx -=-()30330m m -≤⎧⎨--≠⎩故选A ．【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．考点：1．分式方程的解；2．解一元一次不等式．二、填空题24．（2019吉林省，第8题，3分）不等式3x ﹣2＞1的解集是 ．【答案】x ＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【详解】∵3x ﹣2＞1，∴3x ＞3，∴x ＞1，∴原不等式的解集为：x ＞1．故答案为：x ＞1．【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．考点：解一元一次不等式．25．（2019内蒙古包头市，第14题，3分）已知不等式组的解集为x ＞﹣1，则k 的取值29611x x x k +-+⎧⎨-⎩＞＞范围是．【答案】k ≤﹣2．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】29611x x x k +-+⎧⎨-⎩＞①＞②。
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例
不等式组的特殊解，包含在它的解集中．因此，解决此类问题的关键是先求出不等式组
精 的解集，然后求其特殊解．
析
考点四 一元一次不等式组的应用
举
利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的
一 是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，列方的是不等式，解
点 知 识
国队加油，现有 A、B 两个出租车队，A 队比 B 队少 3 辆车，若全部安排乘 A 队的车，每辆 坐 5 人，车不够，每辆坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排 B 队的车，每辆坐 4 人，车不够，
精 每辆坐 5 人，有的车未坐满，则 A 队有出租车( )
讲
A．11 辆
B．10 辆
C．9 辆
中 考 典
A．m≤53
B．m＜53
C．m＞53
D．m≥53
例
精 3．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图，则该不等式组的解集是( A )
析
举 A．－1≤x<3
一 反
C．x≥－1
B．－1<x≤3 D．x<3
三
x－3x－2≤4
考
4．解不等式组1＋32x>x－1
，并把解集在数轴上表示出来．
点
训
练
1≤x<4
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
考点训练 11
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考 点 知 识 精 讲
中 考
一元一次不等式组及应用
典 一元一次不等式组及应用
例 精 析
训练时间：60分训钟练时分间值：：601分00钟分 分值：100分
举 一 反 三
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
目 录 首 页 上一页 下一页 末 页
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考 点
1．不等式组2xx≥－－1＜1 3 的解集是( C )
知 识
A．x＜2 B．x≥－1 C．－1≤x＜2 D．无解
精
讲
2．若不等式组5x－ －3mx≥≥00 有实数解，则实数 m 的取值范围是( A )
考 本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍 点 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本．
知
(1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
识
(2)若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，试说
由于 x 只能取整数，∴x 的取值是 18,19,20.
当 x＝18 时，30－x＝12；当 x＝19 时，30－x＝11；当 x＝20 时，30－x＝10.
举 一 反
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角 18 个，小型图书角 12 个；方案二，组建 中型图书角 19 个，小型图书角 11 个；方案三，组建中型图书角 20 个，小型图书角 10 个．
三
(2)方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建
中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低．最低费用是 860×18＋570×12＝
考 点
22 320(元)． 方法二：①方案一的费用是：860×18＋570×12＝22 320(元)；
训
②方案二的费用是：860×19＋570×11＝22 610(元)；
例 精
7．(2009 中考变式题)如果点 P(m,1－2m)在第四象限，那么 m 的取值范围是( )
析
A．0<m<12 B．－12<m<0
举
C．m<0
D．m>12
一
反 三
【解析】m1－>02m<0
，解得
1 m>2.
考 【答案】D
点 训 练
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考 8．(2009 中考变式题)2008 年奥运会期间重庆球迷一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中
典 例
个一元一次不等式组．
精
2．解集：几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集．
析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考
考点二 一元一次不等式组的解法
点
1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分(一
知
般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，由图形得出公共部分)，就得到不等式组的
典 例 精
(2)解不等式①，得 x>－2.解不等式②，得 x≤6. 在同一数轴上表示不等式①②的解集如下：
析
∴原不等式组的解集为－2<x≤6.
举 一
∴原不等式组的整数解为 x＝－1,0,1,2,3,4,5,6.
反
三
考 点 训 练
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(2010·莱芜)为打造“书香校园”，某学校计划用不超过 1 900 本科技类书籍和 1 620
)
精 讲
A．－1<m<－12 B．0<m<12
中
C．0<m<1
考
1 D.2<m<1
典
例 精 析
【解析】x2＋ x＋2yy＝ ＝42mm＋1 ① ②， ②－①得，x－y＝1－2m，由－1<x－y<0 得－1<1
－2m<0，解得12<m<1.
举
一 反
【答案】D
三
考 点 训 练
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练
③方案三的费用是：860×20＋570×10＝22 900(元)；
故方案一费用最低，最低费用是 22 320 元．
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲
讲
A．－1
B．0
C．1
D．4
中
考 典 例 精
x－4≤8－2x① 【解析】x>－23 ②，
析 ∴最小整数解为 x＝0.
由①得 x≤4，由②得 x>－23，所以不等式组的解集是－23<x≤4，
举
一
【答案】B
反
三
考 点 训 练
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考
点 知 识
5．(2011 中考预测题)已知2xx＋＋2yy＝＝24mm＋1 ，且－1<x－y<0，则 m 的取值范围是(
考 点 训 练
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考
点 知
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
识
精 讲
1．(2010·广州)不等式组13x＋1>0 的解集是(
)
中
2－x≥0
考 典 例 精
A．－13<x≤2 C．x≥2
B．－3<x≤2 D．x<－3
析
举
【解析】13x＋1>0
一 反
2－x≥0
精 讲
明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【点拨】本题考查一元一次不等式组的应用．
中 考
【解答】(1)设组建中型图书角 x 个，则组建小型图书角为(30－x)个．
典 例 精
由题意，得8500xx＋ ＋36003300－ －xx≤ ≤11
900. 620.
析
解这个不等式组得 18≤x≤20.
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考 点
6．(2009 中考变式题)已知三角形的两边长分别为 3 cm 和 8 cm，则此三角形的第三边的
知 长可能是( )
识 A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．13 cm
精
讲
【解析】设第三边长度为 a cm，则 8－3<a<8＋3，即 5<a<11，故选 C.
中
考 【答案】C
典
反 三
不等式组所得的结果通常为解集，根据题意需从解集中找出符合条件的答案．
在列不等式时，“不超过”“不多于”等用“≤”连接，“至少”“不少于”等用“≥”
连接．
考
点
训
练
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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识
解集．
精 讲
2．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集一般情况可见下表(其中 a＜b)：
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲
中
考
考点三 一元一次不等式组的特殊解
典
一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等．
典 人；已知 36 座客车每辆租金 400 元，42 座客车每辆租金 440 元．
例 精
(1)该校初三年级共有多少人参加春游？
析
(2)请你帮该校设计一种最．省．钱．的租车方案．
答案：(1)共有 288 人参加春游 (2)租 42 座车 6 辆和 36 座车 1 辆最省钱