群论第二章ppt

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§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
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§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
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§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
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§2.1 群的概念
对元素a形成n阶循环群为 1 2 n a0 e a a a e a m 的逆元素为 a n m 由 a m a nm a n e 定理2.1 重排定理：设群 G g a b G 当 g a 取遍所有 的元素时，bg a 给出并仅一次给出G中的所有元素。 重排定理是关于群乘法的重要定理，它指出每一个 群元素在乘法表的每一行（或每一列）中被引出一 次也仅一次。 例3 所有的整数 G 0 1 2 乘法取为普通加 法时，构成一个群，这群也是一个Abel群，其单 位元素为0，n的逆元素为-n 全部正整数就不构成一个群，因为它没有逆元素。
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§2.2 子群, 同态和同构
换言之，G的一个子集H在其乘法下是闭合的， 则为G的一个子群。任意一个群其单位元素e和群本 身是G的子群，称平庸子群(trivial subgroup)其他子 群称真实子群，我们要求的是真实子群. 为了证明一个重要定理——Lagrange定理，要引 入一个重要的概念，称子群的陪集(coset)若H是群G 的真实子群，其元素为 hi ，则G中一定存在至少一 个元素a不属于H的，则用a乘H所有元素 ahi hi H 形成一个子集称由a产生H的左陪集，可表示aH。注 意aH不是一个群，因其中没有单位元素，相似也有 右陪集Ha，一般情况左陪集与右陪集是不完全一样 的。
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§2.2 子群, 同态和同构
1.子群与陪集 定义2.2,群G集合中一部分元素的子集合H若在原群乘法规 则下满足群的四点要求，H称为G的子群。 例.6,取 G 1 i 1 i ，则 H 1 1 就是G的二阶子群。 例.7 在定义群乘法为数的加法时，整数全体构成群是实数全 体构成群的子群。 定理2.2 子群定理：群G的非空子集H是群的一个子群，其 充分与必要条件是若h与 h 满足 h1h H 。 [证明]：由H是G的子集满足结合律取 h h 得 h1h H ，则 H中保持单位元素，另外取 h e，则 h1e h1 H 。H中有 1 1 1 逆元素,最后取h为 h 有 h h hh H 满足乘法规则下的 闭合性，因此H为一个子群。
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§2.2 子群, 同态和同构
2. 同态与同构 定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射， 且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即 G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积， 称群G与群F同构。 g f 记 G F 映射称同构映射。 g f g f 即 ：G F
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§2.1 群的概念
群是数学元素的一种特殊的集合，它要求集合中两 个元素满足某些组合规则，这集合具有代数结构， 组合规则（常称为乘法）它可以是普通乘法的推广 也可以是矩阵相乘或两元素置换等。 1.群的定义 群是一种具有代数结构的数学元素的集合。它的 组合规则（乘法）满足以下四条： （1）封闭性 集合中任意两个元素的乘积（包括 自乘）都在此集合内，取集合为G a, b G c G c a b ab (2)乘法满足结合律 即 ab c a bc
因此aH中任何元素在bH中，反过来bH中任何元 素也在aH中，因此aH与bH是完全一样的。
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§2.2 子群, 同态和同构
定理2.4 Lagrange定理 有限群G的任何子群的阶 是有限群阶的乘因子。若有限群阶N，子群阶为m， 则有N/m=k (k为整数) 这定理在求有限群子群时是很有用的。 [证明]：从旁集定理看出子群的任何两陪集是不相 交的，要么完全相同，要么完全不同，若子群阶为 m，则陪集阶也为m。则若有限群阶为N，则子群外 形成陪集元素为N/m=k-1，利用 g1 , g 2 , g k 1乘子群 H，即得到G中所有元素，k称为H在群G中指数，定 理得到。 若群G阶数为素数，G就没有任何真实子群，若 群的阶为6，从定理得到，其真实子群阶只有2和3。
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§2.1 群的概念
（Hale Waihona Puke ),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e
e G
(4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 1 为 a ， 有 aa 1 a 1a e a 1 G a 1 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。
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§2.1 群的概念
例2
G 1, i 1, i 利用普通乘法构成群，乘法表为
￤ 1
i
-1
-i
－－￤－－－－－－－－－
1 ￤ 1 i -1 -i i ￤ i - 1 -i 1 -1 ￤ -1 - i 1 i -i ￤-i 1 i -1 从表中看出，相对主对角线是对称的，因此它是一个Abel 群。另外看到这群元素可以用一个元素多次幂得到，这元素 为i，即 i 0 1 i1 i i 2 1 i3 i i 4 1 这样由一个元素多次幂组成群称循环群,为四阶循环群C 4
群
论
第二章 群的基本知识
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第二章 群的基本知识
本章首先介绍群的基本知识，包括群的概念，子 群，同态与同构，共轭类，不变子群与商群，群的 直积，最后介绍几个简单的群例。 本章分以下几节: 1, 群的概念, 2, 子群，同态与同构 3, 共轭类，不变子群与商群 4, 群的直积与外直积 5, 某些简单群
1 2 3 f 2 3 1
元素个数为3！=6，它是一个6阶置换群表为 S 3 ， 也称3客体对称群。
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§2.1 群的概念
n个客体的置换群元素个数为n!，表为 S n ，也称n客体的对 称群。若两置换乘积ba=d，即先实现a再实现b置换得d。 S 3 的乘法表为： e a b c d f — |————————————— e | e a b c d f a | a e f d c b b | b d e f a c c | c f d e b a d | d b c a f e f | f c a b e d 从乘法表看出，它对主对称轴是不对称的，所以它是非 Abel群。
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§2.1 群的概念
例5 平面正三角形对称群又称6阶二面体群，它由 保持正三角形不变的空间转动操作形成群。
y A
3
2
O
x
B
1
C
图2.1平面正三角形对称变换
以下六种操作平面正三角形不变： e 不转 a 绕轴1转π b 绕轴2转π c 绕轴3转π d 绕垂直轴z转2 π /3， f 绕z轴转-2 π /3 。 • 如图2.1所示
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§2.1 群的概念
例4 三客体的置换群(permutation group) S 3 ，它是 简单的非Abel群，三客体编号为1，2，3排成一 列，排列次序作一个变化，1 2 3
1 2 3 2 1 3 与 i j k j i k 看成同一种置换，即置换主
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§2.2 子群, 同态和同构
定理2.3 陪集定理 子群H的两个陪集aH和bH，如 果它们两个中有一个共同元素，则这两个陪集完 全相同。 [证明]：让 ahi bhk a bhk hi 1 b hk hi 1 bh j bH 则 则a在bH中a乘任何元素
ahl bh j hl bhm bH
1 2 3 a 2 1 3
i
j
k
要为元素对应变化，不在排列次序，三客体置换 群有以下六个元素： 1 2 3
1 2 3 e 1 2 3
b 1 3 2
1 2 3 c 3 2 1
1 2 3 d 3 1 2
1 1 2 2 3 3
gi fi
gi g j f i f j
G
F
两个同构的群不仅群元素间一一对应，而且乘法规 则也一一对应，因此从抽象群来说两个同构群本质 上没有任何区别。