两角和与差的正弦+余弦和正切公式习题训练与答案解析
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题答案
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即C A故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦、余弦和正切答案与解析
答案与解析：基础达标：1．答案：B解析：原式．2．答案:B解析：3．答案：D解析：4．答案：B解析：sin14°cos16°+sin76°cos74°= sin14°cos16°+cos14°sin16°=5．答案：B解析：6．答案：C解析：∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)．由已知可得：sin(B+C)=2sin C cos B sin B cos C+cos B sin C=2sin C cos Bsin B cos C-cos B sin C=0sin(B-C)=0．∴B=C，故△ABC为等腰三角形．7．答案：解析：因为，所以，所以．因为，所以．所以．8．解：（1）∵∴（2）由又，于是9．解：原式＝．10．解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π且A＋B＋C＝π即：A＋B＝π－C由已知得cos A·cos B－sin A·sin B＞0即：cos（A＋B）＞0∴cos（π－C）＝－cos C＞0即cos C＜0∴C一定为钝角∴△ABC一定为钝角三角形．能力提升：1．答案：B解析：2．答案：D解析：∵，∴，，则角的终边上一点为，它在直线上．3．答案：C解析：∵∴即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2即(1+tan21°)(1+tan24°)=2．同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得(1+tan22°)(1+tan23°)=2．故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4．4．答案：C解析：∵，∴，∴，∴，又∵，∴．5．答案：C 解析：原式6．答案：1解析：原式．7．解：∵，∴．又∵α、β均为锐角，∴，即，∴．8．解：原式．9．解：由sin A＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，又cos B＝，∴60°＜B＜90°，∴若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能．∴0°＜A＜45°，即cos A＝．∴．10．解：．11．解：∵α为锐角，且，∴．又∵α、β均为锐角，∴0＜α＋β＜π，且，∴．则∴．综合探究：1．解：,此时可得函数的最小正周期.2．解：（1）由正弦定理得：（2）∵△ABC的内角和A+B+C=π，，∴∵∴，∵，∴当即时，取得最大值．3．分析：因为p和q是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p、q的方程组，解出p、q．解：设t=tan A，则由得解之得或．当时，，，．当t=-2时，，，∴满足条件的p、q的值为：。
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】cos2θ＋sin2θ＝＝＝.2.已知sin＝，则sin＝______.【答案】【解析】sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝.3.已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．【答案】α＋β＝.【解析】由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]∴tan(α＋β)＝2tanα①由4tan＝1－tan2得tanα＝＝②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<，∴α＋β＝.4.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.5.已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是()A．－B．－C．或－D．－或【答案】A【解析】由韦达定理得，tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.6.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.7.若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．【答案】【解析】tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.8.不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.【答案】1【解析】tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.9.化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ [tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．【答案】1【解析】∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝ [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋· [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.10.设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－.【答案】见解析【解析】由tanα，tanβ是方程的两根得⇒a≤且a≠0，又，∴tan(α＋β)＝＝＝－－a≥－－＝－.∴tan(α＋β)的最小值是－.11. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.12.已知α、β为锐角，cosα＝，cosβ＝，则tan(α－β)的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α、β为锐角，∴－ <α－β<，又∵cosα＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.∵y＝sin x在上单调递增，sinα＝>＝sinβ，∴α>β.∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝＝＝.∴tan(α－β)＝＝.13.若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A．B．C．D．1【答案】A【解析】将条件式两边分别平方相加得：2－2sinαsinβ－2cosαcosβ＝1，∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝.14. cos15°＋sin15°＝________.【答案】【解析】 cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.15.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.16.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.【答案】【解析】∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝.cos＝＝＝.∴cos＝cos＝cos cos＋sin·sin＝－×＋×＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【答案】B【解析】a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，c＝·＝sin60°，由y＝sin x在(0°，90°)上单调增知：a<c<b.19.若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于()A．－1B．0C．1D．±1【答案】B【解析】∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.20.函数y＝2sin－cos (x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1D．－【答案】C【解析】y＝2sin－cos＝2cos－cos＝cos (x∈R)．∵x∈R，∴x＋∈R，∴y＝－1.min。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习附答案
1. － ＝()
A．4B．2
C．－2D．－4
解析：选D. － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝－4，故选D.
2．若α，β都是锐角，且cosα＝ ，sin(α－β)＝ ，
则cosβ＝()
A． B．
C． 或－ D． 或
解析：选A．因为α，β都是锐角，且cosα＝ ，sin(α－β)＝ ，所以sinα＝ ，cos(α－β)＝ ，从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝ ，故选A．
6．已知cosθ＝－ ，θ∈ ，则sin 的值为________．
解析：由cosθ＝－ ，θ∈ 得sinθ＝－ ＝－ ，故sin ＝sinθcos －cosθsin ＝－ × － × ＝ .
答案：
7．已知cos ＝－ ，则cosx＋cos ＝________．
解析：cosx＋cos ＝cosx＋ cosx＋ sinx
1. 的值为()
A． B．
C．－ D．－
解析：选B．原式＝ ＝ ＝tan(45°＋15°)＝ .
2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是()
A． B．1＋
C．2D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C．
解：因为0<α< <β< π.
所以 π< π＋α<π，－ < －β<0.
Hale Waihona Puke 又sin ＝ ，cos ＝ ，
所以cos ＝－ ，sin ＝－ ，
第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案详细解析)
第三章 三角函数、解三角形第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点 两角和与差的三角函数1．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＝2π3，tan 2α＝tan 4π3＝ 3.答案： 32．(2012山东，5分)若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34. 答案：D3．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：由sin α－cos α＝2sin (α－π4)＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan3π4＝－1.答案：A4．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．法一：由θ在第二象限，且tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－105. 法二：如果将tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. 答案：－1055．(2013重庆，12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2 ＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力． (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25. ① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.6．(2011辽宁，5分)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案：A7．(2010新课标全国，5分)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2＝(cos α2＋sin α2)2(cos α2－sin α2)(cos α2＋sin α2)＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A8．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：sin43°cos13°－cos43°sin13° ＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.答案：A9．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．解析：因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin 2(α＋π6)＝2425，cos 2(α＋π6)＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝17250. 答案：17250。
第3节第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(经典练习及答案详解)
第3节 三角恒等变换知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.－210 B.210C.－7210D.7210答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.3.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则tan α＝( )A.13 B.－13C.43D.－43答案 A解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.4.(2020·全国Ⅱ卷)若sin x ＝－23，则cos 2x ＝________. 答案 19解析 因为sin x ＝－23，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝19.5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 －45解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一 公式的基本应用1.(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝( ) A.－2－3 B.－2＋3 C.2－3D.2＋3答案 D解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.故选D. 2.(2021·武汉模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝( ) A.－75＋8227B.82－7527 C.75－8227D.75＋8227答案 C解析 由题意可知，sin α＝13，sin β＝23，由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.(多选题)(2021·北京西城区模拟)下面各式中，正确的是( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4 B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3 C.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D.cos π12＝cos π3－cos π4 答案 ABC解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确； ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确.故选ABC.4.已知tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝________.答案 －45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45. 感悟升华 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 考点二 公式的逆用及变形【例1】 (1)下列式子化简正确的是( )A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝3 D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2020·杭州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为( ) A.[－1，1] B.[－2，1] C.[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 (3)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为________. 答案 (1)D (2)B (3)2解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误； 选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1，即函数的值域为[－2，1].故选B.(3)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.感悟升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【训练1】 (1)(多选题)(2021·聊城质检)下列选项中，值为14的是( ) A.sin π12sin 5π12 B.13－23cos 215° C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36°(2)若α＋β＝2π3，则3tan αtan β－tan α－tan β的值为________. 答案 (1)AD (2)3解析 (1)对于A ，sin π12sin 5π12＝sin π12cos π12＝12sin π6＝14，故A 正确； 对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误； 对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.综上，选AD. (2)∵α＋β＝2π3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3，可得tan α＋tan β＝－3(1－tan αtan β)，∴3tan α·tan β－tan α－tan β＝3tan αtan β－(tan α＋tan β)＝3tan αtan β＋3－3tan αtan β＝ 3. 考点三 角的变换【例2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝( )A.12B.33C.23D.22(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33B.－33C.539D.－69(3)(2021·长春质量监测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝________.答案 (1)B (2)C (3)－79解析 (1)因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33.故选B. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2.∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. (3)法一 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝79，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝－79.法二 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(cos 2θ－sin 2θ)，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－79.感悟升华 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等. 【训练2】 (1)(2020·南昌三模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝________.(2)(2021·重庆调研改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos 2α＝________. 答案 (1)－13 (2)79解析 (1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13. (2)法一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝33，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝－33，又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝23，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝sin α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2－1＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79.法二 因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79.A 级 基础巩固一、选择题1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ＝( ) A.－2B.－1C.1D.2答案 D解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2.故选D. 3.(2020·揭阳一模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝35，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.45B.35C.－45D.－35 答案 D解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2α＝35，则sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝－35. 4.(2021·烟台模拟)已知α∈(0，π)，2sin 2α＝cos 2α－1，则cos α＝( )A.55B.－55C.255D.－255 答案 B解析 ∵2sin 2α＝cos 2α－1，∴4sin αcos α＝－2sin 2α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，2cos α＝－sin α，∴cos α<0，结合sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝－55.5.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A.－235B.235C.－45D.45 答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋12sin α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝435，∴12cos α＋32sin α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选C. 6.(2021·全国大联考)已知sin ()α＋15°＝35，则cos(α－30°)＝( )A.7210B.－210C.7210或210D.7210或－210答案 D 解析 ∵sin(α＋15°)＝35，∴cos(α＋15°)＝45或－45.当cos(α＋15°)＝45时，cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]＝cos(α＋15°)cos 45°＋sin(α＋15°)sin 45°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝7210；当cos(α＋15°)＝－45时，cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]＝cos(α＋15°)cos 45°＋sin(α＋15°)sin 45°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－210，∴cos(α－30°)＝7210或－210，故选D.二、填空题7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ). 8.(2021·北京东城区模拟)已知cos 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2(π－α)的值为________.答案 －1解析 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2(π－α)＝(－sin α)2－2(－cos α)2＝sin 2α－2cos 2α＝1－cos 2α2－(1＋cos 2α)＝1－132－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝－1. 9.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.答案 3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°， ∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.三、解答题10.(2021·衡阳质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α. 解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6＝1－266. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β). 解 由已知，得π2<α－β2<π，0<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729. B 级 能力提升12.(多选题)(2021·潍坊调研)下列四个选项中，化简正确的是( )A.cos(－15°)＝6－24B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝12D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A ，法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24，A 错误.法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确.对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.13.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝__________. 答案 －35 13解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tanπ41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13. 14.已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）1＋tan 2αtan（α＋β）＝－211.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题一、选择题1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－62 B.12 C ．－22 D.222．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－453.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.324．当0<x <π4时，函数y ＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．45．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365 C ．－1665 D ．－56656．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35 D ．±457．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π48．若1＋cos2αsin2α＝12， 则tan2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－439．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B.12 C ．－13 D.232710．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( ) A.31010 B.1010 C.510 D.515二、填空题11.3－sin70°2－cos 210°＝________.12．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．13．已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.14．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.三、解答题15．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．16．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－62 B.12 C ．－22 D.22解析：因为f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4), 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π 12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－22.答案：C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－45解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α ＝－45.答案：D3.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.答案：C4．当0<x<π4时，函数y＝cos2xcos x sin x－sin2x的最小值是( )A.14 B.12C．2 D．4解析：y＝cos2xcos x sin x－sin2x＝1tan x－tan2x，当0<x<π4时，0<tan x<1，设t＝tan x，则0<t<1，y＝1t－t2＝1t(1－t)≥4，当且仅当t＝1－t，即t＝12时，等号成立．答案：D5．已知sinα＝1213，cosβ＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365 B.6365C．－1665D．－5665解析：因为α是第二象限角，且sinα＝12 13，所以cosα＝－1－144169＝－513.又因为β是第四象限角，cosβ＝4 5，所以sinβ＝－1－1625＝－35.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.答案：A6．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为( )A.35 B.45C．±35D．±45解析：由θ为第二象限角，可知θ2为第一或第三象限角．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝cos θ＋1＝1825，∴cos θ2＝±35.答案：C7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4解析：由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，即tan(A ＋B )＝－ 3.又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，0<C <π，∴C ＝π3.答案：A8．若1＋cos2αsin2α＝12， 则tan2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－43解析：1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D.答案：D9．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于() A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]∴cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.答案：D10．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( ) A.31010 B.1010 C.510 D.515解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4，在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255.sin ∠CED ＝sin(π4－∠BEC )＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22×(255－55)＝1010.答案：B二、填空题11.3－sin70°2－cos 210°＝________. 解析：3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝4－2cos 210°2－cos 210°＝2. 答案：212．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．解析：由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14，∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3. 答案： 313．已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.解析：由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，∴由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.答案：114．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 解析：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268三、解答题15．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45，又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35， ∴cos(β－π4)＝45.于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725， 又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525.16．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加，得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据诱导公式有【考点】本小题主要考查诱导公式的应用.点评：解决此类问题关键是尽量用已知角来表示未知角.2. (2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C等于() A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°【答案】A【解析】两式平方后相加得sin(A＋B)＝，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sin A＝6－4cos B>2，∴sin A>>，∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.3. (2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝或sinα＝－1，∵α∈，∴sinα＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－.4.求值：＝________.【答案】－4【解析】＝＝＝＝＝＝－4.5. (2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ <φ<)的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解．【答案】(1)∴f(x)＝(2) x＝－，－，－，或即为所求【解析】(1)当x∈时，由图象知，A＝1，＝－＝，∴T＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x＋φ)过点，则＋φ＝kπ，k∈Z，∵－<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin当－π≤x<－时，－≤－x－≤，∴f＝sin＝－sin x而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝f∴f(x)＝－sin x，－π≤x<－，∴f(x)＝.(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，∵f(x)＝sin＝，∴x＋＝或，∴x＝－或，当－π≤x<－时，∵f(x)＝－sin x＝，∴sin x＝－，x＝－或－，∴x＝－，－，－，或即为所求．6.设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是() A．tanα·tanβ<1B．sinα＋sinβ<C．cosα＋cosβ>1D．tan(α＋β)<tan【答案】D【解析】取特例，令α＝β＝可得，tan(α＋β)＝，tan＝，∴tan(α＋β)>tan，∴D不正确．7.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为() A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因为△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tan B＝＝＝，即＝，∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cos A＝0，∵0<A<π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形，故选B.9.若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．【答案】第四象限【解析】∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．10.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.11.化简：.【答案】1【解析】原式＝＝＝＝1.12.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝. ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.13.已知cosθ＝，θ∈，则cos＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝，∴cos＝cosθ·cos＋sinθ·sin＝×＋×＝.14. (08·山东理)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是() A．－B．C．－D．【答案】C【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin＝－cos＝－sinα－cosα＝－.故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于()A．B．C．或D．－【答案】B【解析】∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，由sinα＝得，cosα＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
两角和与差的正弦+余弦和正切公式 习题训练与答案解析
62
6
66
6
值-1.
5
5
5
7.已知
为第三象限的角,cos
2
3 5
求tan
(
4
2 ) 的值.
分析:本题主要考查了角的象限的判断及三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、两角和
的正切公式.
解:∵ 为第三象限的角,2k + 2k 3 k Z, 2
∴4k +2 2 4k +3 (k Z).
又cos 2 3 ∴sin 2 4 tan 2 4 .
4
24
方法二:y= g(x) f (2x) 1 cos (4x ) x [0 ] .g′(x)=-2sin (4x )
2
3
4
3
令g′
(
x)
0
x
[0
4
]
解得
x
12
g(0) 1 g( ) 1 g( ) 1 4 12 2 4 4
故函数g(x)在区间
[0
4
]
上的最大值和最小值分别为
强化训练
1.tan20 +tan40 3 tan20 tan40 等于( )
A.1
B.
3 3
C. 3
答案:D
解析:∵tan60
=tan(20
+40
)
tan20 tan40 1 tan20 tan40
∴tan20 +tan40 3 3 tan20 tan40 ,
即tan20 +tan40 3 tan20 tan40 3 .
3 5
则tan
2
.
答案: 24 7
解析:∵
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.．(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝ (<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝() A．1B．2C．－2D．【答案】C【解析】∵sinβ＝， <β<π，∴cosβ＝－，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，∴sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.2. (2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝____________.【答案】－【解析】因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋，(k∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－，∴sin2α＝，∴tan2α＝＝－，所以tan＝＝＝－.3. (2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．【答案】（1）（2）-【解析】(1)因为·＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，即 (1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，所以点P，点Q，又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.同理sinβ＝－，cosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.4.在△ABC中，若0<tan B tan C<1，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不能确定【答案】B【解析】∵0<tan B tan C<1，∴B，C均为锐角，∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cos A<0，∴A为钝角．[点评]也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tan B>0，tan C>0，∴tan(B＋C)＝>0.∴B＋C为锐角，从而A为钝角．5.化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于()A．1B．2C．tan10°D．tan20°【答案】A【解析】∵tan(20°＋10°)＝，∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，∴原式＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan20°·tan10°)＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.6.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是()A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.7.若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．【答案】【解析】tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.8.是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．【答案】满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.【解析】假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立．由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.又tan tanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－.因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝30°，β＝45°.所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.9.已知α为锐角，且sinα∶sin＝8∶5，则cosα的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知sinαsin＝85，即(2sin·cos)sin＝85得cos＝，则cosα＝2cos2－1＝2×－1＝.10.若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值是()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵tanθ＝，∴原式＝＝＝＝.11.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈，则tan的值是()A．B．－2C．D．或－2【答案】B【解析】∵，∴tan(α＋β)＝＝，∵tanα<0，tanβ<0，∴，∴－π<α＋β<0，∴－ <<0，∵tan(α＋β)＝＝，∴tan＝－2，故选B.12.若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．【答案】第四象限【解析】∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．13.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.14.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.【答案】【解析】∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝.cos＝＝＝.∴cos＝cos＝cos cos＋sin·sin＝－×＋×＝.17.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为()A．0B．C．0或D．0或±【答案】A【解析】由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.18. sin＋sin的化简结果是()A．2sin B．2sinC．2sin D．2sin【答案】A【解析】sin＋sin＝sin＋sin＝cos＋sin＝2＝2＝2sin＝2sin.19.在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x，y的大小关系是() A．x≤y B．x＜y C．x≥y D．x＞y【答案】D【解析】∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cos A cos B－sin A sin B＜0，∴x＞y，故应选D.20.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.。
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强化训练 1.tan20 +tan40 、
3 tan20 tan40 等于( ) BP
A.1 答案:D 解析：T tan60 =tan(20 +40 ) /• tan20 +ta n40 即 tan20 +ta n40 2.已知tan ( tan 20・ ta n40：
1 tan 20 tan40
3 3 tan20 tan40 , 屁
3 tan 20 3 tan ( tan40 ) 5 则 tan 2 的值为 A. 7
B. 4 7 C 1 C .8 答案:B
解析:tan 2 tan [( )( )] tan(
)tan( ) 4 1 tan( )ta n( ) 7 .
3.已知 为第二象限的角 ,sin 3
则 tan 2
5
答案： 24 7
解析：T
为第二象限角 ,sin 3 5 • •• cos 4 . • tan 5 sin cos 3 4 . ••• tan 2 2ta n
2 ( 3
) 4 24 1 tan 2
1 ( 3)
2 7 .
4
D. 4.函数f(x)=sin (2x 才) 答案： 2、
2sin 2x 的最小正周期是 解析:f(x)=sin (2x 才)
2
5.函数y=2cos x sin2x 的最小值是 答案:1 . 2 解析：f(x)=cos2x+sin2x+1 -2 sin (2 x 4) 1 所以最小值为1 ,2 故最小正周期为 6•已知函数f(x) 2.
1 —sin 2xs in 2
2 cos x cos 2 sin (- )(0
2 2 (1)求的值;
⑵将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 一 、 纵坐标不变
2
函数g(x)在区间［0
才
］上的最大值和最小值. 1 解:(1)因为 f (x) sin2xsin
2
2 cos
x
cos
1
—sin (—
2 2
)(0
1
),其图象过点(
).
6 2
，得到函数y=g(x)的图象,求
),
、 1 所以 f (x)
sin2xsin
2
1 2(1
1 cos2x)cos
— cos
2
1 —sin 2xs in
2
1 -cos2xcos
2
1 cos (2x
2
).
又函数图象过点 1
( )
6 2
1 1 所以——
cos
(2 -
)即 cos (-
)1
2 2
6
3
而0
，所以 一.
3
、 一 一 1 一 、
⑵方法一：由函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变，得到函数y=g(x)
2
1 的图象，可知y= g(x) f (2x) cos (4x ).
2 3
2 1 因为 x ［0 ］所以 4x ［
2
］故 cos (4 x ) 1. 4 3
3 3 2 3
A
所以函数g(x)在区间［0 —］上的最大值和最小值分别为 一和 1.
4 2 4
、、一 1
方法二:y= g(x) f (2x) cos (4 x ) x ［0
］ .g' x(=-2sin (4x ) 2 3
4 3
令g '(x)
x ［
］解得 x —
4 12
g(0)
4 g (12)2 g(4) 4
故函数g(x)在区间
［0
］
上的最大值和最小值分别为
1
和1 .
4
2
4
叫)
D.(-)
答案:D
2
解析:y=2cos x cos2x+1.
题组一 和、差、二倍角公式的运用
2
1. 函数 y=2cos (x 4) 1 是(
)
A. 最小正周期为 的奇函数
B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为
的奇函数
2
D. 最小正周期为一的偶函数
2
答案:A
解析：因为 y=2cos 2
(x ) 1 cos (2 x 一)
4 2
2
2. 函数
y=2cos x 的一个单调增区间是( )
sin2x 为奇函数T
2_
2
，所以选A.
题组二利用公式求特定角的三角函数值 3•已知sin 3则cos 2 的值为（
） 5
=sin ( )cos
cos (
\ -
1
)
sin
3.
6.已知sin 卫 5
则 sin 4
cos 4的值为（
) A. 1 B. 3
C.1
D. 3
5
5
5
答案:B 解析:sin 4 4
cos
(sin 2
cos 2 )( sin 2
cos )
2
=2s in
1 2
1 3.
5 5
7•已知 为第三象限的角,cos 2
3
求tan （ 2 ）的值.
5
4
分析:本题主要考查了角的象限的判断及三角函数值符号的判断、 正切公式•
A 24
B
.
7 C . 7 D.
24 25
25
25
25
答案:C
解析：T
sin
3
/• cos 2
1 2 sin 2
7
25
2
4.已知tan
2则sin
sin cos
2 2
cos
等于
（
)
A. 4
B .
5
C.
3 D.
4 3
4 4
5
答案:D
解析:sin 2
i
sin cos
2 cos 2
2
sin
sin cos
2coV
・2
2
sin cos
tan 2 tan 2 4 2 2
4
ta n 2 1 4 1
5.
5.设 (0 )
2
(
2
),cos
1
3
sin ( ) 9 则 sin
A. 1 B
.
5 C.
23
D.1
27
27
27
3
答案:D
解析：T
__
2 2
3
2
2 .
/• sin
2,2 3
cos ( )
4.2 9
等于（）
同角三角函数关系、 两角和的
解:T
为第三象限的角,2k +
2k
2 4k +
3 (k Z).
又 cos 2
3
••• sin 2
4
tan 2
4
5
5 3
4k +2
11.
(2011 北京高考,文 15)已知函数 f(x)=4cosxsin (x ~) 1 .
(1)求f(x)的最小正周期；
⑵求f(x)在区间［ 解:(1)因为 f(x)=4cosxs in (x =2si n (2x 舌)
tan (— 2 )
1
一tan2
丄
v
4
7
1 tan2
7 '
题组三三角函数公式的综合运用 8. 函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( A. 1 一 2 C.2 答案:A
解析：原式=2sinxcosx+2sin 2x sin2x-cos2x+1
2 sin (2 x
) 1 4
••• y 的最大值为,2 1.
9. 已知函数 f(x)=f z ( —)cosx+sinx,则 f (—)的值为 B. .. 2 1 D.2
解析：因为f*f‘(J sinx+cosx ，
所以f'(4)
f ‘4) V i . 故
f
(4)f '(4)
f ，(4
)
sin
4
co
订
cos sin
4
4 4
f(? 1.
10. 已知函数 f(x)=sinx+sin (x —) x R.
(1)求f(x)的最小正周期； ⑵求f(x)的最大值和最小值； ⑶若f ( )
4求sin 2
解:f(x)=s inx+sin (x —) =sinx+cos x \ 2 sin (x 的值•
4)
2_ 1
(1) f (x)的最小正周期为T
(2) f (x)的最大值为 2最小值为 ⑶因为f( )
3
即sin cos
4
土 即 sin 2
16
2 sin cos
&； 3 4 •
7 16 •
sin 2x+cos2x
6 ~］上的最大值和最小值
2
sin 2x+2cos
所以f(x)的最小正周期为
5
x
6
4 6
(2)因为
所以 —2x
2
6
6
3 .
于是 ，当 2x - 6
2即x —时,f(x)取得取大值2,当2x —
6即X
百时,f (x )取得最小
值-1.。