最新人教版九年级数学上册第二十二章课件
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22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
人教版初中数学九年级上册 二次函数 课件PPT
数、一次项系数和常数项、
注意
（1）等号左边是变量，右边是关于自变量的整式；
（2）, , 为常数，且 ≠ ;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项（ = ²， =
² + ）和常数项（ = ² + ， = ² ），但不能没有二次项、
知识讲解
2、二次函数的应用
1、 函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数、
2、 一次函数与正比例函数
一般地，形如 = + （, 是常数， ≠ ）的函数叫做一次函数、
当 = 时，一次函数 = 就叫做正比例函数、
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22、1 二次函数的图象和性
质 22、1、1 二次函
数
学习目标
1 理解二次函数的概念，掌握其一般形式、（重
2 点）
会解决跟二次函数的概念有关的问题、
3 从实际问题出发列二次函数解析式，体验用函数思想去
描述、研究变量之间变化规律的意义、（重、难点）
2
温故知新
队数n有什么关系？
填空：
− 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队
（ − ）
对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数
、
每个球队n要与其他
解： = （ − ）
= −
此式表示了比赛的场次数与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，y都有
唯一确定的一个对应值，即y是n的函数、
30(1+x)2
是_________t,即两年后的产量
注意
（1）等号左边是变量，右边是关于自变量的整式；
（2）, , 为常数，且 ≠ ;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项（ = ²， =
² + ）和常数项（ = ² + ， = ² ），但不能没有二次项、
知识讲解
2、二次函数的应用
1、 函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数、
2、 一次函数与正比例函数
一般地，形如 = + （, 是常数， ≠ ）的函数叫做一次函数、
当 = 时，一次函数 = 就叫做正比例函数、
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22、1 二次函数的图象和性
质 22、1、1 二次函
数
学习目标
1 理解二次函数的概念，掌握其一般形式、（重
2 点）
会解决跟二次函数的概念有关的问题、
3 从实际问题出发列二次函数解析式，体验用函数思想去
描述、研究变量之间变化规律的意义、（重、难点）
2
温故知新
队数n有什么关系？
填空：
− 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队
（ − ）
对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数
、
每个球队n要与其他
解： = （ − ）
= −
此式表示了比赛的场次数与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，y都有
唯一确定的一个对应值，即y是n的函数、
30(1+x)2
是_________t,即两年后的产量
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
初中数学人教九年级上册第二十二章二次函数圆的PPT
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.
·O
C
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的 弦，但弦不一定是直径.
探索：圆中最长的弦是什么？为什么？
A
A
B
C
C
B
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
C
B
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
合的弧叫做等弧.
·O1 C
想一想：长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移
并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D B
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相
A
C 等的弧”
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
课堂小结
同心圆 定义
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长．r （2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 ．
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于 定长r的点的集合．
圆 同圆
有关 概念
等圆
旋转定义
要画一个确定的 圆，关键是 确定圆心和半径
集合定义
弦（直径） 劣弧
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数2_实际问题与二次函数课件
解：如图设AB的长度为xm，花圃的
面积为ym²，由题意得：
y x 60 x 2
∵a=
1<0
1 x2 30x （0<x<60) 2
2
∴当
x
b 2a
30
2
1 2
30时， y最大
4ac b2 4a
302
4
1 2
450
AD 60 x 60 30 15m
2
2
答：当与墙垂直的边长为15m，与墙平行的边长为30m时，花
做一做
用总长为40m的篱笆围成矩形场地， （1）怎样围成一个面积是75m²的矩形场地？ （2）能否围成一个面积是150m²的矩形场地， 若能,说出围法；若不能,说明理由。 （3）设矩形的一边长为xm，面积为ym²， 求矩形的最大面积。
100
10
例题 欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的
花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面 积最大？最大面积是多少？
解：设AB的长度为xm，花圃的 面积为ym²，由题意得：
y x 30 3x
3x2 30x 4 x 10
∵a= -3 <0
∴当
x
b 2a
2
30
3
5时，y最大
4ac b2 4a
302
4 3
75。
答：花圃面积最大为75m²。
颗粒归仓
我的收获（知识，方法）
；
我出现的错误
；
我应注意
；
作业
1.课本51页第1题 2.用长20m的篱笆，一面靠墙围 成一个长方形的园子(墙长12m）， 求园子的最大面积是多少？
用一段长为40米的篱笆围成一面 靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形 的长和宽分别为多少时，草坪面积最 大？最大面积为多少？
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想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c 中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y, 后者是0.
导入新课
视频引入
思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x
与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
变式训练
1.已知: y (k 2)x k ，k取什么值时，y是x的二次
函数？
解：当 k =2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.
2.若函数y (m2 9)x2 (m 2)x 4
整理得
x2－18x＋72＝0，
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比 赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个球队n要与其他 n-1 个球队各比赛 一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同
一场比赛，所以比赛的场次数
.
答： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
3.若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
优翼 课件
第二十二章
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
二次函数
22.1.1二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求 该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
两年后的产量y=_2_0_(_1_+_x_)2_.
答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之
间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应 值，即y是x的函数.
想一想
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
y=6x2 m 1 n2 1 n
22 y=20x2+40x+20
数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正 比例函数.
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
讲授新课
一 二次函数的定义
探究归纳
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方 体表面积y与正方体棱 长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有 唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④ y= 1
x2
不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，
即m是n的函数.
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
归纳总结
二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做
二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、 一次项系数和常数项.
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
二 二次函数定义的应用
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数次函数？
解：（1）由题可知,m2 7 1, 解得 m= 2 2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档 次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高 一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整 数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元， 每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，