递推关系式
递推关系知识点总结
递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。
通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。
- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。
- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。
1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。
不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。
二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。
- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。
2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。
对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。
2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。
对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。
三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
• 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以
后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
cin>>x>>y>>z;a[1]=1; for(i=1;i<=z+1;i++)
for(k=1;k<=z+1;k++) a[i+k*x+2]+=y*a[i];
for(i=1;i<=z+1;i++)sum+=a[i]; cout<<sum<<endl; return 0; }
顺推举例3——杨辉三角1547
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1: 1 n=2 f(2)=2: 1 1; 2 n=3 f(3)=4: 1 1 1 ; 2 1; 1 2; 3 n=4 f(4)=7: 1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
递推法
ans A[i]
i 1
东北师大附中
z 1
3 平面分割问题（课后练习）
设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭 曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相 交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区 域个数。
东北师大附中
分析
设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图2可 以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。从这些式子中可 以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过 观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下 面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲 线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相 交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条 封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相 交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上 一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共 有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是 an=an-1+2(n-1) 边界条件是a1=1。
东北师大附中
杨辉三角 （课后练习）
东北师大附中
分析
C C
r n r n 1
C n 1
r 1
组合公式的证明：
(n 1)! C n1 r!(n r 1)!
r
r r 1
(n 1) ！ C n1 (r 1)!(n r )!
r 1
(n 1) (n r ) (n 1)! r ！ n！ r Cn C n1 C n1 r!(n r )! r!(n r )!
倒推到第三步
东北师大附中
依次类推，为了在I=k处贮藏k*500公升汽油，卡车至少从 I=k+1处开k趟满载车至I=k处，即 oil[k+1]=(k+1)*500=oil[k]+500，加上从I=k返回I=k+1 的k-1趟返程空间，合计2k-1次。这2k-1次总耗油量按最 省要求为500公升，即d[k+1]=500/(2k-1)，图22倒推到第 n步 Way[k+1]=Way[k]+d[k+1]=Way[k]+500/(2k-1)；
分式型递推数列通项公式的求法
分式型递推数列通项公式的求法步骤一：观察数列的前几项，寻找规律。
首先，观察数列的前几项，尝试找出数列之间的关系和规律，看看能否从中找到一些线索。
特别地，注意每一项与其前一项之间的关系，这可能是我们找到递推关系的关键。
例如，给定数列的前几项为：2,5/2,13/5,34/13,...可以观察到每一项的分子和分母都与前一项有关，于是可以猜测数列的递推关系可能是以前一项的分子和分母为基础。
步骤二：列出递推关系式。
基于观察到的规律，我们可以将递推关系表示为一个等式。
通常，在分式型递推数列中，递推关系可以表示为：an = (an-1 ) * f(n)其中，an表示第n项，an-1表示前一项，f(n)表示与前一项相关的一个函数。
例如，对于给定的数列，我们可以猜测递推关系为：an = (an-1 ) * (2n+1) / (n+1)步骤三：证明递推关系。
一旦我们猜测出递推关系，我们需要证明它的正确性。
这可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们将递推关系带入前两项，看看是否能够成立。
例如，对于给定的数列，我们将递推关系带入前两项，得到：a2=(a1)*(2*2+1)/(2+1)=(5/2)*5/3=25/6确实，对于数列的前两项是符合递推关系的。
步骤四：求解递推数列的通项公式。
一旦我们证明了递推关系的正确性，我们可以继续求解数列的通项公式。
为了简化计算，我们可以将递推关系展开：an = a1 * f(2) * f(3) * ... * f(n)在猜测的递推关系的情况下，我们可以得到：an = a1 * (2/1) * (3/2) * (4/3) * ... * (n+1/n)化简后，可以得到：an = a1 * (n+1)因此，数列的通项公式为：an = a1 * (n+1)总结：上述步骤提供了求解分式型递推数列通项公式的一般方法。
关键是观察数列的规律，并尝试猜测递推关系，然后通过数学归纳法来证明递推关系的正确性，并最终确定数列的通项公式。
二中二公式表
二中二公式表二中二公式是组合数学中的经典定理，是指从n个不同元素中取出k个元素的组合数量，即C(n,k)可以表示为∑C(n-1,m-1)，其中m=1,2,...,k。
该公式有两种常见的表达方式，一种是利用递推关系式进行计算，另一种是通过简化组合式的形式推导出来。
一、递推关系式递推关系式是利用已知的n-1个元素取k-1个元素和n-1个元素取k个元素的组合数计算n个元素取k个元素的组合数。
具体来说，可以利用以下两个递推式计算C(n,k)：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)C(n,0) = 1，C(n,n) = 1其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
这两个递推式可以递归地计算所有的组合数，时间复杂度为O(nk)。
二、简化组合式的形式另一种常见的求解二中二公式的方法是通过简化组合式的形式得到。
具体来说，可以利用以下等式计算C(n,k)：C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]= (n-k+1)/1 * (n-k+2)/2 * ... * n/k= C(n-1,k-1) * n/k其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*...*2*1。
这种方法的时间复杂度为O(k)，比递推关系式的时间复杂度低。
三、应用二中二公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等领域。
例如，在概率论中，可以利用二中二公式计算从n个球中取k个球的概率；在图论中，可以利用二中二公式计算从n个点中取k个点形成的子图的数量；在密码学中，可以利用二中二公式计算从n个字母中取k个字母组成的密码的种数。
总之，二中二公式是组合数学中的核心定理之一，具有广泛的应用价值。
掌握它的计算方法和应用场景，对于深入理解和应用组合数学至关重要。
利用递推关系式求通项公式
解析：令 an＋2＋α·an＋1＝β(an＋1＋α·an)，
由
β－α＝3， α·β＝－2
⇒
α＝－1， β＝2，
或
α＝－2， β＝1
(选其中一种即
可)．
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)． ∴数列{an＋1－an}是等比数列，∴an＋1－an＝2n－1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋ a1＝2n－2＋2n－3＋2n－4＋…＋2＋1＋1＝2n－1.
利用几类经典的递推 关系式求通项公式
数列通项的常用方法
(1)利用观察法求数列的通项．
(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{an}的通项
公式；②an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2.
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)；
②an＋1＝anf(n)．
(4)构造等差、等比数列求通项：
①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)；
④an＋2＝p·an＋1＋q·an.
形如 an＋1＝kaan＋n 1(k≠0)，a1 已知型，求数列的通项公式
【例】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝12aan＋n 1(n∈N*)，求 an. 解：∵an＋1＝12aan＋n 1取倒数得： an1＋1＝12aan＋n 1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12. ∴{a1n}是以 1 为首项，12为公差的等差数列． ∴a1n＝1＋12(n－1)＝n＋2 1，∴an＝n＋2 1.
考点1 递推关系形如“an＋1＝pan＋q ”的数列求通项 例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an} 的通项公式．
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解: (2) a1 S1 4; n 2 时, an Sn Sn1 2 3n1 ,
4, n 1, an n 1 2 3 , n 2.
案例分析
2an 1 2. 数列 an 中， a1 1, an (n 2) ，求 a2 , a3 , a4 , a5 ， 2 an 1
定这个数列?
已知数列{an},恒满足
an+2=3an+1+an,且a =2,我们能否
1
确定这个数列?
如果数列满足下列条件，你能确定这个数列吗？
如: (1) an1 an 3, a1 1;
an1 3, a2 5 ; (2) an
(3) an1 3an 2, a1 7 ; (4) an2 an1 an , a1 3, a2 5 ; (5) an3
(1)求a2 、a3 、a4
(2)若n=64，将这些金属片全部移至另一根木钉 至少需要多少步骤?
解（1）方法1：a1 1, a2 3,
a4 15, a5 31, 猜想 an 2n 1, 64 易证符合通项公式，所以 a64 2 1
a3 7 a6 63, ......
1 1 3, a1 1, a2 , a3 2 . an 3
递推关系式与初始条件
定 义 : 数 列 {an } 相 邻 若 干 项 之 间 的 恒 等 关 系 式
f (an , an1 ,
, ank ) 0 ( n N * ),称为此数列的递推关
系式. 所给定的具体项的值,称为递推关系式的初始条 件.
请思考:
1.数列的递推关系式一般不能确定数列,需要配备一定 量的初始条件 ,那么对于给定的初始条件 ,我们如何知 道究竟应该配备几个初始条件呢?结合下列递推关系 式回答问题: (1) an1
2an ; 3 an
(2) an2 3 an .
请思考:
2. 设 Sn 为 数 列 {an } 前 n 项 和 ， 若 恒 有
1 2
认识几种特殊的递推关系式:
1.差分型递推式: an1 an f (n) ,其中 f (n) 已知;
an1 2.邻比型递推式: f (n) ,其中 f (n) 已知; an
3.线性递推式: an1 pan q ,其中 p, q 是知常数 4.混合型递推式: f (an , Sn ) 0 .
Sn 1 1 an 12 an 1 (n N *) ， 则 下 列 等 式 一 定 正 确 的 2
有
.
1 2 (1) S1 a1 a1 ; 2
(2) S2 a2 2 a2 ; ;
1 2 (3) Sn an an (n N*) ; 2
1 2
(4) Sn 2 an 2 2 an 2 (n N*) .
设将n个金属片从一根木钉全部移到另一根木钉所需要的 最少步骤为an
(1)求a2 、a3 、a4
(2)若n=64，将这些金属片全部移至另一根木钉至少需 要多少步骤?
(3)
n 2，an与an1的系如何？
，
3．小王上楼梯，他跨步的方法是：一步上一个台 阶，或一步上两个台阶。 (1)如果楼梯有三个台阶，上楼有几种不同的走法? (2)如果楼梯有四个台阶，上楼有几种不同的走法? (3)如果楼梯有五个台阶，上楼有几种不同的走法? (4)上述三种情况有什么特定的数量关系?如果共有 十个台阶，有多少种不同的走法?
9 取 n 3 ,有 a1a2 a3 3 9 a3 , 4 9 13 ( n 1) 1 a1 a3 1 . 4 4 an n 2 (n 1) 2 (n 2) 你能求出其通项公式吗？
2
案例分析
an2 an1 an ， a1 2, a2 5 ， 4.数列 an 中， 则 a2010
案例分析 3. an 中， a1 a2 a3 an n 2 (n N ) ，求 a1 a3 的值。
解:在 a1 a2 a3 an n 2 (n N ) 中, 取 n 1 ,有 a1 12 1 , 取 n 2 ,有 a1a2 22 4 a2 4 ,
问题情境
1.平面内有10条直线，最多可以把平面分成多少 个部分?
试验（个别） 归纳（一般） 演绎（特殊）
平面内有n(n 2)条直线，其中任意两条直线都相交， 任意三条直线不过同一点，设其交点个数为an
(1)求a2 、a3 、a4
(2)写出an1与an的关系式； (3)对于符合条件的10条直线，其交点个数是多少?
并归纳猜想出 an .
解: 由 a1 1, an 得
a2
2an 1 (n 2) 2 an 1
2 猜想: an . n 1
2a3 2a1 2a2 2a4 2 1 2 1 , a3 , a4 , a5 . 2 a1 3 2 a2 2 2 a3 5 2 a4 3
案例分析
1.数列 an 的前 n 项和 Sn ，根据前 n 和公式，分别求此 数列的通项公式 an . ⑴ Sn 2n 2 3n ； ⑵ Sn 3n 1.
解: (1) a1 S1 5; n 2 时, an Sn Sn1 4n 1 ,
5, n 1, an 4n 1. 4n 1, n 2
解：记n个台阶的走法为：
( n 3) a3 a2 a1 4
……一般有
a1 1
a2 3
an an1 an 2
问题引入
已知一个数列的通项公式,我们能否确定这个数列?
已知一个数列的前n项和公式,我们能否确定这个数列?
已知数列{an},恒满足
an
+1
=3an+5,且a1=2,我们能否确
方法2：推出当 n 2时， an 2an1 1 即 an 1 2(an1 1) 所以 n an 2 1,
an 1 2 1
64
小结
确定一个数列有下列三种方式:
(1)给定通项公式; (2)给定前n项和公式; (3)给定数列递推关系式及一定数量的初始条件; 数列递推关系式是一个“动态”的关于n的 恒等式，在具体问题中，我们可以根据需要 对n作相应的赋值或替换，但要注意定义域； 今后我们经常会处理四种递推关系式，它们 分别是？
的值.
解:由 an2 an1 an (1) 得 an3 an2 an1 (2)
(1)+(2),可得 an3 an , 于是 an6 an3 an , 这说明数列 an 是以 6 为周期的周期数列.
a2010 a6 a3 (a2 a1 ) 3 .
2．传说在古老的印度一个名叫Berares的地方有一座神庙， 据说它是宇宙的中心．婆罗贺摩(Brahma，众生之父)在神 庙中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一 根木钉上，由上至下被放置了若干个直径由小到大的圆环 形金属片，婆罗门教的僧侣们奉命依下列规则不停地将这 些金属片移至三根本钉中的另外一根上： ①在每次移动中，只能搬移一片金屑片； ②过程中必须保持金属片小的在上，大的在下．
思考题
5. 若数列 an 满足：对任意的 n N ，只有有限个正整数 m 使得
am＜n 成立，记这样的 m 的个数为 (an ) ，则得到一个新数列 ( an ) ．
例如，若数列 an 是 1, 2,3…，n,…，则数列 ( an ) 是 0,1, 2,…，n 1,… ． 已知对任意的 n N ， an n2 ， (1)数列 ( an ) 的前 5 项; (2)记 bn (an )* ,请写出 {(bn )*} 前 5 项,并由此猜想 (bn ) * 的表达式.
问题情境：
神庙中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一 根木钉上，由上至下被放置了若干个直径由小到大的圆环 形金属片，僧侣们奉命依下列规则不停地将这些金属片移 至三根本钉中的另外一根上： ①在每次移动中，只能搬移一片金屑片； ②过程中必须保持金属片小的在上，大的在下．
设将n个金属片从一根木钉全部移到另一根木钉所需要的 最少步骤为an