线性规划在经济生活中的应用(奶制品的生产和销售问题)

线性规划在经济生活中的应用（奶制品的生产和销售问题）
[问题的提出]
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？
[问题的分析]
该问题的决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。

设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2，并设每天获利为z元。

则：x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24⨯3x1元，
x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16⨯4x2元，
目标函数为：Max z=72x1+64x2。

由题设可以得到如下约束条件：
原料供应： x1+x2≤50桶；
劳动时间：12x1+8x2≤480小时；
设备能力： 3x1≤100；
非负约束：即x1≥0，x2≥0．
综上可得该问题的数学模型为：
Max z=72x1+64x2 ；
s.t.
x1+x2≤50；
12x1+8x2≤480；
3x1≤100；
x1≥0；
x2≥0；
[问题的求解]
1、图解法：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质。

如下图所示：
可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)。

目标函数中的z 取不同数值时，在图中表示一组平行直线(虚线)，可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所以B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20，2x =30。

2、图解法只能求解只有两个变量的LP 模型，如果遇到多个变量时，就要考虑用其他方法，最常用的是用MAtlab 或者Lingo 软件进行求解，下面简单的用lingo 软件来求解本题的答案。

在lingo 中输入以下命令：
model :
max =72*x1+64*x2;
x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
x1>=0;
x2>=0;
end
求解后输出结果如下：
Global optimal solution found at iteration: 2
Objective value: 3360.000
Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3360.000 1.000000
2 0.000000 48.00000
3 0.000000 2.000000
4 40.00000 0.000000
5 20.00000 0.000000
6 30.00000 0.000000 可见，最优解是x1=20.00000，x2=30.00000，结果与用图解法求解的结果一致。