有限元等参数单元讲解文稿演示
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元讲义 等参单元26页PPT
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
26
有限元讲义 等参单元
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
有限元等参数单元
1
（3）Gauss积分 如果我们调整n个插值点的位置，使得 ϕ (ξ ) 具有(2n-1)次多项式，并对 f (ξ ) 进行逼 近，则可以大大提高积分精度。
ϕ (ξ ) = ∑ li( n −1) (ξ ) f (ξi ) + ∑ β iξ i P(ξ )
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎢ ∂x ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N i ⎢ ∂z ⎢ ∂N ⎢ i ⎢ ⎣ ∂y
0 ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂z 0 ∂N i ∂x
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂z ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂x ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ∂N i ⎥ B=⎢0 ⎥ y ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂N i ∂N i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂y ∂x ⎦
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一 般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
⎧ ∂N i ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎢ ∂η ⎪ ⎪ η ∂ ⎩ ⎭ ⎣
待定系数可由节点映射条件求出。因此可写出 其坐标变换式：
x (ξ ,η ) = N1 (ξ ,η ) x1 + N 2 (ξ ,η ) x2 + N 3 (ξ ,η ) x3 + N 4 (ξ ,η ) x4 ⎫ ⎪ ⎬ y (ξ ,η ) = N1 (ξ ,η ) y1 + N 2 (ξ ,η ) y2 + N 3 (ξ ,η ) y3 + N 4 (ξ ,η ) y4 ⎪ ⎭
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一 般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
交大有限元分析 第五章等参数单元(第一部分)
第五章 等参数单元(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi iN e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
有限元讲稿等效载荷PPT课件
October 9, 2004
第四章-2
第2页/共33页
（3）等效节点载荷的计算
如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为{P}=[X, Y]T，相当于在点 (x,y)处作用集中力为{P}tdxdy，则等效节点载荷为：
Re [N]T {P}tdxdy
V
如果单元某边界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量为{q}=[qx, qy]T，若将 微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中力 为P={q}tds，则等效节点载荷为：
号的对应关系：
(i, j, m)=(5, 3, 2)
当许多单元共用一个节点时，作用在
该节点的合力就是每个单元刚阵中具
6
有相同下标子矩阵[kij]的迭加，也就是 总刚阵中具有相同下标的元素，即：
Kij [kij ]e
e
October 9, 2004
第四章-6
第6页/共33页
（4）结构整体刚度矩阵的集成
单元的刚性位移是指平移和转动，与单元的内部变形无关，它是由于其他 单元发生了变形后而连带发生的，因此要正确反映单元的位移形态，位移模式 中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。 2）位移模式必须能反映单元的常应变项
当单元的尺寸越来越小时，每个单元内的应变应趋于一个确定的值。因此 对有限区域（元）讲，所选择位移模式必须包含能描述上述特性的函数项，即 包括两部分：一部分能给出常应变，另一部分给出与坐标有关的应变，即变量 应变。由于变量应变随单元尺寸减小逐渐变小，因此常应变项为应变的主要部 分。即位移模式至少需包含线性函数项。 3）位移模式应反映实际结构位移的连续性
K25
K 26 U2 =0
F2
有限元第7章等参数单元
一、等参数单元刚度矩阵 第四步 单元应变-单元位移-节点位移之间的关系
u 4 N ( , ) u i i x i 1 x x 4 v { ( x, y )} y N i ( , )vi y y i 1 xy u v 4 4 N i ( , )ui N i ( , )vi x i 1 y i 1 y x
令一个是固定于单元的局部坐标
( , )
当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单 元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建 立母单元的形状函数。
第三节 等参数单元平面问题的有限元格式
前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出 单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵.对于等参数 单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函数，下面讨论 单元刚度矩阵的形成。
[ B1
B2
B3
{d1e } e {d 2 } B4 ] e [ B]{d e } {d3 } e { d 4 }
二、等参数坐标变换
4 x Ni ( , ) xi i 1 4 y N ( , ) y i i i 1
y 1 x 1 [J ] | J | x y
y x
1. 根据坐标影射用母单元形函数和实际单元的节点坐标确定所划分 单元的几何形状，这个实际划分单元称为子单元。 2. 利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。
u 4 N ( , ) u i i x i 1 x x 4 v { ( x, y )} y N i ( , )vi y y i 1 xy u v 4 4 N i ( , )ui N i ( , )vi x i 1 y i 1 y x
令一个是固定于单元的局部坐标
( , )
当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单 元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建 立母单元的形状函数。
第三节 等参数单元平面问题的有限元格式
前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出 单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵.对于等参数 单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函数，下面讨论 单元刚度矩阵的形成。
[ B1
B2
B3
{d1e } e {d 2 } B4 ] e [ B]{d e } {d3 } e { d 4 }
二、等参数坐标变换
4 x Ni ( , ) xi i 1 4 y N ( , ) y i i i 1
y 1 x 1 [J ] | J | x y
y x
1. 根据坐标影射用母单元形函数和实际单元的节点坐标确定所划分 单元的几何形状，这个实际划分单元称为子单元。 2. 利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。
有限元方法课件_第六章_矩形和等参单元
i 1
4
将母元中的坐标线映射
到子元上，则得到一个斜角 坐标系或曲线坐标系 ，称
其为局部坐标，原xy坐标系
称为整体坐标。
当母元确定后（即结点数和形函数确定），坐标变换式只与子元结点坐标 有关，而子元坐标与网格划分有关，故一个母元与一族子元相对应。
这种坐标变换形成的子元在相邻边界上能保证坐标连续。
N1 (1 )(1 ) / 4
用矩阵表示：
u 4 f N i i e v i 1
其中：
Ni [ N ]i 0
0 Ni
i
e
ui vi
i 1,2,3,4
形函数矩阵：
七、任意四变形单元的单元刚度矩阵
[k ] B DB tdA
e T e
由于局部坐标系两主轴不呈直角，所以：
x y dA d d i
x y j i
j dd
如何描述单元内任一点的物理量？(子元的位移模式）
在子元局部坐标系中考察子元，可利用母元形函数矩阵有：
u 4 e f N ( , )i i v i 1
在形式上子元与母元的位移模式一样，但两种的坐标系已 不同，子元为斜角坐标，母元为直角坐标，故两者的位移分布 是不同的。
常用方法：Gauss积分法、
Newton-Cotes积分法等
本部分内容结束
坐标变换：
x xi N i ,
i 1 4
4
y yi N i ,
i 1
即：
位移函数：
x 4 e N ( , )i X i y i 1 u 4 e f N ( , )i i v i 1
4
将母元中的坐标线映射
到子元上，则得到一个斜角 坐标系或曲线坐标系 ，称
其为局部坐标，原xy坐标系
称为整体坐标。
当母元确定后（即结点数和形函数确定），坐标变换式只与子元结点坐标 有关，而子元坐标与网格划分有关，故一个母元与一族子元相对应。
这种坐标变换形成的子元在相邻边界上能保证坐标连续。
N1 (1 )(1 ) / 4
用矩阵表示：
u 4 f N i i e v i 1
其中：
Ni [ N ]i 0
0 Ni
i
e
ui vi
i 1,2,3,4
形函数矩阵：
七、任意四变形单元的单元刚度矩阵
[k ] B DB tdA
e T e
由于局部坐标系两主轴不呈直角，所以：
x y dA d d i
x y j i
j dd
如何描述单元内任一点的物理量？(子元的位移模式）
在子元局部坐标系中考察子元，可利用母元形函数矩阵有：
u 4 e f N ( , )i i v i 1
在形式上子元与母元的位移模式一样，但两种的坐标系已 不同，子元为斜角坐标，母元为直角坐标，故两者的位移分布 是不同的。
常用方法：Gauss积分法、
Newton-Cotes积分法等
本部分内容结束
坐标变换：
x xi N i ,
i 1 4
4
y yi N i ,
i 1
即：
位移函数：
x 4 e N ( , )i X i y i 1 u 4 e f N ( , )i i v i 1
第1章有限元基本理论ppt课件
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
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从而 , f , A 1 e N , e
其中
N , N 0 1 N 0 1 N 0 2 N 0 2 N 0 3 N 0 3 N 0 4 N 0 4
e u 1v 1u 2v 2u 3v 3u 4v 4 T
或 其中
u
4
i 1 4
N i , u i
关于（1）因为 N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j，
所以相邻单元的公共节点位置重合；
关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的 或 保持常数，转换到总体坐标系下后，
边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两 个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元 的公共边界既不开裂，也不重叠。
v
i 1
N i , v i
N
N
N
1 , 2 , 3 ,
1
4 1
4 1
4
1 1 1
1 1 1
N
4 ,
1 4
1
1
写成统一的形式
Ni,141i1i,i1,2,3,4 其中 i,i为： 1,11,1,2,21,1 3,31,1,4,41,1
形函数的性质：
有限元等参数单元讲解文稿演示
（优选）有限元等参数单元ppt 讲解
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
u 1 2x 3y 4xy
对于边界来讲，将
YA XB
带入上式，经简化可得
uD2X E XF
上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变 量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的 两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单 元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相 容性条件不能得到满足。
x,yxxyyuyuyvxxvyi41Ni,xyii4 411uN N i i i,,xi41uvN ii i,vi
x
4 i 1
Ni , ui
y
4 i 1
Ni , vi
y
4 i 1
Ni , ui
x
4 i 1
N
i
,
vi
N1 x
u1
N 2 x
u2
N3 x
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是
（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容）
（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求）
以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
（1） N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j 保证位
移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保 证在边界连续。
4
（2）Ni , 1 保证单元包含刚体位移。 i1
这两条性质，保证了解的收敛性。
下面讨论坐标变换。
可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
第1~3步：形成插值函数； 第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解； 第7步：用已知节点位移计算应力。
对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单 元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
1,1
1,1
4
3
1 1,1
2 1,1
为此，首先讨论局部坐标系下的位移插值函数、 形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐 标变换。
根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原 四节点四边形单元的节点处的位移值。因此， 局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可 以表示为
uv51
234 678或者来自x4i 1 4
N i , xi
y
i 1
N i , y i
现证明如下：
从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保 证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以 看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总 体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标 系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点 位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂， 不重叠，反之亦然。
, f,
将
u1
v
1
e
1 2 3
e e e
u v u
2 2 3
4 e
v
3
u 4
v 4
和节点坐标 1 , 1 ,1 , 1 ,1 ,1 , 1 ,1 带入位移插值
函数表达式，可得
e A
其中 T 12345678
解上面的方程
A1e
可见矩形单元的特点：
（1） 矩形单元满足相容性条件。
（2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条 件。
（3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三 角形单元的阶次要高。
如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩 形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标 变换的几何相容性），而变换后的位移插值函 数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起， 就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收 敛性条件。
对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。
我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
5-3 等参数单元平面问题的有限元格式 前述有限元求解的七个步骤中
u3
N 4 x
u4
N1 y
v1
N 2 y
v2
N3 y
v3
N 4 y
这种情况该怎样处理？
我们知道，矩形单元满足相容性条件。 以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标
轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以 包含四个待定系数
u 1 2x 3y 4xy
y
x
在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程
YA
或
XB
带入上式，总可以得到
uCX D
或
uEY F
上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点 的位移值唯一确定。
其中
N , N 0 1 N 0 1 N 0 2 N 0 2 N 0 3 N 0 3 N 0 4 N 0 4
e u 1v 1u 2v 2u 3v 3u 4v 4 T
或 其中
u
4
i 1 4
N i , u i
关于（1）因为 N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j，
所以相邻单元的公共节点位置重合；
关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的 或 保持常数，转换到总体坐标系下后，
边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两 个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元 的公共边界既不开裂，也不重叠。
v
i 1
N i , v i
N
N
N
1 , 2 , 3 ,
1
4 1
4 1
4
1 1 1
1 1 1
N
4 ,
1 4
1
1
写成统一的形式
Ni,141i1i,i1,2,3,4 其中 i,i为： 1,11,1,2,21,1 3,31,1,4,41,1
形函数的性质：
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5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
u 1 2x 3y 4xy
对于边界来讲，将
YA XB
带入上式，经简化可得
uD2X E XF
上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变 量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的 两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单 元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相 容性条件不能得到满足。
x,yxxyyuyuyvxxvyi41Ni,xyii4 411uN N i i i,,xi41uvN ii i,vi
x
4 i 1
Ni , ui
y
4 i 1
Ni , vi
y
4 i 1
Ni , ui
x
4 i 1
N
i
,
vi
N1 x
u1
N 2 x
u2
N3 x
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是
（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容）
（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求）
以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
（1） N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j 保证位
移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保 证在边界连续。
4
（2）Ni , 1 保证单元包含刚体位移。 i1
这两条性质，保证了解的收敛性。
下面讨论坐标变换。
可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
第1~3步：形成插值函数； 第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解； 第7步：用已知节点位移计算应力。
对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单 元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
1,1
1,1
4
3
1 1,1
2 1,1
为此，首先讨论局部坐标系下的位移插值函数、 形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐 标变换。
根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原 四节点四边形单元的节点处的位移值。因此， 局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可 以表示为
uv51
234 678或者来自x4i 1 4
N i , xi
y
i 1
N i , y i
现证明如下：
从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保 证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以 看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总 体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标 系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点 位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂， 不重叠，反之亦然。
, f,
将
u1
v
1
e
1 2 3
e e e
u v u
2 2 3
4 e
v
3
u 4
v 4
和节点坐标 1 , 1 ,1 , 1 ,1 ,1 , 1 ,1 带入位移插值
函数表达式，可得
e A
其中 T 12345678
解上面的方程
A1e
可见矩形单元的特点：
（1） 矩形单元满足相容性条件。
（2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条 件。
（3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三 角形单元的阶次要高。
如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩 形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标 变换的几何相容性），而变换后的位移插值函 数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起， 就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收 敛性条件。
对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。
我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
5-3 等参数单元平面问题的有限元格式 前述有限元求解的七个步骤中
u3
N 4 x
u4
N1 y
v1
N 2 y
v2
N3 y
v3
N 4 y
这种情况该怎样处理？
我们知道，矩形单元满足相容性条件。 以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标
轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以 包含四个待定系数
u 1 2x 3y 4xy
y
x
在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程
YA
或
XB
带入上式，总可以得到
uCX D
或
uEY F
上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点 的位移值唯一确定。